18.2.3正方形人教版8年级下册
人教版八年级下册数学课时练《18.2.3 正方形》(含答案解析)(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！人教版数学八年级下册《18．2．3正方形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是A．四条边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相垂直2．下列判断中正确的是A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3．如图，正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．不能确定(3)(4)4．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为A．B．C．D．5．下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形．下列推理过程正确的是A ．由推出，由推出B ．由推出，由推出C ．由推出，由推出D ．由推出，由推出6．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．(6)(7)7．如图，在矩形内有一点，与分别平分和，点为矩形外一点，连接，现添加下列条件：，；，；，；，，其中能判定四边形是正方形的共有A ．个B ．个C ．个D ．个8．有一边长为的正方形纸片，先将正方形对折，设折痕为如下图，再沿过点的折痕将角翻折，使得点落在的上如下图，折痕交于点，则的长度为A ．B ．C ．D ．9．如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为A ．B ．C ．D ．(9)(10)二、填空题11．为正方形对角线上一点，且，则_______度．12．如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则_______．13．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数为______．(13)(14)14．如图，边长分别是和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则的长度为_________15．如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．三、解答题16．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．求证：≌；若，求的度数．17．如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：．18．如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为，求证：．19．已知：如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，分别是边，上的点，且．求证：．20．如图，在正方形中，点，分别在，上，且．试探索线段，的大小关系，写出你的结论并说明理由；连接，，分别取，，，的中点，，，，顺次连接，得到四边形：请在图中补全图形；四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．参考答案一、选择题1-10二、填空题11．12．13．14．15．三、解答题16．证明：四边形是正方形，，，，在和中，，≌；≌，，又，，，，，．17．证明：四边形是正方形．，．又，，．≌．．18．证明：四边形是正方形，，，，，，，，在和中，≌，，，，，．19．解：四边形为正方形，，，，，即，，≌，．20．解：．四边形是正方形，，，又，≌．．画出图形如下图所示：四边形是正方形．理由如下：，，，分别是，，，的中点，，．，．四边形是菱形．≌，．，．．又，，．四边形是正方形．。
新人教版数学初中八年级下册18.2.3《正方形》公开课优质课课件
且
的四边形是正方形； 的四边形是
且有三个角是
三、应用新知 解决问 题：
相交于点O，
例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三
角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直 角三角形， △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
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第十八章 · 平行四边
18.2.3 正方 形
形
一、创设情境 引入新知：
活动1：把一张长方形的纸片(如图)中，如何通过折纸的方法， 截出正方形纸片，你有几种方法？ 如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的 正方形木板呢？
一、创设情境 引入新知：
活动2：如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正 方形．请说说图中∠1的变化过程．
一、创设情境 引入新知：
小结：正方形既是矩形， 又是菱形. 有一组邻边相等的矩形是 正方形；
有一个角是直角的菱形是 正方形.
二、回顾思考 梳理关系：
1.通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是 平行四边形，它们之间的关系如图：
二、回顾思考 梳理关系：
2.理解上面的关系图，填写下面的表格： 图形 平行四 边形 矩形 菱形 对边 平行、相等 平行、相等 平行、 四条边 都相等 平行、 四条边 都相等 对角 相等 四个角 都是直 角 相等 对角线 互相平分 对称性
不是轴对称图形
正方形
轴对称图 互相平分且相等 形,有两条对 互相垂直且 称轴 轴对称图形, 平分,每条对 有两条对称 角线平分一 轴 组对角 互相垂直、 四个角都 轴对称图形, 平分且相等, 是直角 有四条对称轴 每条对角线 平分一组对
人教版八年级数学下册：18.2.3正方形作业
课题：正方形1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A对角线互相垂直； B对角线互相平分； C 对角线相等； D四条边都相等。
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC3．正方形具备而矩形不一定具备的性质是（）A．四个角都是直角 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角线互相垂直4.如图，在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，那么∠BEC等于（）A、45°B、60°C、70°D、75°5.下列正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角6.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）A.10°B.12.5°C.15 °D.20°7．四条边都相等的四边形一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对8．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）．A．12B．13C．14D．15AB CDE9.已知正方形的两条对角线的和为8cm ，则它的边长为 ，面积为 。
10.已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).11．如右图，E 为正方形ABCD 边AB 上的一点，已知EC=30, EB=10,则正方形ABCD 的面积为_______________，对角线为______ ____．12．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E ，DF⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正方形．13．如图，P 为正方形ABCD 的对角线上任一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，判断DP 与EF 的关系，并证明．14．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．A BE15．已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF16．如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，试探索BG 与DE 的关系。
2020届人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形(2)同步练习(含解析)
18.2.3正方形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点1.正方形的判定方法:(１)有一组邻边相等的矩形是正方形;(２)有一个角是直角的菱形是正方形;(３)对角线互相垂直的矩形是正方形;(４)对角线相等的菱形是正方形．2.判定一个四边形是正方形,一般有两种思路:一种是先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等;另一种是先证明四边形是矩形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．基础知识和能力拓展训练一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个（填代号）．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案与试题解析一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选：A．3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A、不能，只能判定为矩形；B、不能，只能判定为平行四边形；C、能；D、不能，只能判定为菱形．故选：C．4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DE BF，AE FC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．故选：A．6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选B．7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选C．8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF=90°．∵MN∥BC，∴∠FEC=∠ECH，∵∠ECH=∠ECO，∴∠FEC=∠ECO，∴OE=OC．同理OC=OF，∴OE=OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA=OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB=90°，则CE=CF，∴四边形AECF为正方形．故选：D．9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是①②③．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个①②或①④（填代号）．【分析】因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故填：①②或①④．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2．【分析】作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x﹣1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，∴∠HAF=90°，∴四边形AHGF是矩形，∵AH=AE，AE=AF，∴AH=AF，∴四边形AHGF是正方形，∴AF=GH=GF，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，∴DG=x﹣1，在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x﹣1）2+x2，解得：x1=4，x2=﹣3（舍），∴AF=x+2=4+2=6，Rt△ACF中，AC==2．故答案为：2．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是57.75 ．【分析】运用拼图的方法，构造一个正方形，用大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可得出所求多边形的面积．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，∴多边形ABCFDE的面积=（大正方形的面积﹣小正方形面积）=（202﹣132）=57.75．故答案为：57.75．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【分析】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG=DF，同理得到DE=DG，等量代换得到DE=DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．证明：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG；∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DG，∴DE=DF，∴四边形CEDF为正方形．20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是正方形；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）【分析】（1）根据正方形性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，求出AH=DG=CF=BE=5，证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，推出EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，证出∠EHG=90°，即可得出答案．（2）在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，根据正方形面积公式求出即可．（3）四边形EFGH的周长是×4，求出即可．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，∵AE=BF=CG=DH=2，∴AH=DG=CF=BE=5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，∵∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=180°﹣90°=90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE=2，AH=5，由勾股定理得：EH==，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=，∴四边形EFGH的面积是（）2=29．（3）四边形EFGH的周长是×4=4≈4×5.39≈21.6．21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，由（1）知CE=AB，∴AC=CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．。
人教版数学八年级下册：18.2.3 第1课时《正方形的性质》(含答案)
解题策略：正方形被两条对角线分成四个全等的 __等__腰__直__角___三角形，且一条对角线把正方形分成 两个全等的__等__腰__直__角___三角形.
4.如图，E 是正方形 ABCD 内一点，且△Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB 是等 边三角形，则∠ADE 的度数是 75° .
5.如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且 AE＝CF，连接 AF，CE 交于点 G. 求证：AG＝CG. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， AD＝CD. ∵AE＝CF， ∴DE＝DF.
1.已知 正方 形的边 长为 2 cm ，则 其对 角线长 是 (D) A.4 cm B.8 cm C. 2 cm D.2 2 cm
2.如图，正方形 ABCD 的周长为 28 cm，则矩形 MNGC 的周长是( D ) A.24 cm B.14 cm C.18 cm D.7 cm
3.正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＝16 cm，则 DO＝ 8 cm，∠OCD＝ 45° .
在△ADF 和△CDE 中， AD＝CD， ∠ADF＝∠CDE， DF＝DE， ∴△ADF≌△CDE（SAS）.
∴∠DAF＝∠DCE.
在△AGE 和△CGF 中， ∠GAE＝∠GCF， ∠AGE＝∠CGF， AE＝CF， ∴△AGE≌△CGF（AAS）.
∴AG＝CG.
人教版八年级下册数学试题：18.2.3正方形的性质经典题
正方形的性质经典题1．正方形拥有而矩形不必定拥有的性质是（）．A ．四个角都是直角B ．对角线相互均分C ．对角相等D ．对角线相互垂直分析：正方形既是矩形，又是菱形，所以此题就是找寻菱形的特征．1． 答案： D2．正方形拥有而菱形不必定拥有的性质是（）．A ．四条边相等B ．对角线相互均分C ．对角线相等D ．对角线相互垂直分析：对角线相等是矩形的特点，而菱形的对角线不必定相等．2． 答案： C3． 如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠ BED 的度数为（ ）A ． 55°B ．45°C ． 40°D ． 42.5° 3． 答案： B分析：先求出等腰△ ADE 的一个底角∠ AED ＝ 15°，用∠ AEB －∠ AED 即可求出∠ BED 的度数．A HDME A DNGPEBFCBC第 3 题第 4 题第 5 题第 6 题4．如图， E 、 F 、 G 、H 分别为正方形ABCD 的边 AB 、 BC 、CD 、 DA 上的点，且 AE ＝ BF＝CG ＝DH ＝1AB ，则图中暗影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（）2 341 3 B ．C ．A ．9 2D ．554． 答案： A分析：不如设正方形边长为 1，则 BF ＝ 1 ,依据勾股定理知 AF ＝10,因为33△ AEM ∽△ ABF, 所以AEAM EM，可得 AM ＝10，EM ＝10 ,同理AFABBF1030NF ＝10，所以 MN ＝10 ,所以暗影部分的面积 2 .305 55．如图，正方形 ABCD 内有两条订交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边 AB 、CD 、AD 、BC 上．小明以为： 若 MN = EF ，则 MN ⊥ EF ；小亮以为 :若 MN ⊥EF ，则 MN = EF ．你以为（）A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对 D ．两人都不对5．答案： C分析：可过点 F 作 FG⊥ AD 于 G，作 MH ⊥ CD 于 H，再证明△ EFG≌△ NMH 即可．6．以下图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使 PD＋ PE 的和最小，则这个最小值为（）A．2 3B．2 6C．3D．66．答案： A分析：连结PB，因为 AC 是正方形ABCD 的对称轴，所以PD＝ PB，要求 PD ＋PE 和的最小值，就能够转变为求PB ＋ PE 的最小值，即求BE 的长．7．已知：如图，菱形ABCD 中，∠ B＝ 60°， AB ＝4，则以 AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 _______．分析：因为是菱形，则 AB=BC ，又∠ B＝ 60°，则三角形 ABC 为等边三角形，所以 AC=AB=4 ，则正方形 ACEF 的周长为 16。
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.3 正方形 课时练(含答案)
第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。
2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习(含答案)
2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习一．选择题1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．302．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．125．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）A ．13B ．21C ．17D ．257．在同一平面上，正方形ABCD 的四个顶点到直线l 的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l 可以有（ ）A ．4条B ．8条C ．12条D ．16条8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（ ）A ．82B ．102C ．122D ．162 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE=BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN=（ ）A ．1B ．2C ．22D ．1＋211．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）A ．25B ．36C ．49D ．3012．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－13．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．4 B．23C．26D．214.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm15.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A.14B.15C.16D.17二．填空题1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD 翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．三．解答题2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF为多少度．4．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．（1）求证：DF＋BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．5．已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．参考答案一．选择题1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴①AE=BF，S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∴④S△AOB=S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB=∠DAE＋∠DEA=90°∴∠AFB＋∠EAF=90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO=90°，则②AE ⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF=90°，∴∠LHC＋∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，∵∠AFO＋∠GFH=∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE＋HC＋EC=AL＋LI＋IM=AM=8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；（2）由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n=12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5°答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE=∠BCD ＋∠DCE=90°＋60°=150°，BC=EC ，∴∠EBC=∠BEC=21（180°－∠BCE ）=15° ∵∠BCM=21∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°－（∠BCM ＋∠EBC ）=120°，∴∠AMB=180°－∠BMC=60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD=∠AMB=60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD=AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD=∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD 的距离等于（）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP =S △BDC －S △DPC －S △BPC=21－21×1×21－21×1×41 =81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP =2S △BDF ，∴S △BDF =161， 设F 到BD 的距离为h ，根据三角形面积计算公式，S △BDF =21×BD ×h=161， 计算得：h=22161=162． 故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP =2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO =BA BM =21， 同理可证：DO DK =DA DF =21， 故DK=KO=OB ，∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN=NB=AM=BM ， ∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和， ∴△OCN 的面积为12576=48cm 2， 故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO=31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和．10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE=BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN=（ ）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE =1－－S △CDE ，∵DE=BD －BE=，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE =CD ×22（2－1）=－42； S △BCE =1－21－S △CDE =42； 又∵S △BCE =S △BPE ＋S △BPC =•BC •（PM ＋PN ）∴PM ＋PN==． 故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）A ．25B ．36C ．49D ．30答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y=－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x=7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y=－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y=4.2，∴S △AOE =21×7.8×6=23.4， S △AFO =21×4.2×6=12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO =23.4＋12.6=36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－ 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP =4323121＝⨯⨯， S △CDP =4121121＝⨯⨯， S △BCD =×1×1=，∴S △BPD =413214143－＝－＋． 故选B ．分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A．4 B．23C．26D．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，∴C．A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，连接AE交BD于P，则此时EP＋CP的值最小，∵C．A关于BD对称，∴CP=AP，∴EP＋CP=AE，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP=AE=AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4，∴EP＋CP=4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP＋CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD 是正方形，AD=BC=10cm ，BE=6cm ，∴CE=EF=CD=10－6=4(cm). 分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为( )A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA=4×4=16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律 解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，即41×1×1=41， 当有三个三角形时，其面积为41＋41=42 当有四个时，其面积为41＋41＋41=43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ． 故答案为41-n ． 分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，若在y 轴上存在点P ，且满足FE=FP ，则P 点坐标为 ．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF ，∵OA=3，OC=2，∴AB=2，∵点E 是AB 的中点，∴BE=1，∵BF=AB ，∴CF=BE=1，∵FE=FP ，∴Rt △FCP ≌Rt △FBE ，∴PC=BF=2，∴P 点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P 和点P ′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF ，CF=BE=1，若EF=FP ，显然Rt △FCP ≌Rt △FBE ，由此确定CP 的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O 1O 2的长为 ．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP=，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴b a a HO PO HO KP +＝＝112， KP=）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222， 阴影部分的面积=21×BK ×（2b a +）=21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a +=82ab =4ab ； （2）HO 1=2b a +，HO 2=2a b -， 根据勾股定理O 1O 2=2221HO HO + =222b a + =）（22221b a +． 故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO 1O 2．4．已知正方形ABCD 在直角坐标系内，点A （0，1），点B （0，0），则点C ，D 坐标分别为 和 ．（只写一组）答案： （1，0） 和 （1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD 的点A （0，1），点B （0，0），∴BD ∥x 轴，AC ∥x 轴，这样画出正方形，即可得出C 与D 的坐标，分别为：C （1，0），D （1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD 的点A （0，1），点B （0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C ，D 的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A 与点B 在两个格点上．在格点上存在点C ，使△ABC 的面积为2，则这样的点C 有 个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S=ah ，则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-； （2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A 1E 1=6，C 1E 1=4时，则BD 的长为 ．7答案：（1）见解析（2）AB－EF1=A1C1 （3）2知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F作FG⊥AB于G，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF=FG，∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO=AG，直角三角形BGF中，∠DGA=45°，∴FG=BG=OF，∴AB=AG＋BG=AO＋OF=AC＋OF，∴AB－OF=AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1=G1F1=F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1=（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1=AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1=A1A，∴A1B＋BC1=2AB，因此①式可写成：EF1=（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1=A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E=（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1=A1A=x，A1E=[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2=（10＋2x）÷2=6，∴x=1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12=AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2=100，解得AB=7，∴BD=7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO ＋OF，而AC=2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1=F1G1=F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1=（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1=A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1=A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E=C1H1，BG1=BH1，A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE=90°，∠DAE＋∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE=BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，∠AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE=BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG＋∠FAG=∠DAG＋∠BAG=∠DAB=45°，故∠EAF=45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．（1）求证：DF＋BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB＋BE=DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°－∠DAF=75°，∴∠EFC=180°－∠DFA－∠AFE=180°－75°－75°=30°，∴∠EFC=30°（3）∵AB=BC=3，∠BAE=30°，∴BE=1，CE=3－1，∵∠EFC=30°，∴CF=3－3，∴S△CEF=CE•CF=23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF=S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF=S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF=（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）=3－3．分析：（1）延长EB 至G ，使BG=DF ，连接AG ．利用正方形的性质，证明△AGE ≌△AFE ，△FAE ≌△GAE ，得出DF ＋BE=EF ；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF =S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF =S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ．解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF=1cm ，CE=2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题 解析： 解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y=kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k=2，k=21， 因此BE 所在直线的解析式是y=21x （1）， 同理可得出DF 所在直线的解析式是y=34（x －1）（2）， 联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）． 故可求四边形CEGF 的面积S=S △BCE －S △BFG =21×4×2－21×1×54=518．分析：本题的关键是求出G 点的坐标，那么就要求出BE ，DF 所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF 的面积=三角形BEC 的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF 的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE ，DF 所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。
人教版八年级数学下册第十八章《18.2.3 正方形》优质公开课课件
角三角形．
A
D
思考：图中共有__四____个
O
等腰直角三
B
C
证明：∵四边形ABCD是_正__方__形_____，
∴AC=_B_D___，AC__⊥__BD，AO=_C_O___=_B_O___=_D_O___. ∴△ABO、△_B__C_O__、△_C_D__O__、△_D_A_O___是等腰直角三角 形，且△ABO≌△BCO__≌___△CDO__≌___△DAO.
“引导学生读懂数学书”课题 研究成果配套课件
新课引入 展示目标 研读课文 归纳小结 强化训练
第十课时 § 18.2.3 正方形
一、新课引入
矩形
1.四个角都___相__等___ 性 质
2.对角线__互__相__平__分__
1.有一个角是_直__角___的 __平__行__四__边__形_
判 2.有三个角是_直__角__的 定 ___四__边__形__
_______________
五、强化训练
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
C
解：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，
DF⊥AC于F
E
∴四边形CEDF有三个直角F，
它是矩形
A
又∵CD平分∠ACB
D
B
根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知
二
2、正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的
包含关系？请填入下图中.
正
方
平行四边形
形
的 性
菱形
正方形 矩形
质
三、研读课文
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全
湖北省十堰市第二中学人教版八年级数学下册教案：18.2.3正方形
-正方形的判定方法：掌握如何判断一个图形是否为正方形，包括使用边长相等、角度相等、对角线相等且垂直平分等方法。这些判定方法需要通过具体例题进行讲解和练习。
2.教学难点
-正方形性质的理解与应用：学生对正方形性质的深入理解可能存在困难，特别是对角线互相垂直平分的性质。教师应通过动态演示或实物模型，帮助学生形成直观认识，并辅以典型题目进行巩固。
-正方形判定方法的灵活运用：判定一个图形是否为正方形时，学生可能会对多种判定方法的选择和应用感到困惑。教师应提供不同类型的例题，引导学生如何根据题目条件选择合适的判定方法。
2.培养学生的逻辑思维与分析能力，通过探索正方形的特征，提高推理与论证能力；
3.培养学生的数学应用意识，将正方形知识应用于解决实际问题，增强数学与现实生活的联系；
4.培养学生的数学抽象与建模能力，通过对正方形的研究，学会从具体实例中抽象出数学模型，为后续学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：正方形是一种特殊的矩形，具有四条相等的边和四个相等的角。其性质包括四条边相等、四个角均为直角、对角线互相垂直且平分等。这是本节课的核心内容，需要教师通过实例讲解和图形演示，让学生深刻理解正方形的特征。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形源自关的实际问题，如正方形花园的设计方案。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直角尺和尺子测量正方形物体的边长和面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。