高中数学第一章三角函数1.3.1三角函数的周期性学案苏教版必修4

1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx＋φ)的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．2．设f (x )＝sin x ，则sin(x ＋2k π)＝sin x 可以怎样表示？答 f (x ＋2k π)＝f (x )，这就是说：当自变量x 的值增加到x ＋2k π时，函数值重复出现． [预习导引] 1．函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.要点一 求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin 2x |(x ∈R )． 解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3， ∵x ∈R ，∴z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π， 就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π， 函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π.(2)作出y ＝|sin 2x |的图象．由图象可知，y ＝|sin 2x |的周期为π2.规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”时函数值重复出现，则可得T 是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T ＝2π|ω|来求解．②对于形如y ＝|A sin ωx |(或y ＝|A cos ωx |)的周期情况常结合图象法来解决． 跟踪演练1 求下列函数的最小正周期．(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin 12x ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 解 (1)定义法：令u ＝2x ，则cos 2x ＝cos u 是周期函数，且最小正周期为2π. ∴cos(u ＋2π)＝cos u ，则cos(2x ＋2π)＝cos 2x ， 即cos[2(x ＋π)]＝cos 2x . ∴cos 2x 的最小正周期为π. 公式法：∵ω＝2，∴T ＝2π|ω|＝π，故y ＝cos 2x 的最小正周期为π.(2)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin x 2，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(3)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.要点二 三角函数周期性的应用例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.规律方法 解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内．跟踪演练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值． 解 因f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的最小正周期是________．答案 π2．已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________. 答案 10解析 T ＝2πω＝π5⇒ω＝10.3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数， 3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )． ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案 －15解析 由已知f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数．∵f (5)＝f (1)＝－5，于是f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋＝1f＝－15.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础达标1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝____________________________________ ____________________________________. 答案 ±3 解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 016)＝________.答案 1解析 f (x )＝cos π6x 的周期T ＝2ππ6＝12.∴f (2 016)＝f (167×12＋12)＝f (12)＝cos 126π＝cos 2π＝1.4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 答案 π解析 T ＝2π2＝π.5．已知函数f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 答案 7 解析 由已知2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 3≤3，∴|k |≥2π，而k >0，∴k ≥2π，正整数k 的最小值是7.6．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________． 答案 6解析 由已知T ＝2π|ω|，∴1<2π|ω|<3，而ω>0，∴2π3<ω<2π.又ω∈N *，∴ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.7．若函数f (x )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102)的值．解 ∵sinn π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π6(n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，即函数f (x )的周期T ＝12. ∵97＝12×8＋1,102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. 二、能力提升8．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 －2解析 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在x ＝0有定义，∴f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∴f (2)＋f (3)＋f (4)＝0＋(－2)＋0＝－2. 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f x，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (7.5)＝________. 答案22解析 ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f (x )，f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝1f，又x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (－0.5)＝2－0.5＝22. 10．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1fx ，且f (1)＝12，则f (2 014)＝________. 答案 2解析 因为f (x ＋6)＝1fx ＋＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f＝2.11．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin xx <π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值．解 ∵f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3×3π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π. ∵0<34π<π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝sin π4＝22，即f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝22. 12．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域；(2)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}． (2)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与创新13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f x(f (x )≠0)．(1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝－1f x ＋＝－1－1f x＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－1f －1＋＝－1f＝15.。