2015-2016学年江苏常州西夏墅中学高二数学教学设计：1.1《正弦定理》(苏教版必修5)
正弦、余弦定理教案
A
1200 C B
例 2 如图， 在三角形 ABC 中， 已知 a=3,b=2,c= 19 ,求此三角形各个角的大小及其面积。 （精确到 0.1） 。 A
C
B
例 3 已知 ABC 的顶点为 A(6,5),B(-2,8)和 C(4,1)，求 A (精确到 0.1 )
四、课堂练习： 已知 ABC 的三个角 A，B, C 所对的边分别为 a,b,c，根据下列条件，分别解三角形（保留根号 或精确到 0.01）
三．三角形中正弦定理的证明： 法 1：从特殊到一般，穷举法： 直角三角形中特性： 锐角三角形中有无特性？ 钝角三角形如何？ C B
A
法 2：在三角形的外接圆中论证：
分学习小组探讨，教师适当点拨。
四、 定理应用： 例 1：已知Δ ABC 中， 0 （1）a=20 , A=30 , （2）a=20 , b=40 , （3）a=20 , b=40 , （4）a=20 , b=30 , （5）a=20 , b=25 , （6）a=20 , b=15 ,
a ,sinB=____________,sinc=___________。 2R
（3）a:b:c=__________________________. (4)Δ ABC 面积 S=_______________=_______________=________________。 二、公式应用： （30 分钟） 1．在△ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（ A. A B B. A B C. A ≥ B ） ）
0 0 0 0
学生完成后，教师订正答案
六、课后作业：见作业 1。
七、课后反思
第 2 课时 知识与技能
高中数学 1.1 正弦定理教案 苏教版必修5
江苏省赣榆县智贤中学2014高中数学 1.1 正弦定理教案苏教版必修5=ABC abc，32中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
【江苏版】2013年高二数学教案《正弦定理、余弦定理的应用》(苏教版必修5)
1.3正弦定理、余弦定理的应用学习目标1.知识与技能能够利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和计算有关的问题.2.过程与方法通过运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的过程，体会数学建模的思想方法.3.情感、态度与价值观通过运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的过程，提高运用所学知识分析解决问题的能力.教学过程一. 情境引入1.正弦定理：()2sin sin sin a b c R A B C===， 余弦定理： 余弦定理的变式：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b c a ca B =+- 222cos 2c a b B ca +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 2.正弦定理和余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系,在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.下面我们将举例来说明这两个定理在实际中的应用.二.数学运用1.例题例1．如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在河岸边取点C,D ，测得∠ADC ＝85°,和∠BDC ＝60°,∠ACD ＝47°，∠BCD ＝72°,CD ＝100m.设A,B,C,D 在同一个平面内, 试求A,B 之间的距离(精确到1m).分析：如图所示，对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝72°－47°=25°，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解.而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解.解：在△ACD 中，已知∠ADC ＝85°∠ACD ＝47°CD ＝100由正弦定理得sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC DAC ∠==≈∠ 在△BCD 中，由正弦定理得0sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC DBC ∠==≈∠在△ABC 中，由余弦定理.得22222002cos 134.05116.542134.05116.54cos(7247)3233.9557()AB AC BC AB BC ACBAB m =+-=+--≈⇒≈g g答 ,A B 两点间的距离约为57()m .评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用,由此例可设计一种,A B (不可达的)两点间距离的方法.例2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，求B 岛和C 岛间的距离.解：应用正弦定理，C=45 °BC/sin60°=10/sin45°从而有BC=10sin60 °/sin45°5612.23=≈例3．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°,距离A 为10 n mile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile ／h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1mi n).分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用x 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则AB ＝21x n mile ，BC ＝9x n mile ，AC ＝10 n mile ，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°根据余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得（21x ）2＝102＋（9x ）2－2×10×9x cos120°，即36x 2－9x 2×10＝0解得x 1＝23 ，x 2＝－512（舍去） ∴AB ＝21x ＝14，BC ＝9x ＝6再由余弦定理可得：cos BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝142＋102－622×14×10＝0．9286， ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66.8°.方位角为66.8°.答：舰艇应以66.8°的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）.在利用余弦定理建立方程求出x 后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.例4.作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡。
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《正弦定理、余弦定理的应用》学案(1)
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《正弦定理、余弦定理的应用》学案（1）一、学习目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；二、教学过程：1、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法．（1）．正弦定理、三角形面积公式：（2）．正弦定理的变形：（3）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（4）．余弦定理：（5）．应用余弦定理解以下两类三角形问题：2、数学应用（学生自主学习讨论后到黑板板演，教师规范解题格式）例1如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得∠ADC＝85°，∠BDC＝60°，∠ACD＝47°，∠BCD＝72°，CD＝100m．设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B之间的距离（精确到1 m）．例2如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）．例3 作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡．已知F 1＝30N ，F 2＝50N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，求F 3的大小与方向（精确到0.1°）．3、课堂练习1． 在△ABC 中，若bc c b a ++=222，则∠A=2.三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为3．在△ABC 中，31cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为 4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B的取值范围为5．△ABC 中，若（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ，则△ABC 的最小内角为（精确到10）6．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=2∶3∶4，则B 的余弦值为 。
2015-2016学年高二数学课件：1.1.1《正弦定理》(新人教A版必修5)(浙江专用)
sin A= ,sin B= ,sin C= 将角
a 2R
b 2R
c 2R
的关系化为边之间的关系.
题型一
题型二
题型三
解:由正弦定理,设
a 2R
a ������������������A
=
b c = =2R, ������������������B �����������sin B= ,sin C= . ∵ bsin B=csin C,sin2A=sin2B+sin2C,
【例 2】 在△ABC 中,已知下列条件,解三角形 : (1)a=10,b=20,A=80° ; (2)b=10,c=5 6,C=60° ; (3)a= 3,b= 2,B=45° .
题型一
题型二
题型三
解:(1)由正弦定理,得 sin B= 解. (2)由正弦定理,得 sin ∵ 0° <B<180 ° , ∴ B=45 ° 或 135° .
5 2 a c = , ������������������A ������������������C
������������������C ������������������105° ������������������(60°+45°) =5· =5· ������������������A ������������������30° ������������������30°
已知两角和一边解三角形
【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 A=30 ° ,C=100 ° ,a=10, 求 b,c,B(边长精确到 0.01). 解:∵ A+B+C=180° , ∴ B=180° -A-C=50° . 由正弦定理,可知 b= c=
2015-2016学年高二数学人教A版必修5课后作业提升1.1.1《正弦定理》Word版含解析
第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.在△ABC中,a∶b∶c=2∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于()A.2∶5∶6B.6∶5∶2C.6∶2∶5D.不确定解析:由正弦定理,知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶5∶6.答案:A2.在△ABC中,若b=2a sin B,则A等于()A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°或150°解析:由正弦定理得=2R,∴sin B=2sin A sin B.∵sin B≠0,∴sin A=.∴A=30°或150°.答案:D3.在△ABC中,若a=3,b=,A=60°,则C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:由正弦定理得,,从而,即sin B=,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.答案:D4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.解析:由正弦定理,得sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.所以sin B=sin A,故.答案:D5.在△ABC中,b=2,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是()A.0°<A<30°B.0°<A≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.答案:B6.已知△ABC中,b sin B=c sin C,且sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状为.解析:由正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,R为△ABC外接圆的半径,∴b·=c·.∴b2=c2,a2=b2+c2.∴△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形7.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶,则A=.解析:∵B=2A,∴sin B=sin2A,∴sin B=2sin A cos A,∴.由正弦定理,得,∴,∴cos A=.又0°<A<180°,∴A=30°.答案:30°8.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且a cos B+b cos A=c sin C,则角B=.解析:由题意知m·n=0,∴cos A-sin A=0.∴tan A=,A=.又∵a cos B+b cos A=c sin C,∴由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A=sin2C,即sin(A+B)=sin2C,sin(π-C)=sin2C,sin C=sin2C.∴sin C=1.∴C=.∴B=.答案:9.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高.解:由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A,得1-2cos A=0,所以cos A=,sin A=.再由正弦定理,得sin B=.由b<a知B<A,所以B不是最大角,B<,从而cos B=.由上述结果知sin C=sin(A+B)=.设边BC上的高为h,则有h=b sin C=.10.在△ABC中,已知,且2sin A sin B=2sin2C.(1)试判断△ABC的形状;(2)求的取值范围.解:(1)由已知及正弦定理得,∴b2-a2=ab.①又2sin A sin B=2sin2C,由正弦定理得2ab=2c2.②由①②得b2=a2+c2.∴△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.(2)由正弦定理得=sin A+sin C=sin A+cos A=sin.∵0<A<,∴<A+.∴<sin≤1.∴1<sin.即的取值范围为(1,].。
《正弦定理》说课稿和教案
《正弦定理》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！我是号选手，我今天说课的题目是《正弦定理》。
我主要从教材分析、学情分析、说教学方法与策略、说教学过程、说板书设计等几个步骤向大家详细地讲解我对这节课的安排。
一、教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第二章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
对比同学们在初中学习过的解直角三角形，解三角形虽是少了一个字，明显我们面临解决的问题范围却扩大了。
因此，本章内容是对初中解直角三角形内容的直接延伸，在解直角三角形时主要借助三角形内角和定理、三角函数和方程的思想来实现，这种方法当然是局限于直角三角形，面对一般的三角形同学将束手无策。
《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用三角函数知识作为工具，运用转化与化归作为指导思想，推导出正弦定理。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解三角形中存在边与角的定量关系的一个开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
作为三角形中的一个定理，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
同时，通过本节课的学习为后面学习《余弦定理》提供了方法上的模式；为将来解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步感受、了解到数学在实际中的应用。
二、教学目标分析根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，使学生主动地去发现正弦定理的内容和推证正弦定理及简单运用正弦定理能力目标：通过对正弦定理的引入、推导和应用，培养学生的创新意识和思维能力，能体会用“作高”将一般三角形转化为直角三角形；将几何问题转化为代数问题。
高中数学必修5第一章：解三角形
外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦 之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知， 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数 量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余 弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一： 根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角 形的第三条边.
2015-2016学年高二数学人教版必修5课件：第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)， 整理化简得a4＋b4－2a2b2＝c4， ∴(a2－b2)2＝c4. 因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2. 即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2 故△ABC为直角三角形．
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余弦定理求解较好．
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[活学活用]
2．在△ABC，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．
解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2 ∴c＝ 6－ 2. 法一：由余弦定理的推论得
c＝4 或 c＝8.
答案： C
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2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若c2－2aa2b－b2
＞0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
解析：由c2－2aa2b－b2＞0 得－cos C＞0，
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法一：由cos A＝b2＋2cb2c－a2＝926×＋4166 ×34＋ 132＋－164＝ 22， ∵0°＜A＜180°，∴A＝45°. 故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理sina A＝sinb B，∴sin8 A＝si4n 660°， ∴sin A＝ 22，∵b＞a，c＞a， ∴a最小，即A为锐角． 因此A＝45°. 故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
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1
1.1 正弦定理
教学目标：
1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量
问题；
2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；
3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．
教学重点：
正弦定理及其证明过程．
教学难点：
正弦定理的推导和证明．
教学过程：
一、问题情境
从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到
精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间
的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为
求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．
探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在RtABC中，设90C，那么
边角之间有哪些关系？
sinaAc，sinbBc，sin1cCc，cosbAc，cosaBc，cos0C，tanaAb
，
sincosAB,sincosBA
,1tantanAB……
探索2 在RtABC中，我们得到sinsinsinabcABC，对于任意三角形，这个结
论还成立吗？
二、学生活动
把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三
角形是否成立．
学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．
2
教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由
于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．
图1
三、建构数学
探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C为最大角，若C为直
角，我们已经证明结论成立，如何证明C为锐角、钝角时结论成立？
师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，
进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．
证法一 若C为锐角（图2（1）），过点A作ADBC于D，此时有
sinADBc,sinADCb，所以sinsincBbC,即sinsinbcBC
．
同理可得sinsinacAC,所以sinsinsinabcABC．
c
b
DABC
（1） 图2 （2）
若C为钝角（图2（2）），过点A作ADBC，交BC的延长线于D，此时有
sinADBc，且sinADCb，同理可得sinsinsinabcABC
．综上可得，结论成立．
证法二 利用三角形的面积转化，先作出三边上的高AD、BE、CF，则sinADcB，
3
sinBEaC，sinCFbA
．
所以ABCS1bcsinA2= 1sin2acB=1bcsinA2，每项同时除以12abc，
得sinsinsinabcABC
探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也
是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在ABC中，有BCBAAC，设C为最大角，过点A作ADBC于D，（图3），
于是BCADBAADACAD，设AD与AC的夹角为，则
0BAADcos(90+B)+cosACAD
，其中，当C为锐角或者直角时，
90C
；当C为钝角时，90C．故可得sinsincBbC0，即
sinsinbcBC．同理可得sinsinacAC．因此sinsinsinabcABC
．
这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形
中的一个重要定理．
探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中
的哪些类型的问题？
三个式子：
sinsinabAB， sinsinbcBC，sinsinacAC
．
每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个．
正弦定理可以解决两类三角形问题：
（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理
求出第三角，再使用正弦定理）；
4
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
四、数学运用
例题 在ABC中：
（1）已知16a，26b，30A，求B，C，c；
（2）已知30a，26b，30A，求B，C，c；
（3）已知25a，11b，30B，解这个三角形．
解 （1）由正弦定理得sinsinabAB，即1626sin30sinB，
因此 26sin3013sin1616B
所以 154.3B，或218054.3125.7B．
由于 2125.730155.7180BA
故 2B也符合要求，从而本题有两个解154.3B或2125.7B．
①当154.3B时，11180()180(54.330)95.7CAB，
1
1
sin16sin95.732sin95.731.84sinsin30aC
cA
．
②当2125.7B时，22180()180(125.730)24.3CAB
2
2
sin16sin24.332sin24.313.17sinsin30aC
cA
．
（2）由正弦定理得sinsinbABa，即26sin3013sin3030B
所以125.7B,或218025.7154.3B．
由于2154.330184.3180BA，故2B不符合要求，
从而本题只有一解25.7B
180()180(25.730)124.3CAB
，
5
sin30sin124.360sin55.749.57sinsin30aC
cA
．
（3）由正弦定理得sin25sin3025sin11122aBAb，所以无解．
学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解
的情况呢？
巩固练习：
1.（口答）一个三角形的两角和边分别是30和45，若45角所对边的长为8，那么
30
角所对边的长是 .
2.(板演) 在ABC中：
（1）已知75,45,32ABc，求C，b；
（2）已知30,120,12ABb，求a，c．
3.（板演）根据下列条件解三角形：
（1）40b，20c，25C
（2）15a，20b，108A
五、回顾小结
本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意
两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知
三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中的
两角与任意一边，可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两
个元素，可研究出另外两个元素的关系．
六、课外作业
课本P11习题1.1第1，2题．