巧用椭圆焦点弦长公式

一．巧用椭圆焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式是：L=2a±2ex。焦点弦，A(x1,y1),B(x2,y2),AB 为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

椭圆焦点应用：

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式椭圆是平面上的一条曲线，其定义是到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为焦距。首先，我们来看一条椭圆的标准方程： (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中，a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长。设椭圆的两个焦点为F1和F2，焦距为2c。根据椭圆的定义，我们可以得知： PF1+PF2=2a 接下来，我们需要找到椭圆上其中一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和。设点P到F1的距离为d1，到F2的距离为d2、根据勾股定理，我们可以得到以下两个等式： d1^2=(x+c)^2+y^2 d2^2=(x-c)^2+y^2 将这两个等式相加并进行化简，我们可以得到： d1^2+d2^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2 =2x^2+2y^2+2c^2 根据椭圆的定义，我们还可以得到以下等式：

d1+d2=2a 将这个等式平方，并进行化简，我们可以得到： (d1+d2)^2=(2a)^2 =4a^2 展开平方操作，并将d1^2+d2^2替换为之前的结果，我们可以得到：d1^2+2d1d2+d2^2=4a^2 将之前的结果代入，并通过移项，我们可以得到以下等式： 2x^2+2y^2+2c^2+2d1d2=4a^2 进一步化简，我们可以得到以下等式： x^2/a^2+y^2/a^2+2c^2/a^2+d1d2/a^2=2 由于d1d2/a^2表示为(x+c)(x-c)/a^2，而(x^2/a^2+y^2/a^2)可以表示为1，我们可以得到以下等式： 2c^2/a^2+(x+c)(x-c)/a^2=1 将之前的定义中的F1的坐标代入到等式中，我们可以得到以下结果：(x+c)(x-c)=a^2-c^2 其中，a^2-c^2可以表示为b^2，因此上述等式可以进一步化简为： (x+c)(x-c)=b^2 通过乘法公式，我们可以展开上述等式，并进行化简，得到下面的结果：

椭圆的焦点弦长公式二级结论

椭圆的焦点弦长公式二级结论椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 s=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或s=(圆周率)ab/4(其中a,b分别就是椭圆的长轴,长轴的长). 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长(l)的准确排序必须使用分数或无穷级数的议和。例如 l = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆距心率的定义为椭圆上的的边某焦点的距离和该点至该焦点对应的准线的距离之比，设立椭圆上点p至某焦点距离为pf，至对应准线距离为pl，则 e=pf/pl 椭圆的准线方程 x=a^2/c e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的`距离,数值=b^2/c 椭圆汪半径公式：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0 椭圆过右焦点的.半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点a,b之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆边线关系：点m(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21

直线与椭圆边线关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 切线△=0 相离△0无交点平行△0 可以利用弦长公式：a(x1,y1) b(x2,y2) |ab|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| = (1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除铅直)中，过焦点并旋转轴轴的弦)公式：2b^2/a

椭圆交点弦长公式

椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)

+ 4(AF2)²。由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。根据椭圆的定义，我们可以得到AE² = a² - EF1²，其中EF1为焦点F1到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4(a² - EF1²) - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。继续整理，可以得到AB² = 4a² + 4aEF2 + 4a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。由于椭圆的性质，我们可以得到EF1² + EF2² = AE²。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。根据椭圆的性质，我们可以得到EF2 = EB - BF2，其中EB为椭圆的半短轴，BF2为焦点F2到点B的距离。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·(EB - BF2) + 4((EB - BF2)²)。进一步展开并整理，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EB + 8AE·BF2 + 4(EB² - 2EB·BF2 + (BF2)²)。

椭圆焦点弦长公式推导二级结论

椭圆焦点弦长公式推导二级结论为了推导椭圆焦点与其对应弦的长度公式，我们可以先找到椭圆的焦点坐标。设椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的半长轴。根据焦点定义，我们知道椭圆的焦点位于x轴上的两个点:F1(a,0)和F2(-a,0)。我们以F1(a,0)为例进行推导。设椭圆上任意一点为P(x,y)。根据焦距定理，点P到F1的距离与点P到椭圆直径之和等于常数2a，即 PF1 + PF'= 2a 其中PF'=PF1'是点P到焦点F2的距离。根据点到焦点的距离公式，我们可以得到PF1和PF'的表达式： PF1 = sqrt((x-a)^2 + y^2) PF' = sqrt((x+a)^2 + y^2) 将上述两个等式代入焦距定理中，得到： sqrt((x-a)^2 + y^2) + sqrt((x+a)^2 + y^2) = 2a 对上式进行平方运算，得到：

(x-a)^2 + y^2 + 2sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) + (x+a)^2 + y^2 = 4a^2 化简上式，得到： 2x^2 + 2y^2 + 2sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) = 4a^2 整理得到： sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) = 2a^2 - x^2 - y^2 平方两边，得到： (x-a)^2(x+a)^2 + y^4 = (2a^2 - x^2 - y^2)^2 展开上式，整理得到： (a^4 - x^4) + 2a^2(x^2 - a^2) + y^4 = 0 由于这是一个关于x和y的二次方程，所以我们可以用二次曲线的标准方程形式表示为： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 比较上式与椭圆标准方程，我们可以得到： (a^4 - x^4) + 2a^2(x^2 - a^2) + y^4 = 0

过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式

过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义：椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为： s²=4a²-c² 其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。二、证明：证明四步如下： 1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。连接FP1，FH。则有HF1=c。

2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB 的中点为O(0,0)。 3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。 4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以 PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可得s²=4a²-c²。三、应用：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线与该点的切线即可得到切线方程。四、总结：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式是椭圆的基本公式之一，在学习椭圆的性质时是必须要掌握的。通过学习其定义、证明和应用，我们可以更深入地了解椭圆的性质，为以后的学习打下扎实的基础。

论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的核心弦长公式的四种推导方法及其应用之袁州冬雪创作江西省上犹中学刘鹏关键词：椭圆核心弦弦长公式应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的核心弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入处理. l 直线l 斜率不存在即为)，代入①得整理得，

∴ ()22 22221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则 1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+, 由正切化为余弦，得到最后的核心弦长公式为2 22 22cos ab AB a c θ =-…… ②. （2）若=90θ，则0m =，带入()22 22221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样知足 ② ()222232222222 2222222222 22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过核心弦长最短为a b 2 2，故可知通径是最短的核心弦，. 综上，核心弦长公式为 2 22 22cos ab AB a c θ =-. 解法二：根据余弦定理处理题：设椭圆方程为 122 22=+b y a x ，左右核心分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线 l 过椭圆的右核心2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 解：如右图所示，保持 11,F A F B ，设 22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由

论文-椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

论文-椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 LT

解：如右图所示，连结1 1 ,F A F B ，设 22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得1 1 =2,2F A a x F B a y -=-，在12 AF F ∆中，由余弦定理得 222 (2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---= ，化简可得 2 cos b x a c θ = -，在12 BF F ∆中，由余弦定理同理可得 2 cos b y a c θ = +，则弦长 222 22 22=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ =+=+-+-. 解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为 122 22=+b y a x ，左右焦点分别为1 2 (,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2 F 交椭圆于1 1 2 2 (,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 解：由解法一知 22212121222222 2 22=()22m cb a c x x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2 1 2 2 ,F A a ex F B a ex =-=- 故 22222121222222 2 222(1) =2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++ 后面分析同解法一. 解法四：利用仿射性解决