2019年中考数学：函数 第八讲 一次函数与二次函数综合
2019年中考数学重点题型突破易错点：3-3-2《二次函数》试题及答案
二次函数
易错清单
1. 二次函数与方程、不等式的联系.
【例1】 (2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为( ).
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【解析】 由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
【答案】 ∵ 抛物线与x轴有两个交点,
∴ b2-4ac>0,所以①错误.
∵ 顶点为D(-1,2),
∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.
∵ 抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,
∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间.
∴ 当x=1时,y<0.
∴ a+b+c<0,所以②正确.
∵ 抛物线的顶点为D(-1,2),
∴ a-b+c=2.
∵ 抛物线的对称轴为直线=1,
∴ b=2a.
∴ a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.
∵ 当x=-1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=1时,ax2+bx+c=2,
∴ 方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【误区纠错】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
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中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题
【方法归纳】
据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，
难度之大，可想而知。在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求
出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，
然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函
数的基础知识有：
1．
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式．
(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．
(可以看成的图象平移后所对应的函数．)
(3)交点式：已知图象与x轴的交点坐标x
1、x
2，通常选用交点式：
（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．
3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：
【典例剖析】
【例1
】（2021·
北京·
中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(
1,𝑚)
和点(
3,𝑛)
在抛物线𝑦
=2
yaxbxc
2
yaxhk
2
yax
12yaxxxx
12b
xx
a
12c
xx
a
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𝑎𝑥2
+𝑏𝑥(
𝑎>0)
上．
（1
）若𝑚=3,𝑛=15，求该抛物线的对称轴；
（2
）已知点(
−1,𝑦
1)
,(
2,𝑦
2)
,(
4,𝑦
3)
在该抛物线上．若𝑚𝑛<0，比较𝑦
1,𝑦
2,𝑦
3的大小，并说
明理由．
【例2
】（2022·
北京·
中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚),(3,𝑛)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)上，设抛物线的对称轴为𝑥=𝑡.
(1)
当𝑐=2,𝑚=𝑛时，求抛物线与y
轴交点的坐标及𝑡的值；
(2)
点(𝑥
0,𝑚)(𝑥
0≠1)在抛物线上，若𝑚<𝑛<𝑐,求𝑡的取值范围及𝑥
第43讲 一次函数、二次函数、反比例函数综合应用 2019届中考数学专项精题训练
第43讲 一次函数、二次函数、反比例函数综合应用
一、一次函数、二次函数、反比例函数综合题的基本思路
我们从图象上来区分一次函数、二次函数、反比例函数的特点，一次函数图象是直线，二次函数图象是抛物线，反比例函数图象是双曲线，而它们共同的特点是数形结合，通过点的坐标即数（或量）联系起来，同时要善于把一些实际问题建立函数模型，使问题简单化，用方程或不等式来解决。
例1、如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与直线y＝x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x＝的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x＝的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
【详解】解：如图
∵抛物线y＝x2﹣x﹣与直线y＝x﹣2交于A、B两点，
∴x2﹣x﹣＝x﹣2，
解得：x＝1或x＝，
当x＝1时，y＝x﹣2＝﹣1，
当x＝时，y＝x﹣2＝﹣，
∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1）， ∵抛物线对称轴方程为：x＝﹣＝
作点A关于抛物线的对称轴x＝的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x＝）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF＝B′F，AE＝A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C＝++（1﹣）＝1，B′C＝1+＝，
∴A′B′＝＝．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．
例2、如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为 ．
2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析
2019中考数学专题复习 二次函数与线段最值问题 含解析
二次函数与线段最值问题
一．填空题
1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
二．解答题
2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标；
（2）当a≤x≤b时，函数y
的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，
求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2
，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求
m﹣n的最小值．
5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；
（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？
（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整
数；
（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．
6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标．
（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
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中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
1．如图，二次函数y＝- 34 x2+ 94 x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． 2 / 24
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标．
4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A， C两点，过点C作CB垂直于x轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。 （3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能 3 / 24 否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax2交于A，B两点，点A坐标为(1，1)。
中考数学专题复习二次函数综合(三)
试卷第1页，共6页 中考数学专题复习二次函数综合（三）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A(﹣1，0)．
（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）
（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
2．已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．
(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．
试卷第2页，共6页 3．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．
（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＝12时，写出区域W内的所有整点坐标；
（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，一次函数3yax的图象与y轴交于点A，与抛物线2230yaxaxaa的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．
（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；
（2）∠当1a时，直接写出抛物线223yaxaxa与图形G的公共点个数．
∠如果抛物线223yaxaxa与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．
中考压轴题二次函数与周长、面积综合题(解析版)
专题05 二次函数与周长、面积综合题
1.（2019年湖北省黄石市中考数学试题）如图，已知抛物线经过点、.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）
【答案】（1），;（2）36;（3）
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；
（2）S四边形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．
【详解】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，
点M坐标为（2，-3）；
（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），
S四边形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；
（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，
抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，
则新抛物线表达式为：y=x2， 则定点D与动点P之间距离PD=，
∵＞0，PD有最小值，当x2=3m-时，
PD最小值d=．
2.（2019年湖南省常德市中考数学试题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(1,0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2yx2x3 （2）最大值为10
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于
反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、
最值问题以及与几何综合压轴类的题型。无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例
函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。通过函数的图
像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间
而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题
函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图
像特点来判定符合两个函数参数的图形。解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连
同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
例1．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数yaxb
与反比例函数ab
y
x（a，b为常数且均不
等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）
A．B．C．D．
变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数ykxk与反比例函数
k
yx
的图象可能是（）
A．B．C．D．
变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b
yb
x
的图象如图所示，则一次函数()0ycxac
和
二次函数2(0)yaxbxca
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
题型2.反比例函数和一次函数的交点问题
中考数学分类一次函数与二次函数试卷(含答案)
中考数学试题分类—次函数与二次函数
一．一次函数的图象（共2小题）
1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．一次函数的性质（共1小题）
3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
4．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=√2x+2 C．y＝4x+2 D．y=2√33x+2
6．（2019•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．4
四．一次函数的应用（共10小题）
7．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ．
8．（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
山东省潍坊市2019年中考数学试题及参考答案与解析
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山东省潍坊市2019年中考数学试题及参考答案与解析
（满分120分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．2019的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
【知识考点】相反数；倒数．
【思路分析】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可；
【解答过程】解：2019的倒数是，再求的相反数为﹣；
故选：B．
【总结归纳】本题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2 C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9
【知识考点】去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；单项式乘单项式．
【思路分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答过程】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；
D、（a3）2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
【总结归纳】本题考查了单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质．熟练掌握法则是解题的关键．
3．“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（ ）
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】利用科学记数法的表示形式展开即可
【解答过程】解：1.002×1011＝1 002 000 000 00＝1002亿