线性规划(02)1

证明： X ( 0 ) (b , b , b ,0, ,0) 1 2 m
为一基可行解，有一个变量Xm+k对应
m k＞0, ai ,m k 0


构造一个新的解
X
(1)
，分量为
(1) x b a ＞0 x i i i, m k i (1) x mk (1) x 0, j m 1, , n, j m k j
X为基础可行解, B就是可行基。
另外，若满足 CN- CB B-1N ≤ 0 或 CB B-1N - CN ≥0 则对任意的 x >= 0 有
S = CX ≤ CB B-1b
即对应可行基B的可行解x为最优解。
基变量xB的检验数CB- CB B-1B =0
检验数为 C -CB B-1A
定理（最优解判别准则）
bi
j m1
a
n

ij
xj
i 1,, m
(1) a 0 , x 0. i 因 i ,m k
z z0 mk ,
为可行解。 X , z .
(1)
线性规划为求最大化的标准型： 定理：若非基变量检验数严格小于零，则线 性规划问题有唯一最优解。
b2
……………
am1 am2 …. amn c1 x1
bn 0

c2
Ct= …… cn X=
x2
0= …… xn
0
….. 0
并且
r(A)=m<n.
1.最优解判别定理：
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基）
相应地有 XT= (XB , XN)
C= (CB , CN)
由（1-17）（1-18）
Z= (CB , CN) (XB , XN) T= CB XB+CN XN AX=（ B , N） (XB , XN) T = B XB+ N XN =b
x1为换入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。x5=0 。有 x3 = 2-x1≥0 x4 = 16 -4x1 ≥0 (Ⅵ) x2= 3 ≥0 min{2,4,- }=2 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
1 x 2 x x5 1 3 2 x4 1 6 4 x1 1 x2 3 x5 4
事实上，若 X (1) , X ( 2) ,, X ( k ) 是目标函数达到最大值 的顶点， * (i )
Z CX , i 1,2,, k
k (i ) k i 1 i 1
X i X , i 0, i 1
*
CX C i X
* i 1
k
(i )
i CX
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。
x2
50 40 30
max S = 2x1 +3x2 s.t. x1+2x2 +x3 =8 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 ,x5 ≥ 0
X1 （0，0）， X2 （0，3） X3 （2，3）， X4 （4，2）
4x20 2 = 12
4x1 = 16
分析： S = 13-2x3+（1/4）x5 x5系数仍为正数，确定x5为换入变量。 在保证常数项非负的情况下， x5换入， x3=0 。有 x1 = 2+（1/2）x5≥0 x4 = 8 -2x5 ≥0 (Ⅵ ) 1 x2= 3-（1/4）x5 ≥0 x 2 x x5 3 1
因为B为一个基, |B|≠0
有 XB = B-1b- B-1N XN
Z=CB XB+CN XN = CB B-1b + (CN- CB B-1N )XN 令非基变量XN = 0 则
检验数
X = (XB , XN) T =（ B-1b , 0）T为基础解，其 目标函数值为 S = CB B-1b 只要XB = B-1b >= 0, X=（ B-1b , 0) T >=0
A=（P1，P2，P3，P4 ，P5 ） = 1 4 0 2 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1
X=（x1, x2, x3, x4 , x5)T
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x1 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
约束条件的增广矩阵为： 1 （A b)= 4 0 2 1 0 0 0 1 4 0 0 0 8
0 16 1 12
显然 r(A) = r(Ab) = 3 < 5,该问题 有无穷多组解。
令A=（P1，P2，P3，P4 ，P5）
= 1 2 1 0 0
4
0 X=（x1,
0
4
0
0
1
0
0
1
x2, x3,
x4 , x5)
i 1
k
(i )
Z i Z .
* * i 1
k
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基础可行解（一个顶点） 开始（称为初始基础可行解）。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基础可行解（一个顶点） 开始（称为初始基础可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基础可行解（另一个顶 点），以改进初始解。
事实上，当x1 =0，有 x3 = 8- 2x2≥0 x3 8 x1 2 x2 x4 = 16≥0 x4 1 6 4 x1 x5 = 12 - 4 x2 ≥0 x 12 4x

5 2
（Ⅱ）
min(8/2, -，12/4)=3, 当x2=0时，x5=0。x5换 出基变量。
其中（1）—1/2（3）
3 1 4 1 5 2
2
这个方案比前方案好，但是否是最优？
这个方案比前方案好，但是否是最优？ 分析： S= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
1 x 2 x x5 1 3 2 x4 1 6 4 x1 1 x2 3 x5 4
对于可行基B ,若
C -CB B-1A ≤ 0
则对应于基B的基础可行解x就是基础最 优解，此时的可行基就是最优基。 σ=C - CB B-1A为检验数。
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况）
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基础可行解（一个顶点） 开始（称为初始基础可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基础可行解（另一个顶 点），以改进初始解。
•继续寻找更优的基础可行解，进一步改 进目标函数值。当某一个基础可行解不能 再改善时，该解就是最优解。
xmk , mk 0. 证明：某个非基变量 xm k 换入基变量中，得到基可行解 X
k z0 z z0 j xj z0 mk xm
X 为最优解。故线性规划问题有 无穷多最优解。
定理：若存在检验数大于零，但所对应的换入变量Xm+k
的系数向量Pm+k≤0,则原问题无最优解。（无界解的情况）
确定了换入变量x2 ，换出变量x5 以后， 得到新的消去系统：
x3 +2 x2 = 8- x1 （1） x3 = 2- x1+（1/2） x5 x4 = 16-4x1 （2） (Ⅲ)即： x4 = 16-4 x1 4x2 = 12- x5 （3） x2= 3 - （1/4）x5
S= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T x 8 x 2x 得到新的基础可行解： x 16 4x (2) T x =(0,3,2, 16 , 0) S2= 9 x 12 4x 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
min{- ,4,12 }= 4
确定x4为换出变量。有 x1 -（1/2）x5 =2-x3 2x5= 8 +4 x3 -x4 x2 +（1/4）x5 = 3
2 x4 8 4 x3 2 x5 1 x2 3 x5 4
即： x1 =4-（1/4）x4 x5=4 +2 x3 -（1/2）x4 （Ⅶ） x2 =2-（1/2）x3 +（1/8）x4 S = 14-（3/2）x3-（1/8）x4 得到新的消去系统 目标函数中的非基变量的系数无正数， S4 = 14 是最优值， x(4)=(4,2, 0, 0，4) T是最 优解。 该企业分别生产甲产品4个，乙产品2个可 获得利润1400元。
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0）T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12)T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。
分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
X3 Q3 Q2 X4
x1+2x2 = 8