(新高考)2021届高考精品最新冲刺试卷 理科数学(一) 教师版
17．（12 分）已知数列 是递增的等差数列， （1）求 ；
，且 是 与 的等比中项．
（2）若 【答案】（1）
，求数列 的前 项和 ．
；（2）
．
【解析】（1）设 的公差为 ，且
，
据题意则有
，即
，
∵
，解得
，∴
．
（2）
，
前 项和
．
18．（12 分）如图，三棱柱
中，平面
平面
，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若 与平面
A． B． C． D． 【答案】C
，则
【解析】∵
表示以原点为圆心，以 为半径的圆的面积的四分之一，
∴
，∴
．
设
，公比为 ，∴
，
∴ ．
5．已知
，则
（）
A．
B．
【答案】A
C． D．
【解析】由于
，
所以
，整理得
，
所以 6．在
，则
．
年亚洲杯前，某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队，制作了 种不同的精
美海报，每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报，集齐 种不同的海报就可获得中国队在亚
封 座位号
密
考场号
不
订
准考证号
装
（新高考）202 届高考精品最新冲刺试卷
理 科 数 学（一）
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．设复数 满足 于（ ）
，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 2．集合
，该复数对应的点为
，在第四象限．
，
，则
（）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】解得集合
，
，
∴
．
3．向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若向量
与 共线，则实数 （ ）
只
卷
姓名
此
班级
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图形代入选项可得
，满足
与 共线，∴
．
4．若数列 是公比不为 的等比数列，且 （）
上单调递增，
，
，所以
，
12．已知定义在 上的奇函数 满足当
时，
的函数
，
的所有零点之和为（ ）
，则关于
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作函数 与
的图象如图，结合图象可知，
函数 与
的图象共有 个交点，
故函数
有 个零点，
设 个零点分别为
，
∴
，
，
，
故
，即
，
故
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
【解析】设
，
，则
，
，
区域 表示的是平面上的点到点
的距离从 到 之间，
如下图中的阴影部分圆环，要使
为两段分离的曲线，则
．
11．已知定义域为 的奇函数 的导函数为
，当
时，
，
若
，
A．
B．
【答案】C
，
C．
D．
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
【解析】设
又当
时，
因为
又
即
．
，因为 为奇函数，所以 为偶函数，
，所以 在
13．在平面上， ， 是方向相反的单位向量，若向量 满足
为．【答案】 Nhomakorabea，则 的值
【解析】由题意
，即
，
又 ， 是方向相反的单位向量，所以
，
，
所以
，即
，所以
．
14．设 ， ， 分别为三角形
的内角 ， ， 的对边，已知三角形
的面积等于
【答案】
，则内角 的大小为
．
【解析】由已知 又由余弦定理可得
，所以
又
，所以
所成的最大角为 ．
其中正确命题的序号是
．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】对于①，因为
平面
，所以
，
，
，
又
，所以
平面
，所以
，
故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若
，
，
，
平面
，
∴三棱锥
的外接球可以看作棱长为 的正方体的外接球，
∴ 对于③，设 则有
， 内心是 ，则
，
，∴体积为
平面
，连接 ，
又内切圆半径
，所以
，
，∴②正确； ，
故
，
∴三棱锥
的体积为
，∴③正确；
对于④，∵若
，
平面
，
则直线 与平面
所成得最大角时， 点与 点重合，
在
中，
即直线 与平面
，∴
，
所成的最大角为 ，∴④不正确，
故答案为①②③．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
洲杯上所有比赛的门票．现有 个球迷组成的球迷团（每人各买一份球迷礼包），则他们能获得该门
票的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】解法一：设事件 为“ 个球迷组成的球迷团能获得该门票”，
则
．
解法二：设事件 为“ 个球迷组成的球迷团能获得该门票”，
则
，∴
．
7．已知椭圆
的右焦点为 ，过点 作圆
线互相垂直，则椭圆 的离心率为（ ）
的切线，若两条切
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，
由题意可得
，则
，即
，则
，
∴
，即
，故选 D．
8．已知函数 A． B． 【答案】B
，若 C． D．
，则
（）
【解析】根据题意，函数
，则
，
则
，
则有
，
又由
，则
，故选 B．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
的直线为 轴，建
则
，
，
，
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
令 ，得
，
由（1）知，
平面
，∴
是平面
的一个法向量，
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】由三视图知，该几何体是如图所示的多面体
由题意知，直三棱柱
的体积
四棱锥
的体积
，
故所求的几何体的体积
．
，连接 ， ，
10 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系
中，已知向量 ， ，
．曲线
，
，点 满足
，区域
A．
B．
【答案】A
．若 C．
为两段分离的曲线，则（ ） D．
．
15． 【答案】
的展开式中 的系数为
， ，
．
【解析】 16．三棱锥
的展开式中 的系数为
．
中，点 是
斜边 上一点．给出下列四个命题：
①若
平面
，则三棱锥
的四个面都是直角三角形；
②若
，
，
，
平面
，则三棱锥
的外接球体积为
；
③若
，
，
， 在平面
上的射影是
内心，则三棱锥
的体积为 ；
④若
，
，
， 平面
，则直线 与平面
所成的线面角为 ，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：∵平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
，∴
平面
，
∵
平面
，∴
，
∵
，∴
，
又
，∴
平面
，∴平面
平面
．
（2）过 作
于点 ，
∵平面
平面
，∴
平面
，
为 与平面
所成的角，∴
，∴
，
令
，则
．
以 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，过 且平行于 立如图所示的空间直角坐标系．
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(原卷版)
A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10
B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 PBA 最小时， PB 3 2
D. 当 PBA 最大时， PB 3 2
12.
在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB
AA1
1
，点
P
满足
BP
BC
BB1
，其中
0,1
，
0,1 ，则（ ）
A. 当 1 时， △AB1P 的周长为定值
（2）若 AD 2DC ，求 cos ABC .
20. 如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD 平面 BCD ， AB AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA CD ； （2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE 2EA ，且二面角 E BC D 的大小为 45 ，求三棱锥 A BCD 的体积.
an an
1, n为奇数, 2, n为偶数.
（1）记 bn a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列 bn 的通项公式；
（2）求an 的前 20 项和.
18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并
从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分； B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正 确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm 12dm
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国乙卷高考理科数学试卷真题及答案详解(精校版)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
D． c a b
试卷第 2页，共 5页
13．已知双曲线 C : x2 y 2 1(m 0) 的一条渐近线为 3x my 0 ，则 C 的焦距为_________．
m
14．已知向量
a
1,
3
,
b
3,
4
，若
(a
b)
b
，则
2
2
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于
D，
f
x
1
1
x
2
2
，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
5．D
【分析】
平移直线 AD1 至 BC1 ，将直线 PB 与 AD1 所成的角转化为 PB 与 BC1 所成的角，解三角形即可. 【详解】
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 2 z z 3 z z 4 6i ，则 z （
）
A．1 2i
B．1 2i
C．1 i
D．1 i
2．已知集合 S s s 2n 1, n Z，T t t 4n 1, n Z ，则 S Ç T = （
的图像，则
f
(x)
（
）
A．
sin
x 2
7 12
B．
sin
x 2
12
C．
sin
2
x
7 12
D．
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(原卷版)
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的=1i ，则|2–2|=（ ）A 0B 1C 2D 2 ={|2–4≤0}，B ={|2a ≤0}，且A ∩B ={|–2≤≤1}，则a =（ ）A –4B –2C 2D 43埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A 514-B 512- C 514+ D 512+ :y 2=2(,)(1,2,,20)i i x y i =y a bx=+2y a bx =+e x y a b =+ln y a b x =+43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()cos π()6f x x ω=+[π,π]-10π97π64π33π225()()x x y x y ++ π()0,α∈3cos28cos 5αα-=sin α=53231359,,A B C O 1O ABC 1O 4π1AB BC AC OO ===O 64π48π36π32π：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A 210x y --=B 210x y +-=C 210x y -+=D 210x y ++=12若242log 42log a b a b +=+，则（ ）A 2a b >B 2a b <C 2a b >D 2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9.已知 ，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用二倍角 余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（）
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）
【详解】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（）
A. B. C. D.
高三数学冲刺试卷 理(含解析)(2021年最新整理)
黑龙江省大庆市2017届高三数学冲刺试卷理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省大庆市2017届高三数学冲刺试卷理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年黑龙江省大庆高考数学冲刺试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0,1,2｝，B=｛x｜(x﹣1)（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0｝B．｛0，1} C．｛﹣1，0,1｝D．｛0，1,2}2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i)=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3"的逆否命题是:“若x≠3,则x2﹣4x+3≠0"B．“x＞1”是“｜x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0"，则¬p:“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”4．函数的图象的图象( ）A．关于原点对称B．关于直线 y=﹣x 对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x 对称5．已知公差不为零的等差数列｛a n｝，若a5，a9，a15成等比数列,则等于（) A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．27．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞48．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β,α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ,m⊥αD．n⊥α，n⊥β,m⊥α9．将4名大学生分配到A,B,C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人,若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（）A．36种B．30种C．24种D．20种10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=,则cos(α+）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣11．抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0)，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R上的奇函数f（x)，设其导函数为f′（x),当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′(x)＜f（﹣x），令F(x）=xf（x），则满足F(3)＞F（2x﹣1)的实数x的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2) D．（﹣1，）二、填空题（共4小题，每小题5分,共20分）13．若在等腰Rt△ABC 中，｜|=｜|=2，则•= ．14．已知正数x，y满足约束条件,则的最小值为．15．数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An,若a2=2，则A= ，数列的前n项和T n= ．16．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某同学将“五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ)（w＞0,｜φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φπ2πxAsin（wx+φ)05﹣50（1）请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x)的解析式；（2)将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g（x）图象，求y=g(x）的图象离原点O最近的对称中心．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC=BC=BB1,点D是BC的中点．(1)求证：A1C∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的正弦值；（3）判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1)求比赛三局甲获胜的概率;（2)求甲获胜的概率；（3)设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0），（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率;(Ⅱ）如图，AB是圆M：(x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数f（x）=lnx，g(x)=f（x）+ax2+bx,函数g（x）的图象在点（1,g（1))处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；(2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2),（x1＜x2)，证明:．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离;（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，)，求｜PA|+｜PB｜．选考题（共1小题,满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|+｜m﹣x|(其中m∈R）．（1）当m=2时，求不等式f（x)≥6的解集;(2）若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2017年黑龙江省大庆一中高考数学冲刺试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2｝，B={x｜（x﹣1）(x+2）＜0｝，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．｛0，1｝C．｛﹣1，0，1｝D．｛0，1，2｝【考点】1E：交集及其运算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B,然后进行交集的运算即可．【解答】解:B={x｜﹣2＜x＜1}，A={﹣2,﹣1，0，1，2｝；∴A∩B={﹣1，0｝．故选:A．2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：,∴z=2+3i．故选：A．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p:“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】25：四种命题间的逆否关系；2J:命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由逆否命题的定义知A是正确的；x＞1｜⇒x|＞0成立，但|x|＞0时，x＞1不一定成立，故B是正确的；p且q为假命题,则p和q至少有一个是假命题，故C不正确;特称命题的否定是全称命题,故D是正确的．【解答】解:逆否命题是对条件结论都否定,然后原条件作结论，原结论作条件，则A是正确的；x＞1时，|x｜＞0成立，但｜x|＞0时，x＞1不一定成立,故x＞1是|x|＞0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否定是全称命题，故D是正确的．故选C．4．函数的图象的图象（）A．关于原点对称B．关于直线 y=﹣x 对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x 对称【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数奇偶性，根据奇偶性得出结论．【解答】解：由函数有意义得＞0,解得﹣2＜x＜2，设f（x)=log2，则f（﹣x）=log2=﹣log=﹣f（x），∴y=log2是奇函数,∴y=log2的图象关于原点对称．故选A．5．已知公差不为零的等差数列｛a n｝，若a5，a9，a15成等比数列，则等于（）A．B．C．D．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】设出等差数列的公差，由a5，a9，a15成等比数列得到a9和公差的关系,则的值可求．【解答】解：设等差数列｛a n}的公差为d（d≠0）,由a5，a9，a15成等比数列，得,即，∴a9=12d．则a15=a9+6d=12d+6d=18d．∴=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．2【考点】L！:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图,我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解:由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥由于正视图是一个上底为1,下底为2，高为1的直角梯形故棱锥的底面面积S==则V===故选A7．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是( ）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β,α∩β=l,m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ,β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α,n⊥β,m⊥α【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确;α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确;n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D9．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（)A．36种B．30种C．24种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意中甲要求不到A学校，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校,易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意，首先分配甲,有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C32•A22=6种情况；则若甲要求不到A学校,则不同的分配方案有2×(6+6）=24种;故选：C．10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos(+α）=，cos（﹣）=,则cos（α+)=( ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α)和sin（﹣)的值，进而利用cos（α+）=cos通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解:∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==,sin(﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos(﹣)+sin（+α）sin（﹣)=故选C11．抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x，y)为该抛物线上的动点，又点A(﹣1,0），则的最小值是( ）A．B．C．D．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线的定义,转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知,抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA，当PA是抛物线的切线时,有最小值，则∠APN 最大,即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大,设在PA的方程为：y=k（x+1)，所以，解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0,解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．12．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x)，当x∈(﹣∞,0］时,恒有xf′(x)＜f（﹣x），令F(x)=xf（x），则满足F（3)＞F(2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（,2）B．(﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1,）【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到:′＜0,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）,所以：f(﹣x)=﹣f（x)设f（x）的导函数为f′(x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(﹣x)，则：xf′(x）+f（x）＜0即:′＜0所以:函数F（x）=xf（x)在(﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f(x）为奇函数,令F（x）=xf（x)，则：F（x）为偶函数．所以函数F（x)=xf(x）在(0，+∞）上是单调递增函数．则:满足F(3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：解得：所以x的范围是：（）故选：A二、填空题(共4小题,每小题5分，共20分）13．若在等腰Rt△ABC中,||=｜|=2，则•= ﹣4 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件,以及向量的平方即为模的平方，即可得到．【解答】解：在等腰Rt△ABC中,｜|=｜｜=2，且AB⊥AC，即有•=•（﹣)=•﹣=0﹣22=﹣4．故答案为：﹣4．14．已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=2x+y,化为y=﹣2x+t,数形结合求得t的最大值，进一步求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2)．令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．∴的最小值为．故答案为：．15．数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An，若a2=2，则A= ，数列的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知得a2=S2﹣S1==2，从而a=,利用，求出a n=n，从而==,由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和．【解答】解:∵数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An，a2=2,∴a2=S2﹣S1=()﹣(）==2,解得a=,∴=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[］=n，当n=1时，上式成立,∴a n=n，∴==，∴数列的前n项和：T n=1﹣…+=1﹣=．故答案为：，．16．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【考点】HW：三角函数的最值；HX：解三角形．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A)=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0,cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C)=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A,B,C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0,由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得,﹣≤＜0,因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C)=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0,即x≥2，即x≥8,或x≤0(舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换）,此时A,B,C均为锐角．三、解答题(共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某同学将“五点法”画函数f(x）=Asin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φπ2πxAsin(wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g(x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．【考点】HK：由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；(2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．【解答】解：（1）数据补充完整如下表：wx+φπ2πxAsin（wx+φ）050﹣50函数f（x）的解析式为:f（x)=5sin（2x ﹣）．（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g（x）=5sin=5sin(2x+)．由2x+=kπ，k∈Z,可解得：x=﹣，k∈Z，当k=0时，可得：x=﹣．从而可得离原点O最近的对称中心为：(﹣，0)．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC=BC=BB1,点D是BC的中点．（1）求证:A1C∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的正弦值；（3）判断在线段B1B上是否存在一点M，使得A1M⊥B1D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定;LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1)以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系,求出面AB1D的法向量，证明=0，即可得到结论;（2)确定平面AB1D的法向量、平面ABD的法向量,利用向量的夹角公式，即可求得结论；(3)设出M的坐标，利用则，可得结论．【解答】（1）证明:以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设AC=BC=BB1=2,则A1（2，0,2)，C（0,0，0），D（0，1，0),A（2，0，0)，B1（0，2，2），B （0，2，0）∴，，设平面AB1D的法向量为=(x，y，z）,则由，可得，故可取=（1，2,﹣1)∵=0,∴A1C∥平面AB1D；（2）解：由（1)知平面AB1D的法向量为=(1，2,﹣1），平面ABD的法向量为=(0，0，2)∴二面角B1﹣AD﹣B的余弦值为｜｜=｜|∴二面角B1﹣AD﹣B的正弦值为;（3）解：设M(0，2，t），则=(﹣2，2，t﹣2）,=（0，﹣1，﹣2）若A1M⊥B1D,则，∴﹣2﹣2(t﹣2)=0，∴t=1∴=时，A1M⊥B1D．19．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2)求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；CG：离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）比赛三局甲获胜的概率是:P3==．（2）再求出P4和P5,甲获胜的概率是：P3+P4+P5=．（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是 EX．【解答】解：记甲n局获胜的概率为 P n，n=3，4，5,（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3==；（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4==;比赛五局甲获胜的概率是:P5==；甲获胜的概率是：P3+P4+P5=．（3）记乙n局获胜的概率为 P n′，n=3，4,5．P3′==，P4′==；P5′==;故甲比赛次数的分布列为：X345P（X）P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（）+4(）+5（）=．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c．(Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：(x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KE：曲线与方程．【分析】（Ⅰ)求出经过点（0，b)和（c,0）的直线方程,运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由(Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程，代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：(Ⅰ）经过点（0，b)和(c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===;（Ⅱ)由(Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M(﹣2，1)是线段AB的中点，则|AB｜=，易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k（x+2)+1,代入①可得(1+4k2）x2+8k（1+2k)x+4（1+2k)2﹣4b2=0，设A（x1，y1）,B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是｜AB|=•｜x1﹣x2｜=•==，解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1．21．已知函数f（x）=lnx，g（x)=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点(1,g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系;（2）若a≥0,试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2,y2），（x1＜x2），证明：．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；R6：不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出;（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；(3）证法一:利用斜率计算公式，令（t＞1)，即证（t ＞1），令（t＞1)，通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式,令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令,通过求导即可证明;证法四：利用斜率计算公式,令h(x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解:（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1,g（1））处的切线平行于x轴得:g’（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．(2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0,+∞),∴当a=0时,,由g'（x)＞0得0＜x＜1，由g’（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减;当a＞0时，令g'(x)=0得x=1或，若，即时,由g’（x）＞0得x＞1或，由g’(x）＜0得，即函数g（x）在，（1,+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g’（x)＞0得或0＜x＜1，由g’(x）＜0得，即函数g（x）在(0,1），上单调递增，在单调递减；若,即时，在（0，+∞)上恒有g’（x)≥0,即函数g(x）在(0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x)在（0，1)上单调递增，在（1,+∞）单调递减;当时，函数g（x)在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x)在（0，+∞)上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1,+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证,令（t＞1），即证（t＞1)①，令(t＞1),则＞0,∴h（t)在（1，+∞）上单调递增,∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1)，即．证法二：依题意得,令h（x）=lnx﹣kx，则，由h’（x）=0得，当时，h’（x）＜0，当时，h'(x)＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减,又h(x1）=h（x2)，∴，即．证法三：令,则，当x＞x1时，h’（x)＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞)单调递减，∴当x2＞x1时,,即；同理，令,可证得．证法四:依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则,当x＞x1时，h’（x)＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增,∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1)=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则,当x＜x2时，m’（x）＜0，∴函数m(x)在（0,x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1)＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ)求圆C的圆心到直线l的距离;（Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（Ⅱ)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得即,根据两交点A，B所对应的参数分别为t1,t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．【解答】解：（Ⅰ）由,可得,即圆C 的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…(Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得,即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…选考题(共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=｜x+1|+｜m﹣x｜（其中m∈R）．(1）当m=2时,求不等式f(x）≥6的解集；（2）若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）当m=2时,f（x）≥6，即｜x﹣2|+｜x+1｜≥6，通过讨论x的范围，从而求得不等式f（x）≥6的解集;（2）由绝对值不等式的性质求得f（x)的最小值为|m+1｜,由题意得｜m+1｜≥6，由此求得m 的范围．【解答】解：（1）m=2时，f(x)≥6,即｜x﹣2|+｜x+1｜≥6，x＜﹣1时,﹣2x+1≥6，即x≤﹣，故x≤﹣，﹣1≤x≤2时，得:3≥6不成立，x＞2时，得:2x﹣1≥6，即x≥,故x≥，故不等式的解集是｛x|或x≤﹣x≥｝；（2)f（x）=｜x+1｜+｜m﹣x｜≥｜(x+1）+（m﹣x)｜=|m+1｜，由题意得|m+1｜≥6，则m+1≥6或m+1≤﹣6,解得：m≥5或m≤﹣7,故m的范围是(﹣∞，﹣7]∪［5,+∞）．。
专题24 导数(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)
导数（理科）解答题20题1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知函数()ln a f x x x=-． （1）若0a >，证明：()f x 在定义域内是增函数；（2）若()f x 在[1,e]上的最小值为32，求a 的值．4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 7．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+． （1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.10．（2021·广西玉林·模拟预测（理））已知函数321()23f x x ax =-+，a ∈R ．（1）求()f x 的单调区间；（2）令1a =，记函数()f x 图象上的极大值和极小值对应的点分别为M ，N ，试判断线段MN 与曲线()f x 是否存在异于M ，N 的公共点，若存在，请确定公共点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．12．（17年全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm +++<，求m 的最小值． 13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中α＞0，记 ()f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()'f x ；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明()2f x A '≤.15．（2021·河南·模拟预测（理））已知函数()()1e xf x x x =-+.（1）判断()f x 的单调性.（2）证明：()()322e e e 2e f x x x x ≥-++-.16．（2021·云南红河·模拟预测（理））已知函数()1log 2ln a f x x x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >且1a ≠）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当a e =时，若()()2132g x f x mx x =-+有两个极值点1x ，2x ，证明：12ln ln 0x x +>.17．（2022·全国·模拟预测）已知函数2()ln 22(1)(0)f x x ax a x a =+++≠. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）当0a <时，证明：[()2]1a f x +≥-恒成立.18．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知函数()(1)ln f x a x b x =-+的图象在(1,(1))f 处的切线为1y x =-.（1）若函数1()()1x g x f x x +=--，求函数()g x 的单调区间； （2）设函数()e x h x =图象上存在一点()()00,M x h x 处的切线为直线l ，若直线l 也是曲线()y f x =((1,))x ∈+∞的切线，证明：实数0x 存在，且唯一.19．（2021·四川成都·一模（理））已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈. （1）a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围. 20．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（理））已知a ，b ∈R ，函数()322f x ax bx x =+-+．（1）若函数()f x 在点()1,1处的切线与x 轴平行，求a ，b 的值；（2）3b a =，过点()0,0可以作曲线()y f x =的三条切线，求实数a 的取值范围．。
2021年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ理科)
2 全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ理科)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．〖2019 全国Ⅰ理〗已知集合M = {x | -4 < x < 2} ， N = {x | x 2- x - 6 < 0} ， 则 M N = ( ) A ． {x | -4 < x < 3} B ． {x | -4 < x < -2} C ． {x | -2 < x < 2} D ． {x | 2 < x < 3}2．〖2019 全国Ⅰ理〗设复数 z 满足| z - i |= 1 ，z 在复平面内对应的点为 (x , y ) ，则( )A ． (x + 1)2 + y 2= 1B ． (x - 1)2 + y 2 = 1C ． x 2 + ( y - 1)2 = 1D ．x 2 + ( y + 1)2 = 13．〖2019 全国Ⅰ理〗已知 a = log 0.2 ，b = 20.2 ， c = 0.20.3 ，则( ) A ． a < b < cB ． a < c < bC．c <a <b D．b <c <a4．〖2019全国Ⅰ理〗古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1(5 -1≈ 0.618 ，称为黄金分割2 2比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 -1．若某人满足上述两个黄2金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm5．〖2019全国Ⅰ理〗函数f(x)= 图象在[-π，π] 的大致为( )sin x +x的cos x +x2A．B．C．D．6．〖2019全国Ⅰ理〗我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ” 和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是( )A．516 B．1132C．2132D．11167．〖2019全国Ⅰ理〗已知非零向量a，b满足| a |= 2 | b | ，且(a -b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A．πB．πC．2πD．5π 6 3 3 68．〖2019全国Ⅰ理〗如图是求12 +1的程序框图，图中空白框中应填入( ) 2 +12A．A =1 2 +AB．A = 2 +1AC．A = 11+ 2A D．A = 1+12A9．〖2019全国Ⅰ理〗记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．已知S4 = 0 ，a5= 5 ，则( )A．an= 2n - 5B．an= 3n -10n + 2 + = + = + = C ． S = 2n 2- 8nD ． S n = 1n 2 - 2n210．〖2019 全国Ⅰ理〗已知椭圆 C 的焦点为 F 1 (-1, 0) ， F 2 (1,0) ，过 F 2 的直线与C 交于 A ，B 两点．若| AF 2 |= 2 | F 2 B | ，| AB |=| BF 1 | ，则C的方程为( ) A ．xy 2= 12x 2 y 2B ． 13 2 x 2 y 2C ． 14 3 x 2 y 2D ． 15 411．〖2019 全国Ⅰ理〗关于函数f (x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论： ① f (x ) 是偶函数② f (x ) 在区间(π，π ) 单调递2增③ f (x ) 在[-π ， π ] 有 4 个零点④ f (x ) 的最大值为 2A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．〖2019 全国Ⅰ理〗已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在球O 的球面上， PA = PB = PC ， ∆ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是PA ， AB 的中点， ∠CEF = 90︒ ，则球O 的体积为( ) A ． 8 6πB ． 4 6πC ． 2 6π二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．〖2019 全国Ⅰ理〗曲线 y = 3(x 2 + x )e x在点 (0, 0) 处的切线方程为．14．〖2019 全国Ⅰ理〗记 S n 为等比数列{a n } 的前 n 项和．若 a = 1， a 2= a ，则 S =．134 6 515．〖2019 全国Ⅰ理〗甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5， 且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 :1 获胜的概率是．16．〖2019 全国Ⅰ理〗已知双曲线D ． 6π- = 1(a > 0,b > x 2 C : a2 y 2b 2 0) 的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，过 F 1 的直线与C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B F 2 B = 0 ， 则 C 的离心率为 ．(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．(1)求 A ；(2)若 2a + b = 2c ，求sin C ．18．〖2019 全国Ⅰ理〗(12 分)如图，直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的底面是菱形， AA 1 = 4 ，AB = 2 ，∠BAD = 60︒ ，E ，M ，N 分别是 BC ，BB 1 ， A 1D 的中点． (1)证明： MN / / 平面C 1DE ；(2)求二面角 A - MA 1 - N 的正弦值．19．〖2019全国Ⅰ理〗(12分)已知抛物线C : y2 = 3x 的焦点为F ，斜率为3的直线l 与2C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若| AF | + | BF |= 4 ，求l 的方程；(2)若AP = 3PB ，求| AB | ．20．〖2019全国Ⅰ理〗(12分)已知函数f (x) = sin x -ln(1 +x) ，f '(x) 为f (x) 的导数．证明：(1)f '(x) 在区间(-π存在唯一极大值点；1, )2(2)f (x) 有且仅有2 个零点．21．〖2019全国Ⅰ理〗(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定： 对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1分；若都治愈或都 未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和 β ，一轮试验中甲药的得分 记为 X ．(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，p i (i = 0 ，1， ，8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0 = 0 ， p 8 = 1， p i = ap i -1 + bp i + cp i +1 (i = 1 ， 2， ，7) ，其中 a = P ( X = -1) ，b = P ( X = 0) ， c = P ( X = 1) ．假设α = 0.5 ， β = 0.8 ． (i ) 证明： {p i +1 - p i }(i = 0 ，1，2， ， 7) 为等比数列；(ii ) 求 p 4 ，并根据 p 4 的值解释这种试验方案的合理性．22．〖2019 全国Ⅰ理〗(10 分)在直角坐标系 xOy⎧ 1 -t 2x =, ⎪ 1 +t 2中，曲线C 的参数方程为⎨⎪y =⎪⎩ 4t1 +t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+ 3ρsinθ+11 = 0 ．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．23．〖2019全国Ⅰ理〗已知a，b ，c为正数，且满足abc = 1 ．证明：(1) 1+1+1a2 +b2 +c2 ；a b c(2) (a +b)3 + (b +c)3 + (c +a)324 ．11。