高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
最新届高三数学第二轮复习数列综合
届高三数学第二轮复习数列综合
数列综合 ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查1()a d q 、、 n n n a S 、、间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力. (2)给出S n 与a n 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列. ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,11b =,且11 113114413144 n n n n n n a a b b a b ----?=++??? ?=++??(2n ≥) (I )令n n n c a b =+,求数列{}n c 的通项公式; (II )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S .
高中数学数列基础知识与典型例题
数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时,111==S a ,当2n ≥时,34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解:∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解:1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解:)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 , 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时,()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解:14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解:∵5a 是2a 与8a 的等比中项,∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解:12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一:设首项为1a ,公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二:??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解:∵109181a a a a =,∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1,公差为d ,则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二:{a n }为等差数列,设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得:12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-,下略 注:法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解:设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①: a a q 24+=代入②得:2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析: ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
高考数学数列大题专题
高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有12a =,11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ (1)求数列n a 的通项公式; (2)若(21)n n b n a =-,求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且. (Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{n n a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S
5.已知数列{}n a 满足31=a ,1211-=--n n n a a a . (1)求2a ,3a ,4a ; (2)求证:数列11n a ??? ?-?? 是等差数列,并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证: ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列; ⑵n a n n 221-=+; ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60,且2116a a a 和为 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前; (2)若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .
高三 数学 科 数列的综合应用
高三 数学 科 数列的综合应用 (复习)学案 考纲要求:综合利用等差数列与等比数列的有关知识,解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理 1. 解答数列应用题的步骤: 2. 数列应用题常见模型:(1)等差模型 (2)等比模型 (3)递推数列模型 二、 自我检测 1.等比数列{a n }的前 n 项和为 s n ,且 12344a 2a a a 1s ==1,,成等差数列,若,则 ( )A 7 B 8 C 15 D 16 2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比 数列,且c=2a ,则cosB= ( )A 1 4 B 34 3.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将将病毒全部杀死至少需要( ) A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒 4.等差数列{n a }中,n a ≠0,n ∈N +,有2 3711220,a a a -+=数列{b n }是等 比数列,且7768,b a b a ==则 ( )A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列,则函数f (x )=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为 6.在数列{n a }中,对任意自然数n ∈N +,1221,n a a a ++=-n …则
122 2a a ++=2n …+a 课内探究 典例讲解 题型一:性质的综合应用 例1 设{n a }为等差数列,{n b }为等比数列,112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T 题型二:求通项公式 例2 在数列{n a }中,111,22.n n n a a a +==+(1)设1 ,2n n n a b -=证明数列{n b }是等差数列; (2)求n a 数列{n a }前n 项和s n 。 例3 (2009全国1,理20)在数列{n a }中,1n+1n n 1 n 1 a 1a 1a .n 2 +== ++,() (1)设b n = n a n ,求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和s n .
高三数列综合专题复习
高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题 1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n +1)在直线y =2x +1上,n ∈N *. (1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列? (2)在(1)的结论下,设b n =log 3a n +1,T n 是数列???? ??1b n b n +1的前n 项和,求T 2011的值. 2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=55,S 20=210. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n a n +1 ,是否存在m 、k (k >m ≥2,k ,m ∈N *),使得b 1、b m 、b k 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m 、k 的值;若不存在,请说明理由.
3. [2011·惠州一模] 已知f (x )=log m x (m 为常数,m >0且m ≠1),设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )(n ∈N *)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{a n }是等比数列; (2)若b n =a n f (a n ),记数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ; (3)若c n =a n lg a n ,问是否存在实数m ,使得{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出实数m 的取值范围. [思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式,利用函数f (x )的解析式,可得{a n }的通项公式,再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列;(2)由数列{b n }的通项公式,知符合错位相减法求和;(3)由条件得不等式c n -1,且()2 3331212n n a a a a a a +++=+++. (1)求1a ,2a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式n a ;(3)设数列21n n a a +?????? 的前n 项和为n S ,不等式()1log 13 n a S a >-对任意的正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.
高三数学数列专题复习题含答案
高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ,则()'0f =( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x 项均取0,则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关;得:412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m= (A )9 (B )10 (C )11 (D )12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 (A ) 158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然q ≠1,所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-,所以1{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列, 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 【答案】A
【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ,3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中,各项都是正数,且1a , 321 ,22 a a 成等差数列,则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算,只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-,解得2d =, 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ,且25252(3)n n a a n -?=≥,则当1n ≥时, 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -
2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题)
2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , .
因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e (e,+∞) + 0 – f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
数列(理) 考查内容:本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+。 (1)设1 2 n n n a b -= 。证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (1)证明:当2b =时,{} 12n n a n --?是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…。 (1)证明:数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列; (2)数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足:1±≠n a ,2 11=a ,()() 2211213n n a a -=-+,记数列21n n a b -=,221n n n c a a +=-, n N *∈。 (1)证明数列 {}n b 是等比数列; (2)求数列{}n c 的通项公式; (3)是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,,k j i <<,使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,,k j i <<;若不存在,请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中,对任何正整数n 都有:
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 (1)若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)若数列{}n b 是等比数列,数列{}n a 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,求证:1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =,22a =,121 (2)3 n n n a a a --= +,(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k ,都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记(1,2,)n n n c na b n ==L ,求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列,设第m 个数列的第k 项为mk a , (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥,公差为m d ,并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 (1)证明1122m d p d p d =+,n m ≤≤3,12,p p 是m 的多项式,并求12p p +的值; (2)当121, 3d d ==时,将数列{}m d 分组如下:123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列),设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >,求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 (3)设N 是不超过20的正整数,当n N >时,对于(2)中的n S ,求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ,其前n 项和为n S 。 (1)求n S ; (2)设n n n n S b 4 3?= ,求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质:{}n a 是等差数列 (1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; (3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,, (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= (5){}n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界 项, 即:当100a d ><,,解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>,,由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ,有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶, 1 += n n a a S S 偶 奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ,有
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析:专题14-与数列相关的综合问题
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且 .若 , 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断. 详解:令则 ,令 得,所以当时, ,当 时, ,因此 , 若公比 ,则 ,不合题意;若公比 ,则
但,即 ,不合题意;因此, ,选B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如 2.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________. 【答案】27 【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如). 3.【2018年理数天津卷】设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(I)求和的通项公式; (II)设数列的前n项和为, (i)求; (ii)证明. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析. 【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得(II)(i)由(I),有,则. (ii)因为,裂项求和可得. 详解:(I)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得 从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (II)(i)由(I),有,故 . (ii)因为, 所以. 点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2016高考数学二轮精品复习材料数列综合
第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线 2 23y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D.2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1221S =,则25811a a a a +++= .7 3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A .1 2 2n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即 2 n a =,所以 2n S n =,故选择答案C 。 4.设集合{1 23456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的 {} i i i S a b =,, {} j j j S a b =,(i j ≠,{1 23}i j k ∈、,,,,),都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠???? ??????,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值 是( B ) A .10 B .11 C .12 D .13 5. 已知正项数列{an},其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn -1=an -12+5an -1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an -12)+6(an -an -1),即(an+an -1)(an -an -1-5)=0 ∵an+an -1>0 , ∴an -an -1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n -3. 6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9,无穷等比数列{}2 n a 各项的和为 81 5.