初中数学二次函数知识点(1)
初中数学二次函数知识点(1)一、选择题1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1B ．12＜m ≤1C ．1＜m ≤2D ．1＜m ＜2 【答案】B【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12．此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m ＝12不符合题． ∴m ＞12． 综合①②可得：当12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．4．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．5．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限， 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a-＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c，∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，故②正确；③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，故③正确；④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：∴y1＝y2，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的左边，∴b2a＜0．∴b＞0．∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．8．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.9．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．10．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度D ．向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．11．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13＜a ＜23；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，∴-2＜c ＜-1∵-12b a， ∴b=-2a ， ∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a ，∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a ，∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ；故④正确；故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．13．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．14．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cm S ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S△APQ=1184 22AP AB t t=⨯=g，图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.【详解】①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.16．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a<又由抛物线与y轴交于正半轴，可得0c>，再根据对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得0,0b abc，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得240b ac->，故②正确；③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．19．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a 、b 、c 的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0， ∴, 故③错误； ∵.∴B （-c ，0）∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）和B （-c ，0）两点， ∴， ac 2-bc+c=0 ∴，ac-b+1=0， ∴，故②正确； ∴，b=ac+1 ∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．20．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12 -，平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数概念，在初中阶段也有着广泛的应用。
下面是关于初中数学二次函数最全的知识点总结，供你参考。
一、基本形式二次函数的基本形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二、图像特征1.抛物线：二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
2.拉伸：a确定了抛物线的开口方向和形状，绝对值越大，抛物线越“瘦长”，绝对值越小，抛物线越“圆胖”。
3.对称性：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
4.顶点坐标：直线x=-b/2a与抛物线的交点即为抛物线的顶点坐标。
5. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即解方程ax² + bx + c = 0。
三、顶点坐标的确定1.顶点坐标的横坐标x=-b/2a。
2.代入x值可以得到顶点坐标的纵坐标y=f(-b/2a)。
四、二次函数的方程及解法1. 二次函数方程一般形式：ax² + bx + c = 0。
2.解法一：使用因式分解法，将方程化为(x-m)(x-n)=0的形式，其中m和n为实数。
3. 解法二：使用配方法，对方程ax² + bx + c = 0进行化简，得到(ax + p)² + q = 0的形式，其中p和q为实数。
4. 解法三：使用求根公式，根据公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a求得方程的根。
五、二次函数的特殊情况1.完全平方式：当二次函数的方程形式为(x+m)²=0时，说明抛物线的顶点坐标为(-m,0)，且抛物线开口向上。
2.切线与二次函数的关系：二次函数的切线与函数图像的交点为切点，其斜率等于函数的导数值，切线的方程可以通过点斜式得到。
3. 线性函数与二次函数的关系：当二次函数的系数a = 0时，二次函数化为线性函数，即y = bx + c。
六、二次函数的应用1.模型拟合：二次函数可以用来拟合一些实际问题的数学模型，如抛物线运动问题、图像反演等。
九年级二次函数全部知识点
九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。
九年级是初中阶段的最后一年，二次函数是九年级数学的重要内容之一。
本文将介绍九年级二次函数的全部知识点，包括定义、图像、性质、解析式等，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。
二次函数中的自变量x是实数，函数值f(x)也是实数。
二次函数的定义域是所有实数集合。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，对称轴是垂直于x轴的一条直线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为（h，k），其中h是对称轴的横坐标，k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。
当a > 0时，k为函数的最小值；当a < 0时，k为函数的最大值。
四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的，即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。
这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。
五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。
六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例，当a = 0时，二次函数就变成一次函数。
因此，可以说二次函数是一次函数的推广，二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。
七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据二次函数的性质，可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。
八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现，例如改变c可以实现平移，改变a和b可以实现压缩或拉伸。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。
其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。
三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。
初中数学二次函数知识点归纳
初中数学二次函数知识点归纳二次函数是中学数学中一个重要的内容，也是初中阶段的数学学习的重点之一。
掌握二次函数的基本概念、性质及解题方法对于学生提高数学学习水平以及应对中考具有重要意义。
下面将对初中数学二次函数的知识点进行归纳和总结。
一、二次函数的定义及图像特点1. 二次函数的定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是实数，且 a 不等于 0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像一般为开口向上或开口向下的抛物线。
当a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 顶点坐标：二次函数抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
4. 判别式的作用：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 提供了解二次函数方程的相关信息，包括方程的根的情况和图像与 x 轴的交点等。
二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于其顶点对称。
2. 单调性：当二次函数 a > 0 时，函数图像开口向上，单调递增；当 a < 0 时，函数图像开口向下，单调递减（除去顶点）。
3. 零点及方程的根：二次函数的零点即为方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
可以使用求根公式或配方法来解二次方程。
三、二次函数与图像的应用1. 最值问题：通过二次函数的顶点及对称性，可以求得二次函数在定义域范围内的最值。
2. 解析几何：二次函数的图像可用于解释和求解平面几何问题。
例如，通过二次函数的图像可以确定抛物线的焦点、顶点、对称轴等。
3. 时间、距离、高度问题：二次函数可以用来描述物体在空间中的运动问题，如抛体运动中的时间、高度、距离等。
四、解题方法与技巧1. 求解方程：对于二次函数的解析式，可以使用求根公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 来解方程。
2. 求函数的最值：通过求二次函数的顶点和判别式的符号，可以迅速判断二次函数的最值情况。
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
初中数学二次函数知识点梳理
初中数学二次函数知识点梳理二次函数是数学中非常重要的一个概念，在初中数学中也是一个重点内容。
在这篇文章中，我们将对初中数学二次函数的知识点进行梳理和总结。
一、基本定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，x 为自变量，y为因变量。
1.1 二次项与二次函数在二次函数中，二次项就是ax^2，其中a为常数且a≠0。
二次项是二次函数的重要组成部分，它决定了二次函数的开口方向和形状。
1.2 线性项与二次函数在二次函数中，线性项就是bx，其中b为常数。
线性项使得二次函数的图象发生平移。
1.3 常数项与二次函数在二次函数中，常数项就是c，其中c为常数。
常数项使得二次函数的图象在纵轴上发生上下平移。
二、二次函数的图象2.1 抛物线的开口方向二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a决定。
- 当a>0时，抛物线开口向上；- 当a<0时，抛物线开口向下。
2.2 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
2.3 抛物线的对称轴在二次函数图象中，存在对称轴，对称轴垂直于x轴。
对称轴的方程为x=-b/2a。
2.4 抛物线与x轴或y轴的交点抛物线与x轴的交点称为零点，抛物线与y轴的交点称为截距。
求二次函数与x轴或y轴的交点，可以将y或x取值为0，解方程即可。
三、二次函数的性质3.1 二次函数的增减性当二次函数的二次项系数a>0时，函数增加；当二次项系数a<0时，函数减少。
3.2 二次函数的最值当二次函数的二次项系数a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次项系数a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3.3 零点和截距零点和截距是二次函数的重要性质，求解二次函数的零点可以用因式分解、配方法、求根公式等方法，通过求解方程来获得。
3.4 二次函数的平移二次函数的横向平移和纵向平移可以通过改变二次函数的线性项和常数项来实现。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
初中数学二次函数知识总结
初中数学二次函数知识总结二次函数是中学数学中的重要内容，它在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
初中阶段，学生首次接触到二次函数，因此需要对二次函数的相关知识进行总结和掌握。
本文将对初中数学二次函数的知识进行系统总结，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、二次函数的基本定义和图像特征1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征(1) 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定。
- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上；- 当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
(2) 最值：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，若a>0，则f(x)的最小值为c，该函数没有最大值；若a<0，则f(x)的最大值为c，该函数没有最小值。
(3) 对称轴和顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴上的点称为顶点。
- 当a > 0时，顶点为最小值点；- 当a < 0时，顶点为最大值点。
二、二次函数图像的平移和伸缩变换1. 平移变换：二次函数图像的平移是在x轴和y轴方向上的移动。
(1) 左右平移：f(x)平移了h个单位长度，得到f(x-h)。
若h > 0，则图像向右平移；若h < 0，则图像向左平移。
(2) 上下平移：f(x)上下平移了k个单位长度，得到f(x)+k。
若k > 0，则图像向上平移；若k < 0，则图像向下平移。
2. 伸缩变换：二次函数图像的伸缩是在x轴和y轴方向上的变化。
(1) 横向伸缩：f(x)横向伸缩为f(px)。
当0 < p < 1时，图像在x轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在x轴方向上被拉伸。
(2) 纵向伸缩：f(x)纵向伸缩为pf(x)。
当0 < p < 1时，图像在y轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在y轴方向上被拉伸。
初中数学知识点总结二次函数
初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数，它属于多项式函数的一种，它
的定义为：
二次函数：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。
二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为：ax2+bx+c（a≠0），从而可以知道，它由三个
系数a，b，c组成，它由于保持不变的性质，所以对于它的参数，a，b，
c都是可以任意取值的，即a，b，c都可以取任意实数。
三、二次函数的图像
根据上述一般式，二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形，又称双曲线，这样的抛物线有三个特殊点：拐点，根点，中点。
1.拐点
对于图形来说，拐点就是一个折点，而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号，这就是二次函数很重要的特征，即函
数图像的拐点。
2.根点
根点是一种更特殊的拐点，即二次函数的一般式中当x=κ时，函数
值y=0，这时，它成为了一个函数的根点，即出现了函数的等式，它的特
殊性体现在它刚好相等。
3.中点
在二次函数中，中点指的是拐点和根点的中点，这一点其实十分重要，在不同的情况下，中点的位置会发生变化，有时候也会出现二次函数的准
确位置，这就需要我们根据情况来判断了。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。
下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。
一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。
b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。
c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。
e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。
二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
当a的绝对值越大时，开口越窄。
2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。
当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。
当，h，越大时，平移的距离越大。
3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。
当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。
当，k，越大时，平移的距离越大。
三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。
可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。
2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。