高中数学必修4知识总结完整版
高中数学必修四知识点总结
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk
第二象限角的集合为36090360180,kkk 第三象限角的集合为360180360270,kkk 第四象限角的集合为360270360360,kkk 终边在x轴上的角的集合为180,kk 终边在y轴上的角的集合为18090,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk 3、与角终边相同的角的集合为360,kk 4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr．
7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3． 8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S， 则lr，2Crl， 21122Slrr． 9、（一）设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦,记做cos,即cosx；（3）yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx。
（二）设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,xy，它与原点的距离是220rrxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx． PxyAOMT
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin，cos，tan． 12、同角三角函数的基本关系式：
221sincos1
2222sin1cos,cos1sin；
sin2tancossin
sintancos,costan
．
13、三角函数的诱导公式： 1sin2sink，cos2cosk，
tan2tankk．
2sinsin，coscos，tantan．
3sinsin，coscos，tantan．
4sinsin，coscos，tantan．
口诀：函数名称不变，符号看象限． 5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2
．
口诀：函数名改变，符号看象限． 14、图像变换的两种方式：
（一）函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象
（>0是左移；<0是右移）；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象0,0．
（二）函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函
数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度（>0是左移；<0是右移）；得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象0,0． 函数sin0,0yx的性质： ①振幅； ②周期：2； ③频率：12f； ④相位：x； ⑤初相：． 函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny ；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122
xxxx．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sinyx cosyx tanyx
图象 定义域 R R
,2xxkk
值域 1,1 1,1 R
最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y． 当2xkk时， max1y；当2xk k时，min1y． 既无最大值也无最小值 周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在2,222kk
k上是增函数；在
32,222kk
k上是减函数．
在2,2kkk上是增函数；在2,2kk k上是减函数．
在,22kk k上是增函数．
对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk
对称轴xkk 对称中心,02kk
无对称轴 16.三角函数奇偶性规律总结（0,0A） 函数sin()yAx为奇函数的条件为,kkZ
函 数 性
质 函数sin()yAx为偶函数的条件为,2kkZ 函数cos()yAx为奇函数的条件为,2kkZ. 函数cos()yAx为偶函数的条件为,kkZ 函数tan()yAx为奇函数的条件为,2kkZ它不可能是偶函数． 17．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量． 规定：零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量． 18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：ababab． ⑷运算性质：①交换律：abba； ②结合律：abcabc； ③00aaa． ⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy． 19、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点．（见上图）
⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．
设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy． 20、向量数乘运算： ⑴实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a．
①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；
当0时，0a．0a=0 ⑵运算律： ①aa； ②aaa； ③abab． ⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．
(4)0,aaaaaaa则表示与同方向的单位向量，-表示与反方向的单位向量。 21向量共线条件：(1)向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba． (2)共线的坐标表示，设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、
b a C abCC
, (R), OAOBAPtABtOAOBOP如图，、不共线且用，表示；
高中数学必修四最权威知识点汇总
高中数学 必修4知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222s i n1c o s,c o s 1s i n αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．.（3） 倒数关系：tan cot 1αα=12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min12y yA=-，()max min12y yB=+，()21122x x x xT=-<．第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：baC B Aa b C C-=A -AB =B⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】
《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈gx 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o gy 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈o o g g第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g锐角：{}090αα<<o小于90o的角：{}90αα<o5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin >0,cos >0,tan >0, 第二象限：0,0.><y x sin >0,cos<0,tan<0,第三象限：0,0.<<y x sin <0,cos <0,tan >0, 第四象限：0,0.<>y x sin<0,cos>0,tan<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
数学必修4知识点总结
1.高一数学必修四总结最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容> 原发布者：xiayanfeng 高中数学必修4知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、.3、弧长公式：.4、扇形面积公式：.§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：2、设点为角终边上任意一点，那么：（设），，，3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP；余弦线：OM；正切线：AT4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：.2、商数关系：.3、倒数关系：§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）1、诱导公式一：（其中：）2、诱导公式二：3、诱导公式三：4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为：§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数。
2.数学必修四的知识点谢了主要有两方面：三角函数和平面向量。
三角函数：一：角概念的推广（1）：坐标系《——》正角，负角，零角（2）弧度制：角《——》数三角函数的公式要记熟。
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ， ④ar =br 的充要条件是|ar |=|br |且a rb r a r b r b rc r a r c r AB DC u u ur u u u r ||||AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r ||||AB DC u u u r u u u r AB DC u u u r u u u r a r br a r b r b r c r b r c r a r c r a r c r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r b r 0r AB BC CD u u ur u u u r u u u r DB AC BD u u u r u u u r u u u r OA OC OB COu u u r u u u r u u u r u u u r ()AB BC CD AC CD ADu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0DB BD AC AC ACu u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r a r b r c r a r b r d r a r b r c r d r c r dr c r d r a r b r a r b r a r b r 0r a r b r 1010k k k 面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：2||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有2a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算（七）向量中一些常用的结论：1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.||||||||||||a b a b a b r r r r r r ，特别地，当 a b r r、同向或有 0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ；当 a b r r、反向或有0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ； 当 a b r r、不共线 ||||||||||||a b a b a b r r r r r r (这些和实数比较类似).3.在ABC 中，①若 112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G。
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总第一章：三角函数1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S则αr l =，l r C +=2，22121r lr S α==9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=;()sin 2tan cos ααα=; 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、要由sin y x =的图像得到sin()y A x φ=+的图像主要有下列两种方法：sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x φωφωφ=−−−→=+−−−→=+−−−→=+相位周期振幅变换变换变换sin sin sin()sin()y x y x y x y x ωωφωφ=−−−→=−−−→=+−−−→=+周期相位振幅变换变换变换注：第二种φωω+→x x 的情况需要平移ωφ个单位 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ； ④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．α) A α)（1）（2）15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴函 数 性质第二章：平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则),(AB 1212y y x x --=4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．baC BAa b C C -=A -AB =B设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 8、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．第三章：三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．。
高中数学必修4知识点总结(精华实用版)
第一章 三角函数{1、任意角正角: 负角: 零角:2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 如：-1350（ ）1350（ ）950（ ）-950( )-6300（ ）6300( )-7000（ ）7000（ ）第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为3、与角α终边相同的角的集合为 4 、1弧度的角:半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α= ．5、弧度制与角度制的换算公式：π=( )0,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．1800= rad ，10= rad 如：150= rad, 512π= 06、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l = ，2C r l =+，S = = ．7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin α= ，cos α= ，()tan 0x α=≠ ．8、三角函数在各象限的符号：9、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=（变式： ， ）；()sin 2tan cos ααα=．(变式: , )10、三角函数的诱导公式：(口诀：函数名称不变，符号看象限．)()()1sin 2k πα+= ，()cos 2k πα+= ，()tan 2k πα+= ． ()()2sin πα+= ，()cos πα+= ，()tan πα+= ． ()()3sin α-= ，()cos α-= ，()tan α-= ． ()()4sin πα-= ，()cos πα-= ，()tan πα-= ．()5sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．()6sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．1112、（课本52页第二段）关于ωϕA 、、对()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的影响 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅A ；②周期2πωT =；③频率12f ωπ==T；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m ax m in 12y y A =-，()m axm in12y y B =+，()21122x x x x T =-<第二章 平面向量1、向量： 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．如：A B 记作零向量：长度为 的向量．记作 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）： 的非零向量．零向量与任一向量 ．记作 相等向量： ． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．首尾连⑵平行四边形法则的特点：共起点．共起点之对角线⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+r r r r r r⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+r r r r ；②结合律： ()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则a b +=rr （ ）．3、向量减法运算：⑴减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
高中必修四数学知识点总结
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一、文档
二、文档目的：
本文档旨在为高中学生提供一个关于必修四数学课程的全面知识点总结，以便学生能够更好地理解和掌握课程内容。
三、文档范围：
本文档覆盖高中数学必修四的全部知识点，包括但不限于函数、几何、概率与统计等领域。
四、文档结构：
1. 引言
- 课程简介
- 学习目标
2. 函数与方程
- 指数函数
- 对数函数
- 函数的复合与反函数
- 方程与不等式的解法
3. 三角函数
- 三角函数的定义
- 三角恒等变换
- 三角函数的图像与性质
- 解三角形问题
4. 数列与数学归纳法
- 等差数列与等比数列
- 数列的极限
- 数学归纳法的原理与应用
5. 空间几何
- 平面与空间中的几何体
- 空间向量及其运算
- 点、线、面之间的几何关系
6. 概率与统计
- 随机事件与概率的定义
- 概率的计算与分布
- 统计量的计算与图表解读
7. 附录
- 重要公式汇总
- 常见题型解析
- 练习题与答案
五、文档使用说明：
本文档应作为学习辅助材料，学生在使用时应结合实际课程内容和教师指导，针对不同知识点进行深入学习和练习。
六、修订记录：
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高中数学必修四最全知识点汇总
高中数学 必修4知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．.（3） 倒数关系：tan cot 1αα=12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． 对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：baC BAa b C C-=A -AB =B⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。