三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数中的三角恒等式详解
三角函数中的三角恒等式详解三角恒等式是三角函数中的重要概念，在数学中具有广泛的应用和意义。
它们描述了各种三角函数之间的关系和等式。
通过研究和掌握三角恒等式，可以解决各种与三角函数相关的问题，同时也可以更深入地理解三角函数的性质和特点。
1. 正、余、正切三角恒等式正弦、余弦和正切是最基本的三角函数之一，它们之间有许多重要的恒等式。
其中最基本的是正弦和余弦的平方和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
这一恒等式被称为“三角恒等式之母”，它表明了正弦和余弦函数在单位圆上的关系。
同时，我们还可以通过这个恒等式推导出其他的三角恒等式。
2. 倍角和半角恒等式在三角函数的学习中，学习和掌握倍角和半角恒等式是非常重要的。
倍角恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系，它们形式上的表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，tan2θ =2tanθ/ (1 - tan^2θ)。
这些恒等式在解决实际问题时起到了关键的作用，可以简化计算，并提供了更多的数学工具。
半角恒等式则是倍角恒等式的逆过程，它描述了一个角的正弦、余弦、正切与另一个角的关系。
其中最为常用的是正弦半角恒等式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]，其中的正负号根据θ所处的象限来确定。
3. 和差恒等式和差恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系。
三角函数的和差恒等式分为正弦和余弦的和差恒等式，以及正切的和差恒等式。
最常用的是正弦和余弦的和差恒等式：sin(θ ±φ) = sinθcosφ ±cosθsinφ，cos(θ ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ。
这些和差恒等式在解决三角函数的运算问题时，提供了简化计算的方法，并方便进一步化简表达式。
4. 导数和积分恒等式在微积分中，也存在一些与三角恒等式相关的导数和积分恒等式。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数的恒等变换，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变换成另一个与它等价的表达式．三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展，进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方祛，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握下列最基本最常见的变换：（1）公式变换三角公式是三角恒等变换的基础，必须深刻理解公式、抓住公式的特点，熟练地将三角公式正向、逆向、变形和综合使用。
①正确理解公式中和、差、倍的相对性例如单角可以看成是和角的差，又可以看成与角的和，可以看成是的半角，又可以看成是的倍角这样我们在三角恒等变换的过程中，就能整体地把握角之间的关系，灵活使用公式。
③抓住公式中角、函数、结构的特点．例如在公式中，角减半则函数次数翻倍．第一种变形便于和因式分解相联系，后两种变形直接地将用的余弦或正弦表示出。
又如在公式中，涉及到、的和与积，这个公式常常和韦达定理联用．③公式的正向使用要特别注意一个三角函数式的多种表达形式和几个三角公式的联用。
例如：④公式的逆向使用．如⑤公式的变形使用．如：，，，（2）角度变换角度变换是三角函数恒等变换的首选方法。
在进行三角恒等变换时，对角之间关系必须进行认真的分析。
①分析角之间的和、差、倍、分关系。
如，，，②在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角。
③熟悉两角互余、互补的各种形式，如，，正确使用诱导公式。
④引入辅助角进行角的变换。
如其中辅助角在哪个象限，由、的符号确定，的值由确定。
下列特殊情况必须熟记：；；；（3）函数变换函数变换是指“弦化切”法和“切化弦”法。
在同角三角函数变换中，弦切互化主要是应用公式；在非同角三角变换中，函数变换往往依赖于角度变换。
（4）1的变换。
如：，，，，，（5）幂的变换公式，常用来升幂和降幂，所便根据需要将三角函数式按一定方向进行变形。
三角恒等变换的基本题型三角恒等变换主要包括求值、化简、证明．（1）求值常见的有给用求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角间关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；③给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．（2）化简化简有两种常见的形式①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．（3）证明它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明．证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．③有附加条件的恒等式的证明/证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．消元法即用代入加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量；基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量，把其它的量都用基本量表示出来，从而将问题归结为研究这些量之间的关系．。
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数之间关系的重要工具，它们能够将一个三角函数表达式转化为与之等价的形式。
在解三角函数方程、简化和证明三角恒等式时，熟练掌握三角恒等变换是至关重要的。
1. 基本的三角恒等变换基本的三角恒等变换包括：- 正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1：sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1加上正切函数的平方等于secant函数的平方：1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1加上余切函数的平方等于cosecant函数的平方：1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本的恒等变换在求解三角函数方程的时候经常会用到。
2. 倍角恒等变换倍角恒等变换是将角度翻倍的三角函数关系，其中包括：- 正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)- 余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)- 正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))倍角恒等变换可以帮助我们简化三角函数表达式，从而更容易进行计算和证明。
3. 和差恒等变换和差恒等变换是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的形式，常见的和差恒等变换包括：- 正弦函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)- 余弦函数的和差公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)- 正切函数的和差公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))和差恒等变换可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，方便计算和处理。
4. 半角恒等变换半角恒等变换是将一个角度的一半与三角函数的关系转化为另一个角度的三角函数关系。
三角恒等变换
2， π 2cos4＝－1， 2，最小值为－
3π f 4 ＝
3π π 2sin 2 －4＝－
所以函数 1.
π 3π f(x)在区间8， 4 上的最大值为
【考情分析】
两角和与差的三角函数公式及倍角公式一直是高考数学的 热点内容之一，可对其直接考查，主要是作为工具在有关三角 函数的解答题中进行考查，各种题型均可能出现，难度不大， 分值4～6分．
π α α 2 cos2 . α，再升幂或化为sin2± 1± cos2±
(4)asin α ＋ bcos α→ 辅 助 角 公 式 asin α ＋ bcos α ＝ b a ＋b · sin(α ＋ φ) ， 其 中 tan φ ＝ a 或 asin α ＋ b cos α ＝
2
升幂：1＋cos 2α＝2cos2 α， 1－cos 2α＝2sin2 α.
(4) 角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的变换有： α＝(α＋β)－β， 1 α＝β－(β－α)，α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ， 1 α＝2[(α＋β)－(β－α)] ， α＋β＝(2α＋β)－α 等． (5)公式的逆用和变用．
sin 47° －sin 17° cos 30° 6．(2013· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2
)
sin 47° －sin 17° cos 30° 解析： cos 17° sin17° ＋30° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 17° cos 30° ＋cos 17°sin 30° －sin 17°cos 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° ＝2，选 C. 答案：C
三角形中的余弦恒等式
三角形中的余弦恒等式余弦恒等式是三角函数中重要的恒等式之一，它描述了三角形中三个角的余弦值之间的关系。
在三角形学中，它被广泛应用于求解三角形中各个角的大小和三条边的关系，特别是在天文、航海、工程测量等领域。
本文将为大家详细介绍余弦恒等式的定义、数学证明和实际应用过程。
一、定义余弦恒等式是指三角形中所有角的余弦值之间的关系。
具体而言，如果在一个三角形ABC中，A、B、C分别表示三个角，a、b、c分别表示对应的边长，那么余弦恒等式可以写成如下形式：cos A = (b²+c²-a²)/2bccos B = (a²+c²-b²)/2accos C = (a²+b²-c²)/2ab其中，cos A表示角A的余弦值，cos B表示角B的余弦值，cosC表示角C的余弦值。
在等式的右侧，分别使用了三边长的平方值和它们的变量，用于表示三个角的余弦值。
这种表示方法使得余弦恒等式可以帮助我们求解三角形中角度和边长之间的诸多关系。
二、数学证明余弦恒等式的证明非常简单，我们只需要利用三角形中的余弦定义即可。
具体而言，每个角度的余弦值定义为其所对的边长与直角边长之比。
以角A为例，其余弦定义为：cos A = a/h其中，a表示角A所对的边，h表示三角形的高。
同理，角B和角C的余弦定义为：cos B = b/hcos C = c/h接下来，我们需要根据三角形的面积公式和海伦公式，将上述三个式子联立起来。
根据三角形面积公式，我们可以得到：S=1/2ahS=1/2bhS=1/2ch其中，S表示三角形ABC的面积。
根据海伦公式，我们还可以得到：S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s=(a+b+c)/2是半周长。
将上面两个式子代入三角形面积公式中，我们可以得到：h=2S/ah=2S/bh=2S/c把上述三个式子代入角对应的余弦定义中，我们就得到了余弦恒等式的三个式子：cos A = (b²+c²-a²)/2bccos B = (a²+c²-b²)/2accos C = (a²+b²-c²)/2ab这样，我们就完成了余弦恒等式的证明。
三角函数恒等式
三角函数恒等式三角函数是数学中重要的概念之一，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
而三角函数恒等式则是三角函数中的一类特殊等式，它们在数学推导和证明中起到重要的作用。
本文将详细介绍三角函数恒等式的概念和一些常见的恒等式，并给出一些有关恒等式的证明和应用的例子。
首先，让我们来了解一下三角函数恒等式的定义。
在三角函数中，我们通常会遇到诸如sin、cos、tan等函数，它们都与角度有关。
那么，三角函数恒等式就是对于任意给定的角度，恒成立的等式。
也就是说，对于所有的角度x，等式左侧和等式右侧的值始终相等。
接下来，我们将介绍一些常见的三角函数恒等式。
首先是最基础的三角函数恒等式之一，即平方恒等式。
对于任意角度x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式表明，一个角的正弦函数的平方加上它的余弦函数的平方始终等于1。
这个恒等式在解决三角形相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算三角形的边长和角度等信息。
接下来是正切函数的倒数恒等式。
对于任意角度x，有tan(x) =1/cot(x)。
这个恒等式表明，一个角的正切函数等于它的余切函数的倒数。
这个恒等式在计算有关角度的问题时经常被使用。
此外，还有一些三角函数恒等式涉及到多个三角函数之间的关系。
例如，对于任意角度x，有cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)。
这个恒等式将角的余弦函数与角的正弦函数进行了关联，通过它我们可以将一个角的余弦函数表达为两个角的正弦函数的差。
值得一提的是，三角函数恒等式的证明通常需要使用代数运算和三角函数的基本定义，以及一些角度的和差公式和倍角公式等等。
在证明某个三角函数恒等式时，我们需要利用已知的恒等式或者定义，将等式的一边转化为与之等价的形式，最终证明等式的两边相等。
三角函数恒等式在解决数学问题、物理问题和工程问题中起到重要的作用。
在求解三角函数的值和计算三角函数相关量时，我们可以通过利用已知的恒等式将问题转化为更简单的形式。
三角恒等变换的基本题型
三角恒变换题的常见题型对三角恒等变换的考察，主要有三种题型：求值、化简、证明。
由于这一类题形式多样，方法灵活，所以在解决这一类题时应有一定的目标、原则及经验积累。
有几个重要的三角变换思想，我们应注意： ①sin α·cos α→凑倍角公式；②1±cos α→升幂公式；③1±sin α→配方或化为1±cos(－α)再升幂； ④asin α＋bcos α→辅助角公式； ⑤tg α±tg β→两角和与差的正切公式逆用．下面我对这三种题型做一下简单的归纳，希望能帮助同学们。
一、求值 它又分为三种题型①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221c o s s i n 2c o s s i n c o s s i n 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 【点评】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角运算的基本原则：③异角化同角（角分析法）⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）．二、化简 一般未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质．例2． 已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；解：y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+41+43（2sinx ·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）。
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三角函数恒等式证明的基本方法 三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：
（1）4222sinsincoscos1； （2）22(cos1)sin22cos；
（3）若sin.cos＜0,sin.tan＜0，求证：1sin1sin221sin1sin22 =2tan2。 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。 【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1）Q左边=sin2( sin2+ cos2)+ cos2= sin2+ cos2=1
=右边，4222sinsincoscos1；（2）Q左边= cos2-2 cos+1+ sin2 =2-2 cos=右边，22(cos1)sin22cos；（3）Q sin.cos＜0，sin.tan＜0，是第二象限的角，2是第一象限或第三象限的角，①当2是第
一象限的角时，左边=2(1sin)2(1sin)(1sin)22-2(1sin)2(1sin)(1sin)22=|1sin|2|cos|2- |1sin|2|cos|2=1sin1sin22cos2=2tan2；②当2是第一象限的角时，左边
=2(1sin)2(1sin)(1sin)22-2(1sin)2(1sin)(1sin)22=|1sin|2|cos|2-|1sin|2|cos|2 =1sin1sin22cos2=-2tan2；左边=2tan2=右边，若若sin.cos＜0，sin.tan＜0，1sin1sin221sin1sin22 =2tan2。 2、求证：22sin()sin()sincos=1-22tantan； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③同角三角函数基本关系。 【解题思路】对左边运用和角公式，差角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】Q左边=22(sincoscossin)(sincoscossin)sincos=
222222sincoscossinsincos=1-2222cossin
sincos
=1-22tantan=右边，
22sin()sin()sincos=1-22tantan。
3、求证：2sin2=1cos2； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】Q右边=21(2cos1)22=222cos22=1-2cos2=2sin2=左边，2sin
2=1cos2
。
4、求证：2tan2=1cos1cos； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。 【详细解答】Q右边= 221(12sin)212cos12= 222sin22cos2=2tan2=左边，2tan2= 1cos1cos。
5、求证：sin+sin=2sin2cos2； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③二倍角公式及运用；④同角三角函基本关系。 【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式，二倍角公式与同角三角函数基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】Q右边=2（sin2cos2+cos2sin2）(cos2cos2+sin2sin2)=2 sin2
. cos2cos 22+2 sin2 cos2sin22+2 sin2 cos2cos22+2 sin2. cos2sin22 = 2 sin2. cos2(sin22+ cos 22)+2 sin2 cos2(sin22+ cos22)= 2 sin2. cos2 +2 sin2 cos2= sin+sin=左边， sin+sin=2sin2cos2。 6、求证：sincos=12〔sin(+)+sin(-)〕； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用。 【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】Q右边=12[（sincos+ cossin）+（sincos- cossin）]= 12（sincos+ cossin+sincos- cossin）= sincos=左边，
sincos=12〔sin(+)+sin(-)〕。 7、证明sin(2)sin-2cos(+)=sinsin； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②分式的定义与性质。 【解题思路】对左边运用和角公式与分式的性质通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】Q左边=sin2coscos2sin2sin(coscossinsin)sin
=2sin2coscos2sinsin2cos2sinsinsin=2sin(cos22sin)sin =222sin(cossin2sin)sin=22sin(cossin)sin=sinsin=右边， sin(2)sin-2cos(+)=sinsin
。
『思考问题1』 （1）【典例1】是三角函数恒等式的证明问题，从题型结构上看，问题中的恒等式都是等式一边较繁杂，一边较简单，解答这类问题的基本思路是从等式较繁杂的一边入手，通过三角函数的恒等变换使其余等式较简单的一边相等，从而证明三角函数的恒等式； （2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二倍角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键。 〔练习1〕解答下列问题：
1、求证：2212sincoscossinxxxx=1tan1tanxx
2、证明tan2=sin1cos1cossin； 3、证明cossin= 12〔sin(+)-sin(-)〕； 4、证明1sin2cos21sin2cos2=tan； 5、求证：sin-sin=2cos2sin2； 6、求证：2(sincos)22=1+sin； 7、求证：tan- 1tan=- 2tan2； 8、求证：tan(4+)+tan(4-)=2tan2；
9、求证：1sin2sincos=sin+cos； 10、求证：sin(1+cos2)=sin2cos； 11、求证：2sin(4+)sin(4-)=cos2 【典例2】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：
（1）2222tansintansin； （2）4422sincos12sincosxxxx。 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②完全平方公式及运用。 【解题思路】（1）对两边运用同角三角函数基本关系，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式；（2）对两边运用完全平方公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】Q左边= 2222sinsincos)cos= 222sin(1cos)cos= 42sincos，右边= 22sincos. 2sin=42sin
cos
，左边=右边，2222tansintansin；（2）Q
左边=4sinx+22sinx.2cosx+4cosx-22sinx.2cosx=222(sincos)xx-22sinx.2cosx =1-22sinx.2cosx=右边，4422sincos12sincosxxxx。 2、求证：1sin4cos42tan=21sin4cos41tan； 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。 【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】Q左边=212sin2cos2(12sin2)2sincos=2sin2cos(cos2sin2)2sin
=22cos(cos2sin2)，右边=222212sin2cos22cos21cossincos =2222cos2.cos(sin2cos2)cossin=22cos2.cos(sin2cos2)cos2 =22cos(cos2sin2)，左边=右边，1sin4cos42tan=21sin4cos41tan。 3、证明tansintansintansintansin。 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。 【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】Q左边=2sincossin(1cos)cos=sin(1cos)，右边=2sin(1cos)cossincos=(1cos)sin