沪科版七年级数学下册第八章 整式乘除与因式分解
第八章 整式乘除与因式分解
一、知识总结
（一）幂的运算：
1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。nmnmaaa
2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。nmnmaaa
3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。mnnmaa
4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。mmmbaab
注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；10a 0a
（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，
等于这个数的p指数幂的倒数。ppaa1 0a
（3）科学记数法：na10c或na-10c 10a1
绝对值小于1的数可记成n-10a的形式，其中10a1，n是正整数，n等于原
数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。
（二）整式乘法：
1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别
相乘，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一
个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
（三）、完全平方公式与平法差公式
1、完全平方公式：2222ababab 2222--ababab 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。
2、平法差公式：babab--a22 两个数的平方之差等于这两个数的和
与这两个数的差之积。
（四）、整式除法
（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对
于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这
个单项式再把所得的商相加。
（五）、因式分解
沪科版七年级下册各章节知识点汇总
沪科版七年级下册各章节知识点汇总第1页共15页沪科版七年级下册各章节知识点汇总
第六章实数
（一）平方根与立方根
1、平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
如果2xa
，那么x叫做a的平方根.记作
“a
”，且a≥0即
X=a
（2）表示：非负数a的平方根记作
±a
，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）
（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根。
（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根
（1）定义：正数a
的正的平方根a
叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
例如：a的算术平方根.记作
“a
”，且a≥0即
X=a
（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；
即：a
≥0恒成立。
（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根
3、开平方公式
①2(0)
0(0)
(0)aa
aaa
aa
2()(0)aaa
且a≥0
4、①求11~20的平方值：112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361，
202=400
②常用算数平方根估值：1.414212
，1.7323
，2.2365
5、立方根：
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。如果3xa
，那么x
叫做a的立方根，记作
“3a
”.即
X=3a
（2）表示：a
的立方根记作3a
，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）
（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。
6、开立方公式
①33aa
，②33()aa
，③33aa
（二）实数沪科版七年级下册各章节知识点汇总第2页共15页1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）
第8章 整式乘法与因式分解 (基础卷)(解析版)
2020-2021学年下学期七年级数学单元提升卷【沪科版】
第8章 整式乘法与因式分解（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.计算2a2b3•（﹣3a）的结果是（ ）
A．﹣6a3b3 B．6a2b3 C．6a3b3 D．﹣6a2b3
【答案】A
【解答】解：2a2b3•（﹣3a）
＝﹣6a3b3，
故选：A．
【知识点】单项式乘单项式
2.计算3a（5a﹣2b）的结果是（ ）
A．15a﹣6ab B．8a2﹣6ab C．15a2﹣5ab D．15a2﹣6ab
【答案】D
【解答】解：3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab．
故选：D．
【知识点】单项式乘多项式
3.若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx+n，则（ ）
A．m＝﹣2，n＝15 B．m＝2，n＝﹣15 C．m＝2，n＝15 D．m＝﹣2，n＝﹣15
【答案】D
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2+mx+n，
∴x2﹣2x﹣15＝x2+mx+n，
故m＝﹣2，n＝﹣15，
故选：D．
【知识点】多项式乘多项式
4.a12可以写成（ ）
A．a6+a6 B．a2•a6 C．a6•a6 D．a12÷a
【答案】C
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故本选项不合题意；
B、a2•a6＝a8，故本选项不合题意；
C、a6•a6＝a12，故本选项符合题意；
D、a12÷a＝a11，故本选项不合题意；
故选：C．
【知识点】同底数幂的乘法
5.下列运算正确的是（ ）
沪科版七年级数学下册导学案 8.5运用完全平方公式分解因式
课题：整式乘除与因式分解
8.5运用完全平方公式分解因式
主备人：杨明 时间：2011年5月 日
年级 班 姓名：
学习目标：
1.使学生进一步理解因式分解的意义。
2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式。
3.通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力。
学习重点：运用完全平方公式分解因式。
学习难点：灵活运用完全平方公式分解因式。
一、学前准备
1.所学的因式分解的方法有哪些？
（1） （2）
2.把下列多项式分解因式：
（1）xyxyx2)2(22 （2）814x
3.试一试：
运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
4.在括号内填上适当的式子，使等式成立：
（1）(a＋b)2＝ ；（2）(a－b)2＝ .
（3）a2＋ ＋1＝(a＋1)2 （4）a2－ ＋1＝(a－1)2.
思考：①你解答上述问题时的根据是什么？
②第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
5.认一认：
我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课研究如何利用完全平方公式来进行因式分解.
＝(a＋b)2 ； ＝(a－b)2
完全平方式的特点：
左边：①项数必须是_________项；
②其中有两项是________________________________；
③另一项是_____________________________________.
七年级下学期数学同步单元双基双测AB卷第8章整式乘法与因式分解单元测试卷(A卷基础篇)(沪科版)
1 第8章 整式乘法与因式分解单元测试卷（A卷基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019秋•天河区校级期中）下列运算正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．2a3÷a＝2a2 C．a4•a2＝a8 D．（a2）4＝a6
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【答案】解：A、（ab）2＝a2b2 ，故此选项错误；
B、2a3÷a＝2a2 ，正确；
C、a4•a2＝a6，故此选项错误；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（3分）（2019春•东平县期末）计算：xn+1•xn﹣1÷（xn）2的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
【分析】首先计算幂的乘方，然后再计算同底数幂的乘法，最后计算同底数幂的除法即可．
【答案】解：原式＝x2n÷x2n＝1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，关键是掌握计算法则．
3．（3分）（2019秋•郾城区期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2ax﹣a＝a（2x﹣1）
B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．4ax2﹣a＝a（2x﹣1）2
D．ax2+2ax﹣3a＝a（x﹣1）（x+3）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【答案】解：A、原式＝a（2x﹣1），不符合题意；
B、原式＝（x﹣1）2，不符合题意；
C、原式＝a（4x2﹣1）＝a（2x+1）（2x﹣1），符合题意；
D、原式＝a（x2+2x﹣3）＝a（x﹣1）（x+3），不符合题意，
故选：C．
2 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）（2019秋•槐荫区期中）已知a﹣7b＝﹣2，则﹣2a+14b+4的值是（ ）
沪科版数学七年级下册(教学设计)《8.4 因式分解》
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《8.4 因式分解》
《提公因式法》是九年义务教育沪科版数学教材七年级下第八章整式的乘除与因式分解第四节第一课时的内容。《提公因式法》是因式分解中最基本的，也是最重要和常用的方法。是学生在学习了整式运算和因式分解的意义之后，进一步学习因式分解三种基本方法之一的内容，是数学中一种重要恒等变形。它不仅是整式运算的延伸和拓展，同时也是学习分式的运算、解分式方程等内容学习的基础，具有承上启下的作用。因此，学习并掌握好本节课的内容，对培养和训练学生的双向思维，特别是逆向思维方式有着极其重要的意义。
【知识与能力目标】
学生通过问题情境理解公因式的意义，并且掌握用提公式法把多项式分解因式。
【过程与方法目标】
①学生经历探索多项式各项公因式的过程，培养学生的观察、比较分析、综合等能力，能应用学过的知识去解决新的问题；
②进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
【情感态度价值观目标】
鼓励学生积极参与“教”与“学”的整个过程，激发学生的求 知欲，体验求知的成功，增强探究新知识的兴趣和信心。
【教学重点】
(1）学生能确定多项式中各项的公因式；
（2）学生能用提公因式法把多项式分解因式。
【教学难点】
正确找出多项式中各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定。
◆ 教材分析
◆ 教学目标
◆ 教学重难点
◆
◆ 课前准备
◆ 309教育网
309教育资源库
课件、多媒体、练习本。
一．提出问题，创设情境
问题1：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？
问题2：a=101，b=99时，求a2 – b2 的值。
二．导入新课
回忆：填空
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
把下列多项式写成乘积的形式。
初中数学沪科版七年级下册第8章 整式乘法与因式分解8.1 幂的运算-章节测试习题(21)
章节测试题
1.【答题】下列计算正确的是( )
A. ﹣3a+2a=﹣a
B. （3a2）2=6a4
C. a6+a2=a3
D. 2a+3b=5ab
【答案】A
【分析】根据积的乘方法则运算即可.
【解答】A选项中，因为，所以A中计算正确；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为不能再化简计算，所以C中计算错误；
D选项中，因为不能再化简计算，所以D中计算错误.
选A.
2.【答题】下列计算正确的是( )
A. a2＋a3＝a5
B. (2a)2＝4a
C. a2·a3＝a5 D. (a2)3＝a5
【答案】C
【分析】根据积的乘方法则运算即可.
【解答】解： A.不是同类项，不能合并，故A错误；
B.(2a)2＝4a2 ，故B错误；
C.a2·a3＝a5，正确；
D.(a2)3＝a6，故D错误．
选C.
3.【答题】下列运算正确的是（ ）
A. a6÷a2=a4
B. a2·a3=a6
C. （a3）2=a5
D. （3ab2）3=9a3b6
【答案】A
【分析】根据积的乘方法则运算即可.
【解答】A. a6÷a2=a4，故本选项正确；
B. a2·a3=a5，故本选项错误； C.（a3）2=a6，故本选项错误；
D.（3ab2）3=27a3b6，故本选项错误.
选A.
4.【答题】下列运算正确的是（ ）
A. |－1|＝－1
B. x3•x2＝x6
C. x2+x2＝x4
D. (3x2)2＝6x4
【答案】A
【分析】根据积的乘方法则运算即可.
【解答】试题分析：A、∵＞1，∴－1＞0，
∴|－1|＝－1，故此选项正确；
B、x3•x2＝x5，故此选项错误；
C、x2＋x2＝2x2，故此选项错误；
D、(3x2)2＝9x4，故此选项错误．
选A.
七年级数学下册 第八章《整式乘除与因式分解》同步练习 沪科版 2
用心 爱心 专心 - 1 - 第八章 同步测试卷
一、选择（每小题3分，共30分）
1.下列关系式中，正确的是（ ）
A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.(a+b)2=a2+b2 D.(a+b)2=a2-2ab+b2
2.x5m+3n+1÷(xn)2·(-xm)2等于（ ）
A.-x7m+n+1 B.x7m+n+1 C.x7m-n+1 D.x3m+n+1
3.若36x2-mxy+49y2是完全平方式，则m的值是（ ）
A.1764 B.42 C.84 D.±84
4.在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次用了我国科研人员自主研制的强度为4.6×108帕的钢材，那么4.6×108的原数是( )
A.4600000 B.46000000 C.460000000 D.4600000000
5.代数式ax2-4ax+4a分解因式，结果正确的是（ ）
A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)
6.已知31xx，则221xx的值是（ ）
A.9 B.7 C.11 D.不能确定
7.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是( )
A.2241yxyx B.222yxyx C.22yx D.22yxyx
8.下列计算正确的是（ ）
A.(ab2)3=ab6 B.(3xy)3=9x3y3 C.(-2a2)2=-4a4 D.(x2y3)2=x4y6
9.若x+y=2,xy=-2 ,则(1-x)(1-y)的值是（ ）
2021-2022学年沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专题练习练习题(含详解)
七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专题练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、对于两个有理数a、b，定义一种新的运算：1babaab，若20m，则2m的值为（ ）
A．32 B．3 C．0 D．12
2、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．221222(1)xxxx
3、下列计算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x6 B．a0＝1
C．（2a）3＝6a3 D．m6÷m2＝m3
4、如果320ab，那么327ab的值为（ ）
A．19 B．3 C．9 D．27 5、运用完全平方公式2222abaabb计算212x，则公式中的2ab是（ ）
A．12x B．﹣x C．x D．2x
6、一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．2ab B．ab C．a2﹣4b2 D．（a﹣2b）2
7、把多项式25xxm因式分解得2xnx，则常数m，n的值分别为（ ）
A．14m，7n B．14m，7n
C．14m，7n D．14m，7n
8、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
七年级下册数学沪科版 第8章 整式乘法与因式分解第8章 专项(Word)整合提升密码
第1页 共7页 专训1 整体思想在整式乘除运算中的应用
名师点金：
解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．
幂的运算中的整体思想
1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值．
乘法公式运算中的整体思想
类型1：化繁为简整体代入
2．已知a＝38x－20，b＝38x－18，c＝38x－16，
求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．
类型2：变形后整体代入
3．已知x＋y＝4，xy＝1，求式子(x2＋1)(y2＋1)的值．
4．已知a－b＝b－c＝35，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
第2页 共7页 5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．
6．已知(2 016－a)(2 018－a)＝2 017，求(2 016－a)2＋(2 018－a)2的值．【导学号：19752044】
多项式乘法运算中的整体思想
类型1：数字中的换元
7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．
类型2：多项式中的换元
8．计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，且n为正整数)．
专训2 因式分解的七种常见应用
名师点金：
因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．
第3页 共7页 用于简便计算
1．利用简便方法计算：
23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.
初中数学沪科版教材目录(七上-九下全)
1 沪科
七年级上册
第1章 有理数
1.1正数和负数
1.2数轴、相反数和绝对值
1.3有理数的大小
1.4有理数的加减
1.5有理数的乘除
1.6有理数的乘方
1.7近似数
第2章 整式加减
2.1代数式
2.2整式加减
第3章 一次方程与方程组
3.1一元一次方程及其解法
3.2一元一次方程的应用
3.3二元一次方程组及其解法
3.4二元一次方程组的应用
3.5三元一次方程组及其解法
3.6综合与实践 一次方程组与CT技术
第4章 直线与角
4.1几何图形
4.2线段、射线、直线
4.3线段的长短比较
4.4角
4.5角的比较与补（余）角
4.6用尺规作线段与角
第5章 数据的收集与整理
5.1数据的收集
5.2数据的整理
5.3用统计图描述数据
5.4从图表中的数据获取信息
5.5综合与实践 水资源浪费现象的调查
七年级下册
第6章 实数
6.1平方根
6.2实数
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.1不等式及其基本性质
7.2一元一次不等式
7.3一元一次不等式组
第8章 整式乘法与因式分解
8.1幂的运算
8.2整式乘法
8.3完全平方公式与平方差公式
8.4因式分解
8.5综合实践 纳米材料的奇异特性
第9章 分式
9.1分式及其基本性质
9.2分式的运算
9.3分式方程
第10章 相交线、平行线与平移
10.1相交线
10.2平行线的判定
10.3平行线的性质
10.4平移
八年级上册
第11章 平面直角坐标系
11.1平面内点的坐标
11.2图形在坐标系中的平移
第12章 一次函数
12.1函数
12.2一次函数
12.3一次函数与二元一次方程
12.4综合与实践 一次函数模型的应用
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1三角形中的边角关系
13.2命题与证明
第14章 全等三角形