2020高考数学刷题首选第二章函数导数及其应用考点测试变化率与导数文含解析
2020届高考数学(文)总复习：第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算
课时规范练A组基础对点练1．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析：∵y′＝x′·e x－1＋x·(e x－1)′＝(1＋x)e x－1，∴曲线y＝x e x－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.答案：C2．函数f(x)＝e x sin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.3π4 B.π3C.π4 D.π6解析：因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4，故选C.答案：C3．(2019·云南师大附中考试)曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是x ln 2＋y－1＝0，则a＝()A.12B．2C．ln 2 D．ln 1 2解析：由题知，y′＝a x ln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为x lna－y＋1＝0，∴a＝12，故选A.答案：A4．(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为() A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25， 解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.答案：B5．(2019·潍坊模拟)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由题意知直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图可得f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，∴k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，故选B. 答案：B6．函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________．解析：设与直线y ＝x 平行且与曲线g (x )＝ln x 相切的直线的切点坐标为(x 0，ln x 0)，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y ＝x 的距离，即为|1－0|1＋1＝22，故答案为22. 答案：227．已知曲线f (x )＝x ＋a x ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，求a －b 的值．解析：∵f ′(x )＝1－a x 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎨⎧ 1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.B 组 能力提升练8．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )的图象一部分可以是( )解析：由f (x )＝x sin x ＋cos x 可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 即y ＝g (t )＝t cos t ，是奇函数，排除选项B ，D ；当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝g (t )＞0，排除选项C.故选A. 答案：A9．(2019·广州第一次调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，∴ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D.答案：D10．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x－a 7)，则f ′(0)＝( )A ．8 2B ．－8 2C ．128D ．－128 解析：令f (x )＝x ·g (x )，其中g (x )＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 7)，则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，因为{a n }是等比数列，所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.故选B.答案：B11．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f (x )≥0的解集为__________． 解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f (x )≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0<x ≤1或x <0或x >3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)12．已知f (x )＝(a －2)x ＋4x x ＋1(x ＞0)，若曲线f (x )上存在不同两点A ，B ，使得曲线f (x )在点A ，B 处的切线垂直，求实数a 的取值范围． 解析：由f (x )＝(a －2)x ＋4x x ＋1，得f ′(x )＝a －2＋4(x ＋1)2.∵x ＞0，∴a －2＜f ′(x )＜a ＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则曲线f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)， 则a －2＜k 1＜a ＋2，a －2＜k 2＜a ＋2且k 1k 2＝－1，可得⎩⎨⎧ a －2＜0，a ＋2＞0，(a －2)(a ＋2)＜－1，解得－3＜a ＜ 3.故实数a 的取值范围是(－3，3)．13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，求f ′(1)的值．解析：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2.。
2020届高三高考数学单元阶段测试卷：第2章 函数、导数及其应用 含解析
第二章 函数、导数及其应用综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域为( D ) A ．(0，＋∞) B ．[12，＋∞)C ．[12，1)D ．[12，1)∪(1，＋∞)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x >0，log 3x ≠0，得x ≥12且x ≠1.故选D ．2．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( D ) A ．y ＝2019xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝ln x[解析] 只有y ＝ln x 合要求．故选D ．3．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，14)，则α－k ＝( B )A ．12B ．1C ．32D ．2 [解析] k ＝1，(12)α＝14⇒α＝2，所以α－k ＝1.故选B ．4．函数y ＝－x 2＋x ＋2的值域是( D ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，32]C ．[0,2]D ．[0，32][解析] 由－x 2＋x ＋2≥0⇒x ∈[－1,2]，而－12×(－1)＝12∈[－1,2]．当x ＝12时，y ＝94，所以y ∈[0，32]．故选D ．5．(文)(2018·河南南阳一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，log 2(x －1)，x >1，则f [f (52)]＝( A )A ．－12B ．－1C ．－5D ．12(理)(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 123，则f (f (a ))＝( A )A ．12B ．2C ．3D ．－2[解析] (文)由题意知f (52)＝log 232，∴f [f (52)]＝2log 232－2＝－12.故选A ．(理)a ＝log 123<0，则f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.故选A ．6．(2015·西安模拟)已知a ＝313 ，b ＝log 13 12，c ＝log 123，则( A )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] 因为a ＝313 >1，b ＝log 13 12＝log 32∈(0,1)，c ＝log 123<0，所以a >b >c .故选A ．7．(2018·辽宁鞍山一中模拟)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( C )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)[解析] ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0，∴f (14)f (12)<0，故选C ． 8．(2018·安徽淮南二中月考)已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，若g (x )＝xf (x )，则g ′(1)＝( A )A ．12B ．－12C ．－32D ．2[解析] ∵函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1，f ′(1)＝12.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )－xf ′(x )[f (x )]2，则g ′(1)＝f (1)－f ′(1)[f (1)]2＝12.9．(文)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( C ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4(理)(2018·海南模拟)由曲线y ＝x ，直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积是( A ) A ．16B ．12C ．23D ．1[解析] (文)f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.所以f (x )在[－1,0)上是增函数，在(0,1]上是减函数．所以f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (0)＝2.故选C ．(理)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 解得交点为(0,0)(1,1)，故所求面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32 －12x 2)|10＝23－12＝16.故选A ．10．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( C )[解析] 先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．故选C ．11．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( C )A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称[解析] 由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，A ，B ，D 错误．故选C ．12．(文)(2018·湖南模拟)若函数y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝(12)x ，则满足不等式f (x )≥12的x 的取值范围为( B )A ．(－1,1)B ．[－1,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)(理)(2018·河南漯河高中模拟)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－log 5x 的零点个数是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] (文)因为函数y ＝f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )＝(12)－x ＝2x .由f (x )≥12得⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ≥12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥12，x <0，解得－1≤x ≤1.故选B ． (理)由题意知f (1＋x )＝f (1－x )＝f (x －1)∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，在同一会标系中作出y ＝f (x )、y ＝log 5x 的图象由图可知y ＝f (x )－log 5x 有四个零点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(文)(2018·湖南三湘名校联盟联考)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为__2x －y ＋3＝0___.(理)(2016·全国卷Ⅲ，5分)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__y ＝－2x －1___.[解析] (文)∵f ′(x )＝cos x ＋e x ，∴k 切＝f ′(0)＝2，又f (0)＝3，∴所求切线方程为y －3＝2x ，即2x －y ＋3＝0.(理)由题意可得当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.14．(2018·浙江，11)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝__8___，y ＝__11___.[解析] 本小题考查二元一次方程组的实际应用．把z ＝81代入方程组，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得x ＝8，y ＝11.15．(2018·上海，11)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)、Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝6.[解析] 本题主要考查指数式的运算．由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p ＋ap ＝65，①2q 2q＋aq ＝－15，②①＋②，得2p (2q ＋aq )＋2q (2p ＋ap )(2p ＋ap )(2q ＋aq )＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ， ∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.16．(2018·江苏，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为__－3___.[解析] 本题考查利用导数研究函数的极值和最值． ∵f (x )＝2x 3－ax 2＋1，∴f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 若a ≤0，则x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上没有零点，∴a >0. 当0<x <a3时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >a3时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴x >0时，f (x )有极小值，为f (a 3)＝－a 327＋1.∵f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点， ∴f (a3)＝0，∴a ＝3. ∴f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1).∴f (x )在[－1,1]上的最大值为1，最小值为－4. ∴最大值与最小值的和为－3.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·西北师大附中调研)已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数在区间(14，1)上为增函数，求实数a 的取值范围．[解析] 记g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. (1)由题意知g (x )>0对x ∈R 恒成立， ∴g (x )min ＝3－a 2>0，解得－3<a <3， ∴实数a 的取值范围是(－3，3)．(2)由题意得⎩⎨⎧a ≥112－2a ×1＋3>0，解得1≤a <2，∴实数a 的取值范围是1≤a <2.18．(本小题满分12分)(2018·河北保定调研)已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0.f (x )<0.又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值．[解析] (1)取x ＝y ＝0，则f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )为奇函数．(2)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (x )≤f (－3)，而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6.19．(2018·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解析] (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元， 所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.(2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎨⎧x ≥20200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元． 20．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线斜率为－3，a ，b ，c ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的极大值与极小值的差．(理)(2018·河南洛阳期中)已知函数f (x )＝(x 2＋mx ＋n )e x ，其导函数y ＝f ′(x )的两个零点分别为－3和0.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)求函数f (x )在区间[－2,2]上的最值． [解析] (文)(1)由f (x )＝y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c ， 因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，由题意得y ′|x ＝2＝12＋12a ＋3b ＝0， y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，解得a ＝－1，b ＝0，所以y ＝x 3－3x 2＋c ，y ′＝3x 2－6x . 令y ′>0，得x <0或x >2，y ′<0得0<x <2， 所以函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)可知函数在x ＝0处取得极大值c ， 在x ＝2处取得极小值c －4，所以函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4. (理)(1)∵f (x )＝(x 2＋mx ＋n )e x ，∴f ′(x )＝(2x ＋m )e x ＋(x 2＋mx ＋n )e x ＝[x 2＋(2＋m )x ＋(m ＋n )]e x .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－3)＝0，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧9－3(m ＋2)＋(m ＋n )＝0，m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1，从而f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，f ′(x )＝(x 2＋3x )e x ， ∴f (1)＝e ，f ′(1)＝4e ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－3,0)． (3)由f (0)＝－1，又f (2)＝5e 2，f (－2)＝e －2. ∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为5e 2，最小值为－1.21．已知函数f (x )＝e x －3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 3e ，且x >0时，e x x >32x ＋1x －3a .[解析] (1)由f (x )＝e x －3x ＋3a ，得f ′(x )＝e x －3. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln3)，单调递增区间是(ln3，＋∞)，f (x )在x ＝ln3处取得极小值，极小值为f (ln3)＝e ln3－3ln3＋3a ＝3(1－ln3＋a )，无极大值．(2)当x >0时，原不等式等价于e x >32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x －32x 2＋3ax －1，则g ′(x )＝e x －3x ＋3a ，由(1)及a >ln 3e ＝ln3－1，知g ′(x )的最小值为g ′(ln3)＝3(1－ln3＋a )>0，即g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增．于是当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>g (0)＝0， 即e x>32x 2－3ax ＋1，e x x >32x ＋1x－3a .22．(本小题满分12分)(文)(2018·河北鸡泽一中期中)已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求f (x )的最小值；(2)若方程f (x )＝a 有两个根x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1＋x 2>2.(本小题满分12分)(理)(浙江省杭州市富阳区新登中学2019届高三上学期期末模拟数学试题)已知函数f (x )＝(x －a )2ln x ＋1，a >0.(1)若x ＝e 2为y ＝f (x )的极值点，求实数a ； (2)若a ＝2e ，求函数f (x )的单调区间；(3)求实数a 的取值范围，使得对于任意的x ∈[1，e 2]，恒有f (x )≤32e 4＋1. [解析] (文)(1)f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，(x >0)所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故f (x )的最小值为f (1)＝1.(2)若方程f (x )＝a 有两个根x 1，x 2(0<x 1<x 2)， 则ln x 1＋1x 1＝ln x 2＋1x 2，即x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1>0.要证x 1＋x 2>2，需证(x 1＋x 2)·x 2－x 1x 1x 2>2ln x 2x 1，即证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1，设x 2x 1＝t (t >1)，则x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1等价于t －1t >2ln t . 令g (t )＝t －1t －2ln t ，则g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝(1－1t)2>0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增，g (t )>g (1)＝0，即t －1t >2ln t ，故x 1＋x 2>2.(理)(1)f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋x －ax )由f ′(e 2)＝0求得a ＝e 2或a ＝5e 2，(2)由(1)当a ＝2e 得f ′(x )＝(x －2e )(2ln x ＋1－2ex)记h (x )＝2ln x ＋1－2ex ，h (e )＝0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，故当x ∈(0，e )时，h (x )<0； 当x ∈(e ，＋∞)时，h (x )>0.故增区间(0，e )(2e ，＋∞)，减区间(e ，2e )．(3)首先由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<32e 4＋1f (e 2)≤32e 4＋1⇒(a －e 2)2ln e 2≤32e 4 ⇒－3e 2≤a ≤5e 2，∵a >0，∴0<a ≤5e 2.再由(1)f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋1－a x) 记h (x )＝2ln x ＋1－a x，h (x )在[1，e 2]上单调递增． 令h (x )＝0，则a ＝2x ln x ＋x ，由x ∈[1，e 2]，可得2x ln x ＋x ∈[1,5e 2]．故当a ∈(0,1)时，h (x )＝0无解，则h (x )>0恒成立， 此时要满足恒有f (x )≤32e 4＋1.还需满足f (a )≤32e 4＋1，f (a )＝1显然成立；当1≤a ≤5e 2记h (x 0)＝0，则a ＝2x 0ln x 0＋x 0，此时，要满足恒有f (x )≤32e 4＋1，则还需f (x 0)≤32e 4＋1，即(x 0－a )2ln x 0≤32e 4⇒4x 20(ln x 0)3≤32e 4，可求得1≤x 0≤e 2，故1≤a ≤5e 2.综上所述，a 的取值范围为(0,5e 2]．。
2020届高考数学第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算
课时规范练A组基础对点练1．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析：∵y′＝x′·e x－1＋x·(e x－1)′＝(1＋x)e x－1，∴曲线y＝x e x－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.答案：C2．函数f(x)＝e x sin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.3π4 B.π3C.π4 D.π6解析：因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4，故选C.答案：C3．(2019·云南师大附中考试)曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是x ln 2＋y－1＝0，则a＝()A.12B．2C．ln 2 D．ln 1 2解析：由题知，y′＝a x ln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为x lna－y＋1＝0，∴a＝12，故选A.答案：A4．(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为() A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B. 答案：B5．(2019·潍坊模拟)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由题意知直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图可得f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上， ∴3k ＋2＝1， ∴k ＝－13， ∴f ′(3)＝k ＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，故选B.答案：B6．函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________． 解析：设与直线y ＝x 平行且与曲线g (x )＝ln x 相切的直线的切点坐标为(x 0，ln x 0)，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y ＝x 的距离，即为|1－0|1＋1＝22，故答案为22. 答案：227．已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，求a －b 的值．解析：∵f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎨⎧ 1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.B 组 能力提升练8．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )的图象一部分可以是( )解析：由f (x )＝x sin x ＋cos x 可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 即y ＝g (t )＝t cos t ，是奇函数，排除选项B ，D ； 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝g (t )＞0，排除选项C.故选A.答案：A9．(2019·广州第一次调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1 C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，∴ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D. 答案：D10．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x－a 7)，则f ′(0)＝( ) A ．8 2 B ．－8 2 C ．128D ．－128解析：令f (x )＝x ·g (x )，其中g (x )＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 7)， 则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )， 因为{a n }是等比数列，所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.故选B. 答案：B11．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f (x )≥0的解集为__________．解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0， ∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0， ∴f (x )＝x 3－3x 2， ∴x －1f (x )≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0<x ≤1或x <0或x >3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)12．已知f (x )＝(a －2)x ＋4xx ＋1(x ＞0)，若曲线f (x )上存在不同两点A ，B ，使得曲线f (x )在点A ，B 处的切线垂直，求实数a 的取值范围． 解析：由f (x )＝(a －2)x ＋4x x ＋1，得f ′(x )＝a －2＋4(x ＋1)2.∵x ＞0，∴a －2＜f ′(x )＜a ＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则曲线f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)， 则a －2＜k 1＜a ＋2，a －2＜k 2＜a ＋2且k 1k 2＝－1，可得⎩⎨⎧a －2＜0，a ＋2＞0，(a －2)(a ＋2)＜－1，解得－3＜a ＜ 3.故实数a 的取值范围是(－3，3)．13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，求f ′(1)的值．解析：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2.。
新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_10变化率与导数导数的计算课时规范练文新人教A版
2-10 变化率与导数、导数的计算课时规范练 A 组 基础对点练1．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )A ．2e B.e C ．2D.12．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝2x ＋1 B.y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D.y ＝－2x －23．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( B ) A ．－e B.－1 C ．1D.e4．曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( D ) A ．－12eB.－2eC.2eD.12e5．(2018·福建联考)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( D ) A ．10 B.5 C ．－1D.－376．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．y ＝1125x 3－35x B.y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－x D.y ＝－3125x 3＋15x7．(2018·深圳调研)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1.l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |＝( B )A ．3 B.2 2 C ．1＋ 2D.2解析：易知，圆心C (1,6)不在直线y ＝x ＋1上，由圆的性质，两条切线l 1，l 2关于直线CP 对称，又由已知，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，所以CP ⊥l ，由点到直线距离可得|CP |＝22，故选B.8．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( B )解析：∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (t )＝t cos t ，则函数g (t )为奇函数，所以图象关于原点对称，又当0<t <π2时，g (t )>0， 所以排除A ，C ，D ，故选B.9．若曲线f (x )＝a 2＋1sin x (a ∈R )上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( C )10．(2018·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( A )A ．－1或－2564B.－1或214C ．－74或－2564D.－74或7解析：由y ＝x 3求导得y ′＝3x 2.设曲线y ＝x 3上的任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将点(1,0)代入方程，得x 0＝0或x 0＝32.直线与y ＝ax 2＋154x －9相切，即两者只有一个交点．由于直线和直线不会相切，所以a ≠0.①当x 0＝0时，切线为y ＝0.所以ax 2＋154x －9＝0有两个相同的根，即Δ＝0，解得a ＝－2564.②当x 0＝32时，切线为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9，得ax 2－3x －94＝0有两个相同的根，即Δ＝0，得a ＝－1. 故选A.11．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝__1__. 12．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝__8__. 13．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝__1__. 解析：根据题意，f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )． 又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.B 组 能力提升练1．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x 3－12x2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足．依次检验可知选A.2．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( B ) A ．在直线y ＝－3x 上 B.在直线y ＝3x 上 C ．在直线y ＝－4x 上D.在直线y ＝4x 上解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.3．已知函数f (x )＝e x－2ax ，g (x )＝－x 3－ax 2.若不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′(x 1)＝g ′(x 2)，则实数a 的取值范围为( D ) A ．(－2,3) B.(－6,0) C ．[－2,3]D.[－6,0]解析：依题意，知函数f ′(x )与g ′(x )值域的交集为空集，∵f ′(x )＝e x－2a ＞－2a ，g ′(x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋a 23≤a23，∴a 23≤－2a ，解得－6≤a ≤0.4．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( A )A ．ln 2 B.－ln 2 C.ln 22D.－ln 22解析：对f (x )＝e x＋a ·e －x求导得f ′(x )＝e x－a e －x，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故有f ′(x )＝e x －e －x .设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝＝32，解得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，所以x 0＝ln 2.5．已知函数f n (x )＝xn ＋1，n ∈N 的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为( A ) A ．－1B.1－log 2 0132 012 C ．－log 2 0132 012D.1解析：由题意可得点P 的坐标为(1,1)，f ′n (x )＝(n ＋1)·x n ，所以f n (x )图象在点P 处的切线的斜率为n ＋1，故可得切线的方程为y －1＝(n ＋1)·(x －1)，所以切线与x 轴交点的横坐标为x n ＝nn ＋1，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013x 1x 2…x 2 012＝log 2 01312×23×34×…×2 0122 013＝log 2 01312 013＝－1.故选A.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为__y ＝x ＋1__.解析：设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1.7．(2018·朝阳二模)设P 为曲线C 1上动点，Q 为曲线C 2上动点，则称|PQ |的最小值为曲线C 1，C 2之间的距离，记作d (C 1，C 2)．(1)若C 1：x 2＋y 2＝2，C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝2，则d (C 1，C 2)＝ 2 ；(2)若C 3：e x －2y ＝0，C 4：ln x ＋ln 2＝y ，则d (C 3，C 4)＝ 2(1－ln 2) .解析：(1)C 1(0,0)，r 1＝2，C 2(3,3)，r 2＝2，d (C 1，C 2)＝32－2－2＝ 2.(2)∵C 3：e x－2y ＝0，C 4：ln x ＋ln 2＝y 互为反函数， ∴C 3，C 4关于直线y ＝x 对称，可先求出曲线e x－2y ＝0上的点到直线y ＝x 的最小距离．设与直线y ＝x 平行且与曲线e x－2y ＝0相切的切点P (x 0，y 0)，∵y ′＝12e x ，∴12e x 0＝1，解得x 0＝ln 2， ∴y 0＝1，∴切点为P (ln 2,1)，到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，故|PQ |的最小值为2d ＝2(1－ln 2)．8．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为__3__.解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为 －65.解析：当x ＞0时，f ′(x )＝1x，则f ′(1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，区域D 可作图如下．则根据线性规划的目标点的选取z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，将其转化为可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值．由可行域可知，定点(－1，－1)到直线y ＝－2x －1的距离最小，为|－2－1＋1|5＝25，所以可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值45－2＝－65.10．(2018·枣庄模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．若f (x )＝2f ′(x )，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝ 116.11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是__－3__. 解析：由曲线y ＝ax 2＋b x过点P (2，－5)， 可得－5＝4a ＋b 2 ①.又y ′＝2ax －bx2， 所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72②.由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是 －3＜a ＜ 3 .解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3.13．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.解析：由题可得f (1)＝a ，则切点为(1，a )，因为f ′(x )＝a －1x，所以切线l 的斜率为f ′(1)＝a －1，切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0可得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.。
2020版高考数学大一轮复习 第二章函数导数及其应用 课时达标理含解析
第4讲 函数及其表示课时达标一、选择题1．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，4－2x≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >1，x ≤2⇒x ∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B ．2．(2019·广州模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A ．21＋x B ．21＋x 2 C ．1－x 21＋x2 D ．1－x 1＋xA 解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，即f (x )＝21＋x.故选A ．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f x －＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1D 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1π＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝12＋1－12＝1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 12 3，则f (f (a ))＝( )A ．12 B ．2 C ．3D ．－2A 解析 －1<a ＝log 123<0，则f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.5．(2019·福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 019)＝ ( )A ．0B ．1C ．2 019D ．2 020D 解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 019)＝2 020.6．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn xD 解析 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C 项．故选D ．二、填空题7．若函数f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝fx －x －的定义域是________．解析 因为y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x ＋1≤4，即f (x )的定义域是[－1,4]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x －1≤4x －1>0，x －1≠1，解得1<x <2或2<x ≤52.答案 (1,2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，x 12 ，x >0，若f (a )>3，则a 的取值范围是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a－1>3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 12 >3，解得a >9.答案 (9，＋∞)9．(2019·常州中学月考)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．答案 [0,3)三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示．11．(2019·巴蜀中学期中)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解析 (1)由已知条件可得g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1.12．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域．解析 (1)因为f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)，所以n ＝1＋m ＋n ，m ＝－1，f (x )＝x2－x ＋n .因为方程x ＝f (x )有两个相等的实数根，所以方程x ＝x 2－x ＋n 有两个相等的实数根，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4n ＝0，所以n ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，所以当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋1＝34，f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，所以当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，7.13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________；(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝________.解析 (1)因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0，所以f x f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1(x ≠±1)，所以f f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.(2)因为f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，…，f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝0，所以f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝0.答案 (1)－1 (2)0第5讲 函数的单调性与最值课时达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C 解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3－x 为减函数．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A 解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2019·烟台九中期末)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1B 解析 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即m ＝－2.4．(2019·南昌二中月考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a －4a ≥3得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.5．(2019·黄石二中期中)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C 解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D 解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D ．二、填空题 7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，所以a ＋b ＝6.答案 68．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．答案 [3，＋∞)9．已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12 t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2≤1，g，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 三、解答题 10．已知函数f (x )＝x ＋2x. (1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2,8]上的最大值和最小值．解析 (1)定义域为{x |x ≠0}．又f (x )＝1＋2x，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x2＝2x 1－2x 2＝x 2－x 1x 1x 2.又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2,8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.11．(2019·福州一中期中)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减 ，求a 的取值范围． 解析 (1)证明：任取x 1＜x 2＜－2，则作差可得f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x1－x 2x 1＋2x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析 (1)证明：当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 2x 1x 2－2x 1x 2.因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，所以2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．13．[选做题]已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解析 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第6讲 函数的奇偶性与周期性课时达标一、选择题1．下列函数是奇函数的是( )A ．f (x )＝x |x |B ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1A 解析 对于B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数；对于C 项，f (－x )＝2－x＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数；对于D 项，f (x )＝x 3－1的定义域为R ，但图象不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数．只有A 项满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7A 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17.故选A ．3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98A 解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.4．(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数B 解析 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B ．5．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45C 解析 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为 4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245 ＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1.故选C ．6．(2019·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ A 解析 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.二、填空题7．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ＞0，4－2－x，x ＜0，则实数a ＝________.解析 因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4.答案 －48．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 9．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种叙述：①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________．解析 由f (x )＋f (x ＋2)＝0得f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即4是f (x )的一个周期，8也是f (x )的一个周期，由f (4－x )＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称；由f (4－x )＝f (x )与f (x ＋4)＝f (x )得f (4－x )＝f (－x )，f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．答案 ①②③ 三、解答题10．(2019·临川一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解析 (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0， log 12－x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以当x 2－1≠0时，0＜|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5且x ≠±1，当x 2－1＝0即x ＝±1时，f (x 2－1)＝0＞－2.综上，不等式的解集为(－5，5)．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析 (1)因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解析 (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数，证明如下：f (x )定义域关于原点对称，令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，所以x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．13．[选做题](2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足等式f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为( ) A ．8 B ．－8 C ．4D ．－4B 解析 因为f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，所以f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4.又因为f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，所以|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0.设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4，则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.第7讲 二次函数与幂函数课时达标一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k 2·x a ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( )A ．12B ．－32C ．12或－32D ．2C 解析 因为f (x )＝k 2·xa ＋1是幂函数，所以k 2＝1，所以k ＝±1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＝22，所以a ＋1＝12，所以a ＝－12，所以k ＋a ＝±1－12＝－32或12.2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0B 解析 由题意知抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧得c a <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．若a ＝2－32 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cC 解析 a ＝2－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且25＜12＜22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫253＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123＜⎝⎛⎭⎪⎫223，即b ＜c ＜a . 4．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关A 解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5.故选A ．5．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．(－∞，3]C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)D 解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，其对称轴为x ＝－1，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3.故选D ．6．(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}C 解析 因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 12 ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________． 解析 f (x )＝x 12 在[0，＋∞)上是单调递增的，且f (2x －1)<f (3x )，则0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)，又其图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a ＝12，所以f (x )＝12(x －2)2－1.答案 f (x )＝12(x －2)2－19．(2019·河北师大附中期中)若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上单调递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，只需对称轴x ＝1m≤－1且m ＜0，解得－1≤m ＜0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．答案 [－1,0] 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数．解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为x ∈[－4，6]，所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．11．(2019·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为g (2)，最小值g (－1)，求实数k 的取值范围．解析 (1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4h a＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．12．已知幂函数f (x )＝(－2m 2＋m ＋2)x m ＋1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )＋ax ＋3－a ≥0在区间[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由f (x )为幂函数知－2m 2＋m ＋2＝1，得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，f (x )＝x 2，符合题意；当m ＝－12时，f (x )＝x 12 ，不合题意，舍去．所以f (x )＝x 2.(2)h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令h (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝h (－2)＝7－3a ≥0，所以a ≤73.又a ＞4，所以a 不存在；②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，所以－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2；③当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝h (2)＝7＋a ≥0，所以a ≥－7.又a ＜－4，所以－7≤a＜－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．13．[选做题](2019·襄阳五中期中)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞dD 解析 因为f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )，所以f (a )＝f (b )＝2 019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d .故选D ．第8讲 指数与指数函数课时达标一、选择题1．化简2c 3a 481a 5b216c4(a ＞0，c ＜0)的结果为( )A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D ．ab 2B 解析 原式＝2c 3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫81a 5b 216c 414 ＝2c 3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 5b 224c 414 ＝2c 3a ·3a 54 b 12 －2c ＝－a 14 b 12 ＝－4ab 2.故选B ．2．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >cC 解析 b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5＝2－2.5，则2－2.5<1<22.5，即c <b <a .3．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )B 解析 |f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，32.又|f (x )|≥0，所以B 项正确．故选B ． 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)C 解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C ．5．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数B 解析 由f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )知f (x )为奇函数，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，又y ＝3x 在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R上是增函数．故选B ．6．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2)D ．(－3,4)C 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.故选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1.答案 (0,1)8．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析 由已知得3b ＝a ＋6，则2a ＋18b ＝2a ＋123b ＝2a＋12a ·26≥2·126＝14. 答案 149．已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．解析 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．答案 (0,1)∪(2，＋∞) 三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋(0.002)－12 －10×(5－2)－1＋(2－3)0. 解析 (1)原式＝a 3b 2a 13b 23 12 ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1b 1＋13 －2－13 ＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10×(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.11．(2019·巴蜀中学月考)已知f (x )＝11＋412 －x. (1)求f (x )＋f (1－x )的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001的值．解析 (1)因为f (x )＝11＋412 －x ＝11＋2×4－x ＝4x 4x ＋2＝4x＋2－24x ＋2＝1－24x＋2，f (1－x )＝11＋412－－x＝11＋4x·12＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫41 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9991 001＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5001 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5011 001＝500.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以原不等式等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为{t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13. 13．[选做题](2019·海口中学期中)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是()B 解析 由题意可得f (x )＝2x－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，3－x ，x ＜1，所以f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，2－x ，x ＜0，则大致图象为B 项．第9讲 对数与对数函数课时达标一、选择题 1．函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) C 解析 要使x ＋x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x ∈(－1,1)∪(1，＋∞)．2．若0<x <1，则下列结论正确的是( ) A ．x >2x>lg x B ．2x>lg x >x C ．2x>x >lg xD ．lg x >x >2xC 解析 因为0<x <1，所以2x>1,0<x <1，lg x <0，所以2x >x >lg x ．故选C ． 3．(2019·武汉二中月考)已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )B 解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 项正确．故选B ．4．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D 解析 由已知得lg M N＝lg M －lg N ＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与M N最接近的是1093.5．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 解析 由已知得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2.又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4.故选B ．6．若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ C 解析 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________. 解析 f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，因为log 216<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2－log 216 ＝2log 26＝6，即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.答案 88.2－lg 9＋127＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2＝________.解析 原式＝－2·32－1＋－－1＋＝32－lg 3－1＝－32.答案 －329．(2019·武汉调研联考)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析 当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min＝log a(8－2a )＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧8－2a ＞a ，8－2a ＞0，8－a ＞0，a ＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，⎩⎪⎨⎪⎧8－a ＜a ，8－2a ＞0，8－a ＞0，0＜a ＜1，，故这样的a 不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求f (x )>0的解集．解析 (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，以a 为底的对数函数是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的解集是(0,1)．11．函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，都有f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；(2)在(1)的结论下，求f (x )的单调递增区间．解析 (1)令u ＝2x 2＋x ，f (x )＝y ＝log a u ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，u ∈(0,1)，因为y ＝log a u >0，所以0<a <1.故a 的取值范围为(0,1)．(2)由2x 2＋x >0可得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，因为0<a <1，所以y ＝log a u 为减函数，而u ＝2x 2＋x 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.12．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解析 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又因为x ∈[2,8]，所以a ∈(0,1)．因为f (x )是关于log a x 的二次函数，所以函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得，若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，所以a ＝12. 13．[选做题](2019·西工大附中期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，x ∈[0，π，log 2 019x π，x ∈[π，＋，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析 当x ∈[0，π)时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x ，所以f (x )在(0，π)上关于x ＝π2对称，且f (x )max ＝1；又当x ∈[π，＋∞)时，f (x )＝log 2 019xπ是增函数，作出y ＝f (x )的函数图象如图所示．令log 2 019xπ＝1得x ＝2 019π，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以a ＋b ＝π，c ∈(π，2 019π)，所以a ＋b ＋c ＝π＋c ∈(2π，2 020π)．答案 (2π，2 020π)第10讲 函数的图象课时达标一、选择题1．(2019·山西大学附中月考)要得到g (x )＝log 2 (2x )的图象，只需将函数f (x )＝log 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位C 解析 因为log 2(2x )＝1＋log 2x ＝g (x )，所以要得到g (x )的图象只需将y ＝f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位．2．函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称D 解析 因为f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，所以f (－x )＝e －x ＋e x＝f (x )，所以f (x )＝e 2x＋1e x 为偶函数，所以f (x )＝e 2x＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ．3．(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )D 解析 易知函数y ＝2|x |sin 2x 是奇函数，故可排除A ，B 项；又当x ∈(0，π)时，sin 2x 的值有正有负，2|x |恒为正，排除C 项．故选D ．4．(2019·安徽滁州质检)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )D 解析 由f (x )－f (－x )＝0得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．5．已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)C 解析 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)．故选C ．6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D 解析 因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，f (x )的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．二、填空题7．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．解析 首先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.答案 [－1,0)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个根，则0<a ≤1.答案 (0,1]9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.答案 0 三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.。
(好题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．若幂函数()f x 的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）A ．()()()6f 13f 22f 3->->-B ．()()()2f 33f 26f 1->->-C ．()()()6f 12f 33f 2->->-D ．()()()3f 22f 36f 1->->-4．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,-∞-⋃+∞ C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃5．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()1-∞，D ．()0-∞，6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增 7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤9．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足()()01f x f x x '->-，函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ） A ．在()0,∞+上递增B ．在()0,∞+上递减C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减12．已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13．若函数3213()(4)32xf x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为________ 14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.17．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______．18．已知位移和时间的关系是321()2533s t t t t =++-，则2t =时的瞬时速度是_______ 19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.20．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=. （1）求a 和b 的值；（2）对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数())2f x x ax =-.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]0,2的最小值为23-，求a . 24．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）求函数()f x 的极值； （2）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数解，求t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.25．设函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的斜率为1，求a 的值;（2）已知导函数()f x '在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 26．设函数()()2ln 23f x x x =++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．B解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()e xf xg x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x 为幂函数，且过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以21=22α⎛ ⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=， 当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>， 所以()()ex f x g x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞，故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.3．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x fx -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.5．D解析：D 【分析】构造函数()()xf xg x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】 令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】 当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增；当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增； 综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.7．C解析：C 【分析】 利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．D解析：D 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，所以4m ≤， 故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题9．D解析：D 【分析】 对()()xf xg x e =求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】()()x f x g x e =，()()()xf x f xg x e-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的极小值点，故D 错误，符合题意；()g x 在(,0]-∞上单调递减，(0)()(0)1f g x g e∴≥==，即()1x f x e ≥，()x f x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.故选：D. 【点睛】本题考查导数的应用，属于中档题.10．C解析：C 【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数， 当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零）， 故()g x 在[)0,+∞为增函数， 又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.11．D解析：D 【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增 故选D ． 【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.12．D解析：D 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()xe f x ax x=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2x ea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点分别讨论三种情况数形结合分析整理即可得答案【详解】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点则易知①当时显然不合题意；②当时当时为减函数当时为增函数所以解析：[]310,3e e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，分别讨论0k <、0k =、0k >三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案. 【详解】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，则2()(3)3(3)()x xf x e x k k x k x x x e =--+-=-'，易知(3)0,(0)3f f ''==-，①当0k <时，,()0,,()0x f x x f x →-∞>→+∞>，显然不合题意； ②当0k =时，()(3)x f x e x -'=，当3x <时()0f x '<，()f x 为减函数， 当3x >时()0f x '>，()f x 为增函数， 所以3x =为函数()f x 唯一极值点，满足题意；③当0k >时，若3x =为()'f x 唯一的零点2(3)30x e x kx kx ⇒--+=,0k >只有唯一解，则3x =，可得0-=xe kx 无解，即(3)xe k x x=≠无解，设()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x-'=，当1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，min ()(1)h x h e ==， 所以0k e <<，经验证满足题意；④当0k >，若3x =不是()'f x 唯一的零点，()'f x 可能有2个或3个零点，当()'f x 有3个零点时候显然不合题意，当()'f x 有两个零点时，()xe h x x=有一个零点时，k e =，当()x e h x x =有两个零点时，结合题意，3x =为其中一个零点，所以33e k =，经验证满足题意；故答案为：[]310,3k e e ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是将()f x 只有一个极值点等价为函数()'f x 只有一个变号零点，分析()'f x 解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和0-=x e kx 共同零点时，也符合题意，属中档题.14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得fx ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.17．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x .又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.18．17【分析】先求导再根据导数的定义求得时的瞬时速度是得解【详解】则时的瞬时速度故答案为：17【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数解析：17 【分析】先求导，再根据导数的定义求得2t =时的瞬时速度是(2)s '，得解. 【详解】321()2533s t t t t =++-，22()45=(2)1s t t t t '∴=++++则2t =时的瞬时速度2(2)(22)117v s '==++= 故答案为：17 【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数(=)y f x 在0=x x 处的瞬时变化率称函数(=)y f x 在0=x x 处的导数.19．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,)【分析】 令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数， 当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.20．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+， 令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果. 【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x+--=2(1)(21)ax x x +-=， 令()0f x '=得1x a =-或12x =， 当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减，因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++， 所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．22．（1）2a =，4b =；（2）3m ≥． 【分析】 （1）求导()1f x a x'=-，再根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，由()12f a b =-+=，()111f a '=-=-求解.（2）将对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，转化为ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4x g x x x xe =+-+，0x >，用导数法求得其最大值，由()maxm g x ≥求解. 【详解】（1）因为()ln f x x ax b =-+， 所以()1f x a x'=-， 又因为函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=， 所以()12f a b =-+=，()111f a '=-=-， 解得2a =，4b =.（2）因为对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，所以ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4xg x x x xe =+-+，0x >则()()()()11111x x x xe g x x e xx+-'=+-+=，设()00g x '=，00x >，则01x ex =，从而00ln x x =-， 因为()13102g ⎛'=> ⎝⎭，()()1210g e '=-<， 所以()()1102g g '⋅<，因为()g x '的图象在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是不间断的，所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，满足()00g x '=， 当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．从而()g x 在0x x =时取得最大值()00000ln 4143xg x x x x e =+-+=-+=，所以m 的取值范围为3m ≥． 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.23．（1）单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）53. 【分析】（1）由1a =得()5322f x x x =-，0x ≥，对函数求导，解对应的不等式，即可得出单调区间；（2）先对函数求导，分别讨论0a ≤，3025a <≤，325a >三种情况，利用导数的方法研究函数在区间[]0,2上的单调性，求出最值，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，())53222f x x x x x =-=-，0x ≥，所以())3122535322f x x x x '=-=-， 由()0f x '>可得35x >；由()0f x '<可得305x ≤<，所以函数()f x 的单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为())53222f x x ax x ax =-=-，[]0,2x ∈，所以())3122535322f x x ax x a '=-=-，由()0f x '=得35x a =；若0a ≤时，())530f x x a '-≥在[]0,2上恒成立，所以()f x 在[]0,2上单调递增， 最小值为()00f =不满足题意；若3025a <≤，即1003a <≤时，当30,5x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当3,25x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()222min 393625255253f x f a a a a ⎛⎫⎫==-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，则29125a ， 即52315a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以53a =，满足1003a <≤； 若325a >，即103a >时，()0f x '<在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，因此()())min 22423f x f a =-=-，解得2a =，不满足103a >；综上，53a =. 【点睛】 方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）0；（2）11[ln 2,0)22-+；（3）证明见详解. 【分析】 （1）首先明确定义域，再求导()ln(1)f x x '=-+，所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线x t =与函数()y f x =图像交点有两个的情况，由（1）知()f x 在1[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减，且1(1)()2f f <-，所以当11[,ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解．（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即ln(1)ln(1),n m m n +<+因此只需证ln(1)ln(1)m n m n++<，即证ln(1)(),(0)x g x x x +=>为单调减函数，可利用导数2ln(1)1()x x x g x x -+'+=，再结合（1）的结论可证.【详解】（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当10x -<<时，()()0,f x f x '>单调递增，当0x >时，()()0,f x f x '<单调递减，所以0x =为函数的极大值点，则函数()f x 的极值为(0)0(01)ln(01)0f =-++=.（2）由（1）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增，在(]0,1上单调递减， 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， ∴ 135(1)()ln 20222f f --=-<． ∴ 当11[ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解． （3）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n++<．设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x x g x x x x -+-+++=+'=． 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减，又()00f =，∴ (1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >．∴ ()()g m g n <，故原不等式成立．【点睛】关键点睛：要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x+=>是解决本题的关键. 25．（1）2a =；（2）证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得02a x =，再由函数()f x 的单调性，进而可转化条件为()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，通过导数证明()2g x e >-即可得证.【详解】（1）因为()()2ln 2f x a x x a x =+-+，所以()()22a f x x a x'=+-+， 所以()()42212a f a '=+-+=，解得2a =； （2）证明：由题意，()()()()1222x x a a f x x a x x--'=+-+=， 因为导函数()f x '在区间()1,e 上存在零点，设零点为()00,1,x x e ∈，则()0222,e a x ∈=，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+== 200002ln 2x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，则()2ln 2g x x x '=-， 设()()()2ln 21,,h x g x x e x x '==-∈，则()220h x x'=-<，()h x 单调递减，又()()112h g '==-，故()2ln 20g x x x '=-<在()1,e 上恒成立，故()g x 单调递减， 所以()()2g x g e e >=-， 故当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明2200002ln 2x x x x e -->-.26．（1）单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令()0f x '=求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭求出得到函数的最小值，又因为31044f f ⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭求出得到函数的最大值.【详解】解:（1）由题意得()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭. 令()0f x '≥，解得21x ≥-或312x -<≤-；令()0f x '<，解得112x -<<-. 所以函数()f x 单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增. 所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. 又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而319317131ln ln ln ln 044162162272f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【点睛】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.。
2020高考人教版数学(理)总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2-10
(1)设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则 f′π4
＝ － 2.
解析：因为 f(x)＝f′π2sinx＋cosx， 所以 f′(x)＝f′π2cosx－sinx， 所以 f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2， 即 f′π2＝－1， 所以 f(x)＝－sinx＋cosx，f′(x)＝－cosx－sinx. 故 f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－ 2.
2，则 a＝
－3
.
解析：设 f(x)＝(ax＋1)ex，则 f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，所以曲线在点 (0,1)处的切线的斜率 k＝f′(0)＝a＋1＝－2，解得 a＝－3.
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数，当 x＜0 时，f(x)＝ln(－x)
＋3x，则曲线 y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是 y＝－2x－1 .
(2)分别求下列函数的导数： ①y＝exlnx；②y＝xx2＋1x＋x13； ③y＝x－sin2xcos2x；④y＝ln 1＋2x.
解：①y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x. ②∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. ③∵y＝x－12sinx，∴y′＝1－12cosx. ④∵y＝ln 1＋2x＝12ln(1＋2x)， ∴y′＝12·1＋12x·(1＋2x)′＝1＋12x.
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1))，即解方 程 f′(x1)＝k. (2)求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点 的切线，①曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0) ＝f′(x0)(x－x0)；②求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切 点 A(x0，f(x0))，则切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. (3) 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 参 数 的 值 时 ， 一 般 是 利 用 切 点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
(必考题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞3．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >4．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 5．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e6．函数()f x x =，2()=g x x 在[0,1]的平均变化率分别记为12,m m ，则下面结论正确的是 A ．12m m = B ．12m m C ．21m m D ．12m m ，的大小无法确定7．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞，8．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)9．已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[33]-，B ．（-3,3）C ．[55]-，D ．(-5,5)10．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()2,00,2-⋃B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃11．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ） A ．sin11- B ．1sin1- C ．1sin1+ D ．1sin1--12．已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ） A ．在()0,∞+上递增 B ．在()0,∞+上递减 C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减 二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____15．已知函数()xf x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________.16．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.17．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.18．若曲线21()ln 2f x x a x =-在点(1,(1))f 处的切线与直线310x y ++=垂直，则常数a =___.19．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2()3(2)ln f x xf 'x x =++，则'(2)f =______．20．已知()()'1ln f f x x x x=+，则()'1f =__________．三、解答题21．已知函数()3()ln f x x a x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数. （1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数. 23．已知函数()xaf x x e =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数() f x 在区间[0,)+∞的零点个数；（2）若()2xe f x <对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）当0a >时，求()f x 的最小值； （2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立. ①求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin xx e x x x >++.25．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值. 26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.3．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．4．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -， 可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．A解析：A 【解析】因为1m =1,21010m -=-=1,所以12m m =，选A. 7．D解析：D 【分析】首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】依题意得，(1,1)x ∈-时，2()60f x x mx '=+-恒成立，得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩，解之即可．【详解】 解：()3216132mf x x x x -+=+，()26f x x x m '∴=-+，要使函数()f x 在()1,1-单调递减， 则()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立， 即260x mx -+≤在()1,1x ∈-上恒成立，则：()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，即：160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，解得：55m -≤≤则m 的取值范围为：[]55-，. 故选：C .本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题．10．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.11．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果． 【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．12．D解析：D确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增 故选D ． 【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关 解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立， 所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<， 故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.15．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去 解析：a e >【分析】对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围. 【详解】函数()f x 有3个零点，也即,xy e y a x ==的图象有3个交点.当0a =时，()xf x e =没有零点，故舍去；当0a <时，0xa x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；当0a >时，画出,xy e y a x ==的函数图象，如下所示：数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率即可.不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，又xy e '=，则mm n e k e m m===，解得1m =，故可得k e =.即,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率为1， 故要满足题意，只需a e >. 故答案为：a e >. 【点睛】本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题.16．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π 【分析】 根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得f x ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m 的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.17．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值， 即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.18．-2【分析】利用导数的几何意义求得在点处的切线斜率为再根据两直线的位置关系即可求解【详解】由题意函数可得所以即在点处的切线斜率为又由在点处的切线与直线垂直所以解得【点睛】本题主要考查了利用导数的几何解析：-2 【分析】利用导数的几何意义，求得在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k a =-，再根据两直线的位置关系，即可求解． 【详解】由题意，函数21()ln 2f x x a x =-，可得()af x x x'=-，所以(1)1f a '=-， 即在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k a =-，又由在点(1,(1))f 处的切线与直线310x y ++=垂直，所以1(1)()13a -⨯-=-， 解得2a =-． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．【分析】对两边求导可得：将代入即可求得问题得解【详解】对两边求导可得：将代入上式可得：解得：【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想考查计算能力属于中档题解析：94- 【分析】对2()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1()23(2)f x f 'xx '=++，将2x =代入即可求得9(2)4f '=-，问题得解． 【详解】对2()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1()23(2)f x f 'xx '=++，将2x =代入上式可得：1(2)223(2)2f f ''=⨯++ 解得：9(2)4f '=- 【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想，考查计算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】首先求得导函数利用赋值法令求解即可【详解】由函数的解析式可得利用赋值法令得解得【点睛】本题主要考查导数的运算法则方程思想的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：12【解析】 【分析】首先求得导函数，利用赋值法，令1x =求解()'1f 即可. 【详解】由函数的解析式可得()()2'11ln f f x x x'=+-，利用赋值法，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12f =． 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）若0a ≤时，函数在()0,∞+上单调递增；若0a >时，函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；（2）(,-∞-.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；（2）对()g x 求导得3318()x x a g x x--'=，由()g x 在区间[]1,e 上是增函数，可得[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，利用导数求出()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()323()30a x af x x x x x-'=-=>，①若0a ≤时，()0f x '>，此时函数在()0,∞+上单调递增；②若0a >时，令()0f x '>，可得x >()0f x '<，可得0x <<，所以函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.（2）32318()()18318a x x ag x f x x x x--''=-=--=，若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数， 又当[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，则()22()91892h x x x '=-=-，令()0h x '>x e <<，可得函数()h x 的增区间为)e ，减区间为(，所以min ()h x h ===-有a ≤-，故实数a 的取值范围为(,-∞-. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的最值，构造法的应用，解题的关键是根据单调性确定3318a x x ≤-恒成立，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 22．（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解. 【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()e xx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x xf x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-； ②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()e xx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a=的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=， 由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增； 当()()1,00,x ∈-+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞； 当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞； 当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解； 当0a <时，原方程有两个解. 【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解23．（1）1个；（2）2122e e a --+<.【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解 【详解】（1）()x f x x e -=-，0x ≥，()10xf x e '-=+>故()f x 在[0,)+∞递增，又(0)1f =-，1(1)10f e -=->(0)(1)0f f <，故()f x 在(0,1)上存在唯一零点因此()f x 在区间[0,)+∞的零点个数是1个； （2）1x ∀≥-，2x xe x ae-+<恒成立，即1x ∀≥-，2e 2x x a xe <-恒成立 令2()2xx e g x xe =-，1x ≥-，则min ()a g x <()()1x x g x e x e '=--，令()1x h x e x =--，1x ≥-()1x h x e '=-，[1,0)x ∈-时，()0h x '<，0x >时，()0h x '>故()h x 在[1,0)-递减，(0,)+∞递增，因此()(0)0h x h ≥= 所以，()0g x '≥，故 ()g x 在[1,)-+∞递增 故21min 2()(1)2e e g x g --+=-=，因此2122e e a --+<. 【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题. 24．（1）ln a a a -；（2）①1；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，对函数求导，令0x xe a -=，构造()xg x xe =，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出()f x 的单调性和最值；（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意；当0a >时，构造()()ln 0a a a a a ϕ=->，求导得出函数的最大值，可得实数a 的值；②由①可知ln 1x xe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，按1x >和01x <≤分别证明即可．【详解】 （1）法一：()f x 的定义域为()0,∞+，由题意()()()11x xa xe a f x x e x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x xe a -=，得x a xe =， 令()xg x xe =，()()10x x x g x e xe x e '=+=+>，所以()g x 在()0,x ∈+∞上为增函数，且()00g =， 所以x a xe =有唯一实根， 即()0f x '=有唯一实根，设为0x ， 即00xa x e =，所以()f x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， 所以()()()00000min ln ln xf x f x x e a x x a a a ==-+=-.法二：()()()()ln ln ln 0xe x xf x x a x x e a x x x +=-+=-+>.设ln t x x =+，则t R ∈.记()()tt e at t R ϕ=-∈.故()f x 最小值即为()t ϕ最小值.()()0t t e a a ϕ'=->，当(),ln t a =-∞时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减， 当()ln ,t a ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增， 所以()()ln min ln ln ln af x a ea a a a a ϕ==-=-，所以()f x 的最小值为ln a a a -.（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意， 当0a >时，由（1）可知()min ln f x a a a =-， 设()()ln 0a a a a a ϕ=->， 所以()ln a a ϕ'=-，当()0,1a ∈时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增， 当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减， 所以()()max 11a ϕϕ==，即ln 1a a a -≤. 由已知，()1f x ≥恒成立，所以ln 1a a a -≥， 所以ln 1a a a -=， 所以1a =.②由①可知ln 1x xe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+， 又因为ln 1≤-x x ，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，当1x >时，2222sin x x x -+>≥结论成立，当(]0,1x ∈时，设()222sin g x x x x =-+-，()212cos g x x x '=--，当(]0,1x ∈时，()g x '显然单调递增.()()112cos10g x g ''≤=-<，故()g x 单调递减， ()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>. 综上结论成立. 【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，导数对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题：()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<.25．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值 【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+， 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行， 所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max ln 22g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭.【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞. 【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>①当0a <时，2'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为 （3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】 本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
2020高考数学(文)总复习训练(3)变化率与导数、导数的计算含解析
课时跟踪练(十三)A 组 基础巩固1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a )＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．答案：C2．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B3．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( )A ．y ＝xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在解析：函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0.答案：C4.(2019·济南一中调研)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．a <f ′(2)<f ′(4)B ．f ′(2)<a <f ′(4)C ．f ′(4)<f ′(2)<aD ．f ′(2)<f ′(4)<a解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f (2))，(4，f (4))两点连线的斜率f （4）－f （2）4－2的大小，在点(2，f (2))处的切线斜率f ′(2)与点(4，f (4))的切线斜率f ′(4)之间，所以f ′(2)<a <f ′(4)．答案：B5．(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A ．7B ．4C ．0D ．－4解析：因为f (x )＝x －g (x )，所以f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，所以g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.答案：A6．曲线y ＝sin x x 在x ＝π2处的切线方程为( ) A ．y ＝0B ．y ＝2πC ．y ＝－4π2x ＋4πD ．y ＝4π2x解析：因为y ′＝x cos x －sin x x 2，所以y ′|x ＝π2＝－4π2， 当x ＝π2时，y ＝2π， 所以切线方程为y －2π＝－4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，即y ＝－4π2x ＋4π.答案：C7．(2019·日照质检)已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e解析：因为y ′＝a e x ＋1，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，所以a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e. 答案：B8．(2019·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：因为f (x )＝2e x ＋1＋sin x ， 所以f ′(x )＝－2e x（e x ＋1）2＋cos x ， f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2， f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x（e x ＋1）2＋cos x ＋2e －x（e －x ＋1）2－cos(－x )＝0，所以f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.答案：B9．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，所以f(－2)＝9，所以点M的坐标是(－2，9)．答案：(－2，9)10．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1.又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.答案：111．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92.所以f′(2)＝－9 4.答案：－9 412．(2019·珠海一中等六校联考)已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．解析：由题意，知f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0B 组 素养提升13．(2019·南阳模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，则f ′(0)＝( )A ．8 2B ．－8 2C ．128D ．－128解析：令f (x )＝x ·g (x )，其中g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)， 则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，因为{a n }是等比数列，所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.答案：B14．(2019·广州第一次调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，因为切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，所以kx 0－2＝x 0ln x 0，所以k ＝ln x 0＋2x 0. 则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，所以x 0＝2，所以k ＝ln 2＋1. 答案：D15．(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 16．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，所以f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝0。
2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_10变化率与导数、导数的计算课件文新人教A版
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝__a_xl_n_a__
f′(x)＝__e_x_
1 f′(x)＝__x_l_n__a
1 f′(x)＝__x___
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
．
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
．
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
4．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1 中 n≠0
且 n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.
(3)函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx
称函数f′(x)＝__Δl_ixm→_0_______Δ_x________为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝_α_x_α_－_1___ f′(x)＝_c_o_s_x___ f′(x)＝_－__s_i_n_x__
，即 x0＋a＝1.
又 y0＝ln (x0＋a)，所以 y0＝0，则 x0＝－1，所以 a＝2.
[答案] B
名师点拨 导数几何意义的应用及解法 (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值 f′(x0)＝k； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k； (3)已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0))， 利用 k＝fxx11－ －fx0x0求解．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 考点测试14 变化率与导数、导数的计算 一、基础小题 1．下列求导运算正确的是( )
A.x＋1x′＝1＋1x2 B．(log2x)′＝1xln 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 答案 B
解析 x＋1x′＝1－1x2；(3x)′＝3x·ln 3；(x2cosx)′＝(x2)′·cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以A，C，D错误．故选B. 2．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′π2的值为( )
A.π2 B．0 C．－1 D．1 答案 B 解析 f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴f′π2＝π2cosπ2＝0，故选B. 3．设f(x)＝xln x，f′(x0)＝2，则x0＝( ) 2
A．e2 B．e C.ln 22 D．ln 2 答案 B 解析 ∵f′(x)＝1＋ln x，∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2， ∴x0＝e.故选B. 4．已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在4 s末的瞬时速度是( ) A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s 答案 A
解析 ΔsΔt＝7Δt＋Δt2Δt＝7＋Δt，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于7.故选A. 5．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，则函数f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x 答案 B 解析 由题意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，则f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x. 6．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 答案 B 解析 f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线的斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．
7．设f(x)是可导函数，且满足limΔx→0f2Δx＋1－f12Δx＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案 A
解析 limΔx→0f2Δx＋1－f12Δx＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义知，y＝f(x)在 3
点(1，f(1))处的切线的斜率为－1. 8．已知过点P(2，－2)的直线l与曲线y＝13x3－x相切，则直线l的方程为________． 答案 y＝8x－18或y＝－x 解析 设切点为(m，n)，因为y′＝x2－1，所以
m2－1＝n＋2m－2，
n＝13m3－m，
解得 m＝3，n＝6或 m＝0，n＝0，所以切线的斜率为8或－1，所以
切线方程为y＝8x－18或y＝－x. 二、高考小题 9．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 答案 D 解析 因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D. 10．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________． 答案 y＝2x－2
解析 由y＝f(x)＝2ln x，得f′(x)＝2x，则曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线的斜率为k＝f′(1)＝2，则所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2. 11．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________. 答案 －3 解析 由y′＝aex＋(ax＋1)ex，则f′(0)＝a＋1＝－2.所以a＝－3. 12．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 答案 1
解析 由题意可知f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1. 13．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，则曲线y 4
＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 y＝－2x－1 解析 令x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，
则f′(x)＝1x－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 三、模拟小题 14．(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为( ) A．y＝x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在 答案 C 解析 函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0，故选C. 15．(2018·福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝
2xf′(1)＋ln 1x，则f(1)＝( ) A．－e B．2 C．－2 D．e 答案 B
解析 由已知得f′(x)＝2f′(1)－1x，令x＝1 得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2. 16．(2018·广东深圳二模)设函数f(x)＝x＋1x＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案 D
解析 由题意可得，f(a)＝a＋1a＋b，f′(x)＝1－1x2，所以f′(a)＝1－1a2，故切线方
程是y－a－1a－b＝1－1a2(x－a)，将(0，0)代入得－a－1a－b＝1－1a2(－a)，故b＝－2a，故ab＝－2，故选D.
17．(2018·湖南株洲高三教学质量统一检测二)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部分可以是( ) 5
答案 A 解析 由f(x)＝xsinx＋cosx可得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，即y＝g(t)
＝tcost，是奇函数，排除B，D；当t∈0，π2时，y＝g(t)>0，排除C.故选A.
18．(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝2ln x1e≤x≤e2，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________． 答案 [－2e－32，3e] 解析 直线g(x)＝mx＋1关于直线y＝1对称的直线为y＝－mx＋1，因为f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，所以直线y＝－mx＋1与f(x)＝2ln x的图象在1e，
e2上有交点，直线y＝－mx＋1过定点(0，1)，当直线y＝－mx＋1经过点1e，－2时，－2＝－me＋1，解得m＝3e，当直线y＝－mx＋1与y＝2ln x1e≤x≤e2相切时，设切点为(x，y)，
则 y＝－mx＋1，y＝2ln x，2x＝－m，解得 x＝e32，y＝3，m＝－2e32.∴－2e32≤m≤3e时，直线y＝－mx＋1与y＝2ln x的图象在1e，e2上有交点，即f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，
故实数m的取值范围是[－2e－32，3e]．
一、高考大题 1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ax2＋x－1ex. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. 6
解 (1)f′(x)＝－ax2＋2a－1x＋2ex，f′(0)＝2. 因此曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程是y＋1＝2x，即2x－y－1＝0. (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)·e－x. 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 所以g(x)≥g(－1)＝0. 因此f(x)＋e≥0. 2．(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a； (2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 解 (1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex. f′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝12. (2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex. 若a>1，则当x∈1a，1时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝1处取得极小值． 若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0， 所以f′(x)>0. 所以1不是f(x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)． 3．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f(x)＝excosx－x， 所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1， 则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.