(整理)10函数项级数和幂级数 习题课.
第十章 函数项级数习题课
一、 主要内容
1、基本概念
函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数
幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性
A 、 函数列{()}n f x
一致收敛性的判断：
（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性
（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→
（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。
非一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则
（3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理
（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在
(,)c c δ-内非一致收敛
注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。 B 、函数项级数()n u x ∑ 一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则
（3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法：{()}n r x 一致收敛于0
（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法
注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。
注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。 非一致收敛性的判断 （1）、定义 （2）、Cauchy 准则 （3）、部分和方法，转化为函数列判断 （4）、和函数连续定理 （5）、端点发散性判别法
（6）、必要条件：通项函数列{()}n u x 不一致收敛于0
（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。
注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。 3、和函数性质
定性分析：连续性，可微性的判断 定量分析：求导，求积，求极限
注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质
研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。
4、幂级数
（1）收敛半径，收敛域
（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛 （3）幂级数的展开
（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…
注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。 二、 典型题目
1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中
（1）、()1n nx
f x n x
=
++， （2）、()(1)n n f x nx x =-。
解：（1）计算得，
()lim ()lim 1n n n nx
f x f x x n x
→∞→∞===++， [0,1]x ∈，
因而，
2
|()()|||1n nx f x f x x n x n
-=-≤++， [0,1]x ∈，
故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。
（2）计算得
()lim ()lim (1)0n n n n f x f x nx x →∞
→∞
==-=，[0,1]x ∈，
记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ?=-=-，则
1()(1)[1(1)]n x n x n x ?-'=--+，
故，()x ?在1
1
n x n =
+处达到最大值，因而 11
||()()||()(1)11n n n n f x f x x n n e
?-==-→++，
故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。
注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或
1x =，()0n f x =，因而关于n 单调；当0x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的
单调性，为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。
显然，
()ln [1ln ]y y y g y a ya a a y a '=+=+，
故，当1
01ln y a
>
>时，()0g y '<，因而关于y 单减。 对应得到当1
1ln 1n x
>-时，()n f x 关于n 单减，故由Dini-定理，
{()}n f x 在[0,1]中一致收敛。
分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程： 条件,[0,1]n f f C ∈是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x ，
{()}n f x 是n 的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}n f x 的单
调性也放宽为n N >时，{()}n f x 是n 的单调数列，本例中，在验证单调条件时，
实际证明了：0x ?≠，当11ln 1n N x
?
>=-时，{()}n f x 关于n 单调，显然，
1
1ln 1N x
=→+∞-，
（0x +→），因此，{()}n f x 的单调性关于x 并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。
从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：
Dini-定理 在有限闭区间[,]a b 上，设()[,]n f x C a b ∈，n ?且{()}n f x 点收敛于()[,]f x C a b ∈，又0N ?>，使得对任意固定的[,]x a b ∈，{()}|n n N f x >关于n 单调，则[,]
()()a b n f x f x ?。
注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n 充分大，即n N >时所满足的性质即可，要注意与x 关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理：
W-定理 设0N ?>，使得n N >时，|()|n n u x a ≤，x I ?∈，且1n n a ∞
=∑收敛，
则1
()n n u x ∞
=∑在I 上一致收敛。
定理中的条件|()|n n u x a ≤也是关于x 一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x ，存在N(x)，使得n>N(x)时，|()|n n u x a ≤”。
例2、证明：若()f x 在(,)a b 有连续导数()f x '，则1
()[()()]
n f x n f x f x n
=+-在(,)a b 内闭一致收敛于()f x '。
分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察
1
|()()||[()()]()|n f x f x n f x f x f x n
''-=+--
|()()|f f x ξ''=-统一形式，1x x n ξ<<+，1||x n
ξ-<
因此，利用一致连续性可以完成证明。
证明：任取[,][,]a b αβ?，则()f x '在[,]αβ一致连续，因此，0ε?>，0δ?>， 使得,[,]x x αβ'''?∈且||x x δ'''-<时，
|()()|f x f x ε'''''-<，
利用微分中值定理，存在1
:x x n
ξξ<<+
，使得 |()
()||()(n f x f x f f x ξ''-=-， 故，1
n δ
>
时， 1
||x n
ξδ-<
<，因而 |()
()|n f x f x ε-<， 故，[,]
()()n f x f x αβ'?。
3、讨论一致收敛性
（1）2
(1) , [0,1]n
n x x x ∞
=-∈∑ ； （2）20
, (0,)nx n x e x ∞
-=∈+∞∑。
解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。
由于
1
20()(1)=(1-) (1-) k n n k S x x x x x ==-∑，[0,1]x ∈
故，()lim ()1 n n S x S x x →+∞
==-，[0,1]x ∈。
因而，
|()()|(1)n n S x S x x x -=-，
对任意的n ，记()(1) n g x x x =-，则
1
1
()(1
)
n n g x n x x n
-+'=- 因而，g （x ）在n
=
n+1
n x 处达到最大值，因而 n
1n ||()()||(1)=() 0 n+1n+1
n n n n S x S x x x -=-→，n →+∞
因此，[0,1]()()n S x S x ?，故，20
(1) n n x x ∞
=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。
法二、也可利用最大值法，或W-判别法。 记2()(1)n n u x x x =-，则
1
2
1()(1
)
2(1)(1)[
(2)]
n n
n n u x n x x x x x x n n x --'=---=--+ 故，()n u x 在2
n n
x n =
+处达到最大值，因而 22
0()()()()
222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++ 2224
()2n n
≤≤+
由W-定理可得，20
(1) n n x x ∞
=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。
（2）法一、 记2()nx n u x x e -=，则
()[2]nx n u x xe nx -'=-， 故()n u x 在2
n x n
=
处达到最大值，因而 2222224
0()()()n n u x u e e n n n
--≤≤==，
故，20
nx n x e ∞
-=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。
法二、
利用用Taylor 展开得，
22
1(), 02
nx
n n x e nx R x x =++++>
因而，
22
2222
222201()
22
nx
nx n x x x x e
n x n x e
n
nx R x -≤==≤=+++
+，x >0 故，20
nx n x e ∞
-=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。
4、设0
()n n u x ∞=∑在[a,b]上点收敛，0
()n n u x ∞
='∑的部分和函数列在[a,b]上一致有
界，证明：0
()n n u x ∞
=∑在[a,b]上一致收敛。
分析 这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W －定理、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、Dini 定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy 收敛准则，为此，必须建立通项函数()n u x 与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式），其本质基本上
都是插项法，如利用积分法估计Cauchy 片段
p
p p
0k=1k=1
k=1
|()||()()|x n k n k n k x u x u t dt u x +++'=+∑∑∑?
，
相当于插入点0x ，利用一致有界条件，则
p
p
00k=1
k=1
|()||||()|n k n k u x M x x u x ++≤-+∑∑，
要通过右端控制Cauchy 片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x 是动态的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。
证明：对任意的0ε>，对[a,b]作等分割：01k a x x x b =<<
<=，使得
1max{:0,1,
,1}i i b a
x x i k k
ε+--=-=
<， 又，0
()n n u x ∞
=∑点收敛，因而，存在N ，使得n>N 时，
p
j =1
|()|n j i u x ε+<∑， p ?，i=0,1,
,k
假设n
k=0
|()|k u x M '≤∑，当n>N 时，对任意的[,]x a b ∈，存在0i x ，使得0||i x x ε-<，
故
p
p
p k =1k =1
k =1
|()||
()()|
i x n k n k n
k i x u x u t d
t u
x +++'=+∑∑
∑? 0
2||(21)i M x x M εε≤-+<+， p ? 因而，0
()n n u x ∞
=∑在[a,b]上一致收敛。
注、总结证明过程，步骤为：1、任给0ε>，分割区间，确定有限个分点；
2、在分点处利用Cauchy 收敛准则；
3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互间的逻辑关系。
注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列{()}n S x 是
[a,b]上的可微函数列，且{()}n
S x '在[a,b]上一致有界，则{()}n S x 在[a,b]一致收敛。
注、上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。
6、给定函数列{()}n S x ，设对每个固定的n ，()n S x 都是[a,b]上的单调函数，又设{()}n S x 在[a,b]上收敛于S(x)，且()[,]S x C a b ∈，证明{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。
分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对|()()|n S x S x -的动态估计，假设插入的点为某个固定的点0x ，则必然涉及到0|()()|S x S x -的估计，要得到与x 无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必须利用连续性来实现相应的估计，但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们考虑更高级的整体性质――一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项0|()()|n n S x S x -无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将|()()|n S x S x -中的()n S x 由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini 定理的证明中曾借助关于n 的单调性将变动的下标n 转化为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。
证明：对任意的0ε>，由于()[,]S x C a b ∈，因而一致连续，故存在0δ>，当,[,]x y a b ∈且||x y δ-<时，
|()
()|S x S y ε-<， 对[,]a b 作等分割：01k a x x x b =<<<=，使得
1max{:0,1,
,1}i i b a
x x i k k
δ+--=-=
< ， 利用点收敛性，存在N ，使得n>N 时，
|()()|n i i S x S x ε-<
， 0,1,i k =。
因此，当n>N 时，对任意点[,]x a b ∈，存在0i ，使得001[,]i i x x x -∈，利用{()}n S x 的单调性，则
001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-， 事实上，当()n S x 关于x 单调递增时，或者
00|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x -=-≤-=-， 或者
0011|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x ---=-≤-=-， 因而，总有
001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-。
这样，关于()n S x 由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将
()S x 由动态的点转化为固定的点。
因而，
001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+- 00
0|()()||()()|
n i i i S x S x S x S x <-+- ＋000111|()()||()()|n i i i S x S x S x S x ----+-4ε<， 故，{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。
注、利用各种技术将动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函
数列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。
7、设(,)f C ∈-∞+∞，定义函数列11()()n
n k k
S x f x n
n ==+∑，n ＝1，2，
，证
明：{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。
分析 从函数列的结构可以计算出和函数为1
()f x t dt +?，因此，可以利用
形式统一法证明结论。
证明：对任意的x ，则
1
()l i m ()
()n
n S x S x f x t d t
→+∞
==+?。 对任意的[,](,)a b ?-∞+∞，则[1,1]f C a b ∈-+，因而，一致连续，故，对任意的0ε>，存在0δ>，当,[1,1]x y a b ∈-+且||x y δ-<时，
|()()|f x f y ε-<。 取N ：1
N δ
>
，当n N >时，
11|()()||(()())|k
n
n k n k n
k
S x S x f x t f x dt n
-=-=+-+∑?
11
n
k n
εε=≤=∑
故，{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。
8、设0[0,]f C a ∈，10()()x
n n f x f t dt -=?，证明：{()}n f x 在[0,]a 一致收敛于零。
证明：由于0[0,]f C a ∈，故0M ?>，使得0|()|f x M ≤，[0,]x a ∈，因而
1|()|f x Mx ≤，
2
20
1|()|2
x
f x M tdt M
x ≤=?， 归纳可以证明：
|()|!!
n
n n M Ma f x x n n ≤≤
故，()0n f x ?。
9、在[0,1]上定义函数列
2
214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ?≤≤??
?
=-+<≤??
?
<≤??，
计算其极限函数并讨论其一致收敛性。
解、法一、显然，(0)0n f =，对任意固定的(0,1]x ∈，则当1
n x
>
时，总有()0n f x =，因此，lim ()0n n f x →+∞
=，故，其极限函数为()0f x =。
取1
4n x n
=
，则 |()()|()n n n n n f x f x f x n -==→
+∞， 因此，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。
法二、用一致收敛性的性质证明。 极限函数仍为()0f x =，计算得， 111
2
2210
2()4(44)1n n n n
f x dx n xdx n x n dx =+-+=?
??
因而，
1
1
0()lim ()1n n f x dx f x dx →+∞=≠=??，
故，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。
注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量的验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。
10、给定函数列(ln )()n x
x n f x n
α
=，n ＝2，3，，证：当1α<时，函数
列{()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。
证明：容易计算 ()l i m ()n
n f x f x →+∞
==，[0,)x ∈+∞，
因而，
(l n )
|()()|()n n x x n f x f x f x n
α-==，
对任意固定的n ，
2(l n )(1l n )()x n x
n n x
n f x n α-'=
，
因而，
11(ln )||()()||()ln ln n n n f x f x f n n e
α
-==
11
(l n )n e
α
-= 故，当1α<时，
l i m ||()()||n n f x f x →+∞
-=，
{()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。
下面讨论一致收敛性的应用。
11、设0
()cos n n S x r nx ∞
==∑，（||1r <）计算20
()S x dx π
?。
分析 题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。 解：由于|cos |||n n r nx r ≤，故cos n r nx ∑在[0,2]π一致收敛，因而
220
()cos n n S x dx r nxdx π
π
∞
==∑?
?，
又，20
cos 0nxdx π=?，1,2,
n =，故20
()2S x dx π
π=?。
12、设20()cos()3
n
n n x f x n x π∞
==∑，求1
lim ()x f x →。
解：考虑20cos()3
n
n n x n x π∞
=∑在[0,2]的一致收敛性。由于，
22
|cos()|()33
n n n x n x π≤， 故，20cos()3
n
n n x n x π∞
=∑在[0,2]一致收敛，因而
2
1100(1)13lim ()lim cos()133413
n n n n x x n n x f x n x π∞
∞
→→==-====+
∑∑ 。 注、关键选择一个合适的区间：即保证一致收敛性，也要保证极限点落在
此区间
内部。
13、计算1
lim
(1)x n n
n
dx x
e n
→+∞++?
。
分析 两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。 证明：先证{}x n
e 的一致收敛性。显然，对任意的[0,1]x ∈， l i m 1x
n
n e →+∞
=，
利用微分中值定理，存在[0,1]ζ∈，使得
01
|1|||x x n n
x e e e e n n
ζ-=
-=≤ ，[0,1]x ∈ 因而， {}x
n
e 在[0,1]上一致收敛于1（也可以用Dini 定理证明）。
其次，证明{(1)}n x n +的一致收敛性。对任意的[0,1]x ∈，{(1)}n x
n
+单调
递增收敛于x e ，由Dini 定理，{(1)}n x
n
+在[0,1]上一致收敛于x e 。
由此，得
11|
||1||(1)|1(1)x
n x
n
x x n
n
x e e e n
x
e n
-≤-++-+++，
故，
1(1)x n
n
x
e n ++在[0,1]上一致收敛于
1
1x
e
+，因此， 1
1
0lim
lim
(1)(1)x x n n n
n
n
n
dx dx x
x
e e n
n
→+∞→+∞
=++++?
?
1
1001ln 2ln(1)1(1)
x x x x dx de e e e e ===+-+++??。 14、证明：1
1
()()n n f x x n ∞
==+∑在(1,1)-连续。
解：(0,1)q ?∈，考察1
1
()n n x n ∞
=+∑在[,]q q -上的一致收敛性。由于
11
|()|()n n x q n n
+≤+，[,]x q q ∈-，
而1()n q n +∑收敛，故1
()n q n
+∑在[,]q q -一致收敛性，因而()[,]f x C q q ∈-，由
q 的任意性，()[1,1]f x C ∈-。
注、注意总结这类题目证明的步骤和技巧。 15、证明：1
sin n nx
n ∞
=∑
在（0，1）内非一致收敛。 分析 由于函数项级数在区间端点都收敛，通项也是一致收敛的函数列，
又不知其和函数，因此，只有用Cauchy 收敛准则证明。为此，需要研究其Cauchy 片段，找出一个具有正下界的片段，注意到以前处理的类似问题：用Cauchy 收
敛准则证明11
n n
∞
=∑的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需
要考察：能否存在(0,1)n x ∈，使得片段中的每一项sin n
kx k
的对应因子sin n kx ， k ＝n ＋1，
，2n 有正下界，只需
4
2
n kx π
π
≤≤
，只需
4(1)
4n x n n
π
π
≤≤
+，因此，
只需取4n x n
π
=
。
证明：取0ε=
n ，取p ＝n ，4n x n
π=，则
s i n (1)s i n 2|
|124
n n n x nx n n +++
≥+， 由Cauchy 收敛准则，1
sin n nx
n ∞
=∑
在（0，1）内非一致收敛。 注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数1
()n n u x ∞
=∑，设
()[,]n u x C a b ∈，若1
()n n u x ∞=∑在(a,b)内一致收敛，1
()n n u a ∞=∑和1
()n n u b ∞
=∑都收敛，则
1
()n
n u x ∞=∑在[a,b]上一致收敛，因而，还成立1
()[,]n
n u x C a b ∞
=∈∑。
在Fourier 级数习题课中，可以证明，1
sin n nx
n ∞
=∑
正是一个在[0,1]上的非连续函数的Fourier 级数，且其和函数在[0,1]上也不连续，因而，根据上述结论，
1
sin n nx
n ∞
=∑在（0，1）内非一致收敛。 16、证明：1
01n n n a x n ∞
+=+∑与0
n n n a x ∞
=∑具有相同的收敛半径。 证明：法一：由于
1
111||
1lim
lim (||
)(1)
(1)
n n n
n n n n
n
a a n n →+∞
→+∞
=++
111
l i m ||l i m (1)
n
n
n n n
a n →+∞
→+∞
≤?+1l i m ||n
n
n a →+∞=，
另一方面，
1lim ||n
n n a →+∞
=111||
lim
(1)(1)n n n
n n
a n n →+∞
++
11111||
||
lim
lim (1)lim
(1)
(1)
n
n n n n
n n n n
n
a a n n n →+∞
→+∞→+∞
≤+=++，
故，二者有相同的收敛半径。
法二、可定义证明。
设0
n
n n a x ∞
=∑的收敛半径为R ，要证1
1n n n a x n ∞
+=+∑
的收敛半径也为R ，只要证0||x R <时，101n n n a x n ∞
+=+∑收敛，0||x R >时，101
n n n a
x n ∞
+=+∑发散。
对0x ?：0||x R <，则，0n
n a x ∑收敛，又
10
00
11
n n n n a x x a x n n +=++， 由Abel 法，1
001
n n n a x n ∞
+=+∑
收敛。
对任意的0x ：0||x R >时，若1
00
1n n n a x n ∞
+=+∑收敛，取0y 使得00||||x y R >>，因 为100
1n n n a x n ∞
+=+∑
收敛，因而1
0{}1n n a x n ++收敛，故有界记为M ，因此，
10000001|||
()(1)|(1)1||
n
n n n n n a y M
a y x n n r n x x x +=+≤++， 其中00||1y r x =<。由于0(1)n n n r ∞=+∑，因而，00n
n n a y ∞=∑收敛，这与0
n n n a x ∞
=∑的收敛半
径为R 矛盾，故，1
00
1n n n a x n ∞
+=+∑
发散。
由此得二者的收敛半径相同。
注、例子表明，幂级数求导求积后收敛半径不变，进一步可得。
17、设0()n n n f x a x ∞
==∑，其收敛半径为0R >，证明：()(,)f x C R R ∞∈-且
0(0)a f =，()(0)
!
n n f a n =。
解：由幂级数求导后收敛半径不变性的性质得，(,)f C R R ∞∈-且
0(0)f a =，
11
()n n n f x na x ∞
-='=∑，1(0)f a '=，
22
()(1)n n n f x n n a x ∞
-=''=-∑，2(0)2!f a ''=，
归纳可以证明：()(0)!n n f n a = 。
注、 此例说明：任何一个幂级数都是某个函数的M-级数。
18、设()(,)f x C ∞∈-∞+∞且()|()|k f x M ≤，,k x ?，又1
()02n f =，1,2,
n =，
证明：()0f x ≡。
分析 利用幂级数展开论证，证明()(0)0n f = 证明：由于()|()|k f x M ≤，故
1|()|||0(1)!
n n M
R x x n +≤
→+，(,)x ?∈-∞∞， 因而，()f x 在(,)-∞+∞可展成M-级数()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==∑
。 下证()(0)0n f =。显然，1
(0)lim (
)02n
n f f →∞
==，而
1
(
)(0)2(0)lim 01
2n
n n
f f f →∞-'==，
又由Roller-定理，(1)(1)(1)(1)
123
2
111:223
n n ηηηη?≥≥≥≥≥≥使得(1)
()0n
f η'=且(1)
0n η→，故
(1)
(1)
()(0)
(0)lim
0n n n
f f f ηη
→∞
''-''==，
归纳可证：()(0)0n f =，故()0f x ≡ 。
19、求收敛半径和收敛区间。
1）、1ln n n n x n ∞
=∑； 2）、11[()]n n
n n x n ∞
=+∑； 3）、2
n=1 2
n n x
∞
∑； 4）、1[3(1)]n n
n n x n ∞
=+-∑
。
解：记其为1
n n n a x ∞
=∑。
1）、由于
1ln(1)lim
lim 11ln n n n n
a n n
a n n +→∞→∞+=?=+，
故，R ＝1。
当1x =时，1ln n n n ∞
=∑发散；当1x =-时，11ln (1)n n n
n
∞
+=-∑
是交错的L-级数，因而收敛，故其收敛域为[,)R R -。
2）、由于
1
1
lim lim(1)n n n
n n a e n
→∞→∞=+=， 故1R e
=。
当1x e =时，考虑1
11[()]n n n n n e ∞
=+∑，记11
[(1)]n n n b n e =+，则 1
(1)ln lg n
n n b n e
+=； 用连续化方法计算其极限，由于
1
00lg(1)1
lg(1)1lim lim x x x x x x x x
++
→→+-+-= 20011
lg(1)11lim lim 22
x x x x x x x ++→→-+-+===-， 故，1ln 2n b →-，12
0n b e -→≠，因而，1
11[()]n n n n n e ∞=+∑发散。 同样，当1x e =-时，1
11[()](1)n n n n n n e ∞
=+-∑发散，故其收敛域为11
(,)e e -。 3）、这是一个隔项级数，直接用根式法讨论收敛半径。
由于
2
1||||lim[]lim 2
2n n
n n n n x x →∞→∞=， 故，当||1x ≤时，级数收敛，当||1x >时，级数发散，因而，收敛半径R ＝1，显然，x ＝1和x ＝－1时，级数都收敛，因而，收敛域为[1,1]-。
4）、由于极限不存在，用上极限公式计算收敛半径。由于
1
1[3(1)]
lim lim
4n n n
n n n
a n
→∞
→∞
+-==，
故，收敛半径14
R =
。 当1
4
x =
时，则 1212[3(1)]1211
44n n n n n
n n k n k n n n
∞
==+=+-=+∑∑∑，
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
10函数项级数和幂级数 习题课
111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
函数的幂级数的展开与技巧
1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ ， (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ （拉格朗日余项） ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项） ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? ， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为： ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子：
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数概念
§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数求和法的归纳总结与推广
幂级数求和法的归纳总结与推广 摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。 关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角 引言 级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。 同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。 用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。 在幂级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值。 幂级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幂级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。 而作为特殊函数项级数的幂级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幂级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
幂级数求和问题的几种转化
幂级数求和问题的几种转化 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 【摘要】本文通过具体例子，介绍了幂级数求和的若干种转化和方法，例如其中的代数方程法， 、微分方程法等．同时对幂级数求和的化归途径进行了分析和实践，探讨了利用化归思想求幂级数和函数的几种方法． 【关键词】幂级数；和函数；微分；化归思想 The power series summation of several transformation Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science [Abstract] This article through a concrete example, introduces the power series summation of several kinds of transformation and methods, such as one of the algebraic equation method, and differential equation method, etc. Meanwhile to the power series summation of change to approach is analyzed and practiced, this paper has discussed the use of be thought for the power series and the function of several methods. [Key words] power series; And functions; Differential;Change be thought 1.引言 幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关性质求解． 本文把幂级数求和和化归思想联系在一起，介绍了化归思想在幂级数求和中的应用． 2.预备知识 2.1 幂级数 定义[1] 由幂级数列{0()n n a x x -}所产生的函数项级数 20 0102000 () ()()...()...n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑， （1） 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看做是多项式函
考研数学之幂级数展开与求和
考研数学之幂级数展开与求和 来源：文都图书 级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，其核心内容为幂级数展开与求和，今天我们就来详细学习一下幂级数的展开与求和步骤。 幂级数展开与求和在考试中常以解答题形式出现。要学好展开与求和，首先，我们需要两大工具：1、常见泰勒级数及收敛域;2、逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。 展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下： (1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。 (2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。 (3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。 (4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分。 (5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导。 幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。 (1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。 (2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。 (3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。 除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程结合在一起考查。总之主要方法还是如上综述的方法。望考生们多
联系，以体会上述方法。此外建议考生找一些类似的题目，强化练习。学会利用其方法和技巧，考研数学会涉及很多题目考察很多知识点，对待这些题目，我们要从运用的基本知识，及其解题方法，从理论到实践系统性的掌握，建议参考一下汤家凤的2017《考研数学复习大全》认真备考吧，预祝考试顺利。
十章函数项级数,幂级数
第十一章 函数项级数、幂级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x = (,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1 (),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33 (),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x = ++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1 (),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞
⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()] ()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使1 lim ()n n f x dx ->∞? 可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2 ()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00 lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞ ->∞≠? ? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞ =，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0(1), [0,1];n n x x x ∞ =-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞ =-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1 ()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列
第四章 解析函数的幂级数表示法解剖
第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。 第一节 复级数的基本性质（1） 教学课题：第一节 复级数的基本性质（1） 教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法； 3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义； 4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则； 5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。 6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。 教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。 教学过程： 1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是： ,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里， n z 是复数， , Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为 } {n z 。按照 |} {|n z 是有界或无界序列，我们也称 } {n z 为有 界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε <-||0z z n ,
那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。 令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式 ||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0 z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是 ......21++++n z z z 或记为∑∞+=1 n n z ，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果 {}n σ的极限是σ， 那么说∑n z 的和是σ， 或者说 ∑n z 收敛于σ，记作 σ =∑∞ +=1 n n z ，
函数项级数与幂级数
第四讲 函数项级数与幂级数 【教学内容】 1. 函数项级数的概念; 2. 幂级数的收敛性及其运算。 【教学目的与要求】 1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念; 2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法; 3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 会应用这些性质求和函数。 【教学重点与难点】 重点: 幂级数收敛半径和收敛区间的求法; 难点: 求和函数。 【教学过程】 一、函数项级数与幂级数的概念 定义1 形如 n n n n n x a x a x a x a a ∑∞ == ++++0 2 210 的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数． 形如 +-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010 的级数，称为关于0x x -的幂级数． 将0x x -换成x ，这个级数就变为 n n n x a ∑∞ =0 ． 下面将主要研究形如 n n n x a ∑∞ =0 的幂级数． 幂级数 n n n x a ∑∞ =0 当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的数项级数00 n n n a x ∞ =∑，可利用 数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛． 定义2 若 n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处发散， 称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞ =0 的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的 集合称为它的发散域． 例1 判断幂级数 +++++n x x x 21的敛散性． 解 ： 由第一节例3可知，当1 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++ ++ ∈ ! 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x 目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常用函数的幂级数展开式
(整理)10函数项级数和幂级数 习题课.