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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲平移、对称、旋转(含答案)

第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。

同底数幂的乘法专项提升训练-【拔尖特训】七年级数学下册尖子生培优必刷题(解析版)【苏科版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题8.1同底数幂的乘法专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•思明区校级期中）计算m3•m2的结果，正确的是（）A．m2B．m3C．m5D．m6【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：m3•m2＝m3+2＝m5．故选：C．2．（2022•志丹县模拟）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．﹣a6B．a6C．a8D．﹣a8【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣a）2•a4＝a6．故选：B．3．（2021秋•松山区期末）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2＝（﹣x）5＝﹣x5．故选：D．4．（2022秋•静安区校级期中）已知m为奇数，n为偶数，则下列各式的计算中正确的是（）A．（﹣3）2•（﹣3）m＝3m+2B．（﹣2）3•（﹣2）m＝﹣2m+3C．（﹣4）4•（﹣4）n＝﹣4n+4D．（﹣5）5•（﹣5）n＝（﹣5）n+5【分析】应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A．因为（﹣3）2•（﹣3）m＝（﹣3）2+m，m为奇数，m+2为奇数，（﹣3）2+m＝﹣3m+2，所以所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意；B．因为（﹣2）3•（﹣2）m＝（﹣2）3+m，m为奇数，m+3为偶数，（﹣2）3+m＝23+m，所以B选项计算不正确，故B选项不符合题意；C．因为（﹣4）4•（﹣4）n＝（﹣4）n+4，n为偶数，n+4为偶数，（﹣4）n+4＝4n+4，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；D．因为（﹣5）5•（﹣5）n＝（﹣5）n+5，所以D选项计算正确，故D选项符合题意．故选：D．5．（2022春•江阴市期中）已知a m＝6，a n＝2，则a m+n的值等于（）A．8 B．3 C．64 D．12【分析】根据a m+n＝a m•a n即可求解．【解答】解：∵a m+n＝a m•a n，且a m＝6，a n＝2，∴a m+n＝6×2＝12．故选：D．6．（2022春•无锡期中）计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（）A．﹣（b﹣a）10B．（b﹣a）30C．（b﹣a）10D．﹣（b﹣a）30【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则可求解．【解答】解：（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5＝（b﹣a）2[﹣（b﹣a）]3（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）5（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）10．故选：A．7．（2022•潮安区模拟）若3x＝2，3y＝10，3n＝20，则下列等式成立的是（）A．n＝5x+y B．n＝xy C．n＝x+y D．n＝x﹣y【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行分析即可．【解答】解：∵3x＝2，3y＝10，3n＝20，∴3x×3y＝2×10，则3x+y＝20，∴3x+y＝3n，∴n＝x+y．故选：C．8．（2022•南京模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022C．k n+1010D．2022k【分析】根据h （m +n ）＝h （m ）•h （n ），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【解答】解：∵h （2）＝k （k ≠0），h （m +n ）＝h （m ）•h （n ），∴h （2n ）•h （2020）＝h (2+2+...+2)︸n 个•h (2+2+...+2)︸1010个=ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸n 个•ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸1010个＝k n •k 1010＝k n +1010，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2021秋•奉贤区期末）计算：22×24＝ 26 （结果用幂的形式表示）．【分析】根据同底数幂的乘法法则即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4＝26．故答案为：26．10．（2022秋•嘉定区校级期中）用幂的形式表示结果：﹣25×（﹣2）4＝ ﹣29 ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣25×24＝﹣29．故答案为：﹣29．11．（2022秋•嘉定区期中）计算：（a +1）3（﹣a ﹣1）2＝（a +1）5 ．（结果用幂的形式表示）【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（a +1）3（﹣a ﹣1）2＝（a +1）3（a +1）2＝（a +1）3+2＝（a +1）5．故答案为：（a +1）5．12．（2022秋•阳信县期中）若27＝24•2x ，则x ＝ 3 ．【分析】根据同底数幂的乘法即可得出答案．【解答】解：根据题意得27＝24•2x ，∴4+x ＝7，∴x＝3．故答案为：3．13．（2022秋•朝阳区期中）若a+b+c＝1，则（﹣2）a﹣1×（﹣2）2b+2×（﹣2）a+2c的值为﹣8．【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：当a+b+c＝1时，（﹣2）a﹣1×（﹣2）2b+2×（﹣2）a+2c＝（﹣2）a﹣1+2b+2+a+2c＝（﹣2）2a+2b+2c+1＝（﹣2）2（a+b+c）+1＝（﹣2）2×1+1＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．14．（2022春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝2x+1．【分析】逆用同底数幂的乘法公式，把x＝2m+1变形为2m＝x﹣1，而2m+1＝2•2m，所以2m+1＝2（x﹣1），从而把y用含x的代数式表示出来．【解答】解：∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1．∵2m+1＝2•2m，∴2m+1＝2（x﹣1）．∴y＝3+2m+1＝3+2（x﹣1）＝2x+1．故答案为：2x+1．15．（2022秋•铁西区校级月考）已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值7．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），∴a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．16．（2018春•海港区期中）（1）运用同底数幂的乘法可以得到a•a•a2•a2＝a6，再写出两个不同的算式（a2•a•a3与a•a2•a3算同一个算式），只运用同底数幂的乘法计算，可以得到a6（指数为正整数）：a•a5＝a6，a2•a4＝a6．（2）按照（1）的要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到a6的不同算式共有10个．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．依此即可求解．【解答】解：（1）a•a5＝a6，a2•a4＝a6，（2）a•a•a•a•a•a＝a6，a•a•a•a•a2＝a6，a•a•a•a3＝a6，a•a•a4＝a6，a•a5＝a6，a•a•a2•a2＝a6，a•a2•a3＝a6，a2•a2•a2＝a6，a2•a4＝a6，a3•a3＝a6，故运算结果可以得到a6的不同算式共有10个．故答案为：a•a5；a2•a4；10．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算（1）a2•a4（2）22×23×2（3）4×27×8（4）（﹣a）2•（﹣a）3（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n计算即可．【解答】解：（1）a2•a4＝a2+4＝a6．（2）22×23×2＝22+3+1＝26．（3）4×27×8＝22×27×23＝22+7+3＝212．（4）（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）2+3＝（﹣a）5．（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3＝（x﹣2y）2+3＝（x﹣2y）5．（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3＝﹣（x﹣2y）2+3＝﹣（x﹣2y）5．18．计算：（1）108×102；（2）（﹣x）2•（﹣x）3；（3）a n+2•a n+1•a n•a；（4）（y﹣1）2•（y﹣1）；（5）（b+2）3•（b+2）5•（b+2）．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m+n（m，n是正整数），进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝108+2＝1010；（2）原式＝x2•（﹣x3）＝﹣x2+3＝﹣x5；（3）原式＝a n+2+n+1+n+1＝a3n+4；（4）原式＝（y﹣1）2+1＝（y﹣1）3；（5）原式＝（b+2）3+5+1＝（b+2）9．19．（2019春•邗江区校级月考）计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝b2×b2×b3＝b7；（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5＝﹣（y﹣2）3（y﹣2）7＝﹣（y﹣2）10．20．已知a m＝2，a n＝3，求下列各式的值：（1）a m+1（2）a n+2（3）a m+n+1．【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加；对所求代数式进行变形为同底数幂相乘的形式，再根据已知代入计算即可．。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十六讲比例线段(含答案)

解 ①
②
由①、②得：
∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)，
∴ .
∵p+q+r=9，∴ ，故选A．
二、构造比例线段解题
例2（江苏省初中竟赛题）如图，过△ABC顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线AD所成的比AE:EF:FD=4：3：1，则这两直线分AC所成的比AG:GH:HC为（）
5.（2000年湖北省初中竞赛题）如图16-21，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和的延长线于点和 .求证： .
6.（1998年山东省初中竞赛题）如图16-22，在四边形中，与相交于，直线平行于且与及的延长线分别交于点和，求证： .
∴△BAD∽△CAB.∴
∴CD=BD=AB∴
∴AB2=AC2-AB·AC即
∴ 或（舍去）
∴命题成立．
点评顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比等于黄金分割比，顶角为108°的等腰三角形的腰与底之比等于黄金分剖比，因此，常把这两种三角形称之为黄金三角形．
例6如图，在△ABC中，已知∠A：∠CBA：∠BCA=1：2：4，求证：．
例5求证：顶角为36°等腰三角形的底与腰之比等于黄金数．
已知如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°．
求证：．
解析若将三角形分成两个相似三角形，可找到AB、AC间的关系式．
证明作∠CBA的平分线DB交AC于D．
∵∠C=36°，AC=BC，∴∠CBA=72°
∴∠DBA=∠DBC=∠C.∵∠A=∠A，
解析延长AB至D，使BD=BC，连接CD，在AB上取一点E，使ED=CD，设∠A=a，则∠CBA=2a，

图形的平移专项提升训练(重难点培优)-【拔尖特训】七年级数学下册尖子生培优必刷题(解析版)【苏科版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.3图形的平移专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•启东市期中）下列生活现象中，属于平移的是（）A．升降电梯的上下移动B．荡秋千运动C．把打开的课本合上D．钟摆的摆动【分析】根据平移的性质，即可解答．【解答】解：A、升降电梯的运动，属于平移现象，故A符合题意；B、荡秋千运动，不属于平移现象，故B不符合题意；C、把打开的课本合上，不属于平移现象，故B不符合题意；D、钟摆的摆动，不属于平移现象，故D不符合题意；故选：A．2．（2022春•仓山区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为2，CE＝4，则BF＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．【解答】解：∵将△ABC沿CB方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，∴BE＝CF＝2，∵CE＝4，∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+4＝8，故选：C．3．（2022春•增城区期中）下列A、B、C、D四幅图案中，不能通过平移图案得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．【解答】解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．故选：B．4．（2022春•碑林区校级月考）如图，Rt△ABC沿直角边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的（）A．∠DEF＝90°B．.AD＝BD C．.AD＝BE D．.S1＝S2【分析】根据平移的性质逐一判断即可．【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH，故选：B．5．（2021秋•雁峰区期末）如图，将△ABC沿BC方向向右平移到△A′B′C′的位置，连接AA′．已知△ABC的周长为22cm，四边形ABC′A′的周长为34cm．则这次平移的平移距离为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】由题意可得平移的距离为：AA'＝CC'，由平移的性质得AC＝A'C'，再利用已知的周长即可求解．【解答】解：由题意得：平移的距离为AA’或CC'的长度，且AA'＝CC'，∵将△ABC沿BC方向向右平移到△A'B'C'的位置，∴AC＝A'C'，∵△ABC的周长为22cm，四边形ABC'A'的周长为34cm，∴AB+BC+AC＝22cm，AB+BC+CC′+A′C′+AA′＝34cm，∴AB+BC+CC′+AC+AA′＝34cm，则2AA′＝12cm，解得：AA'＝6cm，故选：A．6．（2022秋•南溪区期中）小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长（）A．亮亮的长B．小芳的长C．一样长D．不确定【分析】利用平移的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由平移得：小芳制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），小亮制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），所以，他们所用的周长一样长，故选：C．7．（2021秋•黔东南州期末）一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质以及直角三角形的边长关系逐项进行判断即可．【解答】解：A．通过平移可将选项A中的图形周长转化为长为12米，宽为8米的长方形的周长，因此选项A不符合题意；B．如图过点A作AC⊥BC于C，则AC＝8米，AB＞AC，所以这个平行四边形的周长要大于40米，因此选项B符合题意；C．这个长方形的周长为（12+8）×2＝40米，因此选项C不符合题意；D．通过平移可将选项D中的图形周长转化为长为12米，宽为8米的长方形的周长，因此选项D不符合题意；故选：B．8．（2022秋•东莞市期中）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第15个图案中，小菱形的个数是（）A．238 B．450 C．470 D．550【分析】认真审题，根据第（1）（2）（3）个图形所含有的小菱形的个数可以得到规律，即第（n）个图形含有小菱形2n2个，再将n＝8代入，即可得解．【解答】解：第（1）个图形小菱形的个数是：2＝2×1＝2×12；第（2）个图形小菱形的个数是：8＝2×4＝2×22；第（3）个图形小菱形的个数是：18＝2×9＝2×32；…第n个图形小菱形的个数是2n2，∴第15个图形含有小菱形的个数为：2×152＝450（个），故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2021秋•奉贤区期末）已知线段AB的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点A平移到A'，点B平移到B'，得到线段A'B'，那么线段BB'＝2厘米．【分析】根据对应点的连线的长等于平移的距离直接写出答案即可．【解答】解：∵线段AB的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点A平移到A'，点B平移到B'，得到线段A'B'，∴BB'＝AA′＝平移的距离＝2厘米，故答案为：2．10．（2022秋•五峰县期中）如图，已知在△ABC中，BC＝5，将△ABC向右平移2个单位得到△DEF，则线段EC＝3．【分析】根据平移的性质得EF＝BC＝5，BE＝CF＝2，从而可得线段EC的长．【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，∴EF＝BC＝5，BE＝CF＝2，∴EC＝EF﹣CF＝5﹣2＝3．故答案为：3．11．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ 1.2cm．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，∴CC'＝BB′＝1.2cm，故答案为：1.2．12．（2022春•云阳县校级月考）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪．则草坪的面积为242平方米．【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为（24﹣2）米，宽为（13﹣2）米的矩形，再根据矩形的面积计算即可．【解答】解：草坪的面积为：（24﹣2）×（13﹣2）＝242（平方米）．故答案为：242平方米．13．（2022春•曲阳县期中）如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的是①②③．（填序号）①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为．【分析】根据平移的性质、梯形的面积公式计算，判断即可．【解答】解：由平移的性质可知，AC∥DF，DE＝AB＝8，EF＝BC，∴HE＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，∴①②③结论正确，S阴影部分＝（5+8）×5＝，∴④结论错误，故答案为：①②③．14．（2022春•东莞市校级期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯8米．【分析】根据平移可得地毯的长为2.7+5.3即可．【解答】解：由平移的性质可知，所需要的地毯的长度为2.7+5.3＝8（m），故答案为：8．15．（2022•南京模拟）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为300m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为150m．【分析】根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和．【解答】解：由平移的性质得，小桥总长＝长方形周长的一半，∵300÷2＝150（m），∴小桥总长为150m．故答案为：150．16．（2022春•孝义市期末）如图是一块长方形的场地ABCD，AB＝18m，AD＝11m，从A，B两处入口的小路的宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为160平方米．。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲恒等式的证明(含答案)

第九讲恒等式的证明趣题引路】请证明下列恒等式：()()()()xx x x xx nn--=++++1111114242考虑()()2111x x x -=+-，()()422111x x x -=+-，…，于是左边乘以11xx--：左边=()()()()()()xx x x x x x x x x n n n n --=-+-=+++--1111111111142222 这里的技巧在于添乘（1－x ）后，能反复运用平方差公式在恒等式的证明中类似的技巧很多，下面逐一介绍.知识拓展】1.如果两个代数式A 和B ，对于它们的变数字母在允许取值范围内的任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式是恒等的，一般记作A =B ，有时也记作A =B ，这样的等式就称为恒等式，而把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式就叫做代数式的恒等变形。

2.恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。

通常的证明方法有：（1）将左边转化到右边，或将右边转化为左边，一般是从复杂的一边向简单的一边转化；（2）将两边都变形，化成同一个代数式；（3）证明左边－右边=0或左边右边=1，此时右边≠0.（4）换元法：对于结构较复杂但又有许多典型结构的恒等式可用此法。

3.对于有条件限制的恒等式的证明：常要变换条件并灵活运用条件，方能使等式得到证明.一、无条件恒等式的证明 1.左右法例1 求证：()()()0.()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++=++++++ 解析直接通分难度太大，考虑一、二项作一组通分，后两项作一组通分。

证明左边=()()()()[]()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++ =2()2()()()()()()()b a c b a c c a a b b c a b b c c a -+-++++++ =2()2()0()()()()b ac b a c a b b c a b b c ---=++++.点评：后两项通分后分子分母出现公因式，从而化难为易.恒等式的证明往往从结构较复杂的一边开始.2.作差法例2 证明：2221113.x y z ax a ay a az a x a y a z a a++=+++------ 解析因左边三个分式的分母都是右边分式分母的a 倍，考虑作差通分化简求证。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十九讲几何不等式(含答案)

第十九讲几何不等式趣提引路】已知：如图19－1，三个居民区分别记作A 、B 、C ，邮电局记作O ，它是△ABC 的三条角平分线的交点，0、A 、B 、C 每两地之间有直线道路相连，一邮递员从邮电局出发，走遍各居民区再回到O 点，若AC ＞BC ＞AB .问：哪条路线走的距离最短？并说明理由.图19-1OCA解析若不考虑顺序，所走路线有三条：OABCO （或OCBA 0）、OBACO （或OCAB 0），OBCAO （或OACBO ），其中OABCO 最短.在AC 上截取AB ´＝AB ，连结OB ´，设三条路线0ABCO ，OBACO ，0BCAO 的距离分别为1d 、2d 、3d ，易证△AOB ≌△A 0´B ，∴B 0＝B 0´ 3d －1d ＝（0B ＋BC ＋CA ＋A 0）－（OA ＋AB ＋BC ＋CO ）＝0B ＋（AC －AB ）－CO ＝0B ´＋（AC －AB ´）－CO ＝0B ´＋B ´C －CO ＞0，∴3d ＞1d ，同理2d >1d .∴路线OABCO 最短.知识拓展】1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较.这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中.2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：（1）三角形任何两边之和大于第三边（2）三角形任何两边之差小于第三边（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. （4）同一三角形中大边对大角. （5）同一三角形中大角对大边例1 如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE ＝CF .求证：EF ≥12（AD ＋BC ）.图19-2GD 1C 1C BFEDA证明如图所示，延长AD 至1D ，使D 1D ＝BC ，延长BC 至1C ，使C 1C ，＝AD ，连结1C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形，ABCD 和CD 1D 1C 是两个全等的梯形，在1D 1C 上取一点G 使1D G ＝AE ，连结FG 和EG .由AE ＝CF ，则EF ＝FG ，又EG ＝A 1D ＝AD ＋BC ，∴2EF ＝EF ＋FG ≥EG ＝AD ＋BC . 即EF ＝12（AD ＋BC ）.点评当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立.证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等关系.例2 如图19-3，△ABC 中，AB ＞AC ，BE 、CF 是中线，求证：BE ＞CF .解析 BE 、CF 不在同一个三角形中，无法比较它们的大小，将BE 平移到FG ，在△GCF 中比较FC 与FG 的大小即可.证明将BE 、CE 分别平移到FG 、FD ，则四边形EFDC 为□，作FH ⊥BC 于H . ∵AB ＞AC ，且F 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴FB ＞CE . ∴FB ＞FD ，由勾股定理得：HB ＞HD ，即FB ＞FD .又∵GH ＝GB ＋BH ＝EF ＋BH ＝DC ＋BH ＞CD ＋DH ＝CH ，即GH ＞CH ，∴GF ＞CF .即BE ＞CF .图19-3H G FED CB A图19-4D´DCBA图19-5ca cb a FCBA例3 如图19-4，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为形内一点，∠ADC ＞∠ADB ，求证：DB ＞DC .解析由于∠ADC 、∠ADB 与BD 、DC 不在同一三角形之中，所以考虑将某一图形绕着某点旋转一定角度，使图中的对应元素不变，使它们能集中在同一个三角形之中.证明把△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD ´，连接DD ´，则AD ＝AD ´. ∴∠ADD ´＝∠AD ´D ，而∠ADC ＞∠ADB ， ∴∠ADC ＞∠AD ´C .∴∠ADD ´＋∠D ´DC ＞∠AD ´D ＋∠CD ´D . ∴∠D ´DC ＞∠DD ´C .∴CD ´＞DC ，即DB ＞DC .点评几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变. 例4 如图19-5，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＜a ＋c ，求证：2∠B ＜∠A＋∠C .证明延长BA 到D ，使AD ＝BC ＝a ，延长BC 到E ，使CE ＝AB ＝c ，连结DE ，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD ＝BE ＝a ＋c . ∴∠BDE ＝∠BED .作DF ∥AC ，CF ∥AD ，相交于F ，连结EF ，则ADFC 是平行四边形. ∴CF ＝AD ＝BC . 又∠FCE ＝∠CBA ，∴△FCE ≌△CBA （SAS ）. ∴EF ＝AC ＝b .于是DE ≤DF ＋EF ＝2b ＜a ＋c ＝BD ＝BE .这样，在△BDE 中，便有∠B ＜∠BDE ＝∠BED .∴2∠B ＜∠BDE ＋∠BED ＝180°－∠B ＝∠A ＋∠C ，即2∠B ＜∠A ＋∠C .例5 过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19.图19-6GF E D C 2C 1B 2B 1CBA 2A 1A证明如图19-6，设△ABC 重心为G ，过点G 分别作各边的平行线与各边交点依次为1A 、1B 、2B 、1C 、2C 、2A .连结1A 2A 、1B 2B 、1C 2C ，∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍， ∴1A A ＝1A 1B ＝1B B ， B 2B ＝2B 1C ＝1C C ， C 2C ＝2C 2A ＝2A A .∵BC A A //21，AC B B //21，AB C C //21 ∴图中的9个小三角形全等.即△A 1A 2A ≌△1A 1B G ≌△2B G 1B ≌…≌△2C 1C C .所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线恰好与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A ，重合，则△ABC 被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线不与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A 重合，不失一般性，设此直线交AC 于F ，交AB 于E ，交1C 2C 于D ，∵G 1B ＝G 2C ，∠E 1B G ＝∠D 2C C ， ∠1B GE ＝∠2C GD ， ∴△1B GE ≌△2C GD .∴EF 分△ABC 成两部分的面积之差等于21C DF DFCC S S △四边形－，而这个差的绝对值不会超过12C C C S △的面积.从而EF 分△ABC 成两部分的面积之差不大于△ABC 面积的19.综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的19.好题妙解】佳题新题品味例1 如图19-7.图19-7A ´PDCBA l421解析本题周旋于根式，那就不易求出最小值，但从式子的特征联想到勾股定理，由数想形，构成直角三角形可使问题迅速解决.解构造如图19-7所示的Rt △P AC 、Rt △PBD ，使AC ＝1，BD ＝2，PC ＝x ，CD ＝4，且PC 、PD 在直线l 上，则所求最小值转化为“在直线l 上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小”. 取点A 关于l 的对称点A ´，显然有P A ＋PB ＝P A ´＋PB ≥A ´B＝5.5.例2 如图19-8，已知AD 是△ABC 的角平分线，且AB ＞AC ，求证：BD ＞DC .解析由于AB ＞AC ，所以可在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC ，于是DE ＝DC ，这样把DC 、BD 放入△BDE 中进行比较即可. 证明：∵AD 为角平分线，∴作△ADC 关于AD 为对称轴的△ADE . ∴DC ＝DE ，∠ADE ＝∠ADC .∴∠BED ＞∠ADE ＝∠ADC ＞∠ABD ， ∴∠BED ＞∠EBD .∴BD ＞ED 即BD ＞CD .图19-8E D CBA图19-9DCBA图19-10C B A图19-11E D CB A中考真题欣赏例1 （陕西中考题）如图19-9，已知AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜12（AB ＋AC ）.解析考虑如何将AB 、AC 、AD 转移到同一个三角形中去，采取中线加倍法.证明延长AD 至E ，使得DE ＝AD ，连结CE ，则△ABD ≌△ECD ，∴EC ＝AB ，在△ACE 中，AE ＜AC ＋EC .即2AD ＜AB ＋AC ，AD ＜12（AB ＋AC ）.例2 （连云港市中考题）在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，则边AB 的取值范围是（） A .1＜AB ＜9 B .3＜AB ＜13 C .5＜AB ＜13 D .9＜AB ＜13解析参见图19-9，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连结CE ，由三角形三边的关系可知3＜CE ＜13，又CE ＝AB ，故3＜AB ＜13，选B .竞赛样题展示例1 （1996年“希望杯”初二竞赛题）如图19-10，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的大小关系是（）A .AC ＞2AB B .AC ＝2AB C .AC ≤2ABD .AC ＜2AB解析关键在于构造等腰三角形，延长CB 至D ，使得BD ＝AB ，则∠D ＝∠DAB ＝∠C ，AD ＝AC ，在△ABD 中，AB ＋BD ＝2AB ＞AD ，即2AB ＞AC .选D .例2 （2000年“希望杯”初二竞赛题）如图19-11，△ABC 中；AB ＞AC 、AD 、AE 分别是BC 边上的中线和∠A 的平分线，比较AD 和AE 的大小关系.解析延长AD 至F ，使DF ＝AD ，连结BF .则△ADC ≌△FDB ，∴AC ＝FB ，∠DAC ＝∠F .∵AB ＞AC ，∴AB ＞FB ，∴∠F ＞∠BAF ，∴∠DAC ＞∠BAF ，∴点D 在点E 的左边，∴∠BAF ＜∠EAC .∵∠ADE ＝∠BAF ＋∠ABC ，∠AED ＝∠C ＋∠EAC ，∠ABC ＜∠C ，∴∠ADE ＜∠AED ，故AD ＞AE .例3 如图19-12，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 上，求证：PQR ABCS S △△＞29. 解析易想到作△ABC 和△PQR 的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比. 证明如图19-12作CL ⊥AB 于L ，RH ⊥PQ 于H ，则PQR ABCS S △△＝PQ RH AB CL ••＝PQ ARAB AC••.不妨设△ABC 的周长为1，则PQ ＝13，AB ＜12，∴PQ AB＞23， ∵AP ≤AP ＋BQ ＝AB －PQ ＜12－13＝16，又AR ＝13－AP ＞13－16＝16.又AC ＜12，从而AR AC ＞13，∴PQR ABCS S △△＞23×13＝29. 图19-12RQC BA图19-13B ´P BA图19-14HFE D CBA例4 （2000年江苏省初三竞赛题）如图19-13，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°. 证明：P A ＋PD ＋PC ≥BD .解析在四边形ABCD 外侧作等边三角形AB ´D ，由∠APD ＝120°可证明B ´P ＝AP ＋PD .易知B ´C ≥PB ´＋PC ，得B ´C ≤AP ＋PD ＋PC .下证BD ＝B ´C . ∵△AB ´D 是等边三角形，∴AB ´＝AD ，∠B ´AD ＝60°，又易知△ABC 是等边三角形，故AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，于是△AB ´C ≌△ADB ，∴B ´C ＝DB .例5 设a h 、b h 、c h 是锐角△ABC 三边上的高，求证：12＜a b c h h h a b c ＋＋＋＋＜1.解析如图19-14，在Rt △ADC 中，由于AC ＞AD ，故b ＞a h ，同理可证c ＞b h ，a ＞c h ，∴a h ＋b h ＋c h ＜a ＋b ＋c ，即a b ch h h a b c＋＋＋＋＜1. ①设△ABC 的垂心为H 点，由于 HA ＋HB ＞AB ， HB ＋HC ＞BC ， HC ＋HA ＞AC ，则HA ＋HB ＋HC ＞12（a ＋b ＋c ）.从而1()2a b c h h h HA HB HC a b c ++>++>++, 即12a b c h h h a b c ++>++ ②由①、②得112a b ch h h a b c++<<++例6如图19-15，在△ABC 中，AB=AC ，过点A 作EF//BC ，D 为EF 上异于A 点的任一点，求证，AB+AC<BD+DC.解析将△ACD 以直线EF 为对称轴对折到△AC ′D 中，∠C'AD=∠DAC=∠ACB=∠ABC.∴∠C'AD+∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴B 、A 、C'三点共线..BC ′<C'D+DB ，又AC'=AC ，CD=DC'，∴AC'+AB<BD+DC.即AB+AC<BD+DC.过关检测】A 级1.在△ABC 中，AD 为中线，AB=7，AC=5，则AD 的取值范围为________.2.（1994年安徽省数学竞赛题）已知在△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，且2∠B=5∠A ，则∠B 的取值范围是________.3.（1997年太原市初中数学竞赛试题）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数________.4.（1998年全国高中理科试验班招生数学试题）面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c ，且满足a ≤b ≤c ，则a+b 的最小值是________.5.（2000年江苏数学竞赛培训题）在任意△ABC 中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为________.图19-15B 级1.如图19-16，△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 上任一点，BE 、CF 交于P ，求证：PE+PF<AE+AF.2.如图19-17，等线段AB 、CD 交于O ，且∠A0C=60°，求证：AC+BD ≥AB.3.如图19-18，矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，求证：EF<AC.4.已知a 、b 、x 、y 均小于0，221x y +=a b ≥+.5.如图19-19，在△ABC 中，∠B=2∠C ，求证：AC<2AB.图19-16图19-18E6.平面上有n 个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n 的最大值7.如图19-20，已知△ABC 中AB>AC ，P 是角平分线AD 上任一点，求证：AB-AC>PB-PC.图19-19BC图19-20B()。

七年级数学尖子生培优训练

七年级数学尖子生培优训练
第一讲绝对值
典型例题：
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式
| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）

A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（）
A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原
点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

例4．（整体思想）方程xx20082008的解的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

1111
112220072007abababab

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，4与
3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 ________________.

（3）结合数轴求得23xx的最小值为，取得最小值时x的取值范围为 ___.

（4）满足341xx的x的取值范围为 ______ .

例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,aba的形式式，

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲代数式的化简与求值(含答案)

第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，则代数式()()1213a b c d e f g h a b c d e f g h ++++++++++-+++ =_____________．图10-1hgf edcba解答如下：∵a =3d b e ++ ， b =3a c f ++，c =3b d g ++，d =3ac h++． ∴a +b +e =()()23a b c d e f g h +++++++ ．设a +b +c +d =m ，e +f +g +h =n . ∴a +b +c +d =23m n+ ∴m =23m n+， ∴m =n ．即a +b +c +d =e +f +g +h ． ()()1213a b c d e f g h a b c d e f g h ++++++++++-+++=1213m n m n --=2323m n m n -⨯-=233234m m m m -⨯=-，应填34．知识拓展】1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；（2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简；（3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．例1 已知x＝4-4322621823815x x x x x x --++-+的值．解析：由已知得(x －4)2＝3，即x 2－8x ＋13＝0．所以4322621823815x x x x x x --++-+＝22222(813)2(813)(813)10(813)2x x x x x x x x x x -++-++-++-++＝102＝5．点评：本题使用了整体代换的作法．例2 已知x ＋y ＋z ＝3a （a ≠0），求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值．解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法．解：由x ＋y ＋z ＝3a ，得(x －a )(y －a )(z －a )＝0．设x －a ＝m ，y －a ＝n ，z －a ＝p ，则m ＋n ＋p ＝0． ∴p ＝－(m ＋n )．∴原式＝222mn np mp m n p ++++＝222()mn p m n m n p ++++＝2222()()mn m n m n m n -++++＝22222()m mn n m mn n ---++＝12-．点评：实际上，本例有巧妙的解法，将m ＋n ＋p ＝0两边平方，得m 2＋n 2＋p 2＝－2(mn ＋np ＋mp )，∴222mn np mp m n p ++++＝12-．例3 已知a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a -++，求()()()a b b c c a abc+++的值．解析：对于分式等式，如出现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为k ．解：设a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a-++＝k （k ≠0）． ∴a b c ck a b c bk a b c ak ⎧+-⎪-+⎨⎪-++⎩＝，①＝，②＝．③ ①＋②＋③，得：k (a ＋b ＋c )＝a ＋b ＋c ．当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝1，此时a ＋b ＝2c ，a ＋c ＝2b ，b ＋c ＝2a ． ∴()()()a b b c c a abc +++＝222a b cabc⋅⋅＝8．当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，a ＋c ＝－b ，b ＋c ＝－a ． ∴原式＝()()()a b c abc-⋅-⋅-＝－1．点评：注意本例须按a ＋b ＋c 等于零和不等于零两种情况进行讨论．例4 已知a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝2，a 3＋b 3＋c 3＝3，求（1）abc 的值；（2）a 4＋b 4＋c 4的值．解析：∵a 2＋b 2＋c 2＝2，∴(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca )＝2．∴ab ＋bc ＋ca ＝12-．又∵a 3＋b 3＋c 3＝3，∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )＋3abc ＝3． ∴1×(2＋12)＋3abc ＝3． ∴abc ＝16，即abc 的值为16．又∵a 4＋b 4＋c 4＝(a 2＋b 2＋c 2)2－2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)＝4－2[(ab ＋bc ＋ca )2－2abc (a ＋b ＋c )]＝4－2(14－2×16×1)＝256．∴a 4＋b 4＋c 4的值为256．点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．好题妙解】佳题新题品味例1（2003年河北初中数学应用竞赛题）同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2a b+（a ＞0，b ＞0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小．解：（1）甲商场两次提价后，价格为(1＋a )(1＋b )＝1＋a ＋b ＋ab ．（2）乙商场两次提价后，价格为(1＋2a b +)(1＋2a b +)＝1＋(a ＋b )＋2()2a b +：（3）丙商场两次提价后，价格为(1＋b )(1＋a )＝l ＋a ＋b ＋ab ．因为2()2a b +－ab ＞0，所以2()2a b +＞ab ．故乙商场两次提价后，价格最高．选B ．例2 已知非零实数a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，111111()()()a b c b c a c a b +++++＝－3，求a ＋b ＋c 的值．解析：因为abc ≠0，在已知的第二个等式两边同乘以abc ，得a 2(c ＋b )＋b 2(c ＋a )＋c 2(b ＋a )＝－3abc ，即ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ac (a ＋c )＋3abc ＝0．将3abc 拆开为abc ＋abc ＋abc ，可得ab (a ＋b ＋c )＋bc (a ＋b ＋c )＋ac (a ＋b ＋c )＝0．于是(a ＋b ＋c )(ab ＋bc ＋ac )＝0．所以a ＋b ＋c ＝0或ab ＋bc ＋ac ＝0．若ab ＋bc ＋ac ＝0，由(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1得a ＋b ＋c ＝±1．\ 所以a ＋b ＋c 的值可能为0，－1，1．中考真题欣赏例1（2003年陕西中考题）先化简，再求值：3241(1)3111x x x x x x ++-÷-+-+，其中x 1．解析：原式＝2231(1)(1)(1)31(1)1x x x x x x x x +++--⋅-+++＝1311x x x x ---++＝21x +．当x 14-例2（重庆市）阅读下面材料：在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式S ＝na ＋(1)2n n -×d 计算它们的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值），那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地．由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．解析：1996年减少了25 200－24 000＝1 200． 1997年减少了24 000－22 400＝1 600． ……m 年减少了1 200＋400×(m －1 996)．1 200＋1 600＋…＋1 200＋400(m －1 996)＝25 200．令n ＝m －1 995，得(1)12004002n n n -⨯+⨯ ()1=4003252002n n n ⎡⎤-⨯⨯+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴ (1)3632n n n -+= 6n+n(n-1)=126 n 2+5n-126=0.n 1=9，n 2=-14（舍去）. m=1995+9=2004.∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木。

专题4.3直线、线段、射线-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)人教版

2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.3直线、线段、射线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•沙坪坝区期末）下列叙述正确的是（）A．线段AB可表示为线段BA B．射线AB可表示为射线BAC．直线可以比较长短D．射线可以比较长短【分析】分别根据直线、射线以及线段的定义判断得出即可．【解析】A、线段AB可表示为线段BA，此选项正确；B、射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，故不是同一射线，此选项错误；C、直线不可以比较长短，此选项错误；D、射线不可以比较长短，此选项错误；故选：A．2．（2019秋•杏花岭区校级期末）如图，下列说法正确的是（）A．点O在射线AB上B．点B是直线AB的一个端点C．射线OB和射线AB是同一条射线D．点A在线段OB上【分析】根据射线、直线以及线段的定义即可作出判断．【解析】A、点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项错误；B、点B是线段AB的一个端点，故此选项错误；C、射线OB和射线AB不是同一条射线，故此选项错误；D、点A在线段OB上，故此选项正确．故选：D．3．（2019秋•黔东南州期末）下列语句中，叙述准确规范的是（）A．直线a，b相交于点mB．延长直线ABC．线段ab与线段bc交于点bD．延长线段AC至点B，使BC＝AC【分析】依据点的表示方法、直线的概念、射线的概念以及线段的概念进行判断即可．【解析】A．点应该用大写字母表示，直线a，b相交于点M，原说法错误，故本选项不符合题意；B．直线向两端无限延伸，原说法错误，故本选项不符合题意；C．线段不可以用两个小写字母表示，可以用一个小写字母表示，原说法错误，故本选项不符合题意；D．可以延长线段AC至点B．使BC＝AC，原说法正确，故本选项符合题意；故选：D．4．（2019秋•宜城市期末）下列说法中错误的是（）A．线段AB和射线AB都是直线的一部分B．直线AB和直线BA是同一条直线C．射线AB和射线BA是同一条射线D．线段AB和线段BA是同一条线段【分析】据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．【解析】A、线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确，不合题意；B、直线AB和直线BA是同一条直线，正确，不符合题意；C、射线AB和射线BA不是同一条射线，错误，符合题意；D、线段AB和线段BA是同一条线段，正确，不合题意；故选：C．5．（2019秋•大东区期末）下列语句中：正确的个数有（）①画直线AB＝3cm，②延长直线OA③直线AB与直线BA是同一条直线，所以射线AB与射线BA也是同一条射线④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用直线、射线、线段的定义分别分析得出答案．【解析】①画直线AB＝3cm，说法错误，直线没有长度；②延长直线OA，直线向两方无限延伸，不能延长，故此说法错误；③直线AB与直线BA是同一条直线，射线AB与射线BA不是同一条射线，故此说法错误；④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段，正确．故选：B．6．（2019秋•雅安期末）如图所示，下列对图形描述不正确的是（）A．直线AB B．直线BC C．射线AC D．射线AB【分析】依据直线，线段以及射线的定义进行判断即可．【解析】由图可得，直线AB，线段BC，射线AC，射线AB，图中不存在直线BC，故选：B．7．（2019秋•海淀区期末）已知线段AB＝8cm，AC＝6cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为2cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为5cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【分析】直接利用当A，B，C在一条直线上，以及当A，B，C不在一条直线上，分别分析得出答案．【解析】∵线段AB＝8cm，AC＝6cm，∴如图1，当A，B，C在一条直线上，∴BC＝AB﹣AC＝8﹣6＝2（cm），故①正确；如图2，当A，B，C在一条直线上，∴BC＝AB+AC＝8+6＝14（cm），故②正确；如图3，当A，B，C不在一条直线上，8﹣6＜BC＜8+6，故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．故选：C．8．（2019秋•呼伦贝尔期末）下列说法中正确的是（）A．延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的B．延长直线ABC．射线AB和射线BA是同一条射线D．直线AB和直线BA是同一条直线【分析】根据直线、射线、线段的表示方法、直线的公理、以及是否可以延长，可进行判断．【解析】A．延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误；B．直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误；C．射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误；D．直线AB和直线BA是同一条直线，正确，故本选项符合题意．故选：D．9．（2019秋•苍南县期末）老爷爷从家到超市有甲、乙、丙三条路可以选择，在不考虑其它因素的情况下，他选择了乙路前往，则其中蕴含着的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线【分析】甲和丙是曲线，乙是线段，根据两点间线段最短，所以选择乙路线来走最短．【解析】图中三条路线，甲和丙是曲线，乙是线段，由两点间线段最短，∴乙最短，故选：B．10．（2019秋•义安区期末）已知A、B、C三点，过其中任意两点画直线，一共可以画多少条直线（）A．1B．3C．3或1D．无数条【分析】根据题意画出图形，即可看出答案．【解析】如图最多可以画3条直线，最少可以画1条直线；．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•沙坪坝区校级期末）数学来源于生活而又高于生活，比如当我们在植树的时候，要想整齐地栽一行树，只需要确定两端树坑的位置即可．用数学知识可以解释为两点确定一条直线．【分析】由直线的公理，“两点确定一条直线”进行解题．【解析】两端两个树坑的位置，可看做两个点，根据两点确定一条直线，即可确定一行树所在的位置．故答案为：两点确定一条直线．12．（2019秋•江汉区期末）已知A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，可作出直线的条数为5或6或8或10条．【分析】根据题意画出图形即可．【解析】如图：，可作出直线的条数为5或6或8或10条，故答案为：5或6或8或10条．13．（2019秋•江北区期末）下列三个现象：①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上；③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①②（填序号）．【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短进行分析即可．【解析】①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上，根据是两点确定一条直线；③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，根据是两点之间线段最短；故答案为：①②．14．（2019秋•三亚期末）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站6个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票30种，票价15种．【分析】在直线上取6个点，找出所组成的线段的数量然后乘以2即可得出答案．【解析】令6个站分别为A、B、C、D、E、F，则可得所组成的线段有15条，即需要安排15×2＝30种不同的车票．故答案为：30、15．15．（2019秋•丰城市期末）已知平面内有A、B、C、D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画1条或4条或6条直线．【分析】分四点在同一直线上，当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可．【解析】分三种情况：①四点在同一直线上时，只可画1条；②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；③当没有三点共线时，可画6条；故答案为：1条或4条或6条．16．（2019秋•铁西区校级期中）如图图中有6条射线，6条线段．【分析】直接利用射线以及线段的定义分别分析得出答案．【解析】如图所示：6条射线分别为：以A为端点3条，以B为端点1条，以D为端点2条；6条线段分别是：AB、AC、AD、BC、CD、BD．故答案为：6，6．17．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，记以点A为端点的射线条数为x．以点D为其中一个端点的线段的条数为y，则x﹣y的值为﹣2．【分析】按照射线和线段的定义来确定x与y的值；【解析】∵以点A为端点的射线有：射线AC、射线AB∴x＝2∵以点D为其中一个端点的线段有：DA，DO，DB，DC∴y＝4∴x﹣y＝2﹣4＝﹣2故答案为﹣2．18．（2018秋•花都区期末）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针顺序依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6…，则数字“2015”在射线OE上．【分析】通过观察已知图形，发现共有六条以O为端点的射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出2015有多少个循环即可．【解析】通过观察已知图形，发现共有六条以O为端点的射线，∴按逆时针顺序，数字1﹣2015每六个数字一个循环．∵2015÷6＝335余5，∴2015在射线OE上．故答案为：OE．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•嘉陵区期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少4句）【分析】根据直线的位置关系以及点与直线的位置关系即可解答．【解析】点A在直线l上，点B在直线l上，直线l经过A、B两点，点P在直线l外．20．（2019秋•黔东南州期末）如图，已知点A、B、C．D，根据下列语句画图．（不写作图过程）作射线AB、直线AC，连接AD并延长线段AD．【分析】根据直线、射线、线段的概念即可作出图形．【解析】作射线AB、直线AC，连接AD并延长线段AD，如图所示：21．（2019秋•彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；（3）数一数，此时图中线段共有8条．【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AC，线段BC，射线AB；（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．【解析】（1）如图，直线AC，线段BC，射线AB即为所求；（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；（3）由题可得，图中线段的条数为8，故答案为：8．22．（2019秋•保亭县期末）（1）如图1，已知三点A，B，C，按要求画图：画直线AB；画射线AC；画线段BC．（2）如图2，用适当的语句表述点A，P与直线l的关系．【分析】（1）利用利用线段的定义得出即可；利用射线的定义得出即可；直线的定义得出即可；（2）根据点在直线上，点在直线外，即可解答．【解析】（1）如图所示：（2）点A在直线l上，点P在直线l外．23．（2019秋•苍溪县期末）作图题：如图，已知平面上四点A，B，C，D．（1）画直线AD；（2）画射线BC，与直线AD相交于O；（3）连结AC，BD相交于点F．【分析】根据直线和射线、线段的概念作图即可．【解析】（1）（2）（3）如图所示：24．（2019秋•黄埔区期末）如图，平面内有A、B、C、D四点．按下列语句画图．（1）画直线AB，射线BD，线段BC；（2）连接AC，交射线BD于点E．【分析】（1）依据直线，射线以及线段的定义，即可画出直线AB，射线BD，线段BC；（2）连接AC，交射线BD于点E即可．BC即为所求；【解析】（1）如图所示，直线AB，射线BD，线段。

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1、《新教材完全解读》
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七年级尖子生数学辅导资料(3)
一、填空题；
1、如图是“星星超市”中“力士”洗发水的价格标签，请你在横线上填写它
的原价．
2、大于 -1.3而小于2.8的整数是。

3、若0<x<1,则把x, x 2
, 从小到大排列为：。

4、根据二十四点算法，现有四个数3、4、-6、10，每个数用且只用一次进行
加、减、乘除，使其结果等于24，则列式为＝24。

5、3个连续奇数中，n 为最大的奇数，则这3个数的和为。

6、礼堂第一排有a 个座位，后面每排都比第一排多1个座位，则第n 排座位有个。

7、若|x-y+1|+（y+5）2=0，则xy= 。

8、写出一个满足下列条件的一元一次方程：① 某个未知数的系数是6,②方程的解为3,则这样的方程可写为：_______________________．
9、关于x 的一元一次方程（2m-6）x │m │－2=m 2的解为。

10、用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙热一张饼需要2分钟（正、反面各需一分钟），问烙热3张饼至少要分钟。

11、某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金_______________元;
12、如图圆中的阴影部分面积占圆面积的61，占长方形面积的51；三角形中阴影部分面积占三角形面积的91，占长方形面积的4
1.则圆、长方形、三角形的面积比____。

13、计算：{[223÷（-43）+0.4×（-614）]-[712+414+318-0.875]÷（-75）]}×（-1）=________．
14、设｛n ｝表示不小于n 的最小整数，那么｛4.3｝＝；｛－2.3｝＝；｛－2｝＝。

15、设〔m 〕表示不大于m 的最大整数；①若m=2 则〔m 〕= ； ② 若n= －3.5则〔n 〕= ；
16、设［x ］表示不大于x 数的最大整数且{}x ＝x －［x ］，则{}
π17、图中有个三角形，如果线段AB 上共有10二、选择题； 1、如果（26
15--x ）的倒数是3，那么x 的值是（）（A ）-3 （B ）1 （C ）3 （D ）-1
2、下面四个图形均由六个相同小正方形组成，折叠后不能围成正方体的是（）.
3、自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴学科，即“纳米技术”。

已知1米=109纳米，若某个细菌直径为0.00000285米，则该细菌直径为（）
(A) 2.85×102纳米；(B) 2.85纳米；(C) 2.85×103纳米；(D) 2.85×104纳米。

4、若ab>0，a+b<0，则a 、b 两数为……………………………………（）
（Ａ）ａ＞０，ｂ＞０、（Ｂ）ａ＞０，ｂ＜０、（Ｃ）ａ＜０，ｂ＞０、（Ｄ）ａ＜０，ｂ＜０
5、如图，数轴上的点Ａ和点Ｂ分别对应有理数a 和b ，下列各
式中，错误的是（）
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
6、a 为有理数，下列说法中，正确的是（）
A 、（a+1）2的值是正数
B 、-(a+1)2 的值是负数
C 、a 2+1的值是正数
D 、-a 2+1的值小于1
7、a 、b 都是有理数，下面给出4个判断，其中正确的判断只有（）
⑴若a+b<a ，则b<0 ⑵若ab<a 则b<0 ⑶若a-b<a, 则b>0 ⑷若a>b ，则b>0
A 、⑴⑵
B 、⑵⑶
C 、⑴⑶
D 、⑴⑷
8、若a 是负数，且|a|<1，则的值是（）
A 、等于1
B 、大于-1，且小于0
C 、小于-1
D 、大于1
9、若|a|大于1，则下列式子中，一定成立的是（）
A 、|a|-a<0
B 、a-|a|=0 Ｃ、|a|+a>0 D 、|a|+a≥0
10、一个人上山和下山的路程都是s,如果上山速度为v,下山速度为u,那么此人的平均速度是
( )
三、解答题：
1、计算：[2832003+（-283）2003-10]⨯（-2）÷5
1-⨯（-1）2002
2、画右图的三视图：
3、某个体商贩在一次买卖中同时买出两件上衣，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，试问这次买卖中，是赚是赔，还是不赚不赔？
4、有几个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：
一个舞蹈演员A1跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1 为1种。

二个舞蹈演员A1、 A2跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1 A2 、A2 A1为2种即1×2种。

三个舞蹈演员A1、 A2、 A3跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1 A2 A3 、A1 A3 A2 、A2 A1
A3 、A2 A3 A1 、A3 A1 A2 、A3 A2 A1为6种即1×2×3种。

请你猜测：
（1）四个舞蹈演员A1、A2、A3 A4跳舞，面对观众作队形变化的种数是种；
（2）六个舞蹈演员A1 、A2、A3 A4 A5 A6、跳舞，面对观众作队形变化的种数是种；（3）用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码。

.若在同一个电话号码内每个数字只能用一次，则可能排成个电话号码。