2018-2019学年最新高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第4课时 1.1任意角的三角函数(2)
高中数学 第1章 三角函数 1.1.1 任意角教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
课外作业
教 学 小 结
,
即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和.
注意: （1） ；（2） 是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍.
【数学运用】
例1、在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
3、象限角是如何定义的？
【建构数学】
1、角的定义
2、角的分类
3、象限角的定义
回忆：初中学过哪些角？
合作探究：
-3000，1500，-600,600,2100,3000,4200角分别是第几象限角？
其中哪些角的终边相同？
教学过程设计
教
学
二次备课
4、终边相同的角的表示：
所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合
教材、教参
授课方法
自学、讨论、归纳、巩固训练
教学辅助手段
多 媒 体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
【创设情境】
通过创设情境：“转体 ，逆（顺）时针旋转”，角有大于 角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；
【自主学习】
阅读课本，回答下列问题：
1、角是如何定义的？
2、角是如何分类的，其标准是什么？
(1)6500（2）-1500（3）
例2、已知 与2400角的终边相同，判断 是第几象限角？
变式： 呢？
例3、讨论四个象限角的范围：
小结：
能否写出与600终边相同的角的集合？
练习.写出终边半轴上、负半轴上的角的集合. 写出终边在x轴上的角的集合.
高中数学 第1章 三角函数章末复习课讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
第1章 三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________． 思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．(1)25或－25 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z[(1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. (2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． [解] (1)依题意，点P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限． 当点P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当点P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34， tan α＝73. (2)设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10.∴10s in α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解] 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2. (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由sin θ＋cos θ＝3＋12，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.三角函数的图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1ω>0，A >0,0<φ<π2的周期为π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，且f (x )的最大值为3.(1)写出f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T ＝2πω求ω，由f (x )的最大值为3求A ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求φ. (2)把ωx ＋φ看作一个整体，结合y ＝sin x 的单调区间与对称性求解．(3)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求出ωx ＋φ的X 围，利用单调性求最值．[解] (1)∵T ＝π，∴ω＝2πT＝2.∵f (x )的最大值为3，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝3＋1，∴cos φ＝32. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令2x ＋π6＝k π，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，1(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π. (2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.3．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋fx ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2. 故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 数形结合思想【例4】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．思路点拨：识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 [解] 显然A ＝2.由图象过(0,1)点，则f (0)＝1，即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个， ∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数X 围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解] 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质-
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第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)．上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin x2，y＝sinx3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解． [精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3. (3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |. [一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________．①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sinπ6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z)，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R.想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z)，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈(k ∈Z)．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立． 所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z)．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z} 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z.借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3； (2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R)和y ＝cos x (x ∈R)的单调区间． [精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z. ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z)．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z. ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z. 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos15π8与cos 14π9； (3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9， ∴cos15π8>cos 14π9. (3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小． 解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小． 解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ； (2)y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最小值－9， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2， 在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]． 8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2. 答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6； (2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6， ∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z.问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大． 问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z}，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1. [思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集．[精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z}．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z)相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z)．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z)[例2] 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间． [思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z)， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z)， 得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z)． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z)．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z)．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z)．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2， 且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b 7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5.又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数， 且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z)上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1.解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0. 又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z)，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z)，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z)，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z)．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3， ∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立， 即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。
苏教版高中数学必修4教学案：第一章三角函数第4课时 任意角的三角函数(2)
第4课时 任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。
2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。
3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。
4．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。
根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；tan y xα==__________。
【典型例题】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：()31π()π652()π323-()64π-例2．利用三角函数线比较大小 () 30sin 1______ 150sin : () 25sin 2______ 150sin : ()π32cos 3______π54cos ; ()π32tan 4______π32tan例3．解下列三角方程()23sin 1=x ()21cos 2=x ()1tan 3=x变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()21cos 2≤x ()1tan 3>x变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.【巩固练习】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 ()π6111-()π3222．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；3．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）cos θ<； （2）tan 1θ>- ； （3）sin θ>5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =6．若cos θ<，sin θ>，写出角θ的取值范围。
「精品」高中数学第一章三角函数本章复习教案苏教版必修4
第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sin α＋cos α的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2；②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25；③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2；④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25.点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求： (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710.点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0.∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( )A ．3≤m≤9B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8 答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22，将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)，得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1.所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上， 有⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.例4已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )，∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z .(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提. 变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标； (2)若|BC|＝2，求tan α的值． 解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2， ∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角，故cos α＝35，tan α＝43.2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12)答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B CC ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( ) A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y ，正割函数sec α＝r x，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。
高中数学必修4第一章三角函数完整教案
高中数学必修4第一章三角函数完整教案4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第4课时 1
第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2）【教学目标】一、知识与技能1、掌握任意角的三角函数的定义，理解角与=2的同名三角函数值相等。
2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。
二、过程与方法三、情感态度价值观教学重点难点：三角函数线的作法与表示【教学过程】一、复习回顾（1）六个三角函数定义，定义域（2）六个三角函数值在各象限内的符号二、新课当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：既有大小又有方向的线段（矢量）坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角 α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。
【教育专用】高中数学第一章三角函数本章复习教案苏教版必修4
第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2； ②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25； ③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2； ④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值． 活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值． 解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0. ∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43. 点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( ) A ．3≤m≤9 B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16. 于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22， 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)， 即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.log(sinx－cosx)．例4已知函数f(x)＝12(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z . (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tan α的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角， 故cos α＝35，tan α＝43. 2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点(π3，0)对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1) C ．y ＝f(12x －1) D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B C C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( )A ．y ＝3sin(2x ＋7π12)B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y，正割函数sec α＝r x ，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。
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第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2）
【教学目标】
一、知识与技能
1、掌握任意角的三角函数的定义，理解 角与 =2k + (k Z)的同名三角函数值相等。
2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。
二、过程与方法
三、情感态度价值观
教学重点难点：三角函数线的作法与表示
【教学过程】
一、复习回顾
（1）六个三角函数定义，定义域
（2）六个三角函数值在各象限内的符号
二、新课
当角的终边上一点(,)P x y
1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值
的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：既有大小又有方向的线段（矢量）
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角 α的终边或其反向延长线交与点T .。