有限单元法原理及应用ppt课件
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FEM_有限元法 PPT
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
有限元法
❖ Finite Element Method的缩写，有限单元法，其实际应用 中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微 分方程。FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体 离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力 学问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的， 所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各 类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元 方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联 系．
❖ FEM是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算 机辅助分析方法。FEM早期主要应用于航空航天制造、船舶 工业及高端军事领域 。
方法运用的基本步骤
❖ 基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
❖ 步骤1：剖分 ❖ 将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素பைடு நூலகம்单
元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元 或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元 的顶点称为节点（或结点）。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
有限元法
❖ Finite Element Method的缩写，有限单元法，其实际应用 中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微 分方程。FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体 离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力 学问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的， 所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各 类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元 方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联 系．
❖ FEM是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算 机辅助分析方法。FEM早期主要应用于航空航天制造、船舶 工业及高端军事领域 。
方法运用的基本步骤
❖ 基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
❖ 步骤1：剖分 ❖ 将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素பைடு நூலகம்单
元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元 或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元 的顶点称为节点（或结点）。
有限元法ppt课件
29
▪ 1960年美国的克劳夫(W.Clough)采用此方法进行飞 机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元 法”，简称“有限元法”。此后有限元法在工程 界获得了广泛的应用。到20世纪70年代以后，随 着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅 速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术 交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了 有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而 深入的研究。
典型的物理量是：速度、压力、温 度、对流换热系数。
36
5）声学分析
用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。 典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。
37
6）耦合场分析
耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为 两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能 的。例如： 热-应力分析（温度场和结构） 流体热力学分析（温度场和流场） 声学分析（流体和结构） 热-电分析（温度场与电场） 感应加热（磁场和温度场）
用。
单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
16
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes
...
.
.1 node
.
.A.B .
.A.B.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传 递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
17
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一
20
4）单元形函数（node） 有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函
数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元 内所有点处响应值的计算方法,因此，单元形函数 提供一种描述单元内部结果的“形状”。
▪ 1960年美国的克劳夫(W.Clough)采用此方法进行飞 机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元 法”，简称“有限元法”。此后有限元法在工程 界获得了广泛的应用。到20世纪70年代以后，随 着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅 速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术 交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了 有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而 深入的研究。
典型的物理量是：速度、压力、温 度、对流换热系数。
36
5）声学分析
用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。 典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。
37
6）耦合场分析
耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为 两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能 的。例如： 热-应力分析（温度场和结构） 流体热力学分析（温度场和流场） 声学分析（流体和结构） 热-电分析（温度场与电场） 感应加热（磁场和温度场）
用。
单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
16
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes
...
.
.1 node
.
.A.B .
.A.B.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传 递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
17
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一
20
4）单元形函数（node） 有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函
数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元 内所有点处响应值的计算方法,因此，单元形函数 提供一种描述单元内部结果的“形状”。
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
第9章杆件结构力学问题有限单元法PPT课件
U = 1 GAγ2 2k
6
k
5
1
0
9
矩形截面 圆形截面
若剪应力 取实际剪应力的平均值时
3
k
2
4
3
矩形截面 圆形截面
等截面直杆-梁单元
不考虑剪切变形的经典粱问题
分布载荷
集中载荷
p 0 l1 2E (d d I 2 w 2x )2d x 0 lq (x )w d Q w xx M d dw x x
x1
0 1
w 1
e
a~
w
1 2
2
wi, i (ddw x)i, i1,2
弯曲梁单元
等截面直杆-梁单元
2结点Hermite单元内挠度函数 w() 的插值表示
4
2 (0)
2 (1 )
w ~ N ~ ~ aN ia iH i ()w iH i ()i
i 1
i 1
i 1
其中
(0)
增大单元的长宽比
各个方向刚度相差很大
方程病态
一维梁单元 例
概论
P3 = 1 P2 = 0 P1 = 1
方程为
K1 -K1 0
-K1 K1+K2
-K2
0 -K2
uu21=P P21
K2+K3u3 P3
一维梁单元
概论
如采用5位有效数字
100000 -100000 0
-100000 200000 -100000
应变能
1EI2
2
1EI(dθ)2 2 dx
dw dx
外力势能
C0 型问题。 , w 独立插值。
等截面直杆-梁单元
从另一角度：经典梁考虑剪切变形
有限单元法概述.ppt
[1]Clough RW. Early history of the finite element method from the view point of a pioneer [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 60: 283-287
方法 注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础； 结合自己研究方向，若偏重于FEM应用，则注重于应
用对象的本构关系研究，运用通用或专用有限元程序进 行分析；若偏重于对FEM方法研究，则必须深入掌握标 准化的FEM求解格式推导过程。
2019/11/26
3
Institute of Mechanical Engineering and Automation
Institute of Mechanical Engineering and Automation
IMEA
有限元法原理及应用
Finite Element Method and Its Applications
Hsiang Jiawei, Ph D School of Mechantronic Engineering, Guilin University of Electronic Technology,
研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠 定必备的理论基础。
工科学生学习 FEM、研究FEM、应用FEM的立足点
<2> 工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学) 研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式
研究，通过考题(Benchmark)分析而不是理论分析验证解的 收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。
有限元课件ppt
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
有限元12章.ppt
1 2
11 6
a1
0
解得：
a1
3 11
近似解为：
u~ 3 x(1 x) 11
2019/12/26
16
加权余量法解例
（1）子域法
2. 选取两项多项式近似解
1
1
2
0
R2
xdx
2 0
[x
a1(2
x
x2
)
a2
(2
6x
x2
x3
)]dx
1 8
11 12
a1
53 192
5.进行分析计算（执行运行命令即可）。
数据文件输出 6.计算结果输出。
图形显示输出
1，2，3，４步骤称前处理，步骤６的图形显示 输出称后处理。也称为科学计算的可视化。
2019/12/26
21
有限元通用程序分析简例１
图1 一端固支一端受拉的带孔板壳模型
2019/12/26
22
2019/12/26
第二节 弹性力学的基本假设
物理假设
1．假设物体是连续的 2．假设物体是均质和各向同性的 3．假设物体是完全弹性的且服从虎
克定律 4．假设物体内无初应力
几何假设
5．假设物体的位移和变形是很小的
2019/12/26
47
第三节 外力、应力、应变 及位移的概念
外力： 体积力（重力、离心力、磁力） 面力（分布力、集中力）
1.建立几何模型
23
2019/12/26
1.建立几何模型
24
有限元基础及应用PPT.
设想一下该工作需要的知识水平和技能，看是否可能通过本次招聘为单位注入新知识、新技能？还要考虑该工作是否需要较强的沟通
传热学； 技巧，比如是否需要与客户或其他部门密切联系？
做到专业
电磁场； 1 请学生说说遇到地震时我们该如何自护自救。
师：那么今天我们就一起来研究食物的变质！然后师生大声齐读课题
流体力学 ； （5）乘车时不要看书，否则会损害眼睛。
（二）应用实例
3.1.1记录下你的直觉
2.5.7技能测有试 限元法已经成功地应用在以下一些领域：
（7）参加篮球、足球等项目的训练时，要学会保护自己，也不要在争抢中蛮干而伤及他人。
固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问 1、先用清水将伤口周围的泥土、污物、血块彻底冲洗干净，再用淡盐水冲洗（消毒药水）冲洗伤口。 题的分析； 我们常用的一节电池的电压为1.5伏;民用电压为220伏;工业用电为380伏;高压输电电压在万伏以上。
预算紧张迫使重新评估
写回绝信：不能给未被录取的应聘者尽快寄回绝信，会让人感觉到你的公司没有礼貌，管理混乱。
1.1.4搜集信息
神经毒者，血循毒者，混和毒者。
临床表现：三种毒素致病的局部和全身的表现特征。
请您回答下面的问题。
教学难点：
两个雇员齐心协力共同完成主管指定的任务。
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。
重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
四、有限元法的学习路线
从最简单的杆、梁及平面结构入 手，由浅入深，介绍有限元理论以 及应用。利用ANSYS软件分析问题。
这两个问题非常具有普遍性和代表性，是我们在汽车销售的过程中经常遇到的问题。
传热学； 技巧，比如是否需要与客户或其他部门密切联系？
做到专业
电磁场； 1 请学生说说遇到地震时我们该如何自护自救。
师：那么今天我们就一起来研究食物的变质！然后师生大声齐读课题
流体力学 ； （5）乘车时不要看书，否则会损害眼睛。
（二）应用实例
3.1.1记录下你的直觉
2.5.7技能测有试 限元法已经成功地应用在以下一些领域：
（7）参加篮球、足球等项目的训练时，要学会保护自己，也不要在争抢中蛮干而伤及他人。
固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问 1、先用清水将伤口周围的泥土、污物、血块彻底冲洗干净，再用淡盐水冲洗（消毒药水）冲洗伤口。 题的分析； 我们常用的一节电池的电压为1.5伏;民用电压为220伏;工业用电为380伏;高压输电电压在万伏以上。
预算紧张迫使重新评估
写回绝信：不能给未被录取的应聘者尽快寄回绝信，会让人感觉到你的公司没有礼貌，管理混乱。
1.1.4搜集信息
神经毒者，血循毒者，混和毒者。
临床表现：三种毒素致病的局部和全身的表现特征。
请您回答下面的问题。
教学难点：
两个雇员齐心协力共同完成主管指定的任务。
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。
重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
四、有限元法的学习路线
从最简单的杆、梁及平面结构入 手，由浅入深，介绍有限元理论以 及应用。利用ANSYS软件分析问题。
这两个问题非常具有普遍性和代表性，是我们在汽车销售的过程中经常遇到的问题。
同济大学有限单元法课件
2.1.1 等效积分的“弱”形式 等效积分的“
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式 式进行分部积分得到另一种形式 在很多情况下可以对 (3.2.9) 其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的 低，这样对于 是微分算子，它们中所包括的导数阶数较 式的A低 其中 是微分算子 式的 函数u只需要求较低阶的连续性就可以了 只需要求较低阶的连续性就可以了。 式中降低u的连续性要求是以 函数 只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低 的连续性要求是以 式中降低 提高v及 的连续性要求为代价的，由于原来对v及 在 式中)并无连续要求 提高 及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对 及v (在(3.2.8)式中 并无连续要求 式中 但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 ，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中 连续性要求的作法在近似计算中， 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分 重要的。 式称为微分方程(3.2.1)和边界条件 和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值 的等效积分“ 形式。 重要的。(3.2.9)式称为微分方程 式称为微分方程 和边界条件 的等效积分 得指出的是，从形式上看“ 形式对函数u的连续性要求降低了 的连续性要求降低了， 得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数 的连续性要求降低了，但对实际的物理 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解， 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了 过分“平滑”的要求。 过分“平滑”的要求。 下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例， 下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例，写出它们的等效积分形 式和等效积分“ 形式。 中由二维稳态热传导方程(3.2.3)和边界条件 和边界条件(3.2.4)式， 式和等效积分“弱”形式。例1中由二维稳态热传导方程 中由二维稳态热传导方程 和边界条件 式 我们可以写出相当于(3.2.8)式的等效积分形式 我们可以写出相当于 式的等效积分形式 3.2.10
有限元法基础及Ansys应用复习PPT课件
Institute of Mech第an2i页ca/l共En9g9i页neering and Automation
2
1.1 有限元方法与ANSYS概述
1.1.1有限元方法
有限元方法（Finite Element Method ,FEM）是当前工程 技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工程技 术不可缺少的重要组成部分。
2021/4/21
有限单元法与ANSYS软件简介
12
第12页/共99页
1.3 弹性力学基本知识
弹性力学与材料力学的不同 1、研究的对象： 材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
第13页/共99页
2、研究的方法：
已知
外力、边界条件、几何、材料
求
应力、应变、位移
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第31页/共99页
平面应力问题
只有 x、 y、 xy 三个应变分量需要考虑，所以几何方程
x
u x
，
y
v y
，
z
w z
xy
u y
v ，
x
yz
v z
w y
xy
yx
yy y
应力 分量
当微小的平行六面体趋于无穷 小时，六面体上的应力就代表
P点处的应力。
第23页/共99页
弹性力学的基本方程
位移 应变 应力
几何方程 物理方程
弹性力学 三大方程
平衡方程
复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要是数值求解。
2
1.1 有限元方法与ANSYS概述
1.1.1有限元方法
有限元方法（Finite Element Method ,FEM）是当前工程 技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工程技 术不可缺少的重要组成部分。
2021/4/21
有限单元法与ANSYS软件简介
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第12页/共99页
1.3 弹性力学基本知识
弹性力学与材料力学的不同 1、研究的对象： 材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
第13页/共99页
2、研究的方法：
已知
外力、边界条件、几何、材料
求
应力、应变、位移
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第31页/共99页
平面应力问题
只有 x、 y、 xy 三个应变分量需要考虑，所以几何方程
x
u x
，
y
v y
，
z
w z
xy
u y
v ，
x
yz
v z
w y
xy
yx
yy y
应力 分量
当微小的平行六面体趋于无穷 小时，六面体上的应力就代表
P点处的应力。
第23页/共99页
弹性力学的基本方程
位移 应变 应力
几何方程 物理方程
弹性力学 三大方程
平衡方程
复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要是数值求解。