高中数学第三章圆锥曲线与方程31椭圆311椭圆及其标准方程北师大版选修PPT课件
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选择性必修第一 册3.1.1椭圆及其标准方程课件(共18张PPT)
x2 a2
y2 b2
（1 a
b
0）
y2 a2
x2 b2
（1 a
b
0）
a2 = b2 + c2
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
学以致用
（P109 练习1）如果椭圆
x2 100
y2 36
1上一点P与焦点F1的距离等于 6，那么点 P与另一个焦点
F2的
距离为多少？ 14
（P109练习2）求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a 4,b 1,焦点在x轴上； (2)a 4, c 15,焦点在y轴上； (3)a b 10, c 2 5.
问题5：椭圆上任意一点M，满足的几何条件是什么？
M
| MF1 | | MF2 | 2a 2c | F1F2 |
F1
F2
探究椭圆的方程
问题6：直线的点斜式方程、圆的标准方程是用方法推导出来的？ 坐标法 问题7：用坐标法求轨迹方程分为几步？建系、设点、列式、化简、证明 问题8：你准备如何建立平面直角坐标系？
【问题16】如果焦点在y轴上，椭圆的标准方程怎么推导？
y
F2
P
O
x
F1
问题17：根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？
定义
平面内到两个定点的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.
图形
焦点坐标 标准方程 a、b、c 关系 焦点位置判断
y P
F1 O F2
x
y
F2 P
O
F1
x
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距.
a c 问题2：a 与c的大小关系是什么？
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件
2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5， 焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方 程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一 椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程一课件北师大版选修2_1
此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以
方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上 .因此，
第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 判断下列命题是否正确.
1
2
3
4
5
1.“点 M 在曲线 y2＝4x 上” 是 “点 M 的坐标满足方程 y＝－2 x” 的( B )
(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是 y＝ r2－x2；
解
2 2 2 不正确.设(x0，y0)是方程 y＝ r2－x2的解，则 y0＝ r2－x2 ，即 x ＋ y ＝ r . 0 0 0
2 两边开平方取算术平方根，得 x2 ＋ y 0 0＝r 即点(x0，y0)到原点的距离等于 r，点
(x0，y0)是这个圆上的点.
解析
(1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个 C.0<a<1或a>1
交点，则a的取值范围是( A )
B.0<a<1
D.a∈∅
∵a>0 ， ∴ 方程 y ＝ a|x| 和 y ＝ x ＋ a(a>0) 的图
象大致如图，要使方程 y ＝ a|x| 和 y ＝ x ＋ a(a>0) 所确
ห้องสมุดไป่ตู้例3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围.
解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
12 1 ∴k＝－2a －2a＝－2(a＋2) ＋2.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以
方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上 .因此，
第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 判断下列命题是否正确.
1
2
3
4
5
1.“点 M 在曲线 y2＝4x 上” 是 “点 M 的坐标满足方程 y＝－2 x” 的( B )
(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是 y＝ r2－x2；
解
2 2 2 不正确.设(x0，y0)是方程 y＝ r2－x2的解，则 y0＝ r2－x2 ，即 x ＋ y ＝ r . 0 0 0
2 两边开平方取算术平方根，得 x2 ＋ y 0 0＝r 即点(x0，y0)到原点的距离等于 r，点
(x0，y0)是这个圆上的点.
解析
(1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个 C.0<a<1或a>1
交点，则a的取值范围是( A )
B.0<a<1
D.a∈∅
∵a>0 ， ∴ 方程 y ＝ a|x| 和 y ＝ x ＋ a(a>0) 的图
象大致如图，要使方程 y ＝ a|x| 和 y ＝ x ＋ a(a>0) 所确
ห้องสมุดไป่ตู้例3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围.
解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
12 1 ∴k＝－2a －2a＝－2(a＋2) ＋2.
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 圆锥曲线 1.1 椭圆及其标准方程
从而|F1F2|=2c=6.
在△PF1F2 中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+36,
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2√3=4√3,
所以|PF2|=4√3-|PF1|.
从而有(4√3-|PF1|)2=|PF1|2+36,
√3
解得|PF1|= 2 .所以△F1PF2 的面积
之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆
圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=
2
42-32=7,其轨迹方程为16
+
2
=1.
7
规律方法
1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
2.椭圆定义的应用要注意其适用条件,涉及与几何图形有关的轨迹问题要
= 4.
2
2
4
5
标准方程为 1 + 1 =1.
规律方法 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准
方程.
(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定
系数即可.即“先定位,后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行
椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
2
2.两种椭圆 2
+
2
2
=1, 2
2
+
2
=1 (a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都
在△PF1F2 中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+36,
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2√3=4√3,
所以|PF2|=4√3-|PF1|.
从而有(4√3-|PF1|)2=|PF1|2+36,
√3
解得|PF1|= 2 .所以△F1PF2 的面积
之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆
圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=
2
42-32=7,其轨迹方程为16
+
2
=1.
7
规律方法
1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
2.椭圆定义的应用要注意其适用条件,涉及与几何图形有关的轨迹问题要
= 4.
2
2
4
5
标准方程为 1 + 1 =1.
规律方法 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准
方程.
(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定
系数即可.即“先定位,后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行
椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
2
2.两种椭圆 2
+
2
2
=1, 2
2
+
2
=1 (a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都
2.1.1椭圆及其标准方程
小结
② 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
两个焦点的坐标分别是
2 0， 2、0，
3 5 并且经过点 ， ． 2 2
解法2
椭圆的方程
2013年12月9日
小结
解： 因为椭圆的焦点在
y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
椭圆的方程
2013年12月9日
小结
解:设所求的标准方程为
y x 2 1a b 0 2 a b
2 依题意得 5
2
2
解得: 3 2 2 1 2 a ． b2 a 2 b 2 4
2
a 2 10 2 b 6
2013年12月9日
小结
思考题:
如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地 球的中心） 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点 A （离 F2 （离地面最近 地面最近的点）距地面200 km ，远地点 B 的点）距地面约350 km ，椭圆的另一个焦点是 F1 ，且
F1、F2 、 、 在同一直线上， A B
标准方程的推导
(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的 中垂线为y轴建立直角坐标系。 y
M
F1
O
(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上 任意一点，因|F1F2|=2c， 则F1(-c,0)，F2(c,0)
F2
x
(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a， 并将其坐标化后得：
求动圆圆心P的轨迹方程．
椭圆的方程
2013年12月9日
椭圆的方程
2013年12月9日
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质课件7北师大版选修2_1
y
样的 呢？x+ c2+y2= 2 a- x-c2+y2
方程: xx 2+ +c 2 y+ 2y = 2 = 14 a 2 a-4 > a bx >-c 02 + y 2 x - Fc 22 + y 2P
设 也 是Pba(椭22x-c，圆xa = y的a 2)是标x椭准-c圆方2+上程y2任．意一点
椭圆的焦点坐标是F1( 0 , -1 ) ， F2( 0 , 1 )，椭圆上的任意一点到 F1，F2的距离之和是8，求椭圆的 标准方程．
x2 y2 1 16 15
例3：判断以下椭圆的焦点的位置，并求出焦距 与焦点坐标.
⑴
x2
y2 1
100 64
⑵ 4x2 5y2 1
解：⑴ 10064
焦点在 x 轴上
焦点为：|FP1F (1-|c=, 0x)、+cF22P+ ((cyx2,, y0))
假设|P以F2F|=1，xF-2c所2在+y的2 直线为y轴，
线直则段角：坐F1标Fx 2系+ 的，c垂2 F推+ 1直-导cy平2 , 0出+ 分O的线x 方-F为c 2程cx2,又+ 0轴 y 是建2= x怎立2a
注：即椭点：圆的ax的中22 +焦点by点22为=在坐1坐标a标>原b轴点>上0.，且两焦
根据所学知识完成下表
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.