高考数学分类汇总导数求极值最值
1.（2012陕西文）设函数f （x ）=2x
+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点
2．(2001江西理)函数331x x y -+=有
（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3
（C ）极小值－2，极大值2 （D ）极小值－1，极大值3
3．下列函数存在极值的是（ ）A ．y =x
1 B ．y =32
x C ．y =2 D ．y =x 3
4．函数x xe y -=的极值点为 ， 5.(2011安徽文) 设2()1x e f x ax =+，其中a 为正实数，（Ⅰ）当a 43
=时，求()f x 的极值点 6.（2005全国Ⅰ）93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
7.（2009辽宁文）若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7. 求函数2()4f x x x =-极值
7. 求函数31()443
f x x x =-+极值 7. 求函数3()f x x =极值
7. 求函数32
()23124f x x x x =--+在区间[]2,4-上的最值 7. 求函数32
()31f x x x =-+在区间[]2,4-上的最值 7. 求函数3
()128f x x x =-+在区间[]3,3-上的最值 7. 求函数32
()39f x x x x =--+在区间[]2,4-上的最值
7. 求函数323()62
f x x x x =-++在区间[]2,4-上的最值 8．（2007江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为
,M m ，则M m -=____________
9．（2006浙江文）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
10.（2004江苏）函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
11．（2007湖南理）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是
12 .函数y =x 3+x 3
在(0，+∞)上的最小值为 A.4 B.5 C.3 D.1
13．函数y =f (x )=ln x －x ,在区间(0,e ］上的最大值为 A.1－e B.－1
C.－e
D.0
14．223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为
154，则a =（ ） A.32-
B. 12
C. 12-
D. 12或32
- 15．（2004浙江文）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=（Ⅰ）求导数)(x f '；
（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[-2，2] 上的最大值和最小值；
16．函数y =f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2，在x =1时，有极值10，那么a ，b 的值为_______.
17．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝（ ）
A ．9
B ．－9
C ．1
D ．－1
18．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函
数在[-2，2]上的最小值为（ ） A -37 B -29 C -5 D -11
19．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有极小值，则a 的取值范围为（ ）
A ．0≤a ＜1
B ．0＜a ＜1
C ．－1＜a ＜1
D ．0＜a ＜12
20．(2003年烟台统考)已知函数f (x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，
则实数a 的取值范围是
21．.若函数y =x 3－3bx +3b 在(0，1)内有极小值，则
A.0
B.b <1
C.b >0
D.b <2
1
22.（2009宁夏文）函数3223()39f x x ax a x a =--+.（1）设1a =，求函数()f x 的极值；
23．已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1.
(1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
24.（2012江苏）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =
的极值点。已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1） 求a 和b 的值；
25. （2011江西文) 设()nx mx x x f ++=233
1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；
26.（2012重庆文）函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -，（1）求a 、b 的值；
27．（2001江西、山西、天津文）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．
试确定a 、b 的值．并求出f （x ）的单调区间．
28.（2005北京理文） 已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
29、（2006湖北文）设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ， 并求f(x)的单调区间。
30．（2006江西）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－
23
与x ＝1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ） 31.（2007全国一文）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <，求c 的取值范围． 32. (2007陕西文) 已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区 间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.2 3)21 (='f (Ⅰ)求)(x f 的解析式; (Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围. 33.(2005全国Ⅱ)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 34．(2008全国Ⅱ文) 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，， ，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 35．(2007重庆理 )已知函数c bx x ax x f -+=4 4ln )((x>0)在x = 1处取得极值--3--c ， 其中a,b,c 为常数。（1）试确定a,b 的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 36.（2006安徽文）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。 极值点偏移的问题（含答案） 2 1212()ln ,(1()11 21()()3(),,f x x ax a f x x x a a f m f m f x x x x x e =-==?1.已知为常数） （）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（）当时，试比较与的大小； （）有两个零点证明：＞ 21212()ln (),,. f x x ax f x x x x x e =-?变式：已知函数，a 为常数。(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，试证明：＞ 2012120()+sin ,(0,1);2 ()()()()(),2. x f x x ax x f x a a f x f x f x f x x x x π=+∈=+2.已知（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围； （2）当=-2时，记取得极小值为若求证＞ ( )2121212121 ()ln -,() 2 (1=()()()(1)()1 ,,0,2 f x x ax x a R f f x g x f x ax g x a x x f x f x x x x x =+∈-++=+≥ 3.已知（1）若）0，求函数的最大值； （2）令=-,求函数的单调区间； （3）若=-2,正实数满足（）证明： 2 12122(1)1 (1)1,,x x x x x e -+>>4.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-证明：当时，g(x)>0恒成立； （2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x 求证：x 12123 12()2ln ,1()2(),8f x x a a x a R f x f x x x x x a x x a =--∈ 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 极值点偏移的问题（含答案） 2 1212()ln ,(1()11 21()()3(),,f x x ax a f x x x a a f m f m f x x x x x e =-==?1.已知为常数） （）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（）当时，试比较与的大小； （）有两个零点证明：＞ 21212()ln (),,. f x x ax f x x x x x e =-?变式：已知函数，a 为常数。(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，试证明：＞ 2012120()+sin ,(0,1); 2 ()()()()(),2. x f x x ax x f x a a f x f x f x f x x x x π=+∈=+2.已知（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围； （2）当=-2时，记取得极小值为若求证＞ ( )2121212121 ()ln -,() 2 (1=()()()(1)(),,0,f x x ax x a R f f x g x f x ax g x a x x f x f x x x x x =+∈-++=+≥ 3.已知（1）若）0，求函数的最大值； （2）令=-,求函数的单调区间； （3）若=-2,正实数满足（）证明： 2 12122(1)1 (1)1,,x x x x x e -+>>4.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-证明：当时，g(x)>0恒成立； （2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x 求证：x 12123 12()2ln ,1()2(),8f x x a a x a R f x f x x x x x a x x a =--∈ 高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1． 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (２)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- （Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ?面积的最大值． 5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o ，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值． 6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长； (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值. 第9课时最值问题 要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析 要点·疑点·考点 1.能够根据条件恰当地选择自变量建立目标函数，然后利用求函数最值的方法(如配方法、基本不等式法、三角函数的值域、函数的单调性、判别式法等)求出最大、最小值 2.能够结合曲线的定义和几何性质，运用“数形结合”或者用“几何法”求出某些最大、最小值. 返回 1322=-y x 1.定长为12的线段AB 的端点在双曲线的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为_____.2.已知点，F 是椭圆的左焦点，一动点M 在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为_____.3.若动点P 在直线2x+y+10=0上运动，直线PA 、PB 与圆x 2+y 2=4分别切于点A 、B ，则四边形PAOB 面积的最小值为_______.112 1622=+y x () 32，A 课前热身 2 7 108 返回 4.椭圆且满足，若离心率为e ，则的最小值为()(A)2(B)(C)(D)()0122 22>>=+b a b y a x b a 3≤221e e +6133132 35.设点P 是椭圆上的动点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则sin ∠F 1PF 2的最大值为_________________12222=+b y a x 783B 能力·思维·方法 1.过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积S的最大值. 【解题回顾】本题若选择PQ为底表示△POQ的面积则运算量较大 【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论.2.已知定点A (a ,0)，其中0＜a ＜3，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a 的值.149 2 2=+y x 极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 最值问题 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾: 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立?f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立?f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题： 实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。 三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性； 高考数学不等式中最值问题全梳理 模块一、题型梳理 题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题 例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22 12x x +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ． ) +∞ C ． ()2,+∞ D ．()0,1 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为 ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞， 12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x = ，则22 12x x + =212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 22 91 sin cos αα +的最小值为（ ） A ．2 B ．16 C ．8 D ．12 【分析】利用22sin cos 1αα+=将22 91sin cos αα +变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∵ ()22 2222 9191sin cos sin cos sin cos αααααα?? +=++ ??? 2222 sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2 1cos 4α=时“=”成立，故2291 sin cos αα +的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题. 例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n －4＝0(m >0，n >0)上，则 m ＋n 的最小值为________． 【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∵1m ＋1 n ＝4，∵m >0，n >0，∵m ＋n ＝14(m ＋n )????1m ＋1n ＝14????2＋n m ＋m n ≥14? ?? ?? 2＋2 n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∵m ＋n 的最小值为1. 题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题 例题4 已知,x y 满足约束条件230 23400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中 0,0m n >>），则 11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n +最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=. ()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ?????+=?+?+=?++≥?+=?= ? ? ?????，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32 .故选：D 1. 已知函数2 ()(1)x f x x e ax =-+ 有两个零点. （1）当a =1时，求()f x 的最小值； （2）求a 的取值范围； （3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明12+0x x <. 【（1）(,0)-∞ 减(0,)+∞ 增（2）0a > ；说明零点存在，用不等式放缩，半a 与-1的较量；极值点偏移】 2. 【★★】已知函数2 ()ln 2()f x x x x ax a R =+-+∈ 有两个不同的零点12,x x . （1）求实数a 的取值范围. （2）求证：12+2x x >. （3）求证：121x x ?>. 【（1）3a > 】 3. 已知函数2()ln f x x x ax =- ，a R ∈ . （1）当12 a = 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x < ，求1()f x 的取值范围. 4. （2016全国一：21）已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设12x x ，是的两个零点，证明：12 2.x x +< 5. 已知函数ln ()=x f x x . （1）求函数()f x 的极值； （2）当0x e << 时，求证：()()f e x f e x +>- ； （3）设函数()f x 图像与直线y m = 的两交点分别为11(,())A x f x ，11(,())B x f x ，AB 中点横坐标为0x ，证明：0'()0f x < . 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 [基础题组练] 1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵ 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( ) A ．(10，14) B ．(12，14) C ．(10，12) D ．(9，11) 解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1， 圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5， 可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)， 故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C. 2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB → (λ＞1)， 则λ的值为________． 解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB → ，得????p 2－x 1，－y 1＝λ????x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43????x －p 2，联立直线AB 与抛物线方程，消元得y 2－3 2 py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2 y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4. 答案：4 3．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF → 的取值范围． 解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋ 2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2， 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。 专题十六最值问题 【考点聚焦】 考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积 考点2:解斜三角形. 考点3:线段的定比分点、平移. 考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用 考点5:向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； (1)二次函数：配方法和函数图像相结合； a (2) f (x) =x (a = 0, a ? R):均值不等式法和单调性加以选择； x (3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数?3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1:函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题?求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、 判别式法、有界性、图象法等? 例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)， (1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值. 思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论. (1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T. 若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R 都不成立，故f(x)不是奇函数； 高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R ?=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+??∈， 则0)1()1(')1(')('21>?=??+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>?对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x ?∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +?=?>??==， 即12(2)()f x f x ?>，又因为122,(1,)x x ?∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x ?<，即证12 2.x x +> 法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e ??=，化简得2121x x x e x ?=… ， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =?，则210,t x t x >=+，代入 式，得11 t t x e x += ， 反解出11t t x e =?， 与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享 1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值 问题；③形如(x －a )2 ＋(y －b )2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展 1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -. 2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 四、题型分析 (一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值. 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共12小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f 232131)(，R a ．(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围；(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e x x f x ，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x . 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()x f x ax (0)a . （Ⅰ）当1a 时，求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 专题 最值问题 【考点聚焦】 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形. 考点3：线段的定比分点、平移. 考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+ =:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数. 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1：函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等. 例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2 R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值． 思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论． (1)解法一：(利用定义)2 )(x x f =-＋1++a x ，2 )(x x f -=-. 1---a x 若2 2),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数； 若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2 x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对 R x ∈恒成立，只能是0=a ． 故0=a 时，)(x f 为偶数； ≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． 解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数． 若0=a ，则=)(x f 1)(2 ++=-x x x f ，)(x f 为偶函数； 若 ≠a ，则12)(,1)(2 2++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在 ≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数． （2）当a x ≤时，4 3 )2 1(1)(2 2 ++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若2 1 ≤ a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2 +=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为4 3)21(=f ，且 )()2 1 (a f f ≤． 当a x ≥时，函数4 3)21(1)(22 +-+=+-+=a x a x x x f ． 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21 (a f f ≤-； 若2 1 ->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最 小值为1)(2 +=a a f ． 综上所述，当21- ≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12 +a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是4 3+a ．极值点偏移的典型例题(含答案)
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