您的位置：文档网› 2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练四

2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练四

1．(本小题满分12分)(2019山东省实验中学等四校联考)抛物线C ：y ＝x 2,直线l 的斜率为2.(1)若l 与C 相切,求直线l 的方程；(2)若l 与C 相交于点A ,B ,线段AB 的中垂线交C 于点P, Q ,求|PQ ||AB |的取值范围．1．解：(1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ,联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0,Δ＝4＋4b ＝0,∴b ＝－1.因此,直线l 的方程为y ＝2x －1. (2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2得x 2－2x －b ＝0,Δ＝4＋4b ＞0,∴b ＞－1. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝－b . ∴|AB |＝5|x 1－x 2|＝25（b ＋1）. ∵线段AB 的中点为(1,2＋b ),∴直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0.由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12,x 3x 4＝－52－b ,∴|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ,∴|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b ＝1816＋25b ＋1＞12, ∴|PQ ||AB |的取值范围是(12,＋∞)． 2．(本小题满分12分)(2019广东肇庆三模)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R ),g (x )＝e2x －2 .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤g (x )在(0,＋∞)上成立,求a 的取值范围．2．解：(1)f ′(x )＝1－ln x －ax 2, 当0＜x ＜e 1－a 时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增；当x ≥e 1－a 时,f ′(x )≤0,f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(0,e 1－a ),单调递减区间为[e 1－a ,＋∞)．(2)由f (x )≤g (x ),得ln x ＋a x≤e 2x－2,即a ≤x (e 2x －2)－ln x .令h (x )＝x (e 2x －2)－ln x ,h ′(x )＝(2x ＋1)e 2x －1＋2x x ＝(2x ＋1)(e 2x －1x)．令F (x )＝e 2x －1x (x ＞0),F ′(x )＝2e 2x ＋1x2＞0,F (x )在(0,＋∞)上单调递增．又F (14)＝e －4＜0,F (12)＝e －2＞0,∴F (x )有唯一的零点x 0∈(14,12),且当x ∈(0,x 0)时,F (x )＜0,即h ′(x )＜0,h (x )单调递减； 当x ∈(x 0,＋∞)时,F (x )＞0,即h ′(x )＞0,h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (x 0)＝x 0(e2x 0－2)－ln x 0.又∵F (x 0)＝0,∴h (x 0)＝x 0(1x 0－2)－ln 1e2x 0＝1－2x 0＋2x 0＝1,∴a ≤1,∴a 的取值范围是(－∞,1]． 3.(本小题满分12分)(2019东北三省四市一模)已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点为B 1,B 2,点M 是椭圆C 上的动点,且不与B 1,B 2重合,点N 满足NB 1⊥MB 1,NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．3．解：(1)(方法一)设N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0)． ∵MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2,∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ①,直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ②.①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又∵x 2018＋y 29＝1,∴y 2－9＝18（1－y 29）y 20－9x 2＝－2x 2, 整理得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(方法二)设N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0)．∵MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2,B 1(0,－3),B 2(0,3)．∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ①,直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ②.联立①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1,∴x ＝－x 02, 故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1,得y 29＋x 292＝1.∴点N 的轨迹方程为y 29＋x292＝1(x ≠0)．(方法三)设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0),则直线NB 1：y ＝－1kx －3①.直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为(12k 2k 2＋1,6k 2－32k 2＋1)．∴直线MB 2的斜率为kMB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3②.联立①②,解得点N 的坐标为(－6k 2k 2＋1,3－6k 22k 2＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6k2k 2＋1，y ＝3－6k 22k 2＋1，得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)(方法一)设N (x 1,y 1),M (x 0,y 0)(x 0≠0),由(1)中方法二,得x 1＝－x 02,∴四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x 1|＋|x 0|)＝3×32|x 0|.∵0＜x 20≤18,∴当x 20＝18时,S 的最大值为2722.(方法二)由(1)中方法三,得四边形MB 2NB 1的面积 S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×(12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1)＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722, 当且仅当|k |＝22时,S 取得最大值2722.4．(本小题满分12分)(2019河北石家庄适应性考试)设f ′(x )是函数f (x )的导函数,我们把f ′(x )＝x 的实数x 叫作函数y ＝f (x )的好点．已知函数f (x )＝12e 2x －a e x－a 2－12x 2.(1)若0是函数f (x )的好点,求a ；(2)若函数f (x )不存在好点,求a 的取值范围．4．解：(1)由题意,函数f (x )＝12e 2x －a e x－a 2－12x 2,可得f ′(x )＝e 2x －a e x －(a 2－1)x .由f ′(x )＝x ,得e 2x －a e x －(a 2－1)x ＝x ,即e 2x －a e x －a 2x ＝0. ∵0是函数f (x )的好点,∴1－a ＝0,解得a ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝e 2x －a e x －(a 2－1)x .由f ′(x )＝x ,得e 2x －a e x －(a 2－1)x ＝x ,即e 2x －a e x －a 2x ＝0.令g (x )＝e 2x －a e x －a 2x ,问题转化为讨论函数g (x )的零点问题．∵当x →－∞时,g (x )→＋∞,若函数f (x )不存在好点,等价于g (x )没有零点,即g (x )的最小值大于零．g ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0,则g (x )＝e 2x ＞0,g (x )无零点,f (x )无好点． ②若a ＞0,则g ′(x )＝0,得x ＝ln a .当x ∈(－∞,ln a )时,g ′(x )＜0；当x ∈(ln a ,＋∞)时,g ′(x )＞0. ∴g (x )在(－∞,ln a )上单调递减,(ln a ,＋∞)上单调递增． ∴当x ＝ln a 时,g (x )有最小值g (ln a )＝－a 2ln a . 当且仅当－a 2ln a ＞0,即0＜a ＜1时,g (x )＞0, ∴g (x )无零点,f (x )无好点．③若a ＜0,则g ′(x )＝0,得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞,ln(－a 2))时,g ′(x )＜0；当x ∈(ln(－a2),＋∞)时,g ′(x )＞0.∴g (x )在(－∞,ln(－a 2))上单调递减,在(ln(－a2),＋∞)上单调递增．∴当x ＝ln(－a 2)时,g (x )有最小值g (ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a2)]．当且仅当a 2[34－ln(－a 2)]＞0,即－2e 34＜a ＜0时,g (x )＞0,∴g (x )无零点,f (x )无好点．综上所述,a的取值范围为(43e 2 ,1)．[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和.解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n 2－12n ＋13(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且»¼.AC B'D =(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.»AB的中点M,(1)证明如图,取∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π),则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t),于是CD→＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM→＝(0,1,0),由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2,∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m |＝5,|t |＝12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).解 (1)m ＝4,n ＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1),f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0,即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅； 当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h；②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B解析取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP＝32,CP＝32,所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析由三视图得到空间几何体,如图所示,则P A⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,P A＝AB＝AD＝2,BC＝1, 所以P A⊥AD,P A⊥AB,P A⊥BC.又BC⊥AB,AB∩P A＝A,AB,P A⊂平面P AB,所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD＝22,PC＝3,CD＝5,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB,△P AD,△PBC,共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α,则有tan α＝13＝33, 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN ⊥ON ,如图所示. 在Rt △ONF 中,|OF |＝2,则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中,|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |＝2|b |,且(a －b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α,∵(a －b )⊥b ,∴(a －b )·b ＝0,∴a ·b ＝b 2,∴|a |·|b |cos α＝|b |2,又|a |＝2|b |,∴cos α＝12,∵α∈[0,π],∴α＝π3,故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0, b ＝log 20.3<log 21＝0,∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4, ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0,∴0<a ＋b ab<1,∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案 B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元；(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60＋80＝140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元,由题意知,当0<m <120时,x ＝0,当m ≥120时,(m －x )×80%≥m ×70%,得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立,又m8≥15,所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15,故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米,请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年,基本事件为{7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3个. 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700,y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3.又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ,y ), 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^, 解得a ^＝1.5, 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时,y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6, 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。

合集下载

2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)

2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)

专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。

2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第二部分 压轴题(四)

2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第二部分 压轴题(四)

压轴题(四)★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

12．已知函数f (x )＝ax －a 2－4(a >0，x ∈R )，若p 2＋q 2＝8，则f (q )f (p )的取值范围是( )A ．(－∞，2－3)B ．[2＋3，＋∞)C ．(2－3，2＋3)D ．[2－3，2＋3]答案 D解析f (q )f (p )＝aq －a 2－4ap －a 2－4＝q －a －4ap －a －4a，表示点A (p ，q )与点B⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ，a ＋4a 连线的斜率．又a ＋4a ≥4，故取点E (4,4)．当AB 与圆的切线EC 重合时，k AB 取最小值，可求得k EC ＝tan15°＝2－3，所以f (q )f (p )的最小值为2－3； 当AB 与圆的切线ED 重合时，k AB 取最大值， 可求得k ED ＝tan75°＝2＋3， ∴f (q )f (p )的最大值为2＋3；故f (q )f (p )的取值范围是[2－3，2＋3]． 16．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知椭圆C 的方程为x 29＋y 23＝1，A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A ，B 的动点，直线x ＝6与直线P A ，PB 分别交于M ，N 两点，若点D (9,0)，则过D ，M ，N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，则该定点坐标为________．答案 (3,0)解析 首先证明椭圆的一个性质：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A ，B 的一个点，则k AP k BP ＝－b 2a 2.证明如下：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由于A ，P 是椭圆上的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 21a 2＋y 21b2＝1，两式作差可得x 2－x 21a 2＋y 2－y 21b 2＝0，此时k AP k BP ＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2.故结论成立．设直线P A 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，由题意可知k 1k 2＝－b 2a 2＝－13，设直线P A 的方程为y ＝k 1(x ＋3)，则M (6,9k 1)，设直线PB 的方程为y ＝k 2(x －3)，则N (6,3k 2)，故k DM ·k DN ＝9k 1－3·3k 2－3＝3k 1k 2＝－1，故DM ⊥DN ，MN 为△DMN 外接圆的直径，设所求的点为E (m,0)(m ≠9)，则k EM ·k EN ＝9k 16－m ·3k 26－m＝－1，即－(6－m )2＝27k 1k 2＝－9，解得m ＝3(m ＝9舍去)．综上可得，所求定点的坐标为(3,0)．20．已知动点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离比它到直线x ＝－94的距离小2.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记P 点的轨迹为E ，过点F 、斜率存在且不为0的两直线l 1，l 2分别与曲线E 交于M ，N ，P ，Q 四点，若l 1⊥l 2，证明：1|MN |＋1|PQ |为定值．解 (1)由题意可知动点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，显然动点P 的轨迹是抛物线，设其方程为y 2＝2px (p >0)，易知p ＝12，所以动点P 的轨迹方程为y 2＝x .(2)证明：由题意，直线l 1的斜率存在，可设直线l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，得k 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋1x ＋k 216＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 22＋1k 2＝k 2＋22k 2. 于是|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2＋22k 2＋12＝k 2＋1k 2. 同理可得|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝k 2＋1.所以1|MN |＋1|PQ |＝k 2k 2＋1＋1k 2＋1＝1，为定值．21．已知函数f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线斜率为f ′(2)＝32，f (2)＝－2＋ln 2， 故曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －f (2)＝f ′(2)·(x －2)， 即y －(－2＋ln 2)＝32(x －2)，化简得3x －2y －10＋2ln 2＝0. (2)因为f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x，x >0.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，由f ′(x )>0，得0<x <1或x >12a ；由f ′(x )<0，得1<x <12a ，所以函数f (x )在区间(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减；当a ＝12时，因为f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，由f ′(x )>0，得0<x <12a 或x >1；由f ′(x )<0，得12a <x <1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减．。

2020年高考数学冲刺压轴卷文

2020年高考数学冲刺压轴卷文

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！2020年高考数学冲刺压轴卷 文注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{x ∈N|x ≤6}，集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则U ð(A ∩B)＝A.{2，3，4}B.{0，1}C.{2，3，4，5，6}D.{3，4，5，6}2.已知i 为虚数单位，则复数3i i＝ A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i3.已知函数f(x －1)＝x 2＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A.1B.2C.4D.54.已知向量|a|＝1，|b|，且b ·(2a ＋b)＝3，则向量a ，b 的夹角的余弦值为A.4B.－4C.4D.45.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“AD>4a ”发生的概率为 A.34 B.23 C.13 D.126.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.7 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.如果两个函数的图象可以经过一系列变换最终重合，那么称这两个函数为“同志函数”，有函数f(x)＝sin(2x ＋6π)，为了得到其“同志函数”g(x)＝sin2x 的图象，则只需将函数f(x)的图象 A.沿x 轴向右平移12π个单位长度 B.沿x 轴向左平移12π个单位长度 C.沿x 轴向左平移6π个单位长度 D.沿x 轴向右平移6π个单位长度 9.已知定义在R 上的奇函数y ＝f(x)满足f(x ＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2019)＋f(2024)＝A.－5B.5C.0D.404310.已知双曲线C ：x 2－23y ＝1的离心率为e.直线y ＝1e x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(－111，n)，则n ＝A.－311B.－511C.－411D.－61111.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的正方形，点A 1在底面ABCD 内的射影为正方形ABCD 的中心，B 1C 与底面ABCD 所成的角为45°，则侧棱AA 1的长度为23212.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，∠ACD ＝30°，且CD ＝2，则a 3b 的最小值为A.4B.4＋3＋3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学最后十天压轴题 专题4.2 压轴试题新题好题综合练(2)(解析版)01

2020高考数学最后十天压轴题 专题4.2 压轴试题新题好题综合练(2)(解析版)01

专题四压轴试题综合练第二关压轴试题新题好题综合练（2）一、多选题1．（2020·辽宁高二期末）已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（）A ．－4B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【解析】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----， ，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n ∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB.2．（2019·湖南高二期末）如图，在平面四边形ABCD 中，等边ABC 的边长为2，30ADC ∠= ，AC CD ⊥，点M 为边上一动点，记DM CM λ=⋅，则λ的取值可以是（）A ．4-B ．154C ．5D ．10【答案】CD【解析】以A 为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设[]0,2AM t =∈.则(()13,,3,4,022M t t C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故13134,1,32222DM CM t t t λ⎛⎫⎛=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝---- 2221533444242t t t t t t =+++-=++在[]0,2t ∈上为增函数,故[]244,10t t λ=++∈.故选：CD3．（2019·山东高三期中）已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（）A ．1B ．eC ．2eD ．3e【答案】CD【解析】因为()()()F x f x f x =+-，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点，当0x >时，0x -<，()2x f x e mx m-=-+即0x >时，()22x x x x F x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()t t y te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2ttte t e t ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>，故选：CD.4．（2019·山东高三月考）如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是()A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥;B ．翻折过程中，CN 的长是定值；C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥；D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】BD【解析】对于A ，取AD 的中点为E ，连接CE 交MD 于点F ，如图1则1NE AB ，1NF MB 如果1CN AB ⊥，则EN CN ⊥,由于11AB MB ⊥，则EN NF ⊥,由于三线,,NE NF NC 共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于B ，如图1，由1NEC MAB ∠=∠,且11,2NE AB AM EC ==，∴在CEN ∆中，由余弦定理得：2222cos NC NE EC NE EC NEC =+-⋅⋅∠，也是定值，故NC 是定值，故正确；对于C ，如图2AB BM = ，即11AB B M =,则1AM B O⊥若1AM B D ⊥，由于111B O B D B = ，且11,B O B D ⊂平面1ODB ，AM ∴⊥平面1ODB ，OD ⊂平面1ODB ，OD AM ∴⊥，则AD MD =,由于AD MD ≠，故1AM B D ⊥不成立，故不正确；对于D ，根据题意知，只有当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，取AD 的中点为E ，连接1,,OE B E ME ，如图21AB BM == ，则111AB B M ==，且11AB B M ⊥，平面1B AM ⋂平面AMD AM=1B O AM ∴⊥，1B O Ì平面1B AM 1B O ∴⊥平面AMD ，OE ⊂平面AMD 1B O OE ∴⊥，则AM =11222B O AM ==,112222OE DM AM ===,从而11EB ==,易知1EA ED EM ===AD ∴的中点E 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D 正确；故选：BD二、填空题5．（2018·重庆市永川北山中学校高三期中）若不存在整数x 满足不等式()24(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是_____.【答案】{|14}k k 【解析】由题意得0k =或k 0<时均不符合题意，故0k >.于是原不等式即为2244(4)0(4)0k k k x x x x k k ⎛⎫⎛⎫++--<⇔--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意应有2435k k +且0k >，14k ∴.故答案为：{|14}k k .6．（2020·辽宁辽师大附中高三月考（理））已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+ ||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -= ，10PA PB -= ，则BI BABA⋅ 的值为__________.【答案】3【解析】BI BA =+ ||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)λ>，即||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，表示I 在PAB ∠的角平分线上，故I 是PAB ∆内心.如图所示：4AF BF AG BH AP BP -=-=-= ；10AF BF +=，故3BF =.cos 3BI BA ABI BI BA BF BA BA⋅∠⋅===故答案为：3.7．（2018·全国高考模拟（理））在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b +=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足2PA PB=，△PAB 面积最大值为163,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______。

2020高考数学最后十天压轴题 专题4.1 压轴试题新题好题综合练(1)(解析版)

2020高考数学最后十天压轴题 专题4.1 压轴试题新题好题综合练(1)(解析版)

专题四压轴试题综合练第一关压轴试题新题好题综合练（1）一、多选题1．（2020·山东高三期末）设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【答案】AB【解析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB2．（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是()A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆；当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以为半径的14圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆；当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像；所以函数()y f x =的周期是8；其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确；故选：BCD.3．（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．4．（2019·浙江高三期末）设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（）A ．当1a =-时，3M <B ．当2a =时，33M <C ．当1a =时，32M >D ．当3a =时，12M <【答案】AB【解析】对于选项A ，当1a =-时，cos ()x f x x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以cos66M ππ==<A 正确.对于选项B ，当2a =时，2()cos f x x x =⋅，则()()cos 2tan 0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，即23183M π=<，故选项B 正确.对于选项C ，当1a =时，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x <恒成立，所以3()cos tan cos sin 2f x x x x x x =<=≤，所以32M <，故选项C 错误.对于选项D ，当3a =时，3()cos f x x x =⋅，则2()cos (3tan )0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，311()232M π=⋅>∴，故选项D 错误.故选：AB.二、填空题5．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为______.【答案】2⎡⎢⎣【解析】如图：∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，∴正方体的对角线长为6，∵[]1,5x ∈，当1x =或5时，三角形的面积最小，设截面三角形的边长为t ，由等体积法得：221311221343222t t t ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，∴6t =，∴()2min 334362y ⨯==.当3x =，即P 在1BD 中点时，截面为正六边形的面积最大，此时正六边形的边长为()()22336+=，故截面面积最大为()2366934⨯⨯=.故答案为：33,932⎡⎤⎢⎥⎣6．（2019·山东高考模拟（理））已知点()0,2A ，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若55FM MN=，则p 的值等于__________．【答案】2【解析】依题意F 点的坐标为（2p，0），设M 在准线上的射影为K 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，∴55FM MN=，则|KN |：|KM |＝2：1，k FN02402p p -==--，∴4p-=-2，求得p ＝2，故答案为：2．7．（2020·天津南开中学高三月考）已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．（2020·河南高三月考（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________.【答案】24【解析】因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =.因为()2353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8三、解答题9．（2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）1010；（3）存在，23PE PC =，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，由于PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 所以PA BD ⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC 又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC⊥（2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直，因比，如图建立空间直角坐标系A xyz-(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取1x =，1y =，z =，则m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ-则(22,2))BE λλλ=-- ，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则00n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a b λλλ⎧-++-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=r r即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =10．（2020·湖南高三月考（理））已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点(2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x =m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅uu u r uuu r为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】（1）椭圆Γ过点(2,1),∴22211a b+=,①又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--.又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,2a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+,令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y 由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k-=+,1124(2)12k y k x k =+=+,所以222244(,)1212k k P k k-++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r m k k k m k OP OM m k m k k k k ,要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与k 无关,只需12m =,此时OP OM ⋅uu u r uuu r 恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ,∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ,所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与0x 无关,只须12m =,此时4OP OM ⋅= .∴2m =。

2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷(5份含答案)

2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷(5份含答案)

绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷1一、选择题1．已知R 为实数集，集合(){|lg 3}A x y x ==+， {|2}B x x =≥，则()R A B ⋃=ðA. B. {|3}x x <- C. {|23}x x ≤< D. {|3}x x ≤-2．复数z 满足()1i i z +=,则在复平面内复数z 所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥， m β⊂，下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒其中正确的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 已知向量()1,3a =v ， (),23b m m =-v ，平面上任意向量c v都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈v v v，则实数m 的取值范围是（ ）． A. ()(),00,-∞⋃+∞ B. (),3-∞ C. ()(),33,-∞-⋃-+∞ D. [)3,3-5. ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c .已知sin 20sin ab C B =， 2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ） A. 6B.C. D. 76. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ： P ∀∈Ω， x y -的最小值为6； 2p ： P ∀∈Ω， 224205x y ≤+≤；3p ： P ∀∈Ω， x y -的最大值为6； 4p ： P ∀∈Ω，22x y ≤+≤ 其中的真命题是（ ）A. 1p ， 4pB. 1p ， 2pC. 2p ， 3pD. 3p ， 4p 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 16+243πB. 16+163πC. 8+83πD. 16+83π9. 执行如图的程序框图，则输出的S 值为A. 1B. 32C. 12- D. 010. 已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<， 8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上单调.下列说法正确的是（ ）A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11. 已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以12,F F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）A.B. 1C.D. 112. 不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 7B. 8C. 152D. 172二、填空题13. 已知两个单位向量,a b v v 的夹角为()60,1c ta t b =+-o v v v ,若0b c ⋅=v v ,则t = ______. 14. 设函数()212exf x x =-+，则使()()24f x f x ≤-成立的x 的取值范围是_________.15. 抛物线22(0)y ax a =>的焦点为F ，其准线与双曲线22149y x -=相交于,M N 两点，若0120MEN ∠=，则a =_______.16. 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，满足S n =−2a n +1−13n ，c n =(32)n a n ，则数列{c n }的通项公式为__________． 三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且2362,,a S S +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()2121nn n b S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 122n T n -<. 18． 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2,AB AC AD PB PB AC ====⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为3，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知抛物线E 的顶点为平面直角坐标系xOy 的坐标原点O ，焦点为圆F:x 2+y 2−4x +3=0的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于A ， D 两点，交圆F 于B ， C 两点，A ， B 在第一象限，C ， D 在第四象限.（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l 使2|BC |是|AB |与|CD |的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()1ln f x a x a R x =+∈．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．（2）如果函数()()2g x f x x =-在()0,+∞上单调递减，求a 的取值范围． （3）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为2{1x t y t=+=+（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于,A B 两点，若P 点的直角坐标为()2,1，求PA PB -的值. 23.选修4-5：不等式选讲函数()12,f x x x x R =-++∈，其最小值为m . （1）求m 的值；（2）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证： 11131112a b c ++≥+++.2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷1答案1．D 【解析】由题意得303x x +>⇒>-，所以{}3A B x ⋃=>-， (){}3R A B x ⋃=≤-ð，故选D.2.A 【解析】由()1i i z +=得()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-,在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭,在第一象限,故选A .4.C 【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈r r r， 则向量， b r 不共线，由()1,3a =r， (),23b m m =-r 得233m m -≠， 解得3m ≠-，即实数m 的取值范围是()(),33,-∞-⋃-+∞． 故选C ．5.A 【解析】因为sin 20sin ab C B =，所以20,206,abc b ac b ==∴==选A. 6．B 【解析】用128,,,a a a L 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,,a a a L 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．7.C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O 到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.#网8.D 【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体,∴该几何体的体积是311416+824223433ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：D10.C 【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调， ∴2T ππω=≥，解得01ω<≤．∵8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴384{ 2ωππϕωπϕπ+=+=，解得23{ 23ωπϕ==，∴()222sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于选项A ，显然不正确．对于选项B ，2272sin 2sin 838312f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 不正确． 对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时， 220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确． 对于选项D ， 323272sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确． 综上选C ．11.B 【解析】()()201200,1,0,1,,4x F F A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22200001144,1224x x x y x k x x +∴='=∴=== 以12,F F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b-= ，所以2222141,111a b a e a b -=+=∴=∴==，选B.13.2【解析】∵两个单位向量,a b v v 的夹角为()60,1c ta t b =+-o v v v ，且0b c ⋅=v v∴()()()21111cos6010b c b ta t b ta b t b t t ⎡⎤⋅=⋅+-=⋅+-=⋅⋅⋅︒+-=⎣⎦v v v v v v v v∴2t = 故答案为.14.44,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 因为函数()212xf x x e =-+满足()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时， 2y x =为单调递增函数， 2x y e =+单调递减函数，则12xy e =-+单调递增，所以()212xf x x e=-+在[)0,+∞为单调递增函数，在(),0-∞单调递减， 又因为()()24f x f x ≤-，所以24x x ≤-，解得443x -≤≤.15.13【解析】可根据题干条件画出草图，得到角MFO 为60度角，根据三角函数值得到=解得13a =。

2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(共三套)

2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(共三套) 2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.计算()2 017+()2 017等于( )(A)-2i (B)0(C)2i (D)23.在长为16 cm的线段MN上任取一点P,以MP,NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )(A)(B)(C)(D)4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.已知函数f(x)=ln(e x+e-x)+x2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是( )(A)(-1,3) (B)(-∞,-3)∪(3,+∞)(C)(-3,3) (D)(-∞,-1)∪(3,+∞)6.已知函数f(x)=cos(2x-ϕ)-sin(2x-ϕ)(|ϕ|<)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则f(x)在区间[-,0]上的最小值为( ) (A)-1 (B)(C)-(D)-27.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )(A)96(B)80+4π(C)96+4(-1)π(D)96+4(2-1)π8.执行如图的程序框图,则输出x的值是( )(A)2 016 (B)1 024(C) (D)-19.已知(1-2x)2017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2016(x-1)2016+ a2 017(x-1)2 017(x∈R),则a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017等于( )(A)2 017 (B)4 034(C)-4 034 (D)010.若0<m<n<2,e为自然对数的底数,则下列各式中一定成立的是( )(A)me n<ne m (B)me n>ne m(C)mln n>nln m (D)mln n<nln m11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)(x0>)是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|.若=2,则|AF|等于( )(A)(B)1 (C)2 (D)312.现有10支队伍参加篮球比赛,规定:比赛采取单循环比赛制,即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场;每场比赛中,胜方得2分,负方得0分,平局双方各得1分.下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( )(A)可能有两支队伍得分都是18分(B)各支队伍得分总和为180分(C)各支队伍中最高得分不高于10分(D)得偶数分的队伍必有偶数个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,a+b+c=0,则a与c的夹角为.14.设变量x,y满足则点P(x+y,x-y)所在区域的面积为.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A1,A2为其左、右顶点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且∠MA1A2=45°,则双曲线的离心率为.16.已知正四棱锥S ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,求{b n}的前n项和S n.18.(本小题满分12分)从某市统考的学生数学试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如图的频率分布直方图.(1)求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(81<Z<119);②记X表示2 400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用①的结果,求E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附:≈19,≈18,若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二面角M BQ C大小为60°,并求出的值.20.(本小题满分12分)已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹Γ的方程;(2)若直线y=k(x-1)与(1)中的轨迹Γ交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有∠OTS=∠OTR?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a x-e(x+1)ln a-(a>0,且a≠1),e为自然对数的底数.(1)当a=e时,求函数y=f(x)在区间x∈[0,2]上的最大值;(2)若函数f(x)只有一个零点,求a的值.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若直线θ=(ρ∈R)与曲线C1交于P,Q两点,求|PQ|的长度.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求实数t的取值范围;(2)若t的最小值为s,正实数a,b满足+=s,求4a+5b的最小值.参考答案仿真冲刺卷(一)1.C 由A={1,2}及题意得B={x|x=a+b,a∈A,b∈A}={2,3,4},则集合B中元素个数为3.故选C.2.B 因为===i,=-i.i4=1.所以()2 017+()2 017=(i4)504·i+[(-i)4]504·(-i)=i-i=0.故选B.3.A 设MP=x,则NP=16-x(0<x<16),矩形的面积S=x(16-x)>60,所以x2-16x+60<0,所以6<x<10.由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于60 cm2的概率P==, 故选A.4.A AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos 120°,13=AC2+9-2·AC·3×(-),AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.5.D 因为函数f(x)=ln(e x+e-x)+x2,所以f′(x)=+2x,当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;又因为f(x)=ln(e x+e-x)+x2是偶函数,所以f(2x)>f(x+3)等价于|2x|>|x+3|,整理得x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,所以使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞),故选D.6.C函数f(x)=cos(2x-ϕ)-sin(2x-ϕ)=2cos(2x-ϕ+),(|ϕ|<)的图象向右平移个单位后,可得y=2cos(2x--ϕ+)=2cos(2x-ϕ+) 的图象,再根据所得图象关于y轴对称,可得-ϕ+=kπ,k∈Z,故ϕ=,f(x)=2cos(2x+).在区间[-,0]上,2x+∈[-,],cos(2x+)∈[-,1],故f(x) 的最小值为2×(-)=-,故选C.7.C 由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半径为2,高为2,所以圆锥的母线长为2.所以几何体的表面积为6×42-π×22+π×2×2=96-4π+4π.故选C.8.D 由程序框图可得x=2,y=0时满足条件y<1 024,执行循环体得x=-1,y=1;满足条件y<1 024,执行循环体,x=,y=2;满足条件y<1 024,执行循环体,x=2,y=3;满足条件y<1 024,执行循环体,x=-1,y=4;…;观察规律可知,x的取值周期为3,由于1 024=341×3+1,可得满足条件y<1 024,执行循环体,x=-1,y=1 024;不满足条件y<1 024,退出循环,输出x的值为-1.故选D.9.C 将(1-2x)2017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2016(x-1)2016+ a2017(x-1)2017(x∈R)两边求导可得-2×2 017(1-2x)2016=a1+ 2a2(x-1)+…+2 017a2 017(x-1)2 016,令x=0,则-4 034=a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017,故选C.10.C 设g(x)=,所以g′(x)=,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,因为0<m<n<2,所以无法比较g(m)与g(n)的大小,即无法判断me n与ne m的大小.设f(x)=,所以f′(x)=>0在(0,2)上恒成立,所以f(x)在(0,2)上单调递增,所以f(m)<f(n),所以<,即mln n>nln m.,故选C.11.B如图,过M作MD⊥直线x=,由题意:M(x0,2)在抛物线上,则8=2px0, 则px0=4,①由抛物线的性质可知,|DM|=x0-,=2,则|MA|=2|AF|=|MF|=(x0+),因为被直线x=截得的弦长为|MA|,则|DE|=|MA|=(x0+),由|MA|=|ME|=r,在Rt△MDE中,|DE|2+|DM|2=|ME|2,即(x0+)2+(x0-)2=(x0+)2,代入整理得4+p2=20.②由①②,解得x0=2,p=2,所以|AF|=(x0+)=1,故选B.12.D 设每支队伍胜x场,负y场,平z场(x,y,z都是不大于9的自然数),则x+y+z=9,对于A,某支队伍得分18分为满分,也就是胜了9场,那么其他9队至少有一次负,就不可能再得18分,故错误;对于B,总共要进行=45场比赛,每场比赛的得分和都是2分,最后总得分为45×2=90(分),故错误;对于C,最高得分可能超过10分,比如A中可能为18分,故错误;对于D,由B可知,各个队伍得分总和m1+m2+…+m10=90,这10个数中,若有(2k+1)个偶数,则有10-(2k+1)=(9-2k)个奇数,其和必为奇数,不可能等于90,所以这10个数中,有偶数个偶数,正确.故选D.13.解析:因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×(-)=-1.因为a+b+c=0,所以-b=a+c,所以-a·b=a·(a+c),所以-(-1)=a2+a·c,所以a·c=0.所以a⊥c.所以a与c的夹角为90°.答案:90°14.解析:令s=x+y,t=x-y,则点P(x+y,x-y)为P(s,t),由s=x+y,t=x-y,得s≤1,x=,y=,又x≥0,y≥0,所以s+t≥0,s-t≥0,所以s,t满足约束条件作出可行域如图,A(1,1),B(1,-1),O(0,0).所以点P(x+y,x-y)所在区域的面积为×2×1=1.答案:115.解析:由题得以F1F2为直径的圆的圆心是(0,0),半径为c,故圆的标准方程为x2+y2=c2,又双曲线的其中一条渐近线方程为y=x,联立可得M(a,b).故MA2垂直于A1A2,所以tan∠MA1A2==tan 45°,所以b=2a,c= a.故双曲线的离心率为.答案:16.解析:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,设y=12a4-a6,则y′=48a3-3a5,当y取最值时,y′=48a3-3a5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,此时h==2.答案:217.解:(1)设等差数列{a n}的公差是d.依题意 a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以 a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为 a n=-3n+2.(2)由数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,得a n+b n=c n-1,即-3n+2+b n=c n-1,所以 b n=3n-2+c n-1.所以 S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+c n-1)=+(1+c+c2+…+c n-1).从而当c=1时,S n=+n=;当c≠1时,S n=+.18.解:(1)由题意,=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100,样本方差s2=(60-100)2×0.02+(70-100)2×0.08+(80-100)2×0.14+(90-100)2×0.15+(100-100)2×0.24+(110-100)2×0.15+(120-100)2×0.1+(13 0-100)2×0.08+(140-100)2×0.04=366.(2)①Z～N(100,366),P(81<Z<119)=P(100-19<Z<100+19)=0.682 7;②数学总分位于区间(81,119)的概率为0.682 7,X～(2 400,0.682 7),E(X)=2 400×0.682 7=1 638.48.19.(1)证明:因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD,又因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以BQ⊥AD,又因为PQ∩BQ=Q,所以AD⊥平面PQB,又因为AD⊂平面PAD,所以平面PQB⊥平面PAD.(2)解:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.则由题意知Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-2,,0).设=λ(0<λ<1),则M(-2λ,λ,(1-λ)),平面CBQ的一个法向量是n1=(0,0,1),设平面MQB的一个法向量为n2=(x,y,z),则取n2=(,0,),因为二面角M BQ C大小为60°,所以==,解得λ=,此时=.20.解:(1)连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2,故动点Q的轨迹Γ是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.设其方程为+=1(a>b>0),可知a=2,c=1,所以b==,所以点Q的轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.设R(x1,y1),S(x2,y2)联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由韦达定理有①,其中Δ>0恒成立,由∠OTS=∠OTR(显然TS,TR的斜率存在),故k TS+k TR=0即+=0 ②,由R,S两点在直线y=k(x-1)上,故y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入②得==0,即有2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0③,将①代入③,即有==0 ④, 要使得④与k的取值无关,当且仅当t=4时成立,综上所述存在T(4,0),使得当k变化时,总有∠OTS=∠OTR.21.解:(1)当a=e时,f(x)=e x-e(x+1)ln e-=e x-e(x+1)-,所以f′(x)=e x-e.令f′(x)=0,解得x=1.当x∈[0,1]时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,因为f(0)=1-e-,f(2)=e2-3e-,所以f(2)-f(0)=e2-3e--1+e+=e2-2e-1>0,所以函数y=f(x)在区间x∈[0,2]上的最大值为e2-3e-.(2)f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e),当0<a<1时,由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)<0,得a x-e>0,即x<.由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)>0,得a x-e<0,即x>.所以f(x)在(-∞,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,所以当x=时函数取得最小值为f()=-e(+1)ln a-=-eln a-e-.要使函数f(x)只有一个零点,则-eln a-e-=0,得a=;当a>1时,由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)<0,得a x-e<0,即x<. 由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)>0,得a x-e>0,即x>.所以f(x)在(-∞,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,所以当x=时函数取得最小值为f()=-e(+1)ln a-=-eln a-e-.要使函数f(x)只有一个零点,则-eln a-e-=0,得a=(舍去).综上,若函数f(x)只有一个零点,则a=.22.解:(1)曲线C1的参数方程为(ϕ为参数),利用平方关系消去ϕ可得(x-)2+(y+1)2=9,展开为x2+y2-2x+2y-5=0,可得极坐标方程ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ,即ρ2=2ρcos θ,可得直角坐标方程x2+y2=2x.(2)把直线θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0,整理可得ρ2-2ρ-5=0,所以ρ1+ρ2=2,ρ1·ρ2=-5.所以|PQ|=|ρ1-ρ2|===2.23.解:(1)研究函数y=|x+5|-|x-1|,当x≤-5时,y=-6,当x≥1时,y=6,当-5<x<1时,y=2x+4∈(-6,6),故函数y=|x+5|-|x-1|的值域为[-6,6],因为函数f(x)=的定义域为R,所以被开方的式子恒大于等于0,故t≥6.(2)由(1)知正实数a,b满足+=6,令a+2b=m,2a+b=n,则正数m,n满足+=6,则4a+5b=2m+n=(2m+n)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=即m=n=时取等号,此时a=b=,故4a+5b的最小值为.2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i是虚数单位,若复数z满足zi=-1+i,则复数z的实部与虚部的和是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.已知集合A={a,4},B={2,a2},且A∩B={4},则A∪B等于( )(A){2,4} (B){-2,4}(C){-2,2,4} (D){-4,2,4}3.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚疼减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”此人第二天走了( )(A)76里(B)96里(C)146里(D)188里4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)40 (B) (C) (D)5.已知实数x,y满足不等式组则2x-y的取值范围是( )(A)[-1,3] (B)[-3,-1](C)[-1,6] (D)[-6,1]6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( )(A)20种(B)30种(C)40种(D)60种7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为a,b,c(a>b>c,且a,b,c∈N*);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )(A)每场比赛第一名得分a为4(B)甲可能有一场比赛获得第二名(C)乙有四场比赛获得第三名(D)丙可能有一场比赛获得第一名8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)59.已知直线l过点A(-1,0)且与圆B:x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D,一条渐近线平行于l,则E的方程为( )(A)-=1(B)-=1(C)-x2=1(D)-=110.正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,O是点A在底面BCD内的射影,则异面直线BM与AO所成角的余弦值为( )(A) (B)(C) (D)11.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是( )(A)[1,e](B)[e-1-1,1](C)[1,e+1](D)[e-1-1,e+1]12. 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的圆交AB于G,点P在上运动(如图).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则6λ+μ的取值范围是( )(A)[1,] (B)[,2](C)[2,2] (D)[1,2]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者,若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E(ξ)= . (结果用最简分数表示)14.已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.15.设R n是等比数列{a n}的前n项的积,若25(a1+a3)=1,a5=27a2,则当R n取最小值时,n= .16. 我国唐代诗人王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”,这里明月和清泉,都是自然景物,没有变,形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变,其余各词均如此.变化中的不变性质,在文学和数学中都广泛存在.比如我们利用几何画板软件作出抛物线C:x2=y的图象(如图),过焦点F作直线l交C于A,B两点,过A,B分别作C的切线,两切线交于点P,过点P作x轴的垂线交C于点N,当动点B在C上运动时,会发现是一个定值,该定值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A=3cos(B+C)+1.(1)求角A的大小;(2)若cos Bcos C=-,且△ABC的面积为2,求a.18.(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分. 如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD=.(1)证明:BD⊥平面PAC;(2)若二面角A PC D的大小为60°,求AP的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1,F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,△MNF2的面积为,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点,若存在实数λ,使得+λ=4,求m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x,a∈R.(1)求g(x)的单调区间;(2)若函数f(x)=g(x)+(a+1)x2-2x,x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,f′(x)是函数f(x)的导函数,证明:f′()<0.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρsin2θ- 3cos θ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.仿真冲刺卷(二)1.C 复数z满足zi=-1+i,可得z===1+i.复数z的实部与虚部的和是1+1=2.故选C.2.C 因为集合A={a,4},B={2,a2},且A∩B={4},所以a2=4,解得a=2或a=-2,当a=2时,A={2,4},B={2,4},不合题意,舍去;当a=-2时,A={-2,4},B={2,4},则A∪B={-2,2,4}.故选C.3.B 由题意可得:此人每天所走的路程成等比数列{a n}, 其中q=,S6=378.则=378,解得a1=192.所以a2=192×=96.故选B.4.B根据几何体的三视图,可知该几何体是三棱柱BCE AGF割去一个三棱锥A BCD所得的图形,如图所示;所以V几何体=×4×4×4-××(×4×4)×4=.故选B.5.C 设z=2x-y,则y=2x-z,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分)如图,平移直线y=2x,由图象可知当直线y=2x-z经过点B(0,1)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最大,此时z最小,z min=0-1=-1,当直线y=2x-z经过点C(3,0)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,此时z最大,z max=2×3-0=6,即-1≤2x-y≤6.故选C.6.C 根据题意,先在周一至周六的六天中任选3天,安排三人参加活动,有=20(种)情况,再安排甲、乙、丙三人的顺序,由于甲安排在另外两位前面,则甲有1种情况,乙、丙安排在甲的后面,有=2(种)情况,则不同的安排方法共有20×2=40(种).故选C.7.C 若每场比赛第一名得分a为4,则甲最后得分最高为4×6=24<26,故A不正确;三人总分为26+11+11=48,那么6(a+b+c)=48,可知a+b+c=8即每场总分数为8分,结合a>b>c可知a=5,b=2,c=1,因此甲比赛名次为5个第一,一个第三,故B不正确;而乙比赛名次有1个第一,所以丙没有一场比赛获得第一名,故D不正确;乙比赛名次为1个第一,4个第三,1个第二,C正确.故选C.8.C 由程序框图知,i=6时,打印第一个点(-3,6),在圆x2+y2=25外,i=5时,打印第二个点(-2,5),在圆x2+y2=25外,i=4时,打印第三个点(-1,4),在圆x2+y2=25内,i=3时,打印第四个点(0,3),在圆x2+y2=25内,i=2时,打印第五个点(1,2),在圆x2+y2=25内,i=1时,打印第六个点(2,1),在圆x2+y2=25内,i=0,结束,所以打印的点在圆x2+y2=25内有4个.故选C.9.D 由题意可设直线l:y=k(x+1),圆B:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,由相切的条件可得,=1,解得k=±.直线l的方程为y=±(x+1),联立x2+y2-2x=0,解得x=,y=±,即D(,±).由题意可得渐近线方程为y=±x.设双曲线的方程为y2-x2=m(m≠0),代入D的坐标,可得m=-=.则双曲线的方程为-=1.故选D.10.B取BC中点E,DC中点F,连接DE,BF,则由题意得DE∩BF=O,取OD中点N,连接MN,则MN∥AO,所以∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角), 设正四面体ABCD的棱长为2,由BM=DE==,OD=DE=,所以AO==,所以MN=AO=,因为O是点A在底面BCD内的射影,MN∥AO,所以MN⊥平面BCD,所以cos∠BMN===,所以异面直线BM与AO所成角的余弦值为.故选B.11.A 由点(x0,y0)在曲线y=sin x上,得y0=sin x0,y0∈[0,1],由题意存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,则点A(y0,f(y0)),A′(f(y0),y0)都在y=f(x)的图象上, 又f(x)=在[0,1]上单调递增,所以[f(y0)-y0][y0-f(y0)]≥0,即[f(y0)-y0]2≤0,所以f(y0)=y0,即f(x)=x在x∈[0,1]上有解,即=x在[0,1]上有解,也即a=e x+x-x2,x∈[0,1]有解,令ϕ(x)=e x+x-x2,x∈[0,1],则ϕ′(x)=e x+1-2x≥0,x∈[0,1],所以ϕ(x)在[0,1]上单调递增.又ϕ(0)=1,ϕ(1)=e,所以ϕ(x)∈[1,e],即a∈[1,e].故选A.12.C建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),C(2,2),D(0,1),F(1,),设P(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,=(cos θ,sin θ),=(2,1),=(-1,),因为=λ+μ,所以(cos θ,sin θ)=λ(2,1)+μ(-1,),即解得所以6λ+μ=2sin θ+2cos θ=2sin(θ+), 因为0≤θ≤,所以≤θ+≤π,所以2≤2sin(θ+)≤2,即6λ+μ的取值范围是[2,2].故选C.13.解析:根据题意,ξ的取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.答案:14.解析:f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α) =1-+sin 2(x+α)=+sin 2(x+α)+cos 2(x+α)=+sin(2x+2α+).当2x+2α+=+2kπ,k∈Z,即x=-α++kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值为. 答案:15.解析:因为a5=27a2,所以=q3=27,所以q=3.因为25(a1+a3)=1,所以25a1(1+q2)=1,所以a1=.所以a n=·3n-1,若使R n取得最小值,则则a n=·3n-1≤1,a n+1=·3n≥1;因为a1>0,q>1,所以{a n}是单调递增数列,又a6=×36-1=0.972,a7=×37-1=2.916,所以n=6;故当R n取最小值时,n=6,答案:616.解析:线段AB是过抛物线x2=y焦点F的弦,过A,B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于P点.P点在抛物线的准线上.证明:由抛物线x2=y,得其焦点坐标为F(0,).设A(x1,),B(x2,),直线l:y=kx+代入抛物线x2=y得x2-kx-=0.所以x1x2=-,①又抛物线方程为y=x2,求导得y′=2x,所以抛物线过点A的切线的斜率为2x1,切线方程为y-=2x1(x-x1),②抛物线过点B的切线的斜率为2x2,切线方程为y-=2x2(x-x2),③由①②③得y=-.所以P的轨迹方程是y=-,即P在抛物线的准线上; 根据抛物线的定义知|NF|=|NP|,所以是一个定值1.答案:117.解:(1)由cos 2A=3cos(B+C)+1得,2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,所以,cos A=或cos A=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以A=.(2)由(1)知cos A=-cos(B+C)=,则cos(B+C)=cos Bcos C-sin Bsin C=-;由cos Bcos C=-,得sin Bsin C=,由正弦定理,有==,则b=,c=.由三角形的面积公式得S=bcsin A==a2,即a2=2,解得a=4.18.解:(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=.所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.(2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得随机变量ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4 6 P所以数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.19.(1)证明:设O为AC与BD的交点,作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1,DE==3,所以BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°,所以∠BOC=90°,即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD,因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.(2)由(1)知AC⊥BD.以O为原点,OB,OC所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-,0,0).由PA⊥平面ABCD,得PA∥z轴,故设点P(0,-,t)(t>0).=(-,-2,0),=(-,,-t),设m=(x,y,z)为平面PDC的法向量,由m⊥,m⊥知,取y=1,得m=(-2,1,).又平面PAC的法向量为n=(1,0,0),于是|cos<m,n>|===.解得t=,即AP=.20.解:(1)根据已知设椭圆的焦距为2c,当y=c时,|MN|=|x1-x2|=,由题意得,△MNF2的面积为×|MN|×|F1F2|=c|MN|==,又因为=,解得b2=1,a2=4,所以椭圆C的标准方程为x2+=1.(2)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得=, 即+=0,所以m=0时,存在实数λ,使得+λ=4,当m≠0时,由+λ=4,得=+,因为A,B,P三点共线,所以1+λ=4,⇒λ=3⇒=3,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0,由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,且x1+x2=,x1x2=.由=3得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=0,所以+=0⇒m2k2+m2-k2-4=0,显然m2=1不成立,所以k2=,因为k2-m2+4>0,所以-m2+4>0,即>0.解得-2<m<-1或1<m<2.综上所述,m的取值范围为(-2,-1)∪(1,2)∪{0}.21.(1)解:函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x的定义域为(0,+∞), g′(x)=-2ax+(2-a)=-,①当a≤0时,x∈(0,+∞),g′(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,x∈(0,)时,g′(x)>0,x∈(,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.(2)证明:f(x)=ln x+x2-ax.由x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,得f(x1)=ln x1+-ax1=0,f(x2)=ln x2+-ax2=0,两式相减得a=+x1+x2,因为f′(x)=+2x-a,所以f′()=-,故要证明f′()<0,只需证明-<0,(0<x1<x2),即证明>ln x1-ln x2,即证明>ln,(*)令=t∈(0,1),即证>ln t成立,即证2(t-1)>(t+1)ln t, 令h(t)=(1+t)ln t-2t+2,令h′(t)=ln t+-1,h″(t)=-<0,故h′(t)在(0,1)上递减,h′(t)>h′(1)=0,故h(t)在(0,1)上递增,h(t)<h(1)=0,故2(t-1)>(t+1)ln t,即f′()<0.22.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数), 普通方程为3x-2y-9=0,极坐标方程为3ρcos θ-2ρsin θ-9=0,曲线C的极坐标方程是ρsin2θ-3cos θ=0,即ρ2sin2θ=3ρcos θ,曲线C的直角坐标方程为y2=3x.(2)两极坐标方程联立,可得ρ2sin2θ-2ρsin θ-9=0, 所以ρsin θ=3或-,即y=3或-,所以x=9或1,所以交点坐标为(9,3),(1,-),所以直线l与曲线C交点的极坐标为(6,),(2,).23.解:(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1,当2<x<3时,f(x)≥3无解,当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4,综上知f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|,当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔|x+a|≤2⇔-2-a≤x≤2-a,由条件得-2-a≤1且2-a≥2即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|2x2-3x≤0,x∈Z},B={x|1≤2x<32,x∈Z},集合C满足A ⊂C⊆B,则C的个数为( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)82.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知,e-4i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,如图是某城市2016年1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是( )(A)1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个(B)第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了(C)8月是空气质量最好的一个月(D)6月份的空气质量最差4.若a=(-cos x)dx,则(ax+)9展开式中x3项的系数为( )(A)-(B)-(C) (D)5.若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率为( )(A)(B)(C) (D)6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )(A)28+6 (B)30+6(C)56+12(D)60+127.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法,即将f(x)改写成如下形式:f(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如图,则在空白的执行框内应填入( )(A)v=vx+a i(B)v=v(x+a i)(C)v=a i x+v (D)v=a i(x+v)8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值是( )。

新课标通用版2020年高考数学模拟试题冲刺卷(高三数学) (4)

………外…………○学校：_………内…………○绝密★启用前高考数学冲刺模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1A=-，2{|}B x x x==，则A B=（）A．{}1B．{}1-C．{}0,1D．{}1,0-2．设复数z满足12iiz+=，则z的虚部为（）A．-1 B．i-C D．13．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．1B．34C D．144．数列{}n a满足()11nn na a n++=-⋅，则数列{}n a的前20项的和为（）A．100-B．100C．110-D．1105．在()62x-展开式中，二项式系数的最大值为a，含5x项的系数为b，则ab=（）A．53B．53-C．35D．35-6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（）A B C D．7．已知向量a，b满足1a=，(1,3b=-，且()a a b⊥-，则a与b的夹角为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒8．执行下面的程序框图，如果输入1a=，1b=，则输出的S=（）A．54 B．33 C．20 D．79．已知直线:l y m=+与圆()22:36C x y+-=相交于A，B两点，若120ACB∠=︒，则实数m的值为（）A．3或3-B．3+或3-C．9或3-D．8或2-10．已知函数()31sin31xxf x x x-=+++，若[]2,1x∃∈-，使得()()20f x x f x k++-<成立，则实数k的取值范围是（）A．()1,-+∞B．()3,+∞C．()0,+∞D．(),1-∞-11．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x=+++-+有极值点，则sin23Bπ⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值是（）A．0 B．C D．-1第1页共24页◎第2页共24页第3页 共24页 ◎ 第4页 共24页………○…………在※※装※※订※※线※………○…………12．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 （ ） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x ，y 满足30{40 240x x y x y +≥-+≥+-≤，则3z x y =+的最大值为__________．14．若函数()sin 4f x m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ x 在开区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭内，既有最大值又有最小值，则正实数m 的取值范围为 ．15．已知点()1,0F c -，()2,0(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为________． 16．已知四面体ABCD 的所有棱长都为 ，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为，x ，和y ，则 +的最小值是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a λ+=+（λ为常数）．（Ⅰ）试探究数列{}n a λ+是否为等比数列，并求n a ； （II ）当1λ=时，求数列(){}n n a λ+的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE ． （Ⅰ）求证：'AD EB ⊥；（Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小．第5页 共24页 ◎ 第6页 共24页19．（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表： （Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：男并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关； （II ）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（本小题满分12分）已知长度为AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（II ）过点()4,0且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数．若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．第7页 共24页 ◎ 第8页 共24页21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x a x =+且()f x a x ≤．（Ⅰ）求实数a 的值； （II ）令()()xf x g x x a=-在(),a +∞上的最小值为m ，求证：()67f m <<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：2{2x ty t=+=-（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （II ） 记射线0,02πθαρα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM的最大值．24．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()21f x x ≥-；（II ）若关于x 的不等式()21f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围．1．C 【解析】{}1,0,1A =-，2{|}B x x x == {}=0,1，{}0,1A B ∴⋂=，故选C ．2．A 【解析】∵12i i z +=，∴1222iz i +==-，则的虚部为1-，故选A ．………○…………装………○…………订…………○学校：___________姓名：________班级：___________考号：______………○…………装………○…………订…………○3．A【解析】画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故16P==-．故选A．4．A【解析】由()11nn na a n++=-，得2134561,3,5a a a a a a+=-+=-+=-，1920...,19a a+=-，na∴的前20项的和为121920119...13 (1910)2a a a a+++++=----=-⨯100=-，故选A．6．B【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD-）的直观图如下：可计算PB PD BC PC====．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．7．B【解析】设与b的夹角为α，((21,1,3,12a b b==-∴=+=，又()(),0a ab a a b⊥-∴⋅-=，22112cos0a a bα∴-⋅=-⨯=，解得1c o s,602αα=∴=，故选B．8．C【解析】执行程序框图，1,1,0,0;2,2,3,2a b S k S a b k========；7,5,8,4S a b k====；20,13,21,6S a b k====，结束循环，输出20S=，故选C．学#9．A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为，所以332md m-===±，选A．【名师点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决．第9页共24页◎第10页共24页第11页 共24页 ◎ 第12页 共24页…订…………○…………线…线※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…11．D 【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f ′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）， 又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ； 即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即 时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1，故选D ． 12．D 【解析】令f （x ）=0，分离参数得a=ln ln x x x x x --令h （x ）=ln ln x xx x x--由h′（x ）=()()()22ln 1ln 2ln 0ln x x x x x x x --=- 得x=1或x=e ．当x ∈（0，1）时，h′（x ）＜0；当x ∈（1，e ）时，h′（x ）＞0；当x ∈（e ，+∞）时，h′（x ）＜0．即h （x ）在（0，1），（e ，+∞）上为减函数，在（1，e ）上为增函数．【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强． 13．12【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为3y=-x+z ，即求截距的最大值，过点A(0，4)时目标函数取最大值12，填12．学%【名师点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：x z z ax by y b b =+⇒=-+，与直线的截距相关联，若0b >，当zb 的最值情况和z 的一致；若0b <，当zb的最值情况和的相反；（2）斜率型：(),y bz a b x a-=⇒-与(),x y 的斜率，常见的变形：()b y a y b a a a k x c x c-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⇔⨯=+--，()()11y c b x y bk x c x c --++⇔+=++--，11x b y c y ck x b-⇔=---．（3）点点距离型：()()2222z x y ax by c z x m x n =++++⇒=-+-表示(),x y 到(),m n 两点距离的平方；（4）点线距离型：z ax by c z =++⇒=(),x y 到直线0ax by c ++=第13页 共24页 ◎ 第14页 共24页………线…………○…………线…………○…15．4【解析】由于点G 是12ΔPFF 的外心，则G 在轴的正半轴上，12GF GF λGP 0++=，则()1212GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点，则12ΔPFF 的面积1282S b c bc =⨯⨯==，由222216a b c bc =+≥=，则a 4≥，当且仅当b c ==4，故答案为4．【名师点睛】本题考查向量的共线定理，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题根据向量的共线定理，即可求得则P ，G ，O 三点共线，则P 位于上顶点，则bc 8=，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．16．833=242=，所以四面体的体积又可以表示为1113236x y ⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭，化简得32x y +=，故()()112112282223333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算，考查利用分割法求几何体的体积，考查了方程的思想，考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法．首先根据题目的已知条件判断出四面体 为正四面体，由于正四面体的棱长给出，所以可以计算出正四面体的体积，根据等体积法求得 的一个等式，再利用基本不等式求得最小值．17．（1）()112n n a λλ-=+-．（2）()1122n n T n +=-+． 【解析】试题分析：（1）由已知()12n n a a λλ++=+，当1λ=-时，数列{}n a λ+不是等比数列，当1λ≠-时数列{}n a λ+是以1λ+为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知21nn a =-，所以()12nn n a n +=⨯，由错位相减法可得数列(){}n n a λ+的前n 项和n T ．（2）由（1）知21nn a =-，所以()12nn n a n +=⨯，2322232n T =+⨯+⨯ 2n n +⋅⋅⋅+⨯① 234222232n T =+⨯+⨯ 12n n ++⋅⋅⋅+⨯②①-②得：23222n T -=++122n n n ++⋅⋅⋅+-⨯()1212212nn n +-=-⨯-第15页 共24页……○………线……※※题※※……○………线……11222n n n ++=--⨯()1122n n +=--．所以()1122n n T n +=-+．18．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据勾股定理推导出AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则MD '⊥ BE ，从而EB ⊥平面AD E '，由此证得结论成立；（Ⅱ）以C 为原点，CE 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BD'E --的大小．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、(D '，z)为平面ABD 的法向量， 则11n BA 40{n BD'32x x y z⋅==⇒⋅=-+可以取1n 0,2,1)=（(2n x y z =，，的法向量， 则22n BE 220{n BD'320x y x y z ⋅=-=⇒⋅=-+=可以取2n (1,12=-，）因此，12n n 0⋅=ABD ' ⊥平面故二面角A BD -'-的大小为90．）见解析．男第17页 共24页 ◎ 第18页 共24页………线…………○…………线…………○…l 的方程为：4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()224880m y my +++=， ()22284843240mm m m =-+++>．)28y + 2324m =+， ()12m y y + 22648164m m -+=+，第19页 共24页 ◎ 第20页 共24页21．【答案】（1）2a =．（2）见解析．【解析】试题分析：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 可证：()h t 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．故2a =合题意．#网 （2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4s x x x =--，可证()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，进而证明()()0f m f x =()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<．试题解析：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则()22'ath t a t t-=-=， 当0a ≤时，()'0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增， 由于()10h =，所以当1t >时，()()10h t h >=，不合题意．当0a >时，()2'a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，()'0h t >；当2t a>时，()'0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 2h t h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln22ln a a =-+-．所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需()max 0h t ≤， 亦即22ln22ln 0a a -+-≤，令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则()22'1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>，即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增．又()20ϕ=，所以满足条件的a 只有2， 即2a =．第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页…………订…………○…………线…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…………线…………○…（2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4s x x x =--，则()22'1x s x x x-=-=， 由于2x >，所以()'0s x >，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >， 所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增． 所以()()0ming x g x = 000022ln 2x x x x +=- 2000022x x x x -==-．（∵002ln 4x x =-） 即0m x =，所以()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<．22．【答案】（1）4sin cos ρθθ=+．2220x y y +-=．（2．【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案；（2）由（1）2sin ON α=，4sin OM cos αα=+，所以2sin sin cos 2ONOM ααα+=1244πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可得到ON OM 的最大值．（2）由题意2sin ON α=，4sin OM cos αα=+，所以2sin sin cos 2ONOM ααα+= 1244πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于02πα<<，所以当38πα=时，ON OM取得最大值：14．23．【答案】（1）{|01}x x x ≤≥或．（2）()1,-+∞．【解析】试题分析：（1）由题意()21f x x ≥- 211x x ⇔-≥- 211x x ⇔-≥-或211x x -≤-，由此可解不等式；%网第23页 共24页 ◎ 第24页 共24页（2）由于关于x 的不等式()21f x a x x <-++的解集非空，函数()f x 的最小值为-1，由此解得a 的范围．【名师点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。

04练-冲刺2020年新高考数学全真模拟演练(原卷版)

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（四）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x ＞2}，则A∩B 等于（ ） A ．{x | 2＜x≤3} B ．{x | x≥1} C ．{x | 2≤x ＜3}D ．{x | x ＞2}2413i-等于（ ）A ．13i +B ．13i -+C ．13iD ．13i --3．设命题:,20x p x R ∀∈>，则⌝p 为（ ） A ．,20xx R ∀∈≤ B ．,20xx R ∀∈< C ．00,20x x R ∃∈≤ D ．00,20x x R ∃∈>4．设a v 、b r都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0a b a b+=v v v v v 成立的是（ ）A ．2a b =-r vB ．2a b =r vC ．//a br v D ．a b ⊥v v5．设函数()2,0()24,0xxx e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．2893597．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[]10-， C ．[]01，D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 10．对于函数()313f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A ．若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-； B ．若2ω=，则函数321y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象； C ．若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； D ．若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 11．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线BM 与平面11ADD A 平行B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为3πD ．1MB MD +的最小值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，171,28a S ==，记lg n n b a ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列{}n b 前1000项的和为____ 14．已知1cos 3α=-，且,0()απ∈-，则α=________（用反三角函数表示） 15．设()()()()()8210201210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ,则1210a a a +++=L ________.16．已知三棱锥A -BCD 内接于球O ，3AB AD AC BD ====，60BCD ∠=︒，则球O 的表面积为________.四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2020年高考冲刺压轴卷文(数学)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U＝{x∈N|x≤6}，集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2，3}，则U

ð(A∩B)＝

A.{2，3，4} B.{0，1} C.{2，3，4，5，6} D.{3，4，5，6} 2.已知i为虚数单位，则复数3ii＝ A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i 3.已知函数f(x－1)＝x2＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A.1 B.2 C.4 D.5

4.已知向量|a|＝1，|b|＝2，且b·(2a＋b)＝3，则向量a，b的夹角的余弦值为

A.24 B.－24 C.104 D.144

5.在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝a，在边BC上随机取一点D，则事件“AD>104a”发生的概率为 A.34 B.23 C.13 D.12 6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x等于

A.4 B.5 C.6 D.7 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.如果两个函数的图象可以经过一系列变换最终重合，那么称这两个函数为“同志函数”，有函数f(x)＝sin(2x＋6)，为了得到其“同志函数”g(x)＝sin2x的图象，则只需将函数f(x)的图象 A.沿x轴向右平移12个单位长度 B.沿x轴向左平移12个单位长度 C.沿x轴向左平移6个单位长度 D.沿x轴向右平移6个单位长度 9.已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2019)＋f(2024)＝ A.－5 B.5 C.0 D.4043

10.已知双曲线C：x2－23y ＝1的离心率为e.直线y＝1ex＋m与C交于A，B两点，若线段AB的中点为(－111，n)，则n＝

A.－311 B.－511 C.－411 D.－611 11.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为边长为2的正方形，点A1在底面ABCD内的射影为正方形ABCD的中心，B1C与底面ABCD所成的角为45°，则侧棱AA1的长度为

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档