2013-2019高考文科数学分类汇编-三角函数三角函数概念同角三角函数关系式和诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳
同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。
那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。
下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。
（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。
根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。
（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。
根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。
4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。
通过画图和思考可以帮助记忆。
（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。
（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。
（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。
总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第三章三角函数3.1三角函数的概念同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件
(2)求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:①弦切 互化法:利用公式tan α= 进行转化;②和积转换法:利用(sin α±cos α)2
cos α s in α
=1±2sin αcos α进行变形、转化;③巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2
α(1+tan2α)=sin2α· . 注意求值与化简的结果一般 1 α , k Z 1
s in 2 α
2
(2)已知tan α=2,则 = s in α s in α c o s α c o s 2 α 1
.
解析 (1)∵sin α+2cos α=0,
∴tan α=-2, ∴2sin αcos α-cos α=
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k· 360°+
α,k∈Z}.
二、弧度制及常用公式 1.1弧度的角:把长度等于④ 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.
2.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|
α|= ,l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长.
第二象限角:①
π α | 2 k α 2k , k Z 2
;
第三象限角:②
3 α | 2 k α 2 k ,k Z 2 ;
第四象限角:③ 2.终边相同的角
3 α | 2 k α 2 k 2 , k Z . 2
kπ 2
ta n α
2
要尽可能有理化、整式化.
方法技巧
方法 1 三角函数概念的应用
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点同角三角函数的基本关系与诱导公式是解决三角函数之间的相互关系的重要工具。
它们包含了三角函数的定义、性质和相互之间的关联，通过这些关联可以简化三角函数的计算和推导，提供了解决三角函数问题的便捷方法。
在学习和应用三角函数时，掌握这些知识点非常重要。
基本关系：sinθ = 角对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 角对边 / 邻边这些定义描述了角度和三角函数之间的基本关系。
通过这些基本关系，可以推导出其他三角函数之间的关系。
诱导公式：诱导公式是通过基本关系推导得到的，它们描述了不同角度的三角函数之间的关系。
常用的诱导公式有：1.正弦的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(2π - θ) = -sinθ2.余弦的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π -θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθ3.正切的诱导公式：tan(π/2 - θ) = cotθtan(π/2 + θ) = -cotθtan(π - θ) = -tanθtan(2π - θ) = tanθ4.余切的诱导公式：cot(π/2 - θ) = tanθcot(π/2 + θ) = -tanθcot(π- θ) = -cotθcot(2π - θ) = cotθ通过这些诱导公式，可以将一个三角函数的值转化为与之相关的其他三角函数的值，从而简化计算和推导的过程。
这些基本关系和诱导公式在解决各种三角函数问题时是非常有用的。
通过掌握这些知识点，我们可以灵活运用三角函数的定义和性质，快速推导出需要的结果。
在解决具体问题时，可以利用诱导公式将所给角度转化为更简单的角度，从而获得更便捷的计算方法。
此外，这些基本关系和诱导公式还可以用于推导其他三角函数的性质和公式，扩展和深入了解三角函数的知识，为进一步研究和应用三角函数打下坚实基础。
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式2019年高考数学知识点专项练习课件
.
答案 - 解析 本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= (k∈Z). 当cos α= 1 sin 2α = 时,cos β=- , ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= ×
5 13
由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=- 或cos β= . 思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值. (2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的
56 65 16 65
余弦公式得cos β的值.
C组
考点
教师专用题组
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
)
5 3 C. 5 4 D. 5
(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则
cos 2θ= (
4 A.- 5
3 B.-
)
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. 又∵c=tan 35°=
sin 35 >sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C. cos35
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式
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任意角与弧度制； 单位圆
任意角的三角函数
三 角 函 数
三角函数的图象
弧度制
任意角三角函数定义 同角三角函数的关系
诱导公式 二倍角公式 和差化积，积化和差 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx
yA sin (x )b
(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β， ②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，
③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝38，即
cos
α＝±
6 4.
解:(1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝sin2α＋ssinin2αα＋cocsoαs－ 2α 2cos2α＝tan2tαa＋n2tαa＋n 1α－2＝45.
cos2α
∵tan α＝－43，
∴cos2α－ 1 sin2α＝t1a－ n2tαa＋ n2α1＝1－ －43－2＋ 4312＝－275.
(2)
sin2α＋cos2α cos2α－ 1 sin2α＝scions22αα＋ －csoins22αα＝cos2cαo－ s2αsin2α＝t1a－ n2tαa＋ n2α1，
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；
④最小正周期
T
2 | |
；⑤对称轴
x(2k12 )2 ,对称中心为 (k,b),kZ
忆一忆知识要点
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：s_i_n __2_ __ __c_o _s__2_ __ _.1
同角三角函数诱导公式
同角三角函数诱导公式
同角三角函数诱导公式是三角函数中一组具有特定结构的恒等式，它们在三角函数的化简、求值、恒等式证明等领域有着广泛的应用。
同角三角函数的基本关系式包括：
平方和公式：sin^2(α) + cos^2(α) = 1
积化和差公式：sin(α)cos(β) = 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]
和差化积公式：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
同角三角函数的诱导公式包括：
sin(x+2kπ)=sinx
cos(x+2kπ)=cosx
tan(x+2kπ)=tanx
sin(π/2-x)=cosx
cos(π/2-x)=sinx
tan(π/2-x)=1/tanx
sin(π/2+x)=cosx
cos(π/2+x)=-sinx
tan(π/2+x)=-tanx
sin(π-x)=sinx
cos(π-x)=-cosx
tan(π-x)=-tanx
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=1/tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-tanα
以上是同角三角函数诱导公式的一部分，这些公式在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面都有重要作用。
高考数学同角三角函数的基本关系式与诱导公式
探究点一 同角三角函数的基本关系及应用
[思路点拨]根据同角三角函数的关系式即可求解,需注意x为第几象限角; [解析] 因为x∈,所以sin x=-=-,所以tan x==-.故选B.
B
(2)[2022·福建莆田一中月考] 已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为 .
例5 (1)[2021·山东菏泽模拟] 已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0, tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A. B. C. D.
课堂考点探究
探究点三 诱导公式与同角关系的综合应用
[思路点拨]将已知条件利用诱导公式化简,再建立方程求出tan α,然后运用同角三角函数关系求出sin α;[解析] 由已知得消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=,又α为锐角,则sin α=.
-
[总结反思](1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系=tan α和平方关系1=sin2α+cos2α.(2)注意根据角的终边所在的象限选取正确的符号.
课堂考点探究
角度2 切弦互化例2 (1)已知sin αcos α=,则tan α+=( )A.2 B. C.-2 D.-
6. 已知A=+(k∈Z),则A= . 7.已知α为第二象限角,则= .
课前基础巩固
[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.
[解析] ===-1.
角度1 公式的灵活运用例1 (1)已知x∈,cos x=,则tan x的值为 ( ) A. B.- C. D.-
2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文
一、必记 3●个知识点 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tanα＝csoinsαα.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦
sinα
－sinα
余弦
cosα
－cosα
正切
tanα
tanα
三
－α
－sinα cosα －tanα
答案：B
3．(2015·福建卷)若 sinα＝－153，且 α 为第四象限角，则 tanα
的值等于( )
12 A. 5
B．－152
5 C.12
D．－152
解 析 ： 因 为 α 为 第 四 象 限 的 角 ， 故 cosα ＝ 1－－1532＝1123，所以 tanα＝csoinsαα＝－11253＝－152.
考向二 同角三角函数关系式的应用
[分层深化型]
[例] (1)(2016·新课标全国卷Ⅲ，5)若 tanα＝34，则 cos2α＋2sin2α
＝( A )
64 A.25
48 B.25
C．1
16 D.25
(2)已知 sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则 sinθ－cosθ 的值为( B )
2 A. 3
13 答案：D
1－sin2α ＝
4．若 sinθcosθ＝12，则 tanθ＋csoinsθθ的值是( )
A．－2 B．2
C．±2
D.12
解析：tanθ＋csoinsθθ＝csoinsθθ＋csoinsθθ＝cosθ1sinθ＝2. 答案：B
5.csoins252ππ－＋αα·scions52ππ－－αα＝________.
2019高三一轮总复习文科数学课件：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式
得190cos2α＝1，∴cos2α＝190，易知 cosα＜0，
∴cosα＝－31010，sinα＝ 1100，
故 sinα＋cosα＝－
10 5.
【答案】
(1)D
(2)－
10 5
同角三角函数的基本关系的应用技巧 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα＝tanα 可实现 角 α 的弦切互化． (2)关系的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (3)关于 sinα，cosα 的齐次式，或含有 sin2α，cos2α 及 sinαcosα 的式子求值时，可 将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解.
答案：C
2．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________.
解析：tan56π＋α＝tanπ－6π＋α
＝tanπ－π6－α
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：－
3 3
答案：D
2．若 sinθcosθ＝21，则 tanθ＋csoinsθθ的值是( )
A．－2
B．2
C．±2
D．12
解析：tanθ＋csoinsθθ＝csoinsθθ＋csoinsθθ＝cosθ1sinθ＝2.
答案：B
3．若 sinθ＝－45，tanθ＞0，则 cosθ＝________.
解析：由已知，θ 在第三象限，所以 cosθ＝－ 1－sin2θ＝
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系 sin2α＋cos2α＝ 1 ；
高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。
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第四章 三角函数 第1节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式 题型43 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型44 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型45 弧长与扇形面积公式的计算 2019年 1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ 解析 由题意和题图可知，当P为优弧AB的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O，2AOB，1222BOPAOP.
此时阴影部分面积211222222AOPBOPAOBSSSS△△扇形
sin44sin.故选B.
题型46 三角函数定义题 1.（2014大纲文2）已知角的终边经过点(43)，，则cos（ ）.
A．45 B．35 C．35 D．45
2.（2017北京文9）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，则sin_________．
2.解析 由题意知，1sinsinsin3. 2018年 1.（2018浙江18）已知角α的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边
过点34,55P． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 解析（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以. （Ⅱ）由角的终边过点得， 由得. 由得， 所以或16cos65.
题型47 三角函数线及其应用——暂无 2018年
1.（2018北京文7）在平面坐标系中，,,,ABCDEFGH是圆221xy上的四段弧（如
图），点P在其中一段上，角以O𝘺始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是( ). （A）AB （B）CD （C）EF （D）GH 解析 由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线.
513
34(,)55P4sin5
4sin(π)sin5
34(,)55P3cos5
5sin()1312cos()13
()coscos()cossin()sin56cos65 A选项：当点P在AB上时，cos,sinxy， cossin，故A选项错误；
B选项：当点P在CD上时，cos,sin,tanyxyx，
tansincos，故B选项错误；
C选项：当点P在EF上时，cos,sin,tanyxyx
sincostan，故C选项正确；
D选项：点P在GH上且GH在第三象限，tan0,sin0,cos0， 故D选项错误. 综上，故选C.
题型48 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型49 诱导求值与变形
1. （2013江西文3）3sincos23若，则（ ）.
A. 23 B. 13 C. 13 D.23 1.解析 22321cos12sin1212333.故选C. 2．（2013广东文4）已知5π1sin25，那么cos（ ）. A．25 B．15 C．15 D． 25 2.分析 利用诱导公式化简已知条件即可. 解析 5πsincos2，故1cos5，故选C.
3.（2013四川文14）设πsin2sinπ2，，，则tan2的值是 .
3.分析 由sin22sincos及sin2sin，,2解出，进而求得tan2 的值.
解析 因为sin2sin，所以2sincossin.因为,2，sin0，
所以1cos2.又因为,2，所以23
，
所以4tan2tantan3tan3. 4. （2013江苏15） 已知)sin,(cos)sin,(cosba，＝，0π.
（1）若2||ba，求证：ba； （2）设)1,0(c，若cba，求,的值. 4.分析 （1）只需证明0ab即可；（2）由已知条件到coscos,sinsin的值， 然后再利用诱导公式得到,间的关系即可求得,的值. 解析 （1）证明：由题意得22ab，即22222.abaabb
又因为22221abab
，所以222ab，即0ab，故ab.
（2）解：因为coscos,sinsinab0,1，所以coscos0,sinsin1, 由此得，coscos，由0<<，得0<-<.又0<<，故，代入sinsin1，得1sinsin2，而>
，所以
5,66.
5.（2016四川文11）sin750 . 5. 解析 由三角函数诱导公式，得. 6.（全国Ⅰ文7）tan255°= A．－2－3 B．－2+3 C．2－3 D．2+3 解析 tan255tan18075tan75tan4530（）（） 31tan45tan303231tan45tan30313
．故选D．
题型50 同角求值——已知角与目标角相同 1.（2014新课标Ⅰ文2）若tan0，则（ ） A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20
2.（2015福建文6）若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（ ）.
A．125 B．125 C．512 D．512
2.解析 由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，
所以sin5tancos12.故选D.
3.（2016全国丙文6）若1tan3，则cos2（ ）.
A.45 B.15 C.15 D.45 3. D 解析 2222cossincossin221tan1tan
.故选D.
4.（2016全国乙文14）已知是第四象限角，且π3sin45，则πtan4
.
121sin750sin72030sin302oooo
22cos2cossin
22
11()43151()3
4. 解析 由题意. 因为，所以， 从而，因此. 评注 此处的角还可由缩小至，但没必要.另外，还可利用进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故πtan434，所以.
43sinsin442
3cos45
2222kkkZ722444kkkZ
4sin454tan43
3cos45
722244kkkZ
ππtantan144
4cos45
tan4
143tan4