2022年人教版九年级数学上册第二十四章圆教案圆

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2022秋九年级数学上册第24章一元二次方程24.4 一元二次方程的应用3营销问题习题课件冀教版

7．【易错：易忽略题中的条件而致错】某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第1档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属于第___3_____档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
克，她发现当售价为6元/千克时，每天可以卖80千克．在销
售过程中，她还发现每千克橘子每降价0.5元，每天可以多
卖出10千克．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达
到100元的利润，则小玲应该将售价定为每千克( A )
A．5元
B．6.5元
C．5.5元 D．4.5元
4．【2020·河北石家庄期中】山水旅行社的一则广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准：如果人数不超过30 人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元．某公司组织员工到A风景区旅游，支付给该旅行社28 000元．
9．夏日来临，为了保证顾客每天都能吃到新鲜水果，“每日鲜果”水果店要求当日批发购进的某水果当天必须全部售出．该水果购进的价格为5元/千克．经调查发现，当销售价格为10元/千克时，每天的销售量为200千克；销售价格每上涨1元/千克，每天的销售量就会减少40千克．
(1)若该店每天至少卖出120千克这种水果，销售价格最高定为多少？
【点拨】注档次的产品，则每件利润为10＋ 2(x－1)＝2x＋8(元)，每天的产量为76－4(x－1)＝80－4x(件)，依题意得(2x＋8)(80－4x)＝1 080，整理得x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11. 又∵该烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，∴x＝5. 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．

2021-2022学年度强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习试题(无超纲)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（）A ．3BCD ．2、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（）A．B．C D．83、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cmBC=，将ABC绕点A顺时针旋转60°得到ADE，此时点B的对5、如图，在ABC中，2AB=，4应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7、下列判断正确的个数有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，AB 为O 的直径，4AB =，CD =BC 的长是劣弧BD 长的2倍，则AC 的长为（）A ．B ．C ．3D ．9、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°10、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B．95C．165D．125第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．2、已知60°的圆心角所对的弧长l是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．3、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．4、如图，在Rt△ABC ，∠B =90°，AB =BC =1，将△ABC 绕着点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，那么BM =______________．5、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的45∠=，AE、AF与BC、CD边分别交EAF︒于E、F两点．易证得EF BE FD=+．大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90︒，得到ABH，由180HBE︒∠=可得H、B、E三点共线，45≌，故∠=∠=，进而可证明AEH AEFHAE EAF︒=+．EF BE DF任务：如图3，在四边形ABCD中，AB AD=，90EAF︒∠=，∠=，以A为顶点的60∠=∠=，120B D︒BAD︒AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论=+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．EF BE DF3、在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）画出ABC 关于原点对称的图形111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点O 逆时针旋转90︒后的图形222A B C △，并写出点2B 的坐标；（3）写出111A B C △经过怎样的旋转可直接得到222A B C △．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）4、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．（1）求BFE ∠的度数；（2）若5AC BC ==，且CE EF =，求DF 的长．5、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.-参考答案-一、单选题1、A【分析】分析：连接OA 、OB ，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO 是等边三角形，即可求出⊙O 的半径．【详解】解：连接BO ，并延长交⊙O 于D ，连结DC ，∵∠A =30°，∴∠D =∠A =30°，∵BD 为直径，∴∠BCD =90°，在Rt△BCD 中，BC =3，∠D =30°，∴BD =2BC =6，∴OB =3．故选A ．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．2、A【分析】过点O 作OE CD 于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．3、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD△中，15()OD cm，391524()∴=-=-=，CD OC OD cm即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、B【分析】△为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．由题意以及旋转的性质可得ABD【详解】由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°∴∠ADB=∠ABD=60°△为等边三角形，即AB= AD =BD=2故ABD则CD=BC-BD=4-2=2故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60︒，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．6、C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．8、D【分析】连接,,OC OD BC ，根据AB 求得半径,OC OD ，进而根据CD 的长，勾股定理的逆定理证明90COD ∠=︒，根据弧长关系可得60COB ∠=︒，即可证明COB △是等边三角形，求得2BC =，进而由勾股定理即可求得AC【详解】如图，连接,,OC OD BC ，4AB =2OC OD ∴==228OC OD +=，28CD =∴222OC OD CD +=OCD ∴是直角三角形，且90COD ∠=︒2CB DB ∴=23BC CD ∴= 2603BOC COD ∴∠=⨯∠=︒ OC OB =OBC ∴是等边三角形2BC OC ∴== AB 是直径，4AB =90ACB ∴∠=︒AC ∴=故选D【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得BC 的长是解题的关键．9、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．10、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==，故选：D．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．二、填空题11##【分析】延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．【详解】解：延长AG交CD于M，如图1，∵ABCD是正方形，∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，∴△ADG≌△DGC，∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，∴△ADM≌△CDF，∴FD=DM且AE=DF，∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，∴△ABE≌△DAM，∴∠DAM=∠ABE，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，∴点H是以AB为直径的圆上一点．如图2，取AB中点O，连接OD，OH，∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD∵DH≥OD-OH，∴DH，∴DH，．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H 是以AB 为直径的圆上一点．2、18.84【分析】先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米，则60 3.14180r π⨯=，解得9.42r π=，则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），故答案为：18.84．【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键． 3、3π【分析】设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．【详解】解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-，解得：3x π=，故答案是：3π．【点睛】本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．4【分析】设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BC D、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．【详解】解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，∴∠ACM=60°，CA=CM，∴△ACM是等边三角形，∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，∵∠B=90°，AB=BC=1，∴∠BCA=∠CAB=45°，AC CM，∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，∴∠ECM=∠MAF=75°②，∵MF⊥BA，ME⊥BC，∴∠E=∠F=90°③，由①②③得△EMC ≌△FMA ， ∴ME =MF ，而MF ⊥BA ，ME ⊥BC ， ∴BM 平分∠EBF ， ∴∠CBD =45°，∴∠CDB =180°-∠BCA -∠CBD =90°，Rt △BCD 中，BDRt △CDM 中，DM∴BM =BD +DM【点睛】本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB =90°．5、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE ＝90︒， ∵∠ABC ＝45︒， ∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒， ∵∠AOC +∠OCE ＝180︒， ∴AD ∥EC ；（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ， ∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45︒，∵∠BAC ＝75︒，∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒， ∵AD ∥EC ，∴30E BAD ∠=∠=︒，∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°， ∴四边形OAFC 是矩形， ∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形， ∴AF OA =， ∵6AD =， ∴132AF AD ==，在Rt △AFE 中，30E ∠=︒， ∴AE =2AF =6．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键． 3、（1）见解析，()14,1C ；（2）见解析，()23,3B -- （3）绕点O 顺时针时针旋转90︒ 【分析】（1）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对称点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，再顺次连接，即可求解；（2）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对称点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，再顺次连接；（3）根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △，即可求解．（1）解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对应点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，画出图形如下图所示：（2）解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，画出图形如下图所示：（3）解：根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △．【点睛】本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转90︒后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转90︒后对应点的坐标是解题的关键．4、（1）45°；（2）DF =【分析】（1）根据旋转的性质得AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，通过等量代换及三角形内角和得AEC ADB ∠=∠，根据四点共圆即可求得；（2）连接EB ，先证明出()SAS BCE DEF ≌△△，根据全等三角形的性质得45BEF BFE ∠=∠=︒，在BDE 中利用勾股定理，即可求得．【详解】解：（1）由旋转可知：AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，ACE AEC ∠=∠，ABD ADB ∠=∠．由三角形内角和定理得AEC ADB ∠=∠， ∴点A ，D ，F ，E 共圆． ∴45BFE DAE ∠=∠=︒．（2）连接EB ，∵AC AE =， ∴ACE AEC ∠=∠． ∵90ACB AED ∠=∠=︒， ∴BCE DEF ∠=∠．又∵CE EF =，CB ED =， ∴()SAS BCE DEF ≌△△． ∴BEC DFE ∠=∠，BE DF =． ∴45BEF BFE ∠=∠=︒．在BDE 中，90DBE ∠=︒，BF BE DF ==，5DE =， ∵222BE BD DE +=，∴DF = 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．5、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ）， ∴∠CAE =∠CBD ； ②∵CF ⊥AE ， ∴∠AHC =∠ACB =90°，∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．。

2022年最新沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评试题(含答案及详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P 的坐标是（）A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)2、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．4、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°5、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°6、如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．7、如图，P 为正六边形ABCDEF 边上一动点，点P 从点D 出发，沿六边形的边以1cm/s 的速度按逆时针方向运动，运动到点C 停止．设点P 的运动时间为()s x ，以点P 、C 、D 为顶点的三角形的面积是()2cm y ，则下列图像能大致反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．69、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．26︒B ．32︒C ．52︒D ．64︒10、下列语句判断正确的是（）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．2、如图，ODC △是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100°，则B 的度数是______．3、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm ，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm ，直角三角形的面积是________2cm ．4、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．5、在平面直角坐标系中，将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，正方形ABCD 是半径为R 的⊙O 内接四边形，R ＝6，求正方形ABCD 的边长和边心距．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求AC长．4、已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝，d(B，⊙O)＝．（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．2、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A 选项的图形为中心对称图形，故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．4、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．5、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．6、C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK =3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．7、A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x 求解此时的函数解析式，当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q 并求解此时的函数解析式，当P 在AF 上时，连接,,AC CF 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：P 在AB 上的图象与P 在EF 上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x60,PDH 3sin 60,2PH PD x11331,2224y CD PH x x 当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q同理：120,CDE FED60,EDM DEM则DEM△为等边三角形，60,1,, EMD EM ED PM PE EM PE ED x3sin60,2PQ PM x11331,2224y CD PQ x x当P在AF上时，连接,,AC CF由正六边形的性质可得：120,,ABC BAF AFE BA BC118012030,1203090,2BAC CAF由正六边形的对称性可得：160,2AFC AFE而1,AFtan603,AC AF11313,222y CD AC由正六边形的对称性可得：P在AB上的图象与P在EF上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，所以符合题意的是A ，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.8、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．10、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B ，C ，D 都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．二、填空题1、()3,1B -【分析】如图，作BH ⊥x 轴于H ．由△ACO ≌△BAH （AAS ），推出BH ＝OA ＝m ，AH ＝OC ＝4，可得B （m +4，m ），令x ＝m +4，y ＝m ，推出y ＝x ﹣4，推出点B 在直线y ＝x ﹣4上运动，设直线y ＝x ﹣4交x 轴于E ，交y 轴于F ，作KM ⊥EF 于M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，利用等腰直角三角形的性质可得M 的坐标，从而可得答案．【详解】解：如图，作BH ⊥x 轴于H ．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，E F则4,0,0,4OEF KE45,2,EKM KMJ EMJ作KM⊥EF于M，过M作MJ KE于,J则45,()∴====-KJ EJ MJ OJ M1,3,3,1,根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．2、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，再求出∠BOD ，∠ADO ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，∵∠AOC ＝100°，∴∠BOD ＝100°−30°×2＝40°，∠ADO ＝∠A ＝12（180°−∠AOD ）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B ＝∠ADO −∠BOD ＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3【分析】设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(222+6x x -=，解一元二次方程求出1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．【详解】解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），∵三角形是直角三角形，∴根据勾股定理()(222+6x x -=，整理得：2680x x -+=，解得1224x x ==，，这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，，三角形面积为124=42⨯⨯2cm ．4．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．4、六【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：∵半径与边长相等，∴这个三角形是等边三角形，∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形故答案为：六．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 5、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．三、解答题1、边长为【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．【详解】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，∴∠BOC=3604=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，∴BE=OE．在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得∵OE2+BE2=OB2,∴OE2+BE2=36,∴OE= BE=∴BC=2BE=即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于360n．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011．【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、（1）见解析；（2）15 2【分析】（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 【详解】（1）如图，∵DC⊥OA，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°，∵OA=OB，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中，∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=12BE=3，在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF4=∴sin∠DEF=DFDE=45，∵∠AOE90A A AEC+∠=︒=∠+∠,AEC DEF∠=∠，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=45AEAO，∵AE=6，∴AO=152.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.4、（1（2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析【分析】（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP，∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB+PB=AP，∴AB+PB=PF，∴PF= AB+PB．综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．5、（1）0，2；（2r≤（3）42-<<m【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得DO=d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；（3）过点C作CN⊥AB于点N，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(2-，0)，B(0，．∴2,==OA OB∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==，∴4AB=，∵1122OA OB AB OD⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d（⊙O，线段AB）=0，∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，∴r r≤（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ，当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．。

2021-2022学年人教版九年级数学上册《第24章圆》寒假自主提升测评(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学上册《第24章圆》寒假自主提升测评（附答案）一、单选题（满分40分）1．如图，点A ，B ，C 都在圆O 上，若∠C =34°，则∠AOB 为（）A ．34∘B ．56∘C ．60∘D ．68∘2．如图，C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，设∠ABC ＝35°，则∠BDC ＝（）A ．85°B ．75°C ．70°D ．55°3．如图，ABC 的内切圆O 与,,AB BC CA 分别相切于点D ，E ，F ，若50DEF ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．90︒D ．80︒4．一个含30角的三角尺与一张圆形硬纸片如图放置在桌面上，圆心O 在斜边AB 上，三角尺的两直角边与圆相切，切点分别为M 、N ．若33AC =+，则阴影部分的面积为（）A ．23πB 136π C 233 D 9332π 5．下列说法正确的个数是（）①平分弦的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于圆的半径；③三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等．6．如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．2cm B．3cm C．23cm D．25cm7．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB、BC恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（）A．23πcm2B．πcm2C．43πcm2D．53πcm28．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．5B．3C．22D．2二、填空题（满分40分）9．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的内切圆的半径长为______．10．如图，AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，点E 是AB上一点，延长CE交⊙O于点D，则∠CDB＝___．11．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为______．12．如图，AB是O的直径，点C、D、E都是O上的点，则∠+∠=__________．ACE BDE13．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．14．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB＝CD＝8，则OP的长为___．15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．16．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为______．三、解答题（满分40分）17．如图，O是ABC的外接圆，圆心O在AB上，且2＝，M是OA上一点，B A∠∠过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，＝．EF FC（1）求证：CF是O的切线．＝，求AM的长．（2）设O的半径为2，且AC CE18．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．=，射线BO与O交于点F和点D，OA与O 19．如图，AB与O相切于点C，OA OB交于点E，与DC交于点G．=；（1）求证：CA CB（2）若点E，C为半圆DF的三等分点，63CD=，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB是O的直径，BD切O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，∥，连接CD．交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED AC（1）求证：CD是O的切线；（2）若12AP=：2，求PC的长．AB=，OP：121．已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N．①请补全图形；22．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD＝8，EB＝4，求⊙O的直径．23．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B(﹣1，0)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180°，得到PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD 相切，求点Q的坐标．参考答案1．D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解．【详解】解：∵∠C=34°，∴∠AOB=2∠C=68°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠CAB，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝55°，∴∠BDC＝∠CAB＝55°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论．3．D【分析】连接OD、OF，根据切线的性质及圆周角定理可得90,2100ADO AFO DOF DEF ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：连接OD 、OF ，如图所示：∵ABC 的内切圆O 与,,AB BC CA 分别相切于点D ，E ，F ，50DEF ∠=︒，∴90,2100ADO AFO DOF DEF ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴36080A ADO AFO DOF ∠=︒-∠-∠-∠=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．D【分析】连接OM ，ON ，根据切线的性质证明四边形ONCM 时正方形，再根据扇形的面积计算公式计算即可；【详解】∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60A ∠=︒， ∴()3333333BC AC ==+=+，连接OM ，ON ，∵AC ，BC 与O 相切，∴OM AC ⊥，ON BC ⊥，∵90C ∠=︒，OM ON =，∴四边形ONCM 时正方形，∴OM ON NC CM ===，设OM R =，则ON NC CM R ===，∴AM R =， ∵CM AC AM =-，∴3R =+，解得：3R =， ∴3CN =， ∴33BN BC CN =-=+=∴11322BON S BN ON ==⨯=△ ∵ON BC ⊥，30B ∠=︒，∴60BON ∠=︒，∴26033=3602S ππ⨯=扇形，∴32BON S S S π=-=△阴影扇形；故选D ．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，切线的性质，准确计算是解题的关键．5．A【分析】根据垂径定理的推论可判断①，根据切线的性质可判断②，根据确定圆的条件可判断③，根据圆周角与弦的关系可判断④．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于过切点的半径；③平面内不共线三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补．故没有正确的．故选A【点睛】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，确定圆的条件，圆周角与弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，由折叠得OD=DE=112OE=cm，OD⊥AB，根据垂径定理得AD=BD=12AB，利用勾股定理求出AD，即可得到答案．【详解】解：如图，连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，由折叠得OD=DE=112OE=cm，OD⊥AB，∴AD=BD=12AB，在Rt△AOD中，222OD AD OA，∴2222213AD OA OD=-=-=cm，∴223AB AD cm==,故选：C．【点睛】此题考查圆的垂径定理，折叠的性质，勾股定理，熟记圆的垂径定理是解题的关键．7．C【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC，得出阴影部分的面积是⊙O面积的13，即可得出结果．【详解】解：作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，如图所示：由题意可得：12ODOA ，⊥OD AB ∴∠OAD ＝30°， ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，同理∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝120°， ∴阴影部分的面积21432133O BOC S S ππ=⨯=⨯⨯==扇形圆（cm 2）；故选：C ．【点睛】此题考查了扇形面积的计算，涉及了圆的有关性质以及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．8．A【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD 的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．【详解】∵圆锥的底面周长为2π∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为21801802n ππ⨯︒==︒，如图 ∴∠BAD =90゜∵D 为AC 的中点∴112122AD AC ==⨯= 在Rt △BAD 中，由勾股定理得2222215BD AB AD ++=即最短路线长为5故选：A【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法．9．32【分析】过点A 作AD ⊥BC 于D ，E 、F 分别为切点，根据O 是△ABC 内切圆的圆心，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，可知O 在AD 上，则132BD CD BC ===，OD =OE =OF ，由勾股定理求得224AD AB BD =-=，再由1111==2222ABC ABO ACO BCO S S S S BC OD AC OF AB OE AD BC ++⋅+⋅+⋅=⋅△△△△，即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，E 、F 分别为切点，∵O 是△ABC 内切圆的圆心，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∴O 在AD 上，∴132BD CD BC ===，OD =OE =OF ， ∴224AD AB BD =-=， ∴1111==2222ABC ABO ACO BCO S S S S BC OD AC OF AB OE AD BC ++⋅+⋅+⋅=⋅△△△△， ∴()1122OD AB AC BC ⋅++=， ∴32OD =， ∴△ABC 的内切圆的半径长为32，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握三角形内切圆圆心到三角形三边的距离相等．10．40°【分析】由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数．【详解】解：连接AC，∵由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°−∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握运用同弧所对的圆周角相等解答是关键．11．140°【分析】分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出∠IAB+∠IBA＝55°，进而求出∠CAB+∠CBA＝110°，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，最后根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数．【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝12∠CAB，∠IBA＝12∠CBA，∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，∵点O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案为：140°．【点睛】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，进而利用三角形内心和外心的性质求解．12．90°【分析】连接AD，由圆周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答．【详解】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是连接AD．13．231 32π+-【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．【详解】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，AB AC AP AP PB PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△APC （SSS ），∴∠PAB ＝∠PAC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝1，∵△BPC 为等腰直角三角形， ∴112PE BC ==，在Rt △ABE 中，AE ＝32AB ＝3， ∴AP ＝3﹣1， ∴S 阴影＝S 扇形ABC ﹣S △PAB ﹣S △PBC ＝260211231(31)1213602232ππ⋅⋅+--⨯-⨯⨯=-，故答案为：23132π+-．【点睛】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA 、PE 是解题的关键．14．32【分析】如图，连接,,OD OB 过OH AB ⊥于,H 过O 作OQ CD ⊥于,Q 再利用垂径定理求解3,OQ OH再证明四边形OQPH 是正方形，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：如图，连接,,OD OB 过OH AB ⊥于,H 过O 作OQ CD ⊥于,Q5,8,OD OB AB CD11DQ CD BH AB4,4,2222223,3,OQ OD DQ OH OB BHOQ OH,AB CD OQ CD OH AB,,,所以四边形OQPH是正方形，3,OH PH22OP333 2.故答案为：3 2.【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键.15．4【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．【详解】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为222，则＝AC，BD由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN 的周长＝AM +AN +MN ＝AA ′+1为最小，则A ′A 22(22)1=+=3，则△AMN 的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M 、N 的位置是本题解题的关键．16．42【分析】作OM CD ⊥于点M ，连接OC ，在直角三角形OEM 中，根据三角函数求得OM 的长，然后在直角ΔOCM 中，利用勾股定理即可求得CM 的长，进而求得CD 的长．【详解】解：作OM CD ⊥于点M ，连接OC ，则12CM CD =， 1BE =，5AE =，1153222BE AE OC AB ++∴====， 312OE OB BE ∴=-=-=，Rt ΔOME 中，30AEC ∠=︒，112122OM OE ∴==⨯=，在Rt ΔOCM 中，222OC OM MC =+，即22231CM =+，解得22CM =，222242CD CM ∴==⨯=．故答案为：42．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．17．（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OC ，如图，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，则利用∠B ＝2∠A 可计算出∠B ＝60°，∠A ＝30°，易得∠E ＝30°，接着由EF ＝FC 得到∠ECF ＝∠E ＝30°，所以∠FCA ＝60°，加上∠OCA ＝∠A ＝30°，所以∠FCO ＝∠FCA ＋∠ACO ＝90°，于是可根据切线的判定得到FC 是⊙O 的切线；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt △ABC 中可计算出BC ＝12AB ＝2，AC＝CE ＝BE ＝BC ＋CE ＝2＋Rt △BEM 中计算出BM ＝12BE＝1AB −BM 的值即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图， O 是ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，AB ∴是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，又2B A ∠=∠，60B ∴∠=︒，30A ∠=︒，EM AB ⊥，90EMB ∴∠=︒，在Rt EMB 中，60B ∠=︒，30E ∴∠=︒，又EF FC =，30ECF E ∴∠=∠=︒，又90ECA ∠=︒，60FCA ∴∠=︒，OA OC =，30A OCA ∠∴=∠=︒，90FCO FCA ACO ∴∠=∠+∠=︒，OC CF ∴⊥，FC ∴是O 的切线；（2）解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，122BC AB ∴==，323AC BC == AC CE =，3CE ∴=223BE BC CE ∴=+=+在Rt BEM 中，90BME ∠=︒，30E ∠=︒1132BM BE ∴== 41333AM AB BM ∴=-=-【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．18．（1）20；（2）30°【分析】（1）根据垂径定理得到182DE CD ==，∠OED =90°，设圆的半径为r ，则OD =OB =r ，OE =OB -OE =r -4，在△ODE 中利用勾股定理求解即可；（2）由AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，得到BC BD =，由∠M ＝∠D ，得到MC BD =，即可推出MC BC BD ==，则MC 、BC 、BD 的度数是1180603⨯=，则1==302D MOC ∠∠．【详解】解：（1）∵弦CD ⊥AB ，∴182DE CD ==，∠OED =90°，设圆的半径为r ，则OD =OB =r ，OE =OB -OE =r -4，∴222OE DE OD +=即()22248r r -+=，解得10r =，∴圆的直径220r ==；（2）连接OC ，∵AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，∴BC BD =，∵∠M ＝∠D ，∴MC BD =，∴MC BC BD ==，∵MD 过O ， ∴MC 、BC 、BD 的度数是1180603⨯=， ∴∠MOC =60°，∴1==302D MOC ∠∠．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，弧、弦与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．19．（1）见详解；（2）9362S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得OC ⊥AB ，进而根据等腰三角形的“三线合一”可求证；（2）由题意可知90DCF ∠=︒，60DFC ∠=︒，60DOE ∠=︒，则有30FDC ∠=︒，90∠=︒DGO ，进而可得1332DG CD ==，3OG =，然后利用扇形面积公式及三角形面积可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB 与O 相切于点C ，∴OC ⊥AB ， ∵OA OB =，∴CA CB =；（2）∵DF 是O 的直径，∴90DCF ∠=︒，∵点E ，C 为半圆DF 的三等分点，∴60DFC ∠=︒，60DOE ∠=︒，∴30FDC DCF DFC ∠=∠-∠=︒，∴90DGO FDC DOE ∠=∠+∠=︒，∵63CD =∴1332DG CD ==在Rt △DGO 中，12OG OD =， ∴由勾股定理得DG =，∴3OG =，6OD =，∴26066360ODE S ππ⨯==扇形，12DGO S DG OG =⋅=，∴6DGO ODE S S Sπ=-=阴影扇形【点睛】本题主要考查扇形面积及切线的性质，熟练掌握扇形面积及切线的性质是解题的关键．20．（1）见解析；（2）PC =【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得∠OBD =90°，然后利用SAS 证出BOD ≌COD △，可得∠OCD =∠OBD =90°，从而证出结论；（2）直接根据已知条件求出OP 的长度，结合半径OC 的长度，在Rt △OPC 中利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接OC ．∵DB 切⊙O 于点B ，∴∠OBD =90°．∵OA =OC ，∴∠ACO =∠CAO ．∵OD ∥AC ，∴∠COD =∠ACO ，∠CAO =∠BOD ，∴∠COD =∠BOD ．又∵OC =OB ，OD =OD ，∴BOD ≌COD △(SAS )，∴∠OCD =∠OBD =90°，即OC ⊥CD ，且OC 为直径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB=12，AB是直径，∴OB=OA=OC=6．∵OP∶AP=1∶2，∴OP=2，AP=4．∵CE⊥AB，∴∠OPC=90°，在Rt△OPC中，由勾股定理，PC2242OC OP-=∴42PC=【点睛】本题考查圆的基本性质，切线的判定，以及勾股定理解三角形等，掌握圆中的基本性质，以及切线的判定方法是解题关键．21．（1）见解析；（2）①见解析；②2FN【分析】（1）先证明△OMD≌△AMC，证明∠ODM=∠ACM，得OD∥AC，则∠ODE=180°-∠90°=90°，再根据切线的判定定理证明DE是⊙O的切线；（2）①补全图形中的字母N即可；②连接OC，作FG⊥AB于点G，先证明△AOC是等边∠ACO=30°，求出半径OC的长，再根三角形，得∠ACO=∠MOC=60°，则∠OCM=∠ACM= 12据圆周角定理得∠DOF=2∠DCF=90°，OD∥AC得∠DOM=∠CAM=60°，可求得∠FOG=180°-60°-90°=30°，可求出FG和FN的长．【详解】（1）证明：如图，在⊙O中，∵CD⊥AB于点M，∴DM=CM，∵∠OMD=∠AMC=90°，OM=AM，∴△OMD≌△AMC（SAS），∴∠ODM=∠ACM，∴OD∥AC，∵DE⊥CA，∴∠E=90°，∴∠ODE=180°-∠90°=90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）①补全图形如图所示．②如图，连接OC，作FG⊥AB于点G，则∠OGF=90°，∵CD垂直平分OA，∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO=∠MOC=60°，∠ACO=30°，∴∠OCM=∠ACM=12∴DE=1CD，2∵CM=1CD，2∴CM=DE3∵∠OMC=90°，∴OM=1OC，2∵OM2+CM2=OC2，∴2221()2OC OC +=，解得OC =2或OC =-2（不符合题意，舍去），∴OF =OC =2，∵∠DCF =45°，∴∠DOF =2∠DCF =90°，∵∠DOM =∠CAM =60°，∴∠FOG =180°-60°-90°=30°，∴FG =12OF =1，∵∠MNC =∠MCN =45°，∴∠GNF =∠MNC =45°，∴∠GFN =∠GNF =45°，∴NG =FG =1，∴FN=【点睛】此题考查圆的切线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．22．（1）见解析；（2）10【分析】（1）连接OE ，由角平分线的定义可得∠1＝∠2，由OA ＝OE ，得到∠1＝∠3，则∠2＝∠3，可以推出OE ∥AF ，再由AF ⊥FG ，即可得到OE ⊥FG ，由此即可证明；（2）设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r ，根据矩形的性质可得∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝8，然后在在Rt △OBE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵AE 平分∠FAH ，∴∠1＝∠2，∵OA ＝OE ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE ∥AF ，∵AF ⊥FG ，∴OE ⊥FG ，∴直线FG 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝8，在Rt △OBE 中，OB ＝8﹣r ，BE ＝4，OE ＝r ，∴（8﹣r ）2+42＝r 2，解得r ＝5，∴⊙O 的直径为10．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．（1）D (1，﹣4a )；（2）①y ＝﹣x 2+2x +3；②57315(,),(,)2424M N ；③Q (1，﹣6或(1，﹣4﹣6)【分析】（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）①根据圆的直径所对的圆周角是90，可得90ACD ∠=，然后分别求出(3,0)A 、(1,0)B -、(0,3)C a -，由两点距离公式得到2299AC a =+，221CD a =+，22164AD a =+，再由由勾股定理得：222AC CD AD +=，即222164991a a a +=+++，解方程可得答案； ②根据将OBE ∆绕平面内某一点旋转180得到PMN ，可得//PM x 轴，且1PM OB ==，NP OE ∥，设2(23)M m m m -++，，则OF m =，223MF x x =-++，1BF OF OB m =+=+；由::MF BF 12=，得到2BF MF =，则()21223m m m +=-++，求出点M 的坐标为（52，74）即可得到点P 的坐标为（32，74），再由NP OE ∥，得到点N 与点P 的横坐标相同，由此求解即可；③设Q 与直线CD 的切点为G ，抛物线对称轴与x 轴的交点为F ，连接QG ，过C 作CH QD ⊥于H ，先证明1CH DH ==，即CHD ∆是等腰直角三角形，得到∠CDH =45°，从而推出QG =GD ，由勾股定理得到222QD QG =；设Q 点坐标为（1，n ），则4QD n =-，()()222221104QG QB n n ==--+-=+，得：22(4)2(4)n b -=+，由此求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax ax b =--经过点（-1，0），∴()()21210a a b ⋅--⋅--=， ∴3b a =，∵抛物线解析式为()()22222111y ax ax b a x x b a x a b =--=-+--=--- ， ∴抛物线的顶点D 的坐标为（1，-a -b ）即（1，-4a ）；（2）①∵以AD 为直径的圆经过点C ，ACD ∴∆为直角三角形，且90ACD ∠=，由（1）可知抛物线解析式为22y ax ax b =--223ax ax a =--()223a x x =--()()31a x x =-+，∴令0y =，得到()()310a x x -+=，解得13x =，21x =-，∴(3,0)A 、(1,0)B -、(0,3)C a -，∴()()2222AC 033a 09a 9=-+--=+，()()222201341CD a a a =-+---=+⎡⎤⎣⎦，()()22221340164AD a a =-+--=+，由勾股定理得：222AC CD AD +=，即222164991a a a +=+++，∴266a =，解得：1a =-或1a =（舍去）， ∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++； ②∵B 点坐标为（-1，0）， ∴OB =1，∵将OBE ∆绕平面内某一点旋转180得到PMN ， //PM x ∴轴，且1PM OB ==，NP OE ∥；设2(23)M m m m -++，，则OF m =，223MF x x =-++，1BF OF OB m =+=+； ∵::MF BF 12=，∴2BF MF =∴()21223m m m +=-++，∴22350m m --=，解得：1m =-（舍去）或52m =， ∴点M 的坐标为（52，74） ∵1PM =，∴点P 的坐标为（32，74），又∵NP OE ∥，∴点N 与点P 的横坐标相同，∴点N 的横坐标为32，又N 到抛物线上，2331523224N y ⎛⎫∴=-+⨯+= ⎪⎝⎭， 3(2N ，15)4； ③设Q 与直线CD 的切点为G ，抛物线对称轴与x 轴的交点为F ，连接QG ，过C 作CH QD ⊥于H ，如下图：∵(0,3)C 、(1,4)D ，∴OC =3，DF =4，OF =1∵CH ⊥DF ，∴HF =OC =3，CH =OF =1，∴DH =DF -HF =1，1CH DH ∴==，即CHD ∆是等腰直角三角形， ∴∠CDH =45°，∵∠QGD =90°，∴∠DQG =90°-∠GDQ =45°， ∴∠GDQ =∠GQD ，∴QG =GD ，∴22222QD QG GD QG =+=；设Q 点坐标为（1，n ），则4QD n =-，()()222221104QG QB n n ==--+-=+；得：22(4)2(4)n b -=+，化简，得：2880n n +-=，解得：426b =-±∴点Q 的坐标为(1,426)-+或(1,426)--．。

第24章《圆》(解答题20题)(解析版)-2021-2022学年九上精选20题常考题型训练

人教版九年级上册精选20题常考压轴题题型训练（解答题）第24章圆1．（2021•南关区校级二模）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，BD＝，则菱形ABCD的面积为 5 ．思路引导：（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DF A＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．（2）连接AH，在Rt△BDF利用勾股定理求解DF的长，再根据Rt△ADF中，利用勾股定理求解AB的长，再利用菱形的面积公式可求解．完整解答：（1）证明：连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB−BF＝BC−BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DF A＝90°，∴∠DFB＝90°，在Rt△BDF中，BF＝1，BD＝，∴DF2＝BD2−BF2＝5﹣1＝4，∴DF＝2，在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，∴AB2＝22+（AB﹣1）2，解得AB＝，∴S菱形ABCD＝AB•DF＝×2＝5．2．（2021•章丘区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．①试说明：BD＝CD；②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．思路引导：①根据题意和等腰三角形的性质，可以说明BD＝CD，本题得以解决；②先判断直线DE与⊙O的位置关系，然后根据题意和图形可以说明猜想的结论是否正确．完整解答：解：①连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD；②直线DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．3．（2021•保康县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD且交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．思路引导：（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE 是⊙O的切线；（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．完整解答：（1）证明：如图，连接OA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥DE，∵∠AED＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠AED＝90°，∵∠BDA＝∠EDA，∴△BDA∽△EDA，∴＝，∵AB＝4，AE＝2，∴BD＝2AD，∴BD2＝AD2+AB2，∴BD2＝BD2+42，解得BD＝．∴⊙O的半径为．4．（2021•镇雄县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．思路引导：（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG ＝90°，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．完整解答：（1）证明：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即，∴FG＝．5．（2021•诸城市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC 的延长线于点D，AB交OC于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积．思路引导：（1）连接OA，利用已知条件OC∥AD求证∠OAD＝90°，即可求解；（2）根据已知条件可求证△AEC∽△ACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．完整解答：（1）证明：连接OA，∵AD//OC，∴∠AOC+∠OAD＝180°，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，（2）∵AO＝CO且∠AOC＝90°，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，即∠B＝∠ACE，∵∠CAE＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2＝AE•AB＝10×（10+6）＝160，∴AC＝4，∴AO＝CO＝4，∴．6．（2021•南阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．思路引导：（1）连接OD，BD，根据圆的性质可知∠BDC＝90°，又因为点E是BC的中点，DE＝BE＝BC，∠EBD＝∠EDB，因为OB＝OD，∠OBD＝∠ODB，根据角度等量代换可知∠ODE＝90°，即可求解；（2）连接OE，由图形可知：S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EBD＝∠EDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB，∵∠ABC＝∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠ODE＝∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°，∴OD⊥DE，OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵O是AB的中点，∴OB＝AB＝2，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan A＝4，∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝2，S△OBE＝×OB•BE＝2，由（1）知，∠ODE＝∠OBE＝90°，∵OB＝OD，OE＝OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE＝S△OBE＝2，∴S四边形OBED＝4，∵∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴S扇形OBD＝＝，∴S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD＝4﹣．7．（2021•周村区一模）如图，线段AB是圆O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E 是线段OB的中点，DE⊥AB交圆O于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）求的值．思路引导：（1）连接OD，DB，由已知可知DE垂直平分OB，BC＝OB，OB＝OD，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△EOD∽△DOC，可得∠CDO＝∠DEO＝90°，即可求解；（2）连接OP，由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△OEP∽△OPC，即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴OB＝DO，OE＝BE，∵BC＝OB，OB＝OD，∴，∵∠DOE＝∠COD，∴△EOD∽△DOC，∴∠CDO＝∠DEO＝90°，∴CD是圆O的切线；（2）解：如图，连接OP，由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，∴，∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴，8．（2021秋•雨花区校级月考）如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；（2）证明：CD＝DE；（3）若AD＝4，求CE的长度．思路引导：（1）由平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝40°，再利用等腰三角形的性质可得；（2）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得∠C＝∠DEC，从而证明结论；（3）设CE＝x，则BE＝12﹣x，根据勾股定理可得AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，代入即可得出方程，从而解决问题．完整解答：（1）解：∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝40°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠A＝；（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，∴∠CDE＝∠AOD，∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，∴∠C＝∠ADO＝∠A，∴∠C＝∠DEC，∴CD＝DE；（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，∴∠AOE＝2∠AOD，∴∠AOD＝∠DOE，∴AD＝DE，∴AC＝2AD＝8，∵AB是直径：∠AEB＝90°，设CE＝x，则BE＝12﹣x，∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，解得：，∴CE＝．9．（2021•宜都市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．（1）求证：∠DBE＝∠BCD．（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．思路引导：（1）连接CF，由题意可知∠BCF＝∠ADC＝90°，利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠BFC，根据内角和为180°可得∠ACD＝∠FBC，因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，通过等量代换即可求解；（2）根据角的互余可得∠FEC＝∠FCE，从而可得FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，根据勾股定理即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接CF，∵BF为直径，∴∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝∠BFC，∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，∴∠ACD＝∠FBC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBE＝∠BCD；（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，∴∠DBE+∠FEC＝90°，∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，解得x＝2，∴BF＝6，如图，过点A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC，∴BG＝CG＝2，∴点A、O、G在同一直线上，∴OG＝FC＝1，∴AG＝AO+OG＝4，在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，∴AB＝2．10．（2021•福建模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．思路引导：（1）根据垂直的定义得到∠ABD＝∠ACF，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到DE＝GE，于是得到结论；（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，根据圆周角定理得到∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，求得∠AHB＝∠BFC＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CF，推出△AFC为等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据切线的性质得到OA⊥AG，根据平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，于是得到答案．完整解答：解：（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ABD＝∠ACF，又∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠ACG＝∠ACD，又∵∠GEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，∴△CEG≌△CED（ASA），∴DE＝GE，又CE⊥GD，∴点G和D关于直线AC成轴对称；（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，如图，∵BE⊥AC，AF⊥CG，∴A、G、F、E四点共圆，B、F、C、E四点共圆，∴∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，∴∠AHB＝∠BFC＝90°，又∵∠AFG＝∠CFB＝90°，AG＝CB，∴△AGF≌△CBF（AAS），∴AF＝CF，∴△AFC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，又OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵AG与⊙O相切，∴OA⊥AG，∴BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝112.5°．11．（2021•淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝60°时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝45°时，四边形ABCD为正方形．思路引导：（1）先判断出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出结论；（2）①先判断出点D是AE的中点，再利用DF∥AC，点F是CE的中点，即可得出AC ＝AE，即可得出结论；②先判断出AD＝CD，∠ADC＝90°，进而得出∠ACD＝45°，再判断出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出结论．完整解答：证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．12．（2021•枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．思路引导：（1）由题意连接OC，依据垂直平分线的性质得出∠EBC＝∠ECB，进而利用切线得出∠OBE＝90°，OB⊥BE，即可求解；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，进而利用OD2+BD2＝OB2，得到R，最后根据三角函数求出∠BOC，从而运用劣弧BC＝得出答案．完整解答：（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，即∠OBE＝∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°，∴OB⊥BE，∵OB是半径，∴BE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，在Rt△OBD中，BD＝BC＝，∵OD2+BD2＝OB2，∴，解得R＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴cos∠BOD＝，∴∠BOD＝60°，又OD⊥BC，OB＝OC，得∠BOC＝120°，∴劣弧BC＝．13．（2021•思明区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC ＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．（1）求证：CB是⊙O的切线；（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．思路引导：（1）连接OB、BF，综合圆周角的基本性质以及题意推出∠DBC＝∠OBF，从而结合直径所对的圆周角证明∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，延长BO交AF于点H点，推出四边形ACBH为矩形，先求出半径，然后根据题意推出△ADE∽△BOE，从而结合相似三角形的性质求出AD，然后结合垂径定理求出OH，得出AC的长度，从而得出结论．完整解答：（1）证明：如图，连接OB、BF，则∠OBF＝OFB，根据圆周角的性质，∠BFO＝∠BAC，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠BFO，∴∠DBC＝∠OBF，∵DF为⊙O的直径，∴∠DBF＝∠DBO+∠OBF＝90°，∴∠DBO+∠DBC＝90°，即∠OBC＝90°，且OB为半径，∴CB是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AF，延长BO交AF与H点，∵DF为直径，∴∠DAF＝90°，且∠C＝∠OBC＝90°，∴四边形ACBH为矩形，∴∠OHA＝90°，根据垂径定理：AF＝2AH，∵DE＝6，EF14，∴DF＝20，DO＝BO＝10，EO＝DO﹣DE＝4，∵HB∥AC，∴△ADE∽△BOE，∴，可得AD＝15，在Rt△ADF中，AF＝＝5，∴AH＝HF＝AF＝，在Rt△OHF中，OH＝＝，∴HB＝AC＝OH+BO＝，∴CD＝AC﹣AD＝﹣15＝，即CD的长度为．14．（2021秋•诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．思路引导：（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB ≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；完整解答：解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；15．（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O 的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．思路引导：（1）利用切线的性质和圆周角定理即可证明；（2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出⊙O的半径．完整解答：（1）证明：如图1，连接AC，OC，∵AB为直径，PC为⊙O的切线，∴∠ACB＝∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠PCB；（2）解：如图2，连接AC，OC，∵四边形CDBP为平行四边形，∴∠D＝∠CPB，由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝5，故⊙O的半径为5．16．（2021•奎屯市一模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．思路引导：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；（2）先证明△FEA∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．完整解答：（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO＝90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴＝＝，∴AF•BF＝EF•EF，∴AF×（AF+15）＝10×10，解得AF＝5．∴BF＝20．∴＝，∴BE＝2AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝152，∴AE2+（2AE）2＝225，∴AE＝3．17．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．思路引导：（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE ＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，从而得到r+r＝2，然后解方程即可．完整解答：（1）证明：连接OE，如图，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∵EF为切线，∴OE⊥EF，∴EF⊥AC；（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，∵BD为直径，∴∠BED＝90°，在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，∴DE＝BD＝r，BE＝r，∵DF∥BC，∴∠EDF＝∠BED＝90°，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠CEF＝60°，∴∠DFE＝∠CEF＝60°，在Rt△DEF中，DF＝r，∴EF＝2DF＝r，在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，而BC＝2，∴r+r＝2，解得r＝，即⊙O的半径长为．18．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l ∥BC．（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．思路引导：（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．完整解答：（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，∴PD⊥l，∵l∥BC，∴PD垂直平分弦BC，∴，∴∠BAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC；（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠BCD，在△ADC和△CDE中∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，∴△ADC∽△CDE，∴，即，得DC＝4．19．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．思路引导：（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．完整解答：解：（1）设⊙O的半径长为r，则OD＝r，OE＝r﹣8，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，∴DE＝12，∴OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得，r＝13，即⊙O的半径是13；（2）连接BC，∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，∴∠D＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，∴△CEB≌△DEO（ASA），∴OE＝BE＝0.5OB，设⊙O的半径长为r，则r2＝122+（0.5r）2，解得，r＝或r＝﹣8（舍去），∴OE＝4．20．（2021•南关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．思路引导：（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．完整解答：解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．。

第二十四章圆试题精选2022-2023学年九年级上册人教版数学【天津市】

2022-2023年九年级上册人教版数学第二十四章圆试题精选【天津市】一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市河西区2020年数学中考热身数学试卷）一个圆的内接正三角形的边长为23( )A 2B ．4C ．23D ．222. （天津市和平区2019届中考模拟数学试题）如图，⊙O 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠BAC ＝25°，则∠AMB 的大小为（）A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°3. （天津市第七中学、育才中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（）A ．6B ．3C ．9D ．124. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A ∠的度数为（）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°5. （天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，连接AC ，CD ，AD ，若75ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°6. （天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形ABCD为O 的内接四边形，已知140BCD ∠︒＝，则BOD ∠的度数为（）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°7. （天津市西青区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，垂足为D ．连接AC ．若BC ＝42AC ＝3，则⊙O 的半径长为（）A ．9B ．8C ．92D ．38. （天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图AB 是O 切线，点A 为切点，OB 交O 于点C ，点D 在O 上，连接,,AD CD OA ，若35ADC ∠=︒，则ABO ∠的度数为（）A ．25︒B ．20︒C ．30D ．35︒52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm =，则水的最大深度为（）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm10. （天津市滨海新区2019届九年级第一次模拟试卷数学试题）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A ．23πB ．33πC ．323πD ．323π 二、填空题（本大题共6小题）11. （天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）已知⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相切，则圆心O 到直线AB 的距离为．12. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC AB ⊥．垂足为D ，160m AB =，40m CD =，则这段弯路的半径是 m ．13. （天津市第七中学、育才中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，半径为2的O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD 的长为．PA PB 、切O 于点A B 、，10PA cm ，CD 切O 于点E ，交PA PB 、于点C D 、，则PCD 的周长是 .15. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）已知：如图，半圆O 的直径AB ＝12cm ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，则弦AC ，AD 和CD 围成的图形（图中阴影部分）的面积S 是 .16. （天津市河东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，点C 是半圆AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使BC 在正方形内），连OE ，若AB ＝4cm ，则OE 的最大值为 cm ．三、解答题（本大题共11小题）17. （天津市和平区2022年中考数学二模试题）如图，AB 为⊙O 直径，△ACD 是⊙O 的内接三角形，PB 切⊙O 于点B ．(1)如图①，延长AD 交PB 于点P ，若∠C =40°，求∠P 和∠BAP 的度数；(2)如图②，连接AP 交⊙O 于点E ，若∠D =∠P ，弧CE =弧AC ，求∠P 和∠BAP 的度数．18. （天津市津南区2020年中考一模数学试题）已知：ABC 内接于O ，AB AC =，P 是ABC 外一点．（Ⅰ）如图①，点P 在O 上，若78BPC ∠=︒，求CAB ∠和ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，点P 在O 外，BC 是O 的直径，PB 与O 相切于点B ，若55BPC ∠=︒，求PCA ∠的大小．19. （天津市南开区2020年中考二模数学试题）如图1，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于G ，过C 点的切线与射线DO 相交于点E ，直线DB 与CE 交于点H ，OG BG =，1BH =.（Ⅰ）求O 的半径；（Ⅱ）将射线DO 绕D 点逆时针旋转，得射线DM （如图2），DM 与AB 交于点M ，与O 及切线CF 分别相交于点N ，F ，当GM GD =时，求切线CF 的长.20. （天津市河东区2021-2022学年中考数学一模试题）已知，四边形ABCD 为菱形，点A ，B ，D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①，若CB ，CD 为⊙O 的切线，求∠C 的大小；（Ⅱ）如图②，BC ，CD 与⊙O 分别交于点E ，点F ，连接BF ，若∠BDC ＝50°，求∠CBF 的度数.21. （天津市滨海新区2020年中考一模数学试题）如图，△ABC 内接于⊙O ．（1）如图①，连接OA ，OC ，若28B ∠=︒，求OAC ∠的度数；（2）如图②，直径CD 的延长线与过点A 的切线相交于点P ．若60B ∠=︒，⊙O 的半径为2，求AD ，PD 的长．22. （天津市河西区2019年中考二模数学试题）如图，ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，O 的切线DF 交EC 于点F .（Ⅰ）求DFC ∠的度数；（Ⅱ）若3AC AE =，12BC = ，求O 的直径AB . 23. （天津市河北区2020年中考一模数学试题）已知AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠OAC ＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点P ，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，P 为AB 上一点，CP 延长线与⊙O 交于点Q ．若AQ ＝CQ ，求∠APC 的大小．24. （天津市2019年中考数学试题）已知PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，80APB ︒∠=，C 为O 上一点．（Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．25. （天津市和平区2019届中考模拟数学试题）已知，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在CD 的延长线上取一点P ，PG 与⊙O 相切于点G ，连接AG 交CD 于点F ．（Ⅰ）如图①，若∠A ＝20°，求∠GFP 和∠AGP 的大小；（Ⅱ）如图②，若E 为半径OA 的中点，DG ∥AB ，且OA ＝3PF 的长． 26. （天津市西青区2020年二模数学试题）已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，与CO 的延长线交于点P ，CP 与⊙O 交于点D ．（1）如图①，若ABC ∆为等边三角形，求P ∠的大小；（2）如图②，连接AD ，若PD AD =，求ABC ∠的大小．27. （天津市滨海新区2020年中考二模数学试题）如图①，在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点，30A ∠︒＝，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ．（Ⅰ）求P∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E，与AC的延长线交于点F，①求F∠的大小；②若O的半径为2，求AF的长．参考答案1. 【答案】D【分析】先根据圆的内接正三角形的边长求出圆的半径，再根据正方形的性质求出圆的内接正方形的边长即可.【详解】根据题意画图如下：过点O作OD⊥BC于D，连接OB，BC=3∴BD=CD=12∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=1OB，2OB)2=BD2，∴OB2-(12解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x，∴x2+x2=42，解得x=2∴该圆的内接正方形的边长为2故选D.2. 【答案】D【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．【详解】解：∵MA切⊙O于点A，AC为直径，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA＝65°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选D．3. 【答案】A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．4. 【答案】A【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．5. 【答案】A【分析】连结BC ，根据直径所对圆周角可得90ACB ∠=︒ ，由同弧所对圆周可求出∠ABC 的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC 的度数即可．【详解】解：连结BC ，∵AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，∵∠ABC =∠ADC =75°，909075BAC ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒︒=15 ，故选A ．6. 【答案】C【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A =40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A =180°-∠BCD =180°-140°=40°，∴∠BOD =2∠A =80°，故选C ．7. 【答案】C【分析】如图所示，连接OC ，先由BC ⊥OA ，得到∠ADC =∠ODC =90°，1222CD BD BC ===AD =1，设OA OC r ==，则1OD OA AD r =-=-，由勾股定理得到222OD CD OC +=则()(222122r r -+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵BC ⊥OA ，∴∠ADC =∠ODC =90°，1222CD BD BC === ∴221AD AC CD -=，设OA OC r ==，则1OD OA AD r =-=-，∵222OD CD OC +=，∴()()222122r r -+=，解得92r =，故选C ．8. 【答案】B【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由35ADC ∠=︒可求出∠AOC =70︒．再由AB 为圆O 的切线，得AB ⊥OA ，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO 的度数，【详解】解：∵AC AC = ，∴223570AOC ADC ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB 为圆O 的切线，∴AB ⊥OA ，即∠OAB =90°，∴90907020ABO AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．9. 【答案】C【分析】过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，由垂径定理得：11482422AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴26OA OE cm ==，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：2222=2624=10O m O A D A D c --，∴261016DE OE OD cm =-=-=，∴油的最大深度为16cm ，故选：C ．10. 【答案】C【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【详解】连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠O AO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=12×1×3（260?2360π⨯-12×2×3323π．故选C．11. 【答案】10【分析】根据直线AB和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径即可得问题答案．【详解】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，∴圆心到直线AB的距离等于圆的半径，∴d =10；故答案为：10；12. 【答案】100【分析】设这段弯路的半径是rm ，可得,40,OA r OD r ==- 由垂径定理可得：80,AD = 再由勾股定理建立方程，解方程可得答案．【详解】解：设这段弯路的半径是rm ，40m CD =，则OA=OC=rm ，()40OD r m =-，∵OC ⊥AB ， 160m AB = ∴1802AD AB m ==，在Rt △AOD 中，由勾股定理得：()2228040r r =+-，解得：100r =，则这段弯路的半径是100m ．故答案为：100． 13. 【答案】85π##85π 【分析】连接OB ，OD ，根据正多边形内角和公式可求出∠E 、∠A ，根据切线的性质可求出∠OBA 、∠ODE ，从而可求出∠BOD 的度数，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：连接OB ，OD ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠A ＝()521801085-⨯︒=︒． ∵AB 、DE 与⊙O 相切，∴∠OBA ＝∠ODE ＝90°，∴∠BOD ＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，∴劣弧BD 的长为14428=1805，故答案为：85π． 14. 【答案】20【分析】由切线长定理可求得PA ＝PB ，AC ＝CE ，BD ＝ED ，则可求得答案．【详解】由切线长定理得：10,,PA PB CA CE DB DE ====所以PCD ∆的周长为 101020PC PD CD PC AC DB PD PA PB ++=+++=+=+= 15. 【答案】26cm π【分析】如图，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，由点C ，D 是这个半圆的三等分点可得60AOC COD ∴∠=∠=︒，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出1302CAD COD ∠=∠=︒，再根据OA OC OD ==得，AOC △，COD △都是等边三角形，所以60ACM DOM ∠=∠=︒，AC OC OD ==，可证()ACM DOM AAS ≅，故=COD S S 阴扇形，由扇形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，180603AOC COD DOB ︒∴∠=∠=∠==︒， 1302CAD COD ∴∠=∠=︒， OA OC OD ==，AOC ∴，COD △都是等边三角形，60ACM DOM ∴∠=∠=︒，AC OC OD ==，在ACM △与DOM △中，AMC DMO ACM DOM AC DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACM DOM AAS ∴≅，ACM DOM S S ∴=，2260()60362=6(cm )360360COD AB S S πππ⨯⨯⨯⨯∴===阴扇形．故答案为：26cm π．16. 【答案】(222)【分析】如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ，通过△OCD ≌△OBE （SAS ），可得OE ＝OD ，通过旋转观察如图可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，此时OE 最长，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，先证明△MED ≌△MEB ，得MD ＝BM ．再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ， ∵四边形BCDE 是正方形，∴∠BCD ＝∠CBE ＝90°，CD ＝BC ＝BE ＝DE ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠BCD +∠OCB ＝∠CBE +∠OBC ，即∠OCD ＝∠OBE ，∴△OCD ≌△OBE （SAS ），∴OE ＝OD ，根据旋转的性质，观察图形可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，即OE 最长，∵∠MCB ＝12∠MOB ＝12×90°＝45°，∴∠DCM ＝∠BCM ＝45°，∵四边形BCDE 是正方形，∴C 、M 、E 共线，∠DEM ＝∠BEM ，在△EMD 和△EMB 中， DE BC MED MEB WE WEE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MED ≌△MEB （SAS ），∴DM ＝BM 22OM OB +2222+22（cm ），∴OD 的最大值＝2+2，即OE 的最大值＝2+2；故答案为：（2）cm ．17. 【答案】(1)40︒；50︒(2)60︒；30【详解】解：（1）如图①，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵在⊙O 中，∠C =∠ABD =40°，∴∠BAD =90°﹣∠ABD =50°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PB∴∠ABP =90°.∴∠P =90°﹣∠BAD =40°.（2）如图②，连接CE 交AB 于点F ，∵∠D =∠P ，在⊙O 中，∠D =∠AEC∴∠P =∠AEC .∴CE //BP .∴∠AFE = ∠ABP =90°.∴AB ⊥CE又∵AB 是⊙O 的直径，∴弧AC =弧AE ，弧BC =弧BE .∵弧CE =弧AC∴弧CE =弧AC =弧AE .∴CE =AC =AE .∴△ACE 是等边三角形∴∠CAE =∠ACE = ∠AEC =60°∴∠P = ∠AEC =60°∵弧BC =弧BE∴∠CAB = ∠BAP =12∠CAE =30°18. 【答案】（Ⅰ）102CAB ∠=︒，39ACB ∠=︒；（Ⅱ）80PCA ∠=︒．【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质可得CAB ∠的度数，根据AB AC =可得AB AC =，再根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得ACB ∠的度数；（Ⅱ）先根据圆周角定理得出90CAB ∠=︒，从而可得45ACB ∠=︒，再根据圆的切线的性质得出90PBC ∠=︒，然后根据直角三角形的性质可得35PCB ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】（Ⅰ）∵四边形ABPC 是O 的内接四边形，78BPC ∠=︒∴180102CAB BPC ∠=︒-∠=︒∵AB AC =∴AB AC =∴∠=∠ACB ABC102CAB ∠=︒ ∴()1180392ACB CAB ∠=︒-∠=︒；（Ⅱ）∵BC 是O 的直径∴90CAB ∠=︒由（Ⅰ）知，∠=∠ACB ABC∴45ACB ∠=︒ 又PB 与O 相切∴PB BC ⊥，即90PBC ∠=︒55BPC ∠=︒∴9035PCB BPC ∠=︒-∠=︒∴354580PCA PCB ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒即80PCA ∠=︒．19. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）63+【分析】（Ⅰ）由题意连接OC ，结合圆的切线定理和等边三角形性质以及平行线性质和同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系进行分析求解；（Ⅱ）根据题意过点F 作PQ DC ⊥.交DC 延长线于点Q ，并设CQ x =，则2CF x =，3QF x =，利用勾股定理建立方程求解进而得出切线CF 的长.【详解】解：（Ⅰ）连接OC ，∵CE 为O 的切线，∴OC CE ⊥∴90OCH ∠=︒∵CD AB ⊥，OG BG =∴OC CB =，又∵OB OC =∴OB OC CB ==∴BOC 为等边三角形∴460OCB ∠=∠=︒∴906030BCH OCH OCB ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵OC BC =，CD OB ⊥ ∴113302OCB ∠=∠=∠=︒ 由同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可知：124302∠=∠=︒ ∴23∠∠=∴//DH OC∴90H ∠=︒在Rt BCH 中，90H ∠=︒，30BCH ∠=︒，1BH =∴22BC BH ==∴2OB BC ==即O 的半径为2.（Ⅱ）如图2，过点F 作PQ DC ⊥.交DC 延长线于点Q ，∴90CFQ FCQ ∠+∠=︒，∵OC FC ⊥，∴90OCG FCQ ∠+∠=︒，∴30CFQ OCG ∠=∠=︒，设CQ x =，则2CF x =，3QF x =，∵GM GD =，MG CD ⊥，∴45MDG ∠=︒，∵FQ QD ⊥，∴9045DFQ MDG MDG ∠=︒-∠=︒=∠，∴QF QD QC CD ==+，∵AB CD ⊥，2OC =，1OG GB ==，又∵22222123CD CG ==-= ∴323x x =+ 解得33x = ∴263CF CQ ==+20. 【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）20︒．【分析】（Ⅰ）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OB BC OD CD ⊥⊥，再根据四边形的内角和可得180C BOD ∠+∠=︒，然后根据圆周角定理可得2BOD A ∠=∠，最后根据菱形的性质即可得；（Ⅱ）如图（见解析），先根据菱形的性质、等腰三角形的性质可得50CBD ∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得80A C ∠=∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质可得100BED ∠=︒，又根据三角形的外角性质可得20CDE ∠=︒，最后利用圆周角定理即可得．【详解】（Ⅰ）如图，连接,OB OD ，,CB CD 为O 的切线，,OB BC OD CD ∴⊥⊥，即90OBC ODC ∠=∠=︒，3609090180C BOD ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得：2BOD A ∠=∠，2180C A ∴∠+∠=︒，又四边形ABCD 为菱形，A C ∴∠=∠，2180C C ∴∠+∠=︒，解得60C ∠=°；（Ⅱ）如图，连接DE ，四边形ABCD 为菱形，,A C BC CD ∴∠=∠=，又50BDC ∠=︒，50BDC CBD ∴=∠=∠︒，00881C CB BDC D ∴∠=︒-∠∠=-︒，80A ∴∠=︒，由圆内接四边形的性质得：180100BED A ∠=︒-∠=︒，1008020CDE BED C ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得：20CDE CBF ∠∠==︒．21. 【答案】（1）62OAC ∠=︒；（2）2AD =；2PD =【分析】（Ⅰ）由题意根据圆周角定理和∠B=28°，即可求出∠OAC 的度数；（Ⅱ）根据题意连接OA ，再根据切线的性质和圆周角定理可得△AOD 是等边三角形，进而根据特殊角30度即可求出AD ，PD 的长．【详解】解：（Ⅰ）∵∠AOC=2∠ABC ，28B ∠=︒，∴∠AOC=56°．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ． ∴18056622OAC ︒-︒∠==︒．（Ⅱ）连接OA ．∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴PA OA ⊥．∵∠AOC=2∠ABC ，60B ∠=︒，∴∠AOC=120°．∴∠POA=60°又OA OD =，∴AOD △是等边三角形．∴2AD OA ==．∵∠PAO=90°，∴∠P=30°．在Rt PAO △中，24PO OA ==．∴2PD PO OD =-=．22. 【答案】（Ⅰ）90DFC ∠=︒；（Ⅱ）36AB =【分析】（Ⅰ）连接OD ．由切线的性质可知OD ⊥DF ．再由AC=AB ，OB=OD 可证明∠ODB=∠C ，从而可证明OD ∥AC ，再由平行线的性质可证明DF ⊥AC ；（Ⅱ）连结BE ，根据直径所对的圆周角为直角得出90AEB =︒∠，设AE k =，根据已知用k 表示出AB 、EC,然后根据勾股定理列出关于k 的方程求解即可．【详解】解：（Ⅰ）连接OD ，∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ，∵DF 是O 的切线∴OD DF ⊥，∴DF AC ⊥，∴90DFC ODF ∠=∠=︒；（Ⅱ）连接BE∵AB 是直径，∴90AEB =︒∠，∵AB AC =，3AC AE = ，∴3AB AE =，4CE AE = ，设AE k =，则3AB k =，3AB AC k ==，4EC k = ，∴在Rt ABE △中，22228BE AB AE k =-=，在Rt BEC △中，222BE EC BC +=.∵12BC =，∴22281612k k +=，∴26k =∴6k （负舍），∴直径336AB AE ==.23. 【答案】（I ）∠P ＝26°；（II ）∠APC ＝48°．【分析】（I ）根据等腰三角形中有一底角为58度时，可得∠COA ＝64°，根据切线的性质得出∠OCP ＝90°，进而求得∠P 的度数；（II ）先由（I ）知∠AOC ＝64°，根据圆周角定理得∠Q ＝12∠AOC ＝32°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠QAC ＝∠QCA ＝74°，最后由三角形外角的性质可得结论．【详解】（I ）如图①，∵OA ＝OC ，∠OAC ＝58°，∴∠OCA ＝58°∴∠COA ＝180°﹣2×58°＝64°∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝90°﹣64°＝26°；（II ）∵∠AOC ＝64°，∴∠Q ＝12∠AOC ＝32°， ∵AQ ＝CQ ，∴∠QAC ＝∠QCA ＝74°，∵∠OCA ＝58°，∴∠PCO ＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC ＝∠QCO +∠APC ，∴∠APC ＝64°﹣16°＝48°．24. 【答案】（Ⅰ）50ACB ︒∠=；（Ⅱ）20EAC ︒∠=.【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【详解】解：（Ⅰ）如图，连接OAOB ，． ∵PA PB ，是O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥．即90OAP OBP ︒∠=∠=．∵80APB ︒∠=，∴在四边形OAPB 中，360100AOB OAP OBP APB ︒︒∠=-∠-∠-∠=．∵在O 中，12ACB AOB ∠=∠， ∴50ACB ︒∠=．（Ⅱ）如图，连接CE ．∵AE 为O 的直径，∴90ACE ︒∠=．由（Ⅰ）知，50ACB ︒∠=，∴40BCE ACE ACB ︒∠=∠-∠=．∴40BAE BCE ︒∠=∠=．∵在ABD ∆中，AB AD =， ∴1(180)702ADB ABD BAE ︒︒∠=∠=-∠=．又ADB ∠是ADC ∆的一个外角，有EAC ADB ACB ∠=∠-∠，∴20EAC ︒∠=．25. 【答案】（Ⅰ）∠GFP ＝70°，∠AGP ＝70°；（Ⅱ）PF ＝4．【分析】（Ⅰ）连接OG ，在Rt △AEF 中，∠A ＝20°，可得∠GFP ＝∠EFA ＝70°，因为OA ＝OG ，所以∠OGA ＝∠A ＝20°，因为PG 与⊙O 相切于点G ，得∠OGP ＝90°，可得∠AGP ＝90°﹣20°＝70°．；（Ⅱ）如图，连结BG ，OG ，OD ，AD ，证明△OAD 为等边三角形，得∠AOD ＝60°，所以∠AGD ＝30°，因为DG ∥AB ，所以∠BAG ＝∠AGD ＝30°，在Rt △AGB 中可求得AG ＝6，在Rt △AEF 中可求得AF ＝2，再证明△GFP 为等边三角形，所以PF ＝FG ＝AG ﹣AF ＝6﹣2＝4．【详解】解：（Ⅰ）连接OG ，∵CD ⊥AB 于E ，∴∠AEF ＝90°，∵∠A ＝20°，∴∠EFA ＝90°﹣∠A ＝90°﹣20°＝70°，∴∠GFP ＝∠EFA ＝70°，∵OA ＝OG ，∴∠OGA＝∠A＝20°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，∴OD＝AD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠AOD＝30°，∴∠AGD＝12∵DG∥AB，∴∠BAG＝∠AGD＝30°，∵AB为⊙O的直径，OA＝3∴∠AGB＝90°，AB＝3∴AG＝AB•cos30°＝6，．∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠BAG＝30°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，∴△GFP为等边三角形，∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．26. 【答案】（1）30︒；（2）60︒【分析】（1）连接AO ，根据ABC ∆为等边三角形得到60ABC ∠=，根据圆周角定理得到2120AOC ABC ∠=∠=，进而求得60AOP ∠=，再由切线的性质的PAO 90∠=，然后根据三角形内角和得到结果.（2））连接AO ，由已知条件证的2∠=∠OAD PAD ，根据切线的性质推出30PAD ∠=，进而求得答案.【详解】（1）连接AOABC ∆∴为等边三角形;60ABC ∴∠=;2120AOC ABC ∴∠=∠=;180AOC AOP ∴∠+∠=;60AOP ∴∠=; PA 为O 的切线，A 为切点;PA AO ∴⊥;即PAO 90∠=;90P AOP ∴∠+∠=;90906030P AOP ∴∠=-∠=-=;（2）连接AOPD AD =;P PAD ∴∠=∠;OA OD =;ADO OAD ∴∠=∠;2ADO P PAD PAD ∠=∠+∠=∠;2OAD PAD ∴∠=∠; PA 为O 的切线，A 为切点;PA AO ∴⊥;即PAO 90∠=;90PAD OAD ∴∠+∠=;290PAD PAD ∴∠+∠=;30PAD ∴∠=;260ADO PAD ∴∠=∠=;即ADC 60∠=;60ABC ADC ∴∠=∠=;27. 【答案】（Ⅰ）30P ∠=︒；（Ⅱ）①30F ∠=︒；②43AF =【分析】（Ⅰ）如图①中，连接OC ．利用切线的性质解决问题即可；（Ⅱ）①证明OC ∥BF ，即可解决问题；②证明△OBC 是等边三角形，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（Ⅰ）如图，连接OC ．∵O 与PC 相切于点C ，∴OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒，∵30A ∠=︒，∴260BOC A ∠=∠=︒，在Rt OPC △中，90POC P ∠+∠=︒ ，∴906030P ∠=︒-︒=︒；（Ⅱ）①由（I ）得90OCP ∠=︒，又∵BF PC ⊥，即90PEB ∠=︒∴//OC BF∴30F ACO A ∠=∠=∠=︒；②由①F A ∠=∠，∴AB BF =，连接BC ，∵AB 是直径，∴90BCA ∠=︒，即BC AF ⊥，=∴AC CF∵60=，BOC∠=︒，OC OB∴OBC是等边三角形，∴2BC OC==，∴2222-=-=4223 AC AB BC∴43AF=。

2022年最新精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评试题(含详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（）A ．5B ．8C ．9D ．102、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点．（2）作直线GH 交AB 于点E ．（3）在直线GH 上截取EF AE =．（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．则下列说法错误的是（）A ．AE BE =B ．GH CD ∥C ．AB =D ．45APB ∠=︒3、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°4、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则∠APB 的度数是（）．A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°5、在直径为10cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8AB =cm ，则水的最大深度为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm6、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．69、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．（I ）求证：ABD ACE △△≌；（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．2、如图，四边形ABCD 内接于圆，E 为CD 延长线上一点，图中与∠ADE 相等的角是 _________ ．3、若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A 随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．4、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．5、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解题与遐想．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．拼图演绎（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB 相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）2、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．3、如图，已知AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，且2∠=∠．D CAD（1）求D ∠的大小；（2）若2CD =，求AC 的长．4、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．5、如图，在⊙O 中，点E 是弦CD 的中点，过点O ，E 作直径AB （AE ＞BE ），连接BD ，过点C 作CF ∥BD 交AB 于点G ，交⊙O 于点F ，连接AF ．求证：AG ＝AF ．-参考答案-一、单选题1、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-=故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、C【分析】连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．【详解】解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，∴AE BE =，故A 正确；∵CD 是ABC 的高，∴GH CD ∥，故B 正确；∵EF AE =，AE BE =，∴2AB EF =，故C 错误；∵EF AE =，∴∠AFE =45°，同理可得∠BFE =45°，∴∠AFB ＝90°，1452APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．3、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．4、D【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数．【详解】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，如图，连接EP ，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150APB ∴∠=︒+︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．5、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD3=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．10、B【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．二、填空题1、（1）见解析；（2）120°；（3）2【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，∵AB=AC ，∴AB=AC =AD=AE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，∵四边形ABFE 是菱形，∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，解得：α=120°；(3)连接AF ，∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，∴∠BAF =12∠BAE =75°，又∠BAC =30°，∴∠FAC =75°－30°=45°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠FCA =∠ABD =90°－12α=30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，在Rt△AGF 中，∠FAG =45°，∠AGF=90°，∴∠AFG =∠FAG =45°，∴△AGF 是等腰直角三角形，∴AG=FG=x ，在在Rt△AGF 中，∠FCG =30°，∠FGC =90°，∴CF =2FG =2x ，CG ==，∵AC=AB=2，又AG+CG=AC ，∴2x =，解得：1x =，∴CF =2x = 2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．3、8【分析】根据一次函数解析式可得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，由旋转的性质可得AB BQ =，90ABQ ∠=︒，依据全等三角形的判定定理及性质可得：ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，MA NB =，NQ MB =，即可确定点Q 的坐标，然后利用勾股定理得出OQ 的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．【详解】解：函数8y kx =+得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，连接OQ ，如图所示：将线段BA 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BQ ，∴AB BQ =，90ABQ ∠=︒，∴9090ABM MAB MBA NBQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴MAB NBQ ∠=∠，在ΔΔΔΔ与ΔΔΔΔ中，BMA QNB MAB NBQ AB BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，∴8MA NB ==，8NQ MB k==，点Q 的坐标为88,8k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴OQ =当1k =或1k =-时，OQ 取得最小值为8，故答案为：8．【点睛】题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．4、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得．【详解】解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．5、3π【分析】设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．【详解】解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-，解得：3x π=，故答案是：3π．【点睛】本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．三、解答题1、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．【详解】解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，连接OE，OF，∵⊙O内切于△ABC，∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFO是矩形，∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，∴AC＝4+r，BC＝5+r，在Rt△ABC 中，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，∴r 2+9r ＝20，∴S △ABC ＝12AC BC ⋅ ＝1(4)(5)2r r +⋅+ ＝21(920)2x r ++ ＝1(2020)2⨯+ ＝20；（2）如图2，（3）设△ABC 的内切圆记作⊙F ，∴AF 和BF 平分∠BAC 和∠ABC ，FD ⊥AB ，∴∠BAF ＝12∠CAB ，∠ABF ＝12ABC ∠， ∴∠BAF +∠ABF ＝12（∠BAC +∠ABC ）＝1902⨯︒＝45°，∴∠AFB ＝135°，可以按以下步骤作图（如图3）：①以BA 为直径作圆，作AB 的垂直平分线交圆于点E ，②以E 为圆心，AE 为半径作圆，③过点D 作AB 的垂线，交圆于F ，④连接EF 并延长交圆于C ，连接AC ，BC ，则△ABC 就是求作的三角形．【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）作图见解析，1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）254π 【分析】（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △，根据点A 、B 、C 坐标，即可确定出点1B 、1C 的坐标；（2）根据勾股定理求出AB 的长，由扇形面积公式即可得出答案．【详解】（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △如图所示：∴1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）由图可知：5AB =，∴线段AB 在旋转过程中扫过的面积为12905253604ABBS ππ⋅==扇形．【点睛】本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 3、（1）45°（2）3π2【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，根据圆周角定理得到∠DOC =2∠CAD ，进而证明∠D =∠DOC ，根据等腰直角三角形的性质求出∠D 的度数；（2）根据等腰三角形的性质求出OC ，根据弧长公式计算即可．（1）连接OC ．∵ BC BC =， ∴ 12CAD COB ∠=∠，即 2COB CAD ∠=∠．∵ 2D CAD ∠=∠，∴ COB D ∠=∠．∵ PD 是⊙O 的切线，∴ OC PD ⊥，即 90OCD ∠=︒．∴ 90COB D ∠+∠=︒．∴ 290D ∠=︒．∴ 45D COB ∠=∠=︒．（2）∵ COB D ∠=∠，2CD =，∴ 2CO CD ==．∵ 45COB ∠=︒，∴ 135AOC ∠=︒．∴ AC 的长π1352π3π1801802n R l ⨯⨯===．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ， ∴()1180=602ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；（3）AF = CF +BF ，理由如下：如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG在△AEF 和△ACF 中，=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠AFE =∠AFC ，∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，∴∠BFD =∠ACD =60°，∴∠AFE =∠AFC =60°，∴∠BFC =120°，∴∠BAC +∠BFC =180°，∴∠ABF +∠ACF =180°，∴∠ACG +∠ACF =180°，∴F 、C 、G 三点共线，∴△AFG 是等边三角形，∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．5、见解析【分析】由题意易得AB ⊥CD ，AD AC =，则有B F ∠=∠，由平行线的性质可得AGF B ∠=∠，然后可得AGF F ∠=∠，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB 为⊙O 的直径，点E 是弦CD 的中点，∴AB ⊥CD ，∴AD AC =，∴B F ∠=∠，∵CF ∥BD ，∴AGF B ∠=∠，∴AGF F ∠=∠，∴AG AF =．【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．。

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第24章圆的有关性质》选择专题训练(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第24章圆的有关性质》选择专题训练（附答案）1．如图，点A、B、D都在⊙O上，若∠ABD＝40°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．80°C．100°D．140°2．如图，已知OB，OD是⊙O的半径，BC、CD、DA是⊙O的弦，连接AB，若∠BOD＝100°，则∠BCD度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°3．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°4．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝125°，那么∠AOC等于（）A．125°B．120°C．110°D．130°5．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝108°，则∠α＝（）A．72°B．108°C．120°D．144°6．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或77．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，AE＝1，则弦CD的长是（）A．5B．C．D．68．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC于点E，若BC＝OB，则∠D的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．∠CAB＝50°，则∠D＝（）度．A．30B．40C．50D．6011．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD＝6，BE＝1，则AE＝（）A．5B．8C．9D．1012．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（）A．1B．C．D．213．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于点M，若AB＝24，CD＝26．则MD的长为（）A．5B．7C．8D．1014．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠AOB的度数是（）A．90°B．100°C．108°D．110°15．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，D是（靠近C）弧CB的三等分点，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（）A．B．2C．3D．216．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A＝40°，则∠BOC是（）A．100°B．80°C．60°D．40°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠CAB＝50°，则∠D的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°19．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，则∠OBC的度数是（）A．30°B．50°C．60°D．80°20．⊙O中∠AOC＝80°，B为弧AC中点，AD∥BC，则∠COD度数为（）A．20°B．30°C．40°D．45°参考答案1．解：∵∠ABD＝40°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×40°＝80°，故选：B．2．解：∵∠BOD和∠BAD都对，∴∠BAD＝∠BOD＝×100°＝50°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故选：C．3．解：设∠A的度数为2x，则∠B、∠C的度数分别为4x、7x，由题意得：2x+7x＝180°，解得：x＝20°，则∠B＝4x＝80°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOC＝2∠D＝110°．故选：C．5．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣108°＝72°，∵∠ADB＝∠AOB，∴∠α＝2×72°＝144°．故选：D．6．解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，则OH⊥CD，∴AG＝AB＝3（cm），CG＝CD＝4（cm），∵截面⊙O半径为5cm，∴OA＝5cm，∴OG＝＝＝4（cm），OH＝＝＝3（cm），即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；当油面超过圆心O时，同理得OH'＝3cm，则OG+OH'＝4+3＝7（cm），即油面AB上升了7cm；故选：D．7．解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE＝5，AE＝1，∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，AB＝AE+BE＝6，∴OC＝OA＝3，∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝2，故选：C．8．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．9．解：∵OA⊥BC，∴BE＝EC＝BC，＝，∵BC＝OB，∴＝，∴∠BOE＝60°，∴∠D＝∠BOE＝30°，故选：B．10．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，故选：B．11．解：连接OC，设⊙O的半径为R，则AO＝OB＝OC＝R，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝6，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝90°，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，即R2＝32+（R﹣1）2，解得：R＝5，即OB＝OA＝5，∵BE＝1，∴AE＝AO+OB﹣BE＝5+5﹣1＝9，故选：C．12．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝2，∴AC＝BC＝，∠OCA＝90°，由勾股定理得：OC＝＝＝1，即圆心O到弦AB的距离为1，故选：A．13．解：连接OA，如图所示：∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝24，∴AM＝BM＝AB＝12，OA＝OD＝CD＝13，在Rt△OAM中，由勾股定理得：OM＝＝＝5，∴DM＝OD﹣OM＝13﹣5＝8，故选：C．14．解：∵∠ACB和∠AOB都对，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×54°＝108°．故选：C．15．解：如图，连接AD，P A，OD，DB．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故选：B．16．解：∵∠A和∠BOC都对，∴∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故选：B．17．解：∵BC∥OA，∠AOB＝40°，∴∠OBC＝∠AOB＝40°，∵OA＝OB，∠AOB＝40°，∴∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝40°+70°＝110°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故选：C．18．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝50°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠D＝∠ABC＝40°，故选：C．19．解：∵∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝50°．故选：B．20．解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴，∵B为弧AC中点，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝40°．故选：C．。

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24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
一、教学目标
【知识与技能】
1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.
2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.
【过程与方法】
通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.
【情感态度与价值观】
结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
二、课型
新授课
三、课时
1课时。

四、教学重难点
【教学重点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
【教学难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.观察下列生活中的图片,找一找你所熟悉的图形.（出示课件2）
观察漫画《骑车运动》,思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？（出示课件3）
（二）探索新知
探究一圆的定义
教师问：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？（出示课件5）
学生答：为了使游戏公平,在目标周围围成一个圆排队.因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.（出示课件6）
教师演示画圆,学生观察画圆的过程,尝试说出圆是如何画出来的.（出示课件7）
教师加以规范：圆的旋转定义（描述性定义）
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
有关概念：固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,一般用r表示．
教师强调：确定一个圆的要素（出示课件8）
一是圆心,圆心确定其位置；二是半径,半径确定其大小．
教师出示同心圆等圆的定义：同心圆：圆心相同,半径不同；等圆：半径相同,圆心不同.
出示课件9,10：师生共同探究深化认知：1.圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.
2.（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长r．
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
3.圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
出示课件11：教师通过课件演示,得到圆的基本性质：同圆半径相等.
教师问：圆是一条曲线,还是一个曲面?（出示课件12）
学生交流后回答：圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
出示课件13：例矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
学生独立思考后,师生共同解答如下：
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=OC,OB=OD.
又∵AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD.
∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
巩固练习：（出示课件14）
如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
教师分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
学生解答：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF（SAS）,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
探究二圆的有关概念
弦（出示课件15）
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
教师强调：1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.
出示课件16：通过课件演示,得出：直径是最长的弦.
弧（出示课件17）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧.如图中的
教师强调：劣弧用两个字母表示,优弧用三个字母表示.
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.（出示课件18）
教师强调：等圆是两个半径相等的圆.
等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
教师问：长度相等的弧是等弧吗？（出示课件19）
教师举例：如图,如果和的拉直长度都是10cm,平移并调整小圆的位置,是否能使这两条弧完全重合？
教师演示课件后强调：两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同,“等弧”要区别于“长度相等的弧”.
师生共同深化认知：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
出示课件20：例1 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：
优弧：
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦,写出这条弦所对的弧.
答案不唯一,如：弦AF,它所对的弧是
和.
巩固练习：（出示课件21）在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆. 其中正确的命题有 .
学生思考后独立解答：弧不但包括半圆,还包括优弧、劣弧,所以①正确,③不正确；弦包括经过圆心的弦(即直径)与不经过圆心的弦所以②不正确.
出示课件22：例2 如图,MN 是半圆O 的直径,正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上,顶点B 、C 在直径MN 上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O 的半径为10,则正方形ABCD 的边长为 .
学生独立思考后,师生共同解答如下：
解：（1）连接OA,OD,证明Rt ∆ABO ≌Rt ∆DCO.
（2）设OB=x,则AB=2x,
在Rt △ABO 中,222AB BO AO ,
22210x x +=(2)即解得：25x .
巩固练习：（出示课件23）
CD 为⊙O 的直径,∠EOD=72°,AE 交⊙O 于B,且AB=OC,
则∠A=_______.
图4D B O
N M A C
学生自主解决：∵OB=OC,AB=CO,∴AB=OB,∴∠A=∠BOA.
又∵OB=OE,∴∠E=∠EBO,∵∠EBO=2∠A,∴∠E=2∠A,
又∵∠EOD=∠E+∠A,∴3∠A=∠EOD,
∵∠EOD=72°,∴∠A=24°.
（三）课堂练习（出示课件24-30）
1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2.如图,⊙O的半径为1,分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为（）
A．πB．0.5πC．0.25πD．2π
3.填空：
（1）______是圆中最长的弦,它是______的2倍．
（2）图中有______条直径,______条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有______条,劣弧有______条．
4.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是______.
5.判断下列说法的正误,并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
6.一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的
活动区域．
7.求证：直径是圆中最长的弦.
参考答案：
1.B
2.B
3.⑴直径；半径⑵一；二；四；四
4.7cm或3cm
5.⑴×⑵√⑶×⑷×⑸×⑹√⑺×
6.解：如图所示：
7.证明：如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD,
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中,OC+OD＞CD,
∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
（四）课堂小结
1.师生共同回顾圆的两种定义,弦（直径）,弧（半圆、优弧、劣弧、等弧）,等圆等知识点.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流.
（五）课前预习
预习下节课（24.1.2）的相关内容.
七、课后作业
1.教材81页练习1,2,3.
2.配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.。