2020年四川省雅安市高考数学三诊试卷(文科)(有答案解析)

2020年四川省雅安市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D. R2.若复数z满足，其中i为虚数单位，则共轭复数A. B. C. D.3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如表：零件数个2345加工时间分钟30a4050根据上表可得回归方程，则实数a的值为A. 34B. 35C. 36D. 374.已知，则A. B. C. D.5.函数的大致图象为A. B.C. D.6.已知平面平面，m是内的一条直线，n是内的一条直线，且，则A. B.C. 或D. 且7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为已知：，A. 12B. 20C. 24D. 488.已知函数在处取得最大值，则A. 1B.C.D.9.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.10.已知直线被圆M：截得的弦长为，且圆N的方程为，则圆M与圆N的位置关系为A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切11.已知抛物线，过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为，且为直角三角形，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为A. B. C. D.12.设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.同时掷两颗骰子，其向上的点数和为11的概率是______用数字作答14.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则______．15.在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．16.若函数恰有三个零点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩满分100分，成绩均为不低于40分的整数分成六段：，，后得到如图的频率分布直方图．求图中实数a的值；若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．若从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．18.已知数列是一个等差数列，且，，数列是各项均为正数的等比数列，且满足：．求数列与的通项公式；设数列满足，其前n项和为求证：．19.如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面ABCD．求证：平面平面BDF；若，求三棱锥体积．20.己知函数，它的导函数为．当时，求的零点；若函数存在极小值点，求a的取值范围．21.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率过椭圆的右焦点作直线不与x轴重合与椭圆C交于不同的两点A，B．求椭圆C的方程；试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为Ⅰ求曲线的普通方程和的直角坐标方程；Ⅱ已知曲线的极坐标方程为，，，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于原点O，且，求实数的值．23.已知．在时，解不等式；若关于x的不等式对恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合，，．故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，，，故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础计算题．3.答案：C解析：解：，，则样本点的中心坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：C．由表格中的数据求得样本点的中心，代入线性回归方程即可求得a值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，，，，故选B．5.答案：C解析：解：因为，所以为偶函数，排除A；因为，所以排除B；因为，，所以排除D．故选：C．判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的对应性以及，函数极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性，极限思想以及排除法是解决本题的关键．难度不大．6.答案：C解析：解：平面平面，m是内的一条直线，n是内的一条直线，且，借助于图形可以判断出，故A和C错误；借助于图形可以判断出，故B和D错误；而又由图可以判断出或．故选：C．利用作出所对应的两种图形即可判断出正确答案．本题是有面面垂直和线线垂直来推线面间的位置关系．做这一类型题的关键是理解课本定义．7.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.答案：D解析：解：函数在处取得最大值，，即，不妨取，则，．故选：D．由题可知，，所以，不妨取，则，所以，从而得解．本题考查正弦函数的最值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：非零向量满足，且，则，即；所以，又，所以与的夹角为．故选：A．由题意，计算的值，从而求得与的夹角的值．本题考查了平面向量的数量积与夹角大小的计算问题，是基础题．10.答案：A解析：解：根据题意，，则有，解可得：或，又由，则或，即直线与圆M：的交点为和；又由直线被圆M：截得的弦长为，则有，解可得，又由，则，则圆M的方程为，其圆心为，半径，圆N的方程为，即，其圆心为，半径；两圆圆心距，则有，则两圆相交；故选：A．根据题意，联立直线与圆M的方程，计算可得交点的坐标，进而由直线被圆M截得的弦长为，可得，解可得E的值，即可得M的方程，分析圆M、圆N的圆心半径，分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及直线与圆的位置关系的判断，属于基础题．11.答案：B解析：解：根据题意，如图，设抛物线的焦点为F，则，则，则有，则有，为直角三角形，又由F为AB的中点，则，即，解可得，则直线AB的方程为，要求抛物线以直线AB即为准线，则其开口向左，其标准方程为；故选：B．根据题意，设抛物线的焦点为F，分析可得，将其代入抛物线的方程，分析可得，由抛物线的性质和直角三角形的性质可得，即，解可得p的值，即可得直线AB的方程，又由抛物线的标准方程分析可得答案．本题考查抛物线的几何性质的应用，涉及抛物线的标准方程，注意求出p的值．12.答案：D解析：解：奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，令，则．因为，有，所以当时，，则在上单调递减．又是定义域在上的奇函数，所以，则也是上的奇函数并且单调递减．又等价于，即，所以，又，所以．故选：D．本题考查利用导数研究函数的单调性问题，考查推理论证能力和创新意识．本题主要考查导数法研究函数的单调性，函数的奇偶性，等价转化思想，注意单调性的运用．属于难题．13.答案：解析：解：同时掷两颗骰子，有36种情况，其中向上的点数和为11的情况有，两种，所以其概率是．故答案为：．由乘法原理得同时掷两颗骰子，有36种情况，找出其中向上的点数和为11的情况，相比即可．本题考查简单的古典概型求概率，属于基础题．14.答案：解析：解：由正弦定理得，，，，，，即，，，，即，，．故答案为：．由正弦定理得，，代入，得，再借助和正弦的两角和公式进行化简可得，，由于，所以，即，又，于是可求得A的值．本题考查正弦定理的应用，采用了边化角的思维，还用到了正弦的两角和公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．15.答案：解析：【分析】由空间向量法求异面直线所成角得：因为，，，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，0，，3，，所以0，，，设异面直线与所成角为，则，得解．本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型．【解答】解：因为，，，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系：则0，，0，，0，，3，，所以0，，，设异面直线与所成角为，则，故答案为：．16.答案：解析：解：和在上都是减函数，在上是减函数，又，在上只有1个零点，在上有两个零点，令可得，则方程有两解，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，又当时，，当时，，故的图象大致为：方程有两解，．故答案为：．根据在上的单调性得出在上有1个零点，故有两解，判断的单调性，计算极值，根据函数图象得出a的范围．本题考查了函数零点与函数单调性、极值、函数图象的关系，属于中档题．17.答案：解：由频率分布直方图，得：，解得．数学成绩不低于60分的概率为：，数学成绩不低于60分的人数为：人．数学成绩在的学生为人，数学成绩在的学生人数为人，设数学成绩在的学生为A，B，数学成绩在的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：，，，，，，，，共8种，这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．解析：由频率分布直方图的性质能求出a的值．先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．数学成绩在的学生为2人，数学成绩在的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18.答案：解：解：为等差数列，设公差为d，，，，为等比数列，，设公比为q，则，，，，即，；证明：由得，，，由得：，，．解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题设条件分别列出d、q的方程，解出d，q，进而求得通项公式；由求得，利用错位相减法求得前n项和，证明结论．本题主要考查等差、等比数列的通项公式、性质及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：证明：在菱形ABCD中，，平面ABCD，．又，平面BDF．而平面ACF，平面平面BDF；解：取BC中点O，连接EO，OD，为正三角形，，平面平面ABCD且交线为BC，平面ABCD．平面ABCD，，得平面BCE．．，．．解析：在菱形ABCD中，，由已知得到再由直线与平面垂直的判定可得平面BDF，从而得到平面平面BDF；取BC中点O，连接EO，OD，可得，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面再求出三角形BCD的面积与EO的长度，利用等体积法求三棱锥体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：的定义域为，当时，，．易知为上的增函数，又，所以是的零点．，令，则．当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意．当时，，所以在上单调递增．又，，所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意．当时，令，得．当时，；当时，，所以．若，即当时，恒成立，即在上单调递增，无极值点，不符合题意．若，即当时，，所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意．综上，可知，即a的取值范围为．解析：当时，，易知是的零点．令，则分，，讨论即可．本题考查了函数零点、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．21.答案：解：由题设知，，又因为，，且，联立求解得：，椭圆C的方程为：．存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，由题设知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，整理得设，，定点依题意，由根与系数的关系可得，，直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，所以即，又所以整理得，，从而可得即，，所以当，即时，直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，所以，在x轴上存在点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称．解析：求出a，利用离心率求出c，然后求解b，得到椭圆方程．存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，设直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，设，，定点依题意，由根与系数的关系，结合直线QA与直线QB的斜率互为相反数，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.答案：解：Ⅰ由曲线的参数方程为为参数，消去参数得曲线的普通方程为．曲线的极坐标方程为，，的直角坐标方程为，整理，得．Ⅱ曲线：化为极坐标方程为，设，，曲线的极坐标方程为，，，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于原点O，且，，，，，，解得．解析：本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．Ⅰ由曲线的参数方程消去参数能求出曲线的普通方程；曲线的极坐标方程化为，由此能求出的直角坐标方程．Ⅱ曲线化为极坐标方程为，设，，从而得到，进而，由此能求出结果．23.答案：解：在时，．在时，，；在时，，，无解；在时，，，．综上可知：不等式的解集为．恒成立，而，或，故只需恒成立，或恒成立，或．的取值为1或解析：在时，通过时，时，时，转化求解即可．恒成立，转化为恒成立，或恒成立，然后求解即可．本题考查不等式恒成立，考查转化思想以及计算能力．。

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2020年四川省成都市树德中学高考数学三诊试卷(文科)(Word 含解析)

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜33．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.76．变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则x2+y2+6x﹣4y+14的最大值为（）A．8B．9C．64D．657．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√28．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．49．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞210．已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：CO→=m CA→+n CB→，4m+3n＝2，且|CA→|＝4√3，|CB→|＝6，则CA→•CB→=（）A．36B．24C．24√3D．12√311．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C ．（﹣3，4）D ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）12．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y =−116的距离为d ，若|MN |2＝λ•d 2，则λ的最小值为（） A ．√22B ．1−√22C ．1+√22D ．2+√2二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= ．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有个．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14．（m ≥2，且m ∈N*）（1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足a n 2=log 2b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点C 到平面AED 的距离．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1．（1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）．（l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算求出∁Z A∩B，从而可得出∁Z A∩B 的真子集的个数．解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴∁Z A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁Z A∩B＝{1，2，3}，∴∁Z A∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则有（m﹣2）（m+3）＜0，解可得﹣3＜m＜2，要求方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．解：由题意，函数的周期为T＝60，∴ω=2π60=π30设函数解析式为y＝sin（−π30t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（√32，12），∴t＝0时，y=1 2∴sinφ=1 2∴φ可取π6∴函数解析式为y＝sin（−π30t+π6）故选：C．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y＝10的距离为√1+49=√2∴弦长为2×√4−2=2√2根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为14×2π×2＝π，较长的弧长为4π﹣π＝3π∴两段弧长之差的绝对值等于2π故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.7【分析】由程序框图得出输出变量y的解析式，求出输出的y满足y＜5时x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案；解：由题意知，程序框图所表示的函数解析式为y={x+1，x≤7 x−1，x＞7；当y＜5时，若输出y＝x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，解得0≤x＜4；若输出y＝x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，解得0≤x＜6（不合题意），所以输出的y ＜5时，x 的取值范围是0≤x ＜4；所以使得输出的y 满足y ＜5的概率为P =4−010−0=25=0.4．故选：B ．【点评】本题考查了程序框图、分段函数与几何概型的概率计算问题，是综合题． 6．变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为（）A ．8B ．9C ．64D ．65【分析】画出约束条件表示的可行域，利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方平方再加1．求解即可．解：由变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，作出（x ，y ）的可行域如图所示．z ＝x 2+y 2+6x ﹣4y +14＝（x +3）2+（y ﹣2）2+1的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方再加1．结合图形可知，{x −4y +3=03x +5y −25=0解得B （5，2），可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min ＝1﹣（﹣3）＝4，d max ＝8． ∴17≤z ≤65．则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为65．故选：D ．【点评】本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．7．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+12×1×√2+12×1×1=3+2√2．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．4【分析】作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确；举例说明④错误．解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．可以使∠AOA1＝∠BOB1＝30°，但a与b不平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，上图中在∠AOA1＝∠BOB1＝30°时，可以使∠AOB＝90°，即a⊥b；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．原因是若a与b与平面α都垂直，则a∥b，a与b不垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．∴说法错误的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞2【分析】由指数函数的值域和不等式的性质，求得f（x）的值域；由一次函数的单调性可得g（x）的值域，由题意可得n的不等式，解不等式可得所求范围．解：函数f(x)=e x−1e x+1，即f（x）＝1−21+e x，由e x＞0，可得1+e x＞1，即有0＜21+e x＜2，则﹣1＜1−21+e x＜1，即有f（x）的值域为（﹣1，1）；g（x）＝1﹣x在[m，n]递减，可得g（x）的值域为[1﹣n，1﹣m]，对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，可得﹣1≥1﹣n，即有n≥2，故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性求值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√3【分析】根据已知条件，在CO →=mCA →+nCB →两边分别乘以向量CA →，CB →便可得到，{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②，所以根据4m +3n ＝2，①+②，和①×3+②×4得{(m +n)CA →⋅CB →=1872(m +n)+CA →⋅CB →=72，所以由这两式即可求出CA →⋅CB →．解：如图，根据已知条件：{CO →⋅CA →=mCA →2+nCA →⋅CB →CO →⋅CB →=mCA →⋅CB →+nCB →2； ∴{2√3⋅4√3=48m +nCA →⋅CB →3⋅6=36n +mCA →⋅CB →； ∴{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②； ∴①+②得，42＝12（4m +3n ）+（m +n ）CA →⋅CB →=24+(m +n)CA →⋅CB →； ∴(m +n)CA →⋅CB →=18③；①×3+②×4得，144＝144（m +n ）+（4m +3n ）CA →⋅CB →=144（m +n ）+2CA →⋅CB →； ∴72(m +n)+CA →⋅CB →=72④； ∴联立③④可CA →⋅CB →=36．故选：A ．【点评】考查向量数量积的计算公式，三角形外心的概念，直角三角形的边角关系，以及对条件4m+3n＝2的灵活运用．11．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C．（﹣3，4）D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知，不等式可转化为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，分别解出后取并集即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝2，解得x＝﹣4或x＝3，由图象可知，f（x+1）＜2等价为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，解得﹣1≤x＜2或﹣5＜x≤﹣1，∴所求不等式的解集为（﹣5，2）．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想，属于基础题．12．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y=−116的距离为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．√22B．1−√22C．1+√22D．2+√2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，运用余弦定理可得|MN |，运用抛物线的定义和中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．解：抛物线y ＝4x 2的焦点F （0，116），准线为y =−116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2+|NF |2﹣2|MF |•|NF |•cos ∠MFN ＝a 2+b 2+√2ab ，由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），由|MN |2＝λ•d 2，可得14λ=a 2+b 2+√2ab (a+b)2=1−(2−√2)ab (a+b)2≥1√2)ab (2√ab)2=1−2−√24=2+√24，可得λ≥2+√2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2+√2．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为53或54．【分析】利用双曲线方程，转化求解离心率即可．解：当λ＞0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√9λ+16λ9λ=53．当λ＜0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√−9λ−16λ−16λ=54．故答案为：53或54．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用、分类讨论方法，是基本知识的考查，基础题．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ﹣1 ．【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理得答案．解：∵方程z 2+z +3＝0的判别式小于0， ∴z 为方程z 2+z +3＝0的虚根，由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得z +z =−1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= 2 ．【分析】直接利用函数的关系式的运算的应用和对数的关系式的运算的应用求出结果．解：由于f(x)=21+2x +11+4x ，所以f(−x)=21+2−x +11+4−x =2×2x 1+2x +4x1+4x ，所以f （x ）+f （﹣x ）=21+2x +11+4x +2×2x1+2x +4x 1+4x =3．由于：log a (√2+1)=−log a (√2−1)，所以f[log a (√2−1)]+f[log a (√2−1)]=3，整理得f[log a (√2−1)]=2．故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：函数的、关系式的运算，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 8 个．【分析】显然0不是函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点，故化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数图象求解即可．解：显然0不是函数f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1的零点，故f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1＝0可化为6sin π2x ＝x +1x，故可化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象如图：由图象可知，有8个交点．故答案为：8．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14．（m≥2，且m∈N*）（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足a n2=log2b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【分析】（1）利用a m＝S m﹣S m﹣1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．解：（1）∵S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14，∴a m＝S m﹣S m﹣1＝4，a m+1+a m+2＝S m+2﹣S m＝14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d＝14，∴d＝2．∵S m =a 1+a m2=0，∴a 1＝﹣a m ＝﹣4． ∴a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝﹣4+2（m ﹣1）＝4， ∴m ＝5．（2）由（1）可得a n ＝﹣4+2（n ﹣1）＝2n ﹣6． ∵a n 2=log 2b n ，即n ﹣3＝log 2b n ，∴b n ＝2n ﹣3，∴（a n +6）•b n ＝2n •2n ﹣3＝n •2n ﹣2，设数列{（a n +6）•b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1•2﹣1+2•20+3•21+4•22+…+n •2n ﹣2，① ∴2T n ＝1•20+2•21+3•22+4•23+…+n •2n ﹣1，② ①﹣②得： ﹣T n =12+1+21+22+23+…+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12+1−2n−11−2−n •2n ﹣1=−12−（n ﹣1）2n ﹣1， T n =12+（n ﹣1）2n ﹣1．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点C 到平面AED 的距离．【分析】（1）连接OC ，运用勾股定理的逆定理，证得AO ⊥OC ，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C 到平面AED 的距离为h ，由V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C 到平面AED 的距离．【解答】（1）证明：连接OC ，已知O 为BD 中点， AB ＝AD =√2，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，故AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，所以OA =√AB 2−BO 2=1，OC =√3，在△AOC 中， OA 2+OC 2＝4＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，则AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，故AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM =12AB =√22，OE =12CD =1，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM ＝1，所以cos ∠OEM =√24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ，即有13hS △AED =13AO •S △CDE ，又CA ＝BC ＝2，AB =√2，设AE ＝x ，则由余弦定理有cos ∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =AB 2+BE 2−AE 22AB⋅BE，即有AE =√2，△AED 为等腰三角形，而DE =√3，等腰三角形△AED 底边上的高为√52，故△AED 的面积为S △AED =12⋅DE ⋅√52=√154．则而AO ＝1，S △CDE =12×√34×4=√32，故h =2√55，点E 到平面ACD 的距离为2√55．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1．（1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和已知可求得a +b 的值．（2）利用列举法和古典概型的定义可求2人都是“中老年”的概率．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．可判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．解：（1）由题意得{(b +0.030)×10=1919+21(a +0.010+0.005×2)×10=2119+21，解得{b =0.0175a =0.0325，所以a +b ＝0.0325+0.0175＝0.05．（2）由题意得，在[25，35）中抽取8×0.0300.030+0.010=6（人），分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55）中抽取8﹣6＝2（人），分别记为a ，b ．则从8人中任选2人的全部基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，BE ，BF ，Ba ，Bb ，CD ，CE ，CF ，Ca ，Cb ，DE ，DF ，Da ，Db ，EF ，Ea ，Eb ，Fa ，Fb ，ab ，共28种，其中所选的2人都是“中老年”的事件只有ab 这1种，故2人都是“中老年”的概率p =128．（3）2×2列联表如下：关注不关注总计 “青少年” 40 55 95 “中老年”70 35 105 总计11090200所以K 2=200×(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828，故有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，结合古典概型，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目． 20．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，设出椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，然后求解椭圆方程．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk 的关系，求解|MC |+|MD |为定值2√3．解：（1）由于椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，故椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，从而λ=14+34=1，从而椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则{△=48(4k 2−m 2+3)＞0x 1+x 2=−8km 4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3，从而点M 的坐标为(−4km 4k 2+3，3m 4k 2+3)由于|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√48(4k 2−m 2+3)4k 2+3，点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k，则△AOB 的面积S △AOB=12|AB|⋅d =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3，由题得：S △AOB =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3=32，从而化简得：3（4k 2+3）2﹣16m 2（4k 2+3）+16m 4＝0，故[（4k 2+3）﹣4m 2][3（4k 2+3）﹣4m 2]＝0，即m 2=4k 2+34或m 2=3(4k 2+3)4，又由于4k 2﹣4m 2+3≠0，从而m 2=3(4k 2+3)4．当m 2=3(4k 2+3)4时，由于x M =−4km4k 2+3，y M =3m 4k 2+3，从而(x M 2)2+(M 3)2=(−2km 4k 2+3)2+(√3m 4k 2+3)2=m 2(4k 2+3)(4k 2+3)2=34，即点M 在椭圆x 23+y 294=1上．由椭圆的定义得，存在点C(−√32，0)，D(√32，0)或D(−√32，0)，C(√32，0)，使得|MC |+|MD |为定值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）．（l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65．【分析】（1）求出f ′（x ），当x ∈（0，1）时，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0即可．（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），由此可得a +1a =x 1+x 2x 1x 2＞4x 1+x2，从而x 1+x 2＞4a+1a，只要求出4a+1a在[3，+∞）的最大值即可．解：（1）由已知，得x ＞0，f′(x)=a+1a x −1x 2−1=−x 2−(a+1a )x+1x 2=−(x−a)(x−1a )x 2．由f ′（x ）＝0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a ＞1，所以0＜1a ＜1，且a ＞1a．所以在区间（0，1a）上，f ′（x ）＜0；在区间（1a，1）上，f ′（x ）＞0．故f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）．即a+1ax 1−1x 12−1=a+1ax 2−1x 22−1，所以a +1a =1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x 2，a ∈[3，+∞）．因为x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜(x 1+x 22)2恒成立，所以1x 1x 2＞4(x 1+x 2)2，又x 1+x 2＞0，所以a +1a =x 1+x2x 1x 2＞4x 1+x 2，整理得x 1+x 2＞4a+1a ，令g （a ）=4a+1a ，因为a ∈[3，+∞），所以a +1a单调递增，g （a ）单调递减，所以g （a ）在[3，+∞）上的最大值为g （3）=65，所以x 1+x 2＞65．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题、求最值问题，运用所学知识解决问题的能力．一、选择题22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由已知可得{x 2=4tan 2θ2tan 2θ+1y 2=12tan 2θ+1，所以x 2+2y 2＝2，又0≤θ≤π且θ≠π2．所以y =1√2tan θ+1∈(0，1]，故C 1普通方程为x 22+y 2=1（0＜y ≤1），曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．整理得√22ρcosθ+√22ρsinθ−√2=0，转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）设P(√2φ，cosφ)，（0＜φ＜π）．则点P 到直线x +y ﹣2＝0的距离d =|√2cosφ+sinφ−2|√2=|√3sin(φ+α)−2|√2=2−√3sin(φ+α)√2，当sin （φ+α）＝1时，d min =√32=√2−√62．所以|PQ |的最小值为√2−√62．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max =54，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立，即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1，∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。

2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科) (解析版)

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（） A ．（﹣2，0） B ．[﹣1，0） C ．（﹣2，1） D ．[﹣1，1]2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（）A ．1B ．2C ．√2D ．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（） A ．每天新增疑似病例的中位数为2B ．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C ．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D ．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f （x ）＝e x +1（其中e 为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线为l ，命题p ：点（1，3）在直线l 上，命题q ：点（﹣1，2）在直线l 上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则S10a4值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．−239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√312），c＝f（√3）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若AB→+AM→=0→，则|AB|的值等于（）A．34p B．2p C．3p D．94p12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量a→与b→满足a→•b→=−2，且a→•（a→+2b→）＝5，则|a→|＝．14．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18，S3﹣a1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生 50 m 女生 30 n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且SB =4√2，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x +1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1．（Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3my =2+4m （m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ．（I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（） A ．（﹣2，0）B ．[﹣1，0）C ．（﹣2，1）D ．[﹣1，1]【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}， B ＝{x |x 2﹣1≤0}＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1≤x ＜0}＝[﹣1，0）．故选：B ． 2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由2i z=1﹣i ，得z =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，故选：D ．3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（）A ．1B ．2C ．√2D ．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0对应的平面区域，由图象可知点A 到直线y ＝x 的距离最小，此时d =2=√2，即|PA |的最小值为√2，故选：C ．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3cos(−x)+1−x=−f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ，又f （﹣π）=3cos(−π)+1−π=2π＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则S 10a 4值为（） A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出S 10a 4．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．则S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=5(−3d+9d)−32d+3d =20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m ]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）的值为（） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13−1）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直 B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直 C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确．解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误； BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√2，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确．故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √312），c ＝f （√3）的大小关系正确的是（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√3），只要分析清楚3√3，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数； a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √312）＝f （log √32）＝f （3log √3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√3）＝f （log 33√3），因为32＞23所以3＞21.5＞2√2，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√2ln 2，所以ln3ln2＞1.5＞√2，所以√2ln 3＞2ln 2，所以3√2＞4，所以3√3＞3√2＞4，要分析3√3与92大小，只需确定√3ln 3与ln 92的大小，也就是√3ln 3与2ln 3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3−√3ln 3＝（2−√3）ln 3的大小，需分析2−√3与ln3ln2的大小，而2−√3=2+√3，ln3ln2=log 23∈（1，2），所以2+√3＞log 23，所以3√3＞92，所以3√3＞92＞4，所以log 33√3＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√3）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ，故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若AB →+AM →=0→，则|AB |的值等于（） A ．34pB ．2pC ．3pD ．94p【分析】由AB →+AM →=0→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为AB →+AM →=0→，可得A 为BM 的中点，则AA′BB′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ， |BB ′|＝|BF |＝2t ，故|FF′||BB′|=p2t=4t6t，即有t=34p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝3t＝3×34p=94p，故选：D．12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g（x）．由x的范围求得2x+π3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x1+x2的值，进一步求出g（x1+x2）判断（2）；求出函数m（x），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C：f（x）＝sin（4x+π3）．把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝sin（2x+π3）．（1）当x∈(−1112π，−512π)时，2x+π3∈(−3π2，−π2)，则g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数，故（1）正确；（2）当x∈(−3π4，−π12)时，2x+π3∈(−7π6，π6)，由2x+π3=−π2，得一条对称轴方程为x =−5π12．又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴x 1+x 2=−5π6，则g （x 1+x 2）＝g （−5π6）＝sin （−5π3+π3）＝﹣sin 4π3=√32，故（2）正确；（3）m(x)=g(x −π6)+2g(12x −π6)=sin[2（x −π6）+π3]+2sin[2（12x −π6）+π3]＝sin2x +2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x +2cos x ＝2（2cos 2x +cos x ﹣1）＝2（cos x +1）（2cos x ﹣1），令m ′（x ）＝0，解得x =π3或x =5π3或x ＝π，可得m （x ）在（0，π3），（5π3，2π）上单调递增，在（π3，5π3）上单调递减．∴当x =5π3时f （x ）取得最小值为sin 10π3+2sin 5π3=−3√32，故（3）正确． ∴正确命题的个数是3个．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知平面向量a →与b →满足a →•b →=−2，且a →•（a →+2b →）＝5，则|a →|＝ 3 ．【分析】a →•（a →+2b →）可整理为|a →|2﹣4＝5，解得即可．解：a →•（a →+2b →）＝|a →|2+2a →⋅b →=|a →|2﹣4＝5，解得|a →|2＝9，所以|a →|＝3，故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比．解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34， ∴q ＞0，且q ≠1， ∴{a 1q 3=18a 1(1−q 3)1−q−a 1=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12．故答案为：12．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是 4 ．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解．解：由双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0），得x 2m−y 2m=1，∴a ＝b =√m ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆x 2+y 2﹣2ym ＝0化为x 2+（y ﹣m ）2＝m 2，如图：联立{y =x x 2+y 2−2ym =0，解得B （m ，m ），同理解得A （﹣m ，m ）．∴几何图形M 的面积为12×2m ×m =m 2=16，即m ＝4（m ＞0）．故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为 √6π8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案．解：如图，分别取AB ，BC ，AC 的中点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，沿DE ，EF ，DF ，剪开，把三角形DEF 作为底面，可得正三棱锥P ﹣DEF ，则三棱锥P ﹣DEF 的所有棱长相等，等于1．把P ﹣DEF 放置在棱长为√22的正方体中，则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)2+(√22)2+(√22)2=√64．则该三棱锥外接球的体积为43π×(√64)3=√68π．，故答案为：√6π8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生 60 50 m 女生3060n总计90 110 200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ． P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n 的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×200=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别选择物理选择历史总计男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60−50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a +2b ＝2c cos A ，将边化为角，得sin A +2sin B ＝2sin C cos A ，再结合A +B +C ＝π与正弦的两角和公式化简可得cosC =−12，由于C ∈（0，π），所以C =2π3；（Ⅱ）S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin A+2sin B＝2sin C cos A，而sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以sin A+2sin A cos C＝0，又因为sin A≠0，所以cosC=−1 2，由于C∈（0，π），所以C=2π3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=1+16−2×1×4×cos 2π3=21，故c=√21．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且SB=4√2，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故SA=√SB2−AB2=4，SG=2√3，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12 SG，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13S ABCD⋅SG−13S△ACD⋅SG−13S△ABC⋅12SG =13×2√3(2+42×4−12×4×2−12×4×4×12) =8√33．20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a ，b ，然后求出椭圆方程．（Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），利用韦达定理设出M ，N ，利用|CM |＝|DN |，结合y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，求出CD ，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：e =c a =√32=√1−b 2a2，2b2a =1，所以a ＝2，b ＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，又M(−mk ，0)，N （0，m ），因|CM |＝|DN |，所以x M ﹣x 1＝x 2﹣x N ，即x M +x N ＝x 1+x 2，所以−8km 1+4k2=−mk ，因为y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，所以m ≠0，又k ＞0，则k =12，故x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，因为直线y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以−√3≤−2m ≤√3，即−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5(2−m 2)，因为−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以当m=√32或m=−√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a＝0，a＞0及a＜0三种情况讨论f′（x）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于m≥1−axlnx−xx+1在x＞0且0＜a≤1上恒成立，令h(x)=1−axlnx−xx+1，当x≥1时，易知只需m≥0，当0＜x＜1时，通过放缩思想可知只需m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，然后分m≥2，m＝1及m＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1+alnx+a＝a（lnx+1）+1，当a＝0时，f（x）＝x﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(e−1a−1，+∞)；当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(0，e−1a−1)；（Ⅱ）因为g（x）≥0，则m（x+1）+axlnx+x﹣1≥0，因为x＞0，所以m≥1−axlnx−xx+1，令h(x)=1−axlnx−xx+1，（i）当x≥1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤0，因此1﹣x﹣axlnx≤0，故只需m≥0；（ii）当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤﹣xlnx，所以h(x)≤1−xlnx−xx+1≤m，即m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，则p′(x)=x−m+1x2，当m≥2时，p（x）在（0，1）上递减，p（x）min＝p（1）＝2m＞0；当m＝1时，p（x）＝lnx+2，则p(13)=−3+2=−1＜0，不合题意；当m＝0时，p(x)=lnx−1x+1，则p(1e)=−e＜0，不合题意；综上可知，整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1．（Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC 心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC 心形线的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM ||PN |的值．解：（Ⅰ）由ρ√1−|cosθ|sinθ=1，得ρ2（1﹣|cos θ|sin θ）＝1，①当θ∈[−π2，π2]时，①化为ρ2﹣ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）；当θ∈（π2，3π2）时，①化为ρ2+ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2+xy ＝1（x ＜0）．综上，RC 心形线的直角坐标方程为x 2+y 2﹣|x |y ＝1；（Ⅱ）由直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），消去参数m ，可得4x +3y ﹣6＝0．化为{x =−35t y =2+45t （t 为参数），代入x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0），得3725t 2+2225t +3=0．设M 、N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=7537． ∴|PM ||PN |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ．（I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m 3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m ；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m 值代入a +b +c =m 3，得a +b +c ＝1，然后利用柯西不等式证明（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|={−3x +3，x ≤−1−x +5，−1＜x ＜23x −3，x ≥2，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m ＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163，当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号，∴（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．。

2020年四川省内江市高考数学三模试卷(文科) (含部分答案)

2020年四川省内江市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x|2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．（1，）B．（1，]C．[1，）D．[1，]2．复数z满足（4+3i）z＝3﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b ＝（）A．B．C．2D．34．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组有关数据见表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18xB362C54y 若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，则这二人都来自高校C的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图的程序，若输入的实数x＝4，则输出结果为（）A．4B．3C．2D．6．已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若l∥α，m⊥l，则m⊥αC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m8．函数y＝xe x的图象是（）A．B．C．D．9．设平面上向量＝（cosα，sinα）（0≤α＜π），＝（﹣，），若|+|＝|﹣|，则角α的大小为（）A．B．C．或D．或10．如图该几何体由半圆柱体与直三梭柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC ＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AA1所成角的正切值为，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π11．过坐标原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆+y2＝1交于M、N两点若点A（1，），则△MAN面积的最大值为（）A．B．2C．D．112．若函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间（，1）内有极小值，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）px-y+5≥0，13．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是．14．已知tan（5π﹣α）＝﹣，tan（β﹣α）＝1，则tanβ＝．15．函数f（x）＝2x•|lnx|﹣1的零点个数为．16．设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：男女需要40m不需要n270若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%．（1）求m，n的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参加公式：K2＝．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 18．已知数列{a n}是等差数列，且满足a6＝6+a3，a6﹣1是a5﹣1与a8﹣1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4．（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；（2）求多面体ABC﹣A1B1C1D1的体积．20．已知函数f（x）＝+bx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若g（x）＝﹣﹣1，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的动直线I与椭圆C交于A、B两点，点S（﹣，0）在直线l上，求证无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作箐，如果多做，则按所做的第一题记分22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣4|，函数g（x）＝的定义域为一、选择题．（1）求实数m的取值范围；（2）求解不等式f（x）≤8．参考答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）1．A；2．A；3．D；4．A；5．C；6．D；7．A；8．B；9．A；10．A；11．A；12．C；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）px-y+5≥0，13．5≤a＜7；14．；15．；16．2；三、解答题（共5小题，满分60分）17．；18．；19．；20．；21．；（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作箐，如果多做，则按所做的第一题记分22．；23．；。

2020年全国3卷文科数学真题(pdf版含解析)

2020年全国3卷文科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【详解】由题得，{5,7,11}A B ⋂=，所以A ∩B 中元素的个数为3.故选：B考点：集合的运算2.若()11+=-z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i =.故选：D 考点：复数的运算3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C考点：方差的性质4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C 【详解】()()0.23531t KI t e--=+ ，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.考点：对数的运算5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆.故选：A.考点：轨迹方程7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.考点：直线的定点与点线距9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.C.D.4+2【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△由勾股定理得：AB AD DB ===∴ADB △是等边三角形∴211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴表面积：632=⨯++.故选：C.考点：三棱锥表面积计算10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<.故选：A考点：对数大小比较11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.D.【答案】C【详解】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=故选：C考点：余弦定理与解三角形12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x π=对称D.f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D考点：函数的对称性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.考点：线性规划14.设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.3考点：双曲线的渐近线与离心率15.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.考点：导数的运算16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC ，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==.故答案为：3.考点：圆锥的内切球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂I 、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>，且20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,27.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()2265205AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+=+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c .2020年全国3卷文科数学真题（原卷版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝（）A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)(含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，，，则A. B. C. D. 0，2.已知复数i是虚数单位为纯虚数，则实数a的值等于A. B. C. D.3.已知，，则A. B. C. D.4.下列叙述中正确的是A. 若a，b，，则“”的充分条件是“”B. 若a，b，，则“”的充要条件是“”C. 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D. l 是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则5.已知，，，则A. B. C. D.6.若向量、、两两所成的角相等，且，，，则等于A. 2B. 5C. 2或5D. 或7.德国数学家莱布尼兹年年于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图年年为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年年开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有割圆密率捷法一书，为我国用级数计算开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值其中P表示的近似值，若输入，则输出的结果是A.B.C.D.8.设函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是A. B.C. D.9.在区间中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为A. B. C. D.10.已知直三棱柱，，，和的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为A. B. C. D.11.已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为PA、PB，若三角形PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是A. B. C. D.12.函数，，若对恒成立，则实数a的范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共18小题，共90.0分）13.设全集，集合0，1，2，，，则______ ．14.复数的虚部是______ ．15.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图如图则这100名同学中学习时间在小时内的同学为______ 人．16.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为______17.某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．18.设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则该四棱锥的体积为______．19.若将函数的图象沿x轴向右平移个单位后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为______．20.已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为______．21.双曲线的一条渐近线与圆C：相交于A，B两点且，则此双曲线的离心率为______．22.函数的定义域是______ ．23.已知x，，且，若，则的最小值为______．24.在中，若，，，，则______．25.已知圆O：，直线l与圆O交于P，Q两点，，若，则弦PQ的长度的最大值为______．26.函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数a的取值范围为______．27.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过的汽车辆数为______ ．28.函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的值为______．29.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为______．30.已知正三棱锥的侧面都是直角三角形，的顶点都在球O的球面上，正三棱锥的体积为36，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共18小题，共232.0分）31.已知向量，，函数．求函数的最小正周期．若，，求的值．32.如图，在直三棱柱中，，M是棱CG上的一点．求证：；若M，N分别是，AB的中点，求证：平面．33.如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，，，百米，百米．该区域内原有道路AC，现新修一条直道宽度忽略不计，点P在道路AC上异于A，C两点，，．用表示直道DP的长度；计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值单位：万元．34.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：过点，椭圆C的离心率．求椭圆C的标准方程；如图，设直线l与圆相切于点A，与椭圆C相切于点B，当r为何值时，线段AB长度最大？并求出最大值．35.已知函数和函数．若曲线在处的切线过点，求实数a的值．求函数的单调区间．若不等式对于任意的恒成立，求实数a的最大值．36.已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前n项和分别为，，且，，．求数列，的通项公式；求；是否存在正整数m，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．37.已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量．求矩阵M；设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线的方程为，求曲线C的方程．38.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为．把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．39.已知实数x，y，z满足，求的最小值．40.已知，是抛物线C：上不同两点．若抛物线C的焦点为F，为AB的中点，且，求抛物线C的方程；若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且，是否存在直线AB，使得？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由41.已知数集，其中，且，若对，，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．Ⅰ分别判断数集1，与数集2，4，是否具有性质P，说明理由；Ⅱ已知数集具有性质P，判断数列，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．42.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图所示．Ⅰ求证：平面ACD；Ⅱ求点A到平面BCD的距离h．43.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示吨为该商品进货量，天为销售天数：x234568911y12334568Ⅰ根据上表数据在下列网格中绘制散点图；Ⅱ根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；Ⅲ在该商品进货量吨不超过吨的前提下任取两个值，求该商品进货量吨恰有一个值不超过吨的概率．参考公式和数据：，．44.已知正项数列的前n项和为，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，是的前n项和，求使成立的最大正整数n．45.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点．Ⅰ若以线段为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；Ⅱ当时，问在x轴上是否存在定点T，使得为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．46.已知函数．当时，求函数的单调增区间；当时，求函数在区间上的最小值；记函数图象为曲线C，设点，是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．47.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．Ⅰ求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；Ⅱ设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求面积的最大值．48.设函数，．求不等式的解集；已知关于x的不等式的解集为M，若，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为，0，，所以．故选B．求出集合N，然后直接求解即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.答案：A解析：解：是纯虚数，，解得．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：，，，，则，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：若a，b，，当“”对于任意的x恒成立时，则有：当时，要使恒成立，需要，，此时，符合；当时，要使恒成立，必须且．若a，b，，“”是“”充分不必要条件，“”是“”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B.当时，，且，“”是“”的充分条件．反之，当时，若，则，不等式不成立．“”是“”的必要不充分条件．故B错误；C.结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意，有”的否定应该是“存在，有”故C错误；D.命题“l是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选D．5.答案：A解析：解：，，，．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6.答案：C解析：解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为，由题意可知或则所以当时，原式；当时，原式．故选C设向量所成的角为，则先求出的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用的公式．7.答案：B解析：解：由程序框图知：算法的功能是求的值，输入，跳出循环的i值为11，输出故选：B．模拟程序的运行可得算法的功能是求的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，当时，；当时，；当时，．当时，；当时，；当时，．故选：A．由题设条件知：当时，；当时，；当时，由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.答案：A解析：解：在区间中随机地取一个数，这个数小于的概率为，在区间中随机地取两个数，则这两个数都小于的概率为，这两个数中较大的数大于的概率为，故选：A．先根据几何概型的概率公式求出在区间中随机地取一个数，这个数小于的概率，从而得到这两个数都小于的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10.答案：B解析：解：分别以直线BA，BC，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：0，，0，，2，，1，，，，与CF夹角的余弦值为．故选：B．根据题意，可以点B为原点，直线BA，BC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出，然后可求出，从而可得出AE与CF夹角的余弦值．本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：如图所示，不等式所表示的平面区域内一点，可得点P的轨迹为直线之间并且包括x轴在内的区域．，，三角形PAB的面积为，，化为：．则点P轨迹的一个焦点坐标可以是．故选：A．如图所示，不等式所表示的平面区域内一点，可得点P的轨迹为直线之间并且包括x轴在内的区域．利用，即可得出．本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.答案：A解析：【分析】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数的最小值得答案．【解答】解：，，，，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，则当时，，当时，，在上有最大值，又，，令，要使对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，分离a，得，函数的对称轴为，又，，则．则实数a的范围是．故选：A．13.答案：0，解析：【分析】本题考查了集合的定义与计算问题，属于基础题．根据补集与交集的定义，写出与即可．【解答】解：因为全集，集合，所以，因为集合0，1，2，，所以0，，故答案为：0，．14.答案：解析：解：复数，它的虚部为：，故答案为：．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为的形式，即可．本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．15.答案：30解析：解：这100名同学中学习时间在小时外的频率为这100名同学中学习时间在小时内为这100名同学中学习时间在小时内的同学为故答案为：30利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在小时外的频率；利用频率和为1，求出在小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在小时内的同学的人数．本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．16.答案：100解析：解：由流程图知，第一次循环：，，不满足第二次循环：，；不满足第三次循环：，，不满足第四次循环：，，满足此时跳出循环，所以输出．故答案为：100．据流程图可知，计算出S，判定是否满足，不满足则循环，直到满足就跳出循环即可．本题考查算法流程图，直到型循环结构．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．17.答案：解析：解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有；他们不同在一个食堂用餐的概率为．故答案为：先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．18.答案：32解析：解：正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，底面对角线长为：8．所以棱锥的高为：．所以棱锥的体积为：．故答案为：32．求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积．本题考查棱锥的体积的求法，求解棱锥的高是解题的关键．19.答案：解析：解：函数的图象沿x轴向右平移个单位后所得函数的图象，由于函数的图象关于y轴对称，所以：，整理得：，当时，，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.答案：解析：解：为等差数列，其公差为2，由是与的等比中项，可得，即，解得，则．故答案为：．由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，是一道基础题．21.答案：解析：解：双曲线的一条渐近线：，圆相交于A、B两点，圆的圆心，半径为1，，圆心到直线的距离为：，可得：解得，双曲线的离心率为．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．22.答案：解析：【分析】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件，属于基础题．根据函数的定义，为求得使函数的解析式有意义的自变量x取值范围，我们可以构造关于自变量x 的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：要使函数有意义，则需满足，解之得，且，函数的定义域是．故答案是．23.答案：25解析：解：，，．则，当且仅当，，．的最小值为25．故答案为：25．由，，可得变形，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24.答案：解析：解：依题意，画图如下：在中，根据余弦定理，可知，整理，得，解得舍去，或．则．，，．故答案为：．本题在中，根据余弦定理，可列出关于AC的一元二次方程，计算出AC的长度，然后转化并计算值，再将、看作基底向量分别表示出和，然后代入进行向量的多项式运算代入数值即可得到结果．本题主要考查向量线性表示和数量积运算问题．考查了转化与化归思想，方程思想，余弦定理，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．25.答案：解析：解：设M为PQ的中点，则，即，，，，设，则，化解得，，则．故答案为：．设M为PQ的中点，根据，化简可得点M的轨迹方程，结合图象即可得解．本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的运用，属于中档题．26.答案：解析：解：定义在R上的函数满足，函数的周期为4，且至多在上有3个零点，而含505个周期，要使函数在上有1515个零点，则在上有3个零点．设，该函数为二次函数，在上至多有两个零点，则要使在上有3个零点，需要函数在上有一个零点，即；函数的对称轴方程为，则在上有两个零点，，解得．实数a的取值范围为故答案为：由已知可得函数周期，结合函数在上有1515个零点，可得在上有3个零点，则需二次函数在上有两个零点，一次函数在上有一个零点，结合二次函数零点的分布与系数间的关系列不等式组求解．本题考查分段函数零点与方程根的关系，考查二次函数零点的分布与系数之间的关系，是中档题．27.答案：77解析：解：根据频率分布直方图，得；时速超过的汽车的频率为；时速超过的汽车辆数为．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．28.答案：解析：解：由已知得．所以，由是偶函数得，，，，当时，即为所求．故答案为：．先将化为，然后再利用图象平移知识，求出，根据是偶函数，则取得最值，求出．本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．29.答案：2解析：解：由题意知，，由抛物线的定义知，，若取得最小值，则取得最小值，而当为通径，即时，取得最小值，所以的最小值为2．故答案为：2．先有抛物线的定义，可得，再找的最小值，而当为抛物线的通径时，最小，故而得解．本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．30.答案：解析：【分析】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，设，由棱锥体积公式求得a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三棱锥是正三棱锥，且侧面是直角三角形，如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即，，，且，设，则，即，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为，三棱锥的外接球的半径．球O的表面积为．故答案为：．31.答案：解：向量，，函数．；，，；；．解析：先根据向量的数量积以及三角函数的有关知识得到．直接代入周期公式即可；先根据，得到，再结合角的范围求得，最后利用两角和的正弦即可求解结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.答案：解：证明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，，平面，平面，．证明：取的中点为Q，连接NQ，QM，在中，N，Q分别为AB，中点，，且，在直三棱柱中，，且，M为的中点，，且，，且，四边形NCMQ是平行四边形，，平面，平面，平面．解析：由已知推导出，平面，由此能证明．取的中点为Q，连结NQ，推导出四边形NCMQ是平行四边形，从而，由此能证明平面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．33.答案：解：过点D作，垂足为，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，由正弦定理可得，，；在中，由正弦定理可得，，，又，，设三项费用之和为，则，，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，答：三项费用总和的最小值为万元．解析：根据解三角形和正弦定理可得，，分别求出，，可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值．本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题．34.答案：解：由椭圆过的定点坐标及离心率可得，，又，解得：，，所以椭圆C的标准方程：；设直线AB的方程为：，因为直线l与圆C：相切于A，所以，即，，因为直线l与椭圆C相切于B，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：有两个相等的实数根，所以，整理可得，由可得；设，由求根公式可得，，，在直角三角形OAB中，，当，即，即时，取到最大值，且最大值为1．解析：由椭圆的过的店的坐标，及离心率，以及a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；设直线l的方程，由与圆相切可得圆心到直线的距离为半径，可得m，k，r之间的关系，再由与椭圆联立由相切由判别式等于0可得m，k，r之间的关系，求出弦长的表达式，由均值不等式求出的最大值．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相切，直线与圆相切的性质及均值不等式的应用，属于中档题．35.答案：解：因为，，结合，所以在处的切线方程为，结合切点过，，．的定义域为．，则，令．当，即时，，所以的增区间为．当，即时，有两个不等的实数根即：．当时，，，，所以的增区间为；当时，，，令，则或；令，则．所以的增区间为，；减区间为令，显然．，．当时，，所以在上递增，，符合题意；当时，，所以在上递增，且，令，显然，故存在唯一实数，使得，当时，；当时，，所以在递减，所以，与矛盾．综上，a的最大值为2．解析：先利用导数将处的切线方程表示出来，然后将点代入，即可求出a的值；求出的导数，然后判断导数的符号即可；利用判别式判断函数的零点情况，然后根据零点研究导数的符号，确定函数的单调性、最值，构造出a的不等式求解．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值情况，同时考查学生运用分类讨论、函数与方程思想解决问题的能力，也体现了对学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查．属于较难的题目．36.答案：解：设等差数列的公差为d和等比数列的公比为q，由，，，可得，解得或舍去，则；；，，两式相减可得，化简可得；由可得，，假设存在正整数m，使得恰好是数列或中的项，所以，可设，，所以，因为，，所以，由，可得或3，当时，，即，可令，。

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(含答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3+2ii=()A. −2+3iB. −2−3iC. 2+3iD. 2−3i2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N}，B={6,8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 23.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=()A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√34.某企业3000名员工的工资情况统计如图所示，则下列说法错误的是()A. 有超过50%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资B. 工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%C. 有150名员工能够领到5000元以上(含5000元)的工资D. 工资在3000元以上(含3000元)的员工不足700人5.已知a=log25，2b=3，则2a+b=()A. 15B. 6C. 10D. 56.在△ABC中，sinAsinC>cosAcosC，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定7.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，那么b等于()A. 1B. 2C. √5D. 2√58.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且f(−1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值为()A. −1B. 0C. 1D. 29.某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则这两位同学观看同一部影片的概率为()A. 12B. 13C. 23D. 3410.若函数f(x)=√3sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(π3)=()A. 1B. 0C. √32D. √311.已知锐角△ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cos∠ACM=2√77，AC=10，CM=2√7，则AB的取值范围为()A. (10,20√33)B. (4√3,10)C. (5√3,20√33)D. (5√3,+∞)12.若函数f(x)=xe x−a有两个零点，则实数a的取值范围为()A. −e<a<0B. −1e <a C. −1e<a<0 D. 0<a<e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π,3π2)，cosα=−45，则sinα2=______．14.曲线f(x)=sinx+x−1在x=0处的切线方程是________．15.已知F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为________．16.将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量(单位：件)如表所示：产品A B C数量(件)18027090采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件．(Ⅰ)求分别抽取三种产品的件数；(Ⅱ)将抽取的6件产品按种类A，B，C编号，分别记为A i，B i，C i，i=1，2，3….现从这6件产品中随机抽取2件．(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；(ⅰ)求这两件产品来自不同种类的概率．18.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a n，求证：b1+b2+⋯+b n<1．S n219.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．(I)求证：EF//平面AB1D1；(II)求三棱锥A−CB1D1的体积．20.已知抛物线C：y2=2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过x轴上的点M(a,0)作一直线交抛物线于A、B两点，若∠AOB为锐角时，求a的取值范围．21.已知函数f(x)=xln x．(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)−m=0(m∈R)的解的个数．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|x+1|．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≥2；(2)当a=−1时，求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3+2ii，则答案可求．解：3+2ii =−i(3+2i)−i2=2−3i，故选D．2.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C解析：本题主要考查了频率分布图，属于基础题．根据题目给出的统计图，分析各选项即可得出答案．解：A：工资为1000元以下的占40%，有60%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资，正确；B：工资在2000～2999元的员工数占员工总数的24%，工资在3000～3999元的员工数占员工总数的15%，工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%，正确；C：工资在5000～5999元的员工数占员工总数的5%，人数为5%×3000=150，正确；D：工资在3000～5999元的员工数占员工总数的25%，人数为25%×3000=750，故错误，故选D．5.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．6.答案：D解析：解：∵sinAsinC>cosAcosC，∴cosAcosC−sinAsinC<0，即cos(A+C)<0，∴cosB>0，即B为锐角，但A、C不能判断．故选：D由两角差的余弦可判B为锐角，结合A，C可作出判断．本题考查三角形形状的判断，涉及两角差的余弦，属基础题．解析：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，可得a=2，c=√5，即可求出b的值．解：∵双曲线双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，∴a=2，c=√5，∴b=√5−4=1，故选A．8.答案：A解析：本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意分析函数的周期，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性以及对称性分析可得f(x+2)=−f(x)，进而可得f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；据此分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，据此可得f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)，代入计算可得答案．解：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)=−f(x)，①又由f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(−x)=f(2+x)，②由①②可得：f(x+2)=−f(x)，变形可得：f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则f(1)=−f(−1)=−1，f(2)=−f(0)=0，f(3)=f(−1)=1，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(−1)+0+1+0=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=−1；故选：A．解析：解：某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则基本事件总数为n=32=9，这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，∴这两位同学观看同一部影片的概率p=mn =39=13．故选：B．由已知条件先求出基本事件总数为n=32，再求出这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，由此能求出这两位同学观看同一部影片的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用，属于基础题.根据周期公式求解ω的值，进而得到f(π3)的值即可．解：由题意可得2πω=π2，所以ω=4,f(x)=√3sin(4x−π3)，所以f(π3)=√3sinπ=0，故选B．11.答案：C解析：本题考查三角形的余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力和判断能力，属于中档题．在△AMC中运用余弦定理可得AM，进而得到cos A，过C作CD⊥AB于D，过C作CE⊥AC交AB于E，结合锐角三角形ABC，即可得到AB的范围．解：在△AMC中，可得AM2=AC2+MC2−2AC⋅CM⋅cos∠ACM=100+28−2×10×2√7×2√77=48，即AM=4√3，由cosA=AM2+AC2−CM22AM⋅AC =√32，过C作CD⊥AB于D，可得AD=ACcosA=5√3；可得AB>AD=5√3；过C作CE⊥AC交AB于E，可得AC=AEcosA=10，解得AE=20√33，即有AB<AE=20√33，故5√3<AB<20√33故选：C．12.答案：C解析：本题考查了利用方程的根，函数的交点，求解函数的零点问题，利用导数求解问题，属于中档题．解析：解：函数f(x)=xe x −a有2个不同的零点．∴由函数f(x)=xe x−a=0，求得a=xe x，令g(x)=xe x，则g′(x)=(1+x)e x，令g′(x)=0，求得x=−1，在(−∞,−1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在(−1,+∞)上g′(x)>0，g(x)为增函数，故g(−1)=−1e为g(x)的最小值．当x→−∞时,g(x)→0，当x→+∞时,g(x)→+∞再根据f(x)有2个不同的零点，可得−1e<a<0，故选C.13.答案：3√1010解析：解：∵α∈(π,3π2)，∴α2∈(π2,3π4)，sinα2>0，∵cosα=1−2sin2α2=−45，即sin2α2=910，∴sinα2=3√1010．故答案为：3√1010由α的范围求出α2的范围，确定出sinα2大于0，利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，整理后开方即可求出sinα2的值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14.答案：2x−y−1=0解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程有关知识.根据导数的几何意义求出函数在x=0处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：x=0时，f(0)=−1，f′(x)=cos x+1，所以f′(0)=2，所以所求切线方程为y+1=2x，即2x−y−1=0．故答案为2x−y−1=0．15.答案：72解析：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．根据椭圆的方程算出a=3、b=√7，可得焦距|F1F2|=2√2，由椭圆的定义得|AF2|=6−|AF1|.由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积．解：由题意，可得∵椭圆的方程为x29+y27=1，∴a=3，b=√7，可得c=√a2−b2=√2，故焦距|F1F2|=2√2，∵根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a=6，∴△AF1F2中，利用余弦定理得|AF1|2+|F1F2|2−2|AF1|⋅|F1F2|cos45°=|AF2|2，所以|AF2|2=|AF1|2−4|AF1|+8，即(6−|AF1|)2=|AF1|2−4|AF1|+8，解之得|AF1|=72，故△AF1F2的面积为S=12|AF1|⋅|F1F2|sin45°=12×72×2√2×√22=72．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：(本小题满分13分)解：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，…(2分)则有：x+2x+3x=6，解得x=1.…(4分)所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件．…(5分)(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，…(6分)则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,B2}，{B1,B3}，{B1,C1}，{B2,B3}，{B2,C1}，{B3,C1}，共15个．…(10分)．(ii)根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,C1}，{B2,C1}，{B3,C1}，共11个…(12分).…(13分)因此这两件产品来自不同种类的概率为p=1115解析：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，则x+2x+3x=6，由此能求出A、B、C三种产品分别抽取的件数．(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，从这6件产品中随机抽取2件，利用列举法能求出所有可能的结果．(ii)利用列举法求出这两件产品来自不同种类的个数，由此能求出这两件产品来自不同种类的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：(Ⅰ)解：∵S n+1=3S n+2，∴S n+1+1=3(S n+1)．又∵S1+1=3，∴{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴S n=3n−1,n∈N∗．n=1时，a1=S1=2，n>1时，a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)=2×3n−1．故a n=2×3n−1,n∈N∗．(Ⅱ)证明：∵b n=2×3n−1(3n−1)2<2×3n−1(3n−1−1)(3n−1)=13n−1−1−13n−1,(n>1)∴b1+b2+⋯+b n<12+(131−1−132−1)+(132−1−133−1)+⋯+(13n−1−1−13n−1)=12+12−13n−1<1．解析：(Ⅰ)利用S n+1=3S n+2，推出{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a1，n>1时，利用a n=S n−S n−1，即可求通项公式a n；(Ⅱ)化简b n=a nS n2，通过裂项法求和，得到b1+b2+⋯+b n与1的大小即可．本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：证明：(I)如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵OF//̲12C1D1，AE//̲12C1D1，∴OF//̲AE．∴AOFE是平行四边形，∴EF//OA，而EF⊄平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1；∴EF//平面AB1D1．(II)连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M.则V A−B1D1M =V C−B1D1M，V A−CB1D1=V A−B1D1M+V C−B1D1M=2V A−B1D1M，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴V A−B1D1M =13AM⋅S BDD1B1=13×√3×12×2×2=2√33，∴V A−CB1D1=4√33．解析：(I)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，连接OF ，OA.利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．(II)连接AC 交BD 于点M ，连接D 1M ，B 1M.可得V A−B 1D 1M =V C−B 1D 1M ，V A−CB 1D 1=V A−B 1D 1M +V C−B 1D 1M ，由于四边形BACD 是菱形，BB 1⊥平面ABCD ，可得平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，AM ⊥平面BDD 1B 1，即可得出V A−B 1D 1M =13AM ⋅S BDD 1B 1．本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)，可得1=2p ，即p =12，则抛物线的方程为y 2=x ；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程可得y 2−my −a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−a ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2+y 1y 2 =a 2−a >0，解得a >1或a <0．解析：本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．(1)代入A 的坐标，解方程可得p ，进而得到抛物线方程；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程，运用韦达定理和两斜率数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．21.答案：解(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ln x +1，…(2分)令f′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下：…(6分) 所以，f(x)在(0,+∞)上的极小值是f(1e )=−1e .…(7分)(2)当x ∈(0,1e )，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(−1e ,0)；当x ∈(1e ,+∞)时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是(−1e ,+∞).…(10分)令y =f(x)，y =m ，两函数图象交点的横坐标是f(x)−m =0的解，由(1)知当m <−1e 时，原方程无解；由f(x)的单调区间上函数值的范围知，当m =−1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当−1e <m <0时，原方程有两解．…(13分)解析：(1)求出函数的导数，通过导数为0，判断极值点，即可求f(x)的极小值；(2)利用(1)的结果，讨论函数的单调性，然后解答关于x 的方程f(x)−m =0 (m ∈R)的解的个数．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值点以及函数的单调性，方程的根的个数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα，整理得，4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)a =1时，f(x)≥2，即|2x +1|+|x +1|≥2，故{x ≤−1−3x −2≥2或{−1<x ≤−12−x ≥2或{x >−123x +2≥2，解得：x ≤−43或x ≥0，故不等式的解集是(−∞,−43]∪[0,+∞)；(2)a =−1时，f(x)={−3x,x <−12−x,−1≤x ≤123x,x >12，故f(x)min =f(12)=32．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值以及分类讨论思想，是一道常规题．(1)代入a 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)代入a的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出函数的最小值即可．。

2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷(文科) (解析版)

2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{1，2，3}，则M ∪N ＝（） A ．MB ．NC ．{﹣1，0，1，2，3}D ．{1，2}2．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为（2，﹣1），（0，﹣1），则z 1z 2=（）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i3．已知函数f （x ）是奇函数，且x ＞0时，f(x)=sin πx +12x 2，则f （﹣2）＝（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣34．已知a =√64，b ＝log 54421，c ＝（13）2.9，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b5．已知向量a →与向量m →=（4，6）平行，b →=（﹣5，1），且a →⋅b →=14，则a →=（）A ．（4，6）B ．（﹣4，﹣6）C ．(2√1313，3√1313)D ．(−2√1313，−3√1313)6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的2×2列联表：支付方式性别支付宝支付微信支付男 40 10 女2525附表及公式：K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +dP （K 2＞k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（）A ．在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x ＝2，n ＝2，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（）A ．4B ．10C ．11D ．128．函数f （x ）=x 3−2sinx e|x|的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．9．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，∠ABC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝90°，AB ＝BC ＝BD ＝1，则其外接球的体积为（）A ．3πB ．√22πC ．√32πD ．π210．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+…+a n ＝3n ﹣1，则a 12+a 22+…+a n 2＝（） A ．9n −12B ．9n +12C ．9n −22D ．9n +2211．已知点P 是双曲线C ：x2a2−y 2=1(a ＞0)上的动点，点M 为圆O ：x 2+y 2＝1上的动点，且OM →⋅PM →=0，若|PM |的最小值为√3，则双曲线C 的离心率为（）A ．6√33B ．√3C ．√52D ．√512．已知点A(π24，0)在函数f （x ）＝cos （2ωx +φ）（ω＞0且ω∈N *，0＜ω＜π）的图象上，直线x =π6是函数f （x ）的图象的一条对称轴．若f （x ）在区间(π6，π3)内单调，则φ＝（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题：13．已知函数f （x ）＝x 3+2x ﹣1，则函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为． 14．小王老师2018年的家庭总收入为8万元，各种用途占比统计如图①所示，2019年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2019年的就医费用比2018年增加0.7万元，则小王2019年的家庭总收入为．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（{a ＞b ＞0}）的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x ＝a 的交点为M ，若BM →=2FB →，且△AFM 的面积为9√32，则椭圆的标准方程为．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n （2S n ﹣a n ）＝1．有以下结论：①数列{S n 2}是等差数列；②a n ＜2√n ；③a n a n +1＜1．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．（一）必考题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A ﹣sin A sin C ．（1）求角B 的值；（2）若a +c ＝7，b =√13，求△ABC 的面积．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重试污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[140，150）内．①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI 值在[170，200）的天数的概率．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝2BC ＝2，M 、N 、D 分别为AB 、BB 1、CC 1的中点，E 为线段MN 上的动点．（1）证明：CE ∥平面ADB 1；（2）若将直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1沿平面ADB 1截开，求四棱锥A ﹣BCDB 1的表面积．20．已知曲线C 上的点到点F （1，0）的距离比到直线l ：x +2＝0的距离小1，O 为坐标原点．（1）过点F 且倾斜角为45°的直线与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积；（2）设P 为曲线C 上任意一点，点N （2，0），是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由．21．已知函数f （x ）＝lnx +2x ﹣x 2．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）判断并说明函数g （x ）＝f （x ）﹣cos x 的零点个数．若函数g （x ）所有零点均在区间[m ，n ]（m ∈Z ，n ∈Z ）内，求n ﹣m 的最小值（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB=π4，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3．（1）证明：√ab+√bc+√ac≤3．（2）证明：9ab+bc+4ac≥12abc．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{1，2，3}，则M ∪N ＝（） A ．MB ．NC ．{﹣1，0，1，2，3}D ．{1，2}【分析】进行并集的运算即可．解：∵M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{1，2，3}， ∴M ∪N ＝{﹣1，0，1，2，3}．故选：C ．2．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为（2，﹣1），（0，﹣1），则z 1z 2=（）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i【分析】由已知可得z 1＝2﹣i ，z 2＝﹣i ，代入z 1z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简求值．解：由题意可得z 1＝2﹣i ，z 2＝﹣i ， ∴z 1z 2=2−i −i=(2−i)i −i 2=1+2i ，故选：A ．3．已知函数f （x ）是奇函数，且x ＞0时，f(x)=sin πx+12x 2，则f （﹣2）＝（） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【分析】由已知奇函数可得f （﹣2）＝﹣f （2），代入即可直接求解．解：因为f （x ）是奇函数，所以f(−2)=−f(2)=−[sin π2+12×4]=−3，故选：D ．4．已知a =√64，b ＝log 54421，c ＝（13）2.9，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】先化简，和0，1，b 比较，然后可得出结论．【解答】解析：依题意a =√64=614＞60=1，b =log 54421＜log 541=0，0＜c =(13)2.9＜(13)0=1．故选：B ．5．已知向量a →与向量m →=（4，6）平行，b →=（﹣5，1），且a →⋅b →=14，则a →=（）A ．（4，6）B ．（﹣4，﹣6）C ．(2√1313，3√1313)D ．(−2√1313，−3√1313)【分析】设出向量a →，利用向量的数量积转化求解即可．解：因为向量a →与向量m →=(4，6)平行，可设a →=(k ，32k)，由a →⋅b →=14可得−5k +32k =14，得k ＝﹣4，所以a →=(−4，−6)，故选：B ．6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的2×2列联表：支付方式性别支付宝支付微信支付男 40 10 女2525附表及公式：K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +dP （K 2＞k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（）A ．在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”【分析】由列联表中的数据结合公式求得K 2，再结合临界值表得结论．解：由2×2列联表得到a ＝40，b ＝10，c ＝25，d ＝25，代入K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，解得K 2=100×(1000−250)250×50×65×35≈9.89，∵6.635＜9.89＜10.828，∴有99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选：C ．7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x ＝2，n ＝2，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（）A ．4B ．10C ．11D ．12【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得输入a ＝1时，s ＝0×2+1＝1，k ＝0+1＝1，此时k ＝1＞2不成立；输入a ＝2时，s ＝1×2+2＝4，k ＝1+1＝2，此时k ＝2＞2不成立；输入a ＝4时，s ＝4×2+4＝12，k ＝2+1＝3，此时k ＝3＞2成立；输出的S 的值为12．故选：D ．8．函数f （x ）=x 3−2sinx e|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值求解点的坐标，判断即可．解：由题知f（x）为奇函数，排除D；因为f(1)=1−2sin1e＜0，排除C；又因为f(−32)=−278+2sin32e32＜0，所以排除B，故选：A．9．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，AB＝BC＝BD＝1，则其外接球的体积为（）A．3πB．√22πC．√32πD．π2【分析】把三棱锥A﹣BCD放入棱长为1的正方体中，求出正方体对角线长，得到外接球半径，代入球的体积公式求解．解：如图，将三棱锥A﹣BCD放入棱长为1的正方体中，则其外接球即为正方体的外接球，球半径为R=√32，∴外接球的体积为V=43πR3=√32π，故选：C．10．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+…+a n＝3n﹣1，则a12+a22+…+a n2＝（）A．9n−12B．9n+12C．9n−22D．9n+22【分析】由已知条件推导出a n=(3n−1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n≥2)，由此求出{a n}为等比数列，首项a1＝2，公比为q＝3，从而能求出a12+a22+…+a n2的值．解：a1+a2+⋯+a n=3n−1⋯①当n≥2，a1+a2+⋯+a n−1=3n−1−1⋯②，①﹣②得a n=(3n−1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n≥2)，又a1=31−1=2，符合a n=2⋅3n−1，∴{a n}为等比数列，首项a1＝2，公比为q＝3，∴{a n2}为等比数列，首项a12=4，公比为q2＝9，故选：A．11．已知点P 是双曲线C ：x2a2−y 2=1(a ＞0)上的动点，点M 为圆O ：x 2+y 2＝1上的动点，且OM →⋅PM →=0，若|PM |的最小值为√3，则双曲线C 的离心率为（）A ．6√33B ．√3C ．√52D ．√5【分析】通过向量的数量积为0，结合勾股定理，判断PM 的最小值的位置，利用双曲线的性质，转化求解离心率即可．解：由OM →⋅PM →=0，可得|OM |2+|PM |2＝|OP |2，且|OM |＝1，若|PM |取最小值，则|OP |取最小值，由双曲线的性质可知，当点P 在为双曲线的顶点时，|OP |取最小值a ，此时12+(√3)2=a 2，此时a ＝2，c =√5，所以e =√52，故选：C ．12．已知点A(π24，0)在函数f （x ）＝cos （2ωx +φ）（ω＞0且ω∈N *，0＜ω＜π）的图象上，直线x =π6是函数f （x ）的图象的一条对称轴．若f （x ）在区间(π6，π3)内单调，则φ＝（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【分析】根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出φ即可．解：由题意得，π6−π24=π8≥T 4，得14×2π2ω≤π8，得ω≥2，又因为f （x ）在区间(π6，π3)内单调，所以π3−π6≤T 2，得12×2π2ω≥π6，得ω≤3．所以2≤ω≤3．又因为ω∈N*，所以ω＝2或3．当ω＝2时，cos(4×π24+φ)=0，得φ=kπ+π3，又0＜φ＜π，所以φ=π3，此时直线x=π6是函数f（x）的图象的一条对称轴，且f（x）在区间(π6，π3)内单调．所以φ=π3．当ω＝3时，cos(6×π24+φ)=0，得φ=kπ+π4，又0＜φ＜π，所以φ=π4，此时cos(6×π6+π4)=−√22≠±1，所以直线x=π6不是函数f（x）的图象的一条对称轴．所以ω＝2，φ=π3，故选：B．二、填空题：13．已知函数f（x）＝x3+2x﹣1，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为5x﹣y ﹣3＝0．【分析】先求出函数f（x）＝x3+2x﹣1的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程即可．解：由f（x）＝x3+2x﹣1，得f'（x）＝3x2+2，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝5，又f（1）＝2，∴切线方程为y﹣2＝5（x﹣1），即5x﹣y﹣3＝0．故答案为：5x﹣y﹣3＝0．14．小王老师2018年的家庭总收入为8万元，各种用途占比统计如图①所示，2019年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2019年的就医费用比2018年增加0.7万元，则小王2019年的家庭总收入为10万元．【分析】由题知2018年小王的就医费用，进而得2019年小王的就医费用，即可得出答案．解：由已知得，2018年小王的就医费用为8×10%＝0.8万元，则2019年小王的就医费用为0.8+0.7＝1.5（万元），所以小王2019年生的家庭总收入为1.515%=10（万元）．故答案为：10万元． 15．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（{a ＞b ＞0}）的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x ＝a 的交点为M ，若BM →=2FB →，且△AFM 的面积为9√32，则椭圆的标准方程为24+y 23=1 ．【分析】由BM →=2FB →，且OB ∥AM （O 为坐标原点），可得|OF||AF|=|OB||AM|=13，可得a ，c 的关系，及面积的值可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程．解：由BM →=2FB →，且OB ∥AM （O 为坐标原点），得|OF||AF|=|OB||AM|=13，所以a ＝2c ，|AM |＝3b ，b =√3c ，又因为S △AFM =12(a +c)×3b =9√32，解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3，故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为：x 24+y 23=1．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n（2S n﹣a n）＝1．有以下结论：①数列{S n2}是等差数列；②a n＜2√n；③a n a n+1＜1．其中所有正确命题的序号是①②③．【分析】利用数列的递推关系式，推出{S n2}是等差数列，判断①；求出通项公式判断②；利用通项公式化简证明a n a n+1＜1判断③．2，解：对于①，由条件知，对任意正整数n，有1=(S n−S n−1)(S n+S n−1)=S n2−S n−1又n＝1时，求得S12=1，所以{S n2}是等差数列，故①正确；对于②，由①可知，S n=√n或−√n，显然，当S n=√n时，a n=S n−S n−1=√n−√n−1＜2√n成立；当S n=−√n时，a n=S n−S n−1=√n−1−√n＜0＜2√n，故②正确；对于③仅需考虑a n，a n+1同号的情况即可，可设a n，a n+1均为正，由②得S n=√n，S n+1=√n+1，此时a n=√n−√n−1，a n+1=√n+1−√n，从而a n a n+1=(√n−√n−1)(√n+1−√n)＜(√n+√n−1)(√n+1−√n)＜(√n+1+√n)(√n+1−√n)=1，故③正确；综上，正确的序号①②③．故答案为：①②③．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．（一）必考题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C﹣cos2B＝sin2A﹣sin A sin C．（1）求角B的值；（2）若a+c＝7，b=√13，求△ABC的面积．【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦、余弦定理，即可求得B的值；（2）利用余弦定理和三角形面积公式，即可求出三角形的面积．解：（1）由cos2C﹣cos2B＝sin2A﹣sin A sin C，得sin2B﹣sin2C＝sin2A﹣sin A sin C，由正弦定理得b2﹣c2＝a2﹣ac，即a2+c2﹣b2＝ac，所以cosB=a2+c2−b 22ac=12；又因为0＜B＜π，所以B=π3．（2）由（1）得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，即a2+c2﹣ac＝13，所以（a+c）2﹣3ac＝13，即ac＝12，所以S ABC=12acsinB=12×12×√32=3√3．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重试污染区AQI平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在[140，150）内．①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI值在[170，200）的天数的概率．【分析】（1）设重度污染区AQI平均值为x，根据题意得119×9＝70×2+115×4+3x，解得x．（2）①根据频率分布直方图得11月份AQI 不小于150天的天数，及频率1430，再用1−1430，即可得出答案．②由①AQI 在[170，200）上的有5天，编号设为a ，b ，c ，d ，e ，AQI 在[200，230）上的有2天，编号设为m ，n ，用列举法，列举出7天中抽取两天有10种结果，由古典概率模型计算概率即可．解：（1）设重度污染区AQI 平均值为x ，根据题意得119×9＝70×2+115×4+3x ，解得x ．（2）①AQI 在[140，170）上的有8900×30×30=8天，AQI 在[170，200）上的有5900×30×30=5天， AQI 在[200，230）上的有2900×30×30=2天，所以11月份AQI 不小于150天的共8+5+2﹣1＝14天．即能参加户外活动的概率为P =1−1430=815． ②由①AQI 在[170，200）上的有5天，编号设为a ，b ，c ，d ，e ， AQI 在[200，230）上的有2天，编号设为m ，n ，从7天中抽取两天有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，m ），（a ，n ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，m ），（b ，n ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，m ），（c ，n ），（d ，e ），（d ，m ），（d ，n ），（e ，m ），（e ，n ），（m ，n ），共21种．满足条件的有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ），共10种，所以满足条件的概率为P =1021．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝2BC ＝2，M 、N 、D 分别为AB 、BB 1、CC 1的中点，E 为线段MN 上的动点．（1）证明：CE ∥平面ADB 1；（2）若将直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1沿平面ADB 1截开，求四棱锥A ﹣BCDB 1的表面积．【分析】（1）连接CM、CN，由已知结合三角形中位线定理证明NCDB1为平行四边形，得NC∥DB1，再证明MN∥AB1，由平面与平面平行的判定可得平面MNC∥平面ADB1，从而得到故CE∥平面ADB1．（2）连接BD，证明AB⊥平面BCC1B1，得AB⊥BD，分别求出三角形ABC、三角形ABB1、三角形ACD与梯形BCDB1的面积，再证明AD⊥DB1，求得△ADB1的面积，则四棱锥A﹣BCDB1的表面积可求．【解答】（1）证明：连接CM、CN，∵N、D分别为BB1、CC1的中点，∴NB1=12BB1，C1D=12CC1，又∵BB1∥CC1，BB1＝CC1，∴NCDB1为平行四边形，则NC∥DB1，又∵M为AB的中点，∴MN∥AB1，而CM∩CN＝C，AB1∩DB1＝B1，∴平面MNC∥平面ADB1，又CE⊂平面MNC，故CE∥平面ADB1．（2）解：连接BD，∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1，得AB⊥BD，S△ABC=1×12=12，S△ABB1=2×12=1，S△ACD=1×√22=√22，S梯形BCDB1=(1+2)×12=32，在△ADB1中，AD=√3，AB1=√5，DB1=√2，∴AD2+DB12=AB12，则AD⊥DB1，得S△ADB1=√2×√32=√62，∴四棱锥A﹣BCDB1的表面积为S=12+1+√22+32+√62=3+√2+√62．20．已知曲线C 上的点到点F （1，0）的距离比到直线l ：x +2＝0的距离小1，O 为坐标原点．（1）过点F 且倾斜角为45°的直线与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积；（2）设P 为曲线C 上任意一点，点N （2，0），是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由．【分析】（1）曲线C 上的点到点F （1，0）的距离与到直线l ：x ＝﹣1的距离相等，求出曲线C 的方程为：y 2＝4x ．过点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y 2=4xy =x −1，得y 2﹣4y ﹣4＝0，利用韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝a ，P （x 1，y 1），则以PN 为直径的圆的方程为（x ﹣2）（x ﹣x 1）+y （y ﹣y 1）＝0，将直线x ＝a 代入，利用判别式推出不等式，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为A （a ，y 3），B （a ，y 4），转化求解AB ，推出直线方程即可．解：（1）依题意得，曲线C 上的点到点F （1，0）的距离与到直线l ：x ＝﹣1的距离相等，所以曲线C 的方程为：y 2＝4x ．过点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y 2=4x y =x −1，得y 2﹣4y ﹣4＝0，则y 1+y 2＝4，y 1•y 2＝﹣4，则△MON 的面积：S △MON =12|y 1−y 2|×|OF|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2×1=2√2．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝a ，P （x 1，y 1），则以PN 为直径的圆的方程为（x ﹣2）（x ﹣x 1）+y （y ﹣y 1）＝0，将直线x＝a代入，得y2﹣y1y+（a﹣2）（a﹣x1）＝0，则△=y12−4(a−2)(a−x1)=4[(a−1)x1+a(2−a)]＞0，设直线l与以PN为直径的圆的交点为A（a，y3），B（a，y4），则y3+y4＝y1，y3•y4＝（a﹣2）（a﹣x1），于是有|AB|=|y3−y4|=√4[(a−1)x1+a(2−a)]=2√(a−1)x1+a(2−a)，当a﹣1＝0，即a＝1时，|AB|＝2为定值．故满足条件的直线l存在，其方程为x＝1．21．已知函数f（x）＝lnx+2x﹣x2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）判断并说明函数g（x）＝f（x）﹣cos x的零点个数．若函数g（x）所有零点均在区间[m，n]（m∈一、选择题，n∈Z）内，求n﹣m的最小值【分析】（1）求导，判断导函数与0的关系，即可求得单调性情况；（2）分x∈（0，1），x∈[1，π2)，x∈[π2，3)以及x∈[3，+∞）四种情况，利用导数结合零点存在性定理即可得出结论．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=1x +2−2x=−2x2+2x+1x，令f′（x）＝0，得x1=1+√32，x2=1−√32（舍），当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减．（2）g（x）＝lnx+2x﹣x2﹣cos x，①当x∈（0，1）时，g′(x)=1x+2−2x+sinx，又f′(x)=1x+2−2x单调递减，故g′（x）＞1+2﹣2+0＝1，∴g（x）在（0，1）单调递增，又g(1)=1−cos1＞0，g(14)=ln14+12−116−cos14＜0，∴存在唯一x1∈（0，1），使得g（x1）＝0；②当x∈[1，π2)时，g′(x)=1x+2−2x+sinx，g″(x)=−1x2−2+cosx＜0，∴g′（x）单减，又g′(π2)=2π+2−π+1＞0，故g′（x）＞0，∴g （x ）在[1，π2)上单增，又g （1）＝1﹣cos1＞0，故g （x ）＞0，此时不存在零点；③当x ∈[π2，3)时，g′(x)=1x +2−2x +sinx ，g″(x)=−1x 2−2+cosx ＜0， ∴g ′（x ）单减，又g′(π2)＞0，g′(2)=12+2−4+sin2＜0， ∴存在x 0∈[π2，2)，使得g ′（x 0）＝0，且当x ∈[π2，x 0)时，g ′（x ）＞0，g （x ）单增，当x ∈（x 0，3）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单减，又g(π2)=ln π2+π−π24＞0，g(2)=ln2−cos2＞0，g(3)=ln3+6−9−cos3＜0， ∴存在唯一x 2∈（2，3），使得g （x 2）＝0；④当x ∈[3，+∞）时，g （x ）＜x ﹣1+2x ﹣x 2+1＝﹣x 2+3x ≤0，故不存在零点．综上，g （x ）存在两个零点x 1∈（0，1），x 2∈（2，3），∴n ﹣m 的最小值为3．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB =π4，求△OAB 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ（Ⅱ）根据极径的几何意义、面积公式、三角函数的性质可得．解：（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ（Ⅱ）极坐标系OX 中，不妨设A （ρ1，θ0），B （ρ2，θ0+π4），其中ρ1＞0，ρ2＞0，−π2＜θ＜π2，由（Ⅰ）知：ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos （θ0+π4），∴△OAB 的面积S =12ρ1ρ2sin π4=4√2cos θ0cos （θ0+π4），S ＝4cos 2θ0﹣4sin θ0cos θ0＝2cos2θ0﹣2sin θ0+2＝2√2cos （2θ0+π4）+2，当2θ0=−π4时，即θ0=−π8，cos （2θ0+π4）有最大值1，此时S max ＝2+2√2，故△OAB 的面积的最大值为2+2√2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝3．（1）证明：√ab +√bc +√ac ≤3．（2）证明：9ab +bc +4ac ≥12abc ．【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明，（2）方法一：利用分析法，根据基本不等式即可证明，方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明．【解答】证明：（1）∵a ，b ，c 为正数，∴a +b ≥2√ab ，a +c ≥2√ac ，b +c ≥2√bc ，∴2（a +b +c ）≥2√ab +2√bc +2√ac ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴√ab +√bc +√ac ≤3．（2）方法一：要证9ab +bc +4ac ≥12abc ，只需证1a+4b +9c ≥12，即证（1a +4b +9c ）（a +b +c ）≥36，即证1+4+9+4a b+b a +9a c +c a +9b c +4c b ≥36，即证4a b +b a +9a c +c a +9b c +4c b ≥22，因为4a b +b a ≥2√4=4，9a c +c a ≥2√9=6，9b c +4c b ≥2√36=12， ∴4a b +b a +9a c+c a +9b c +4c b ≥22，当且仅当a =12，b ＝1，c =32取等号，从而9ab +bc +4ac ≥12abc ．方法二：要证9ab +bc +4ac ≥12abc ，只需证1a +4b+9c≥12，即证（1a +4b+9c）（a+b+c）≥36，根据柯西不等式可得（1a+4b+9c）（a+b+c）≥（√a×√a+√b×√b+√c×√c）2＝（1+2+3）2＝36，当且仅当a=12，b＝1，c=32取等号．从而9ab+bc+4ac≥12abc．。

2020年四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)

2020年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,x}，B ={0,2，4}，若A ⊆B ，则实数x 的值为( )A. 0或2B. 0或4C. 2或4D. 0或2或4 2. 若复数z 满足zi =2+5i(i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为( )A. (2,5)B. (2,−5)C. (−5,2)D. (5,−2)3. 命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤0的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +1>0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+1>0D. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+1<0 4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=2x −2−x ，则f(log 23)=( )A. 2B. 83C. 3D. 1036. 已知实数x ，y 满足{x −1≥0,y −2≥0,x +y −5≤0则z =2x +y 的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 107. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20√2m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．则观赛场地的面积最大值为( )A. 400m 2B. 400√2m 2C. 600m 2D. 800m 28. 在等比数列{a n }中，已知a n a n+1=9n ，则该数列的公比是( )A. −3B. 3C. ±3D. 9 9. 已知函数f(x)=x 3−3x ，则“a >1”是“f(a)>f(1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且π6≤∠F1AF2≤π4，则该双曲线离心率的取值范围是()A. [√5,√13]B. [√5,3]C. [3,√13]D. [√7,3]11.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1.有下列结论：①三棱锥P−ABC的三条侧棱长均相等；②∠PAB的取值范围是(π4,π2 )；③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为2π3；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为√6+√22．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④12.已知函数f(x)=Asin(ωx+π4)−1(A>0,0<ω<1)的图象经过点(0,√22)，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，若对任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，则实数t的最大值是()A. 3π4B. 2π3C. 7π12D. π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,λ)，b⃗ =(2,3)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数λ的值为______．14.已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ŷ=b̂x+â，若下一次实验中x=170，利用该回归直线方程预测得ŷ=117，则b̂的值为______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=5，S5=10，且{S nn}是等差数列．则|a1|+|a2|+|a3|+⋯…+|a10|的值为______．16.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A，B点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点M.则4p|FM|的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．(Ⅰ)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；(Ⅱ)从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−c)sin(A+B)=(a−b)(sinA+sinB)．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=4，求a+c的最大值．19.如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，BC//AD，BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分别为EF，CD的中点．(Ⅰ)求证：MN//平面ACF；(Ⅱ)若DE=2，求多面体ABCDEF的体积．20.已知函数f(x)=e xe m−lnx，其中m∈R．(Ⅰ)当m=1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当m=2时，证明：f(x)>0．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−√3,0)，点Q(1,√32)在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)经过圆O ：x 2+y 2=5上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点．(i)当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1k 2=−1； (ii)求|AB||MN|的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−83+√22ty =43+√22t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+6ρcosθ=a ，其中a >0． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)在平面直角坐标xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P(−83,43)恰为线段AB 的三等分点，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(Ⅰ)求不等式f(x)<x 的解集；(Ⅱ)记函数f(x)的最大值为M.若正实数a ，b ，c 满足a +4b +9c =13M ，求1−9c ab +a−3c ac的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的包含关系，比较基础．由A⊆B得A中元素一定在B中，求出x．【解答】解：因为A={0,x}，B={0,2，4}，A⊆B，所以x=2，4．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，得到其坐标得答案．【解答】解：由zi=2+5i，∴z=2+5ii =(2+5i)ii2=5−2i，∴z=5−2i在复平面上所对应的点的坐标为(5,−2)．故选：D．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查全称量词命题与存在量词命题的相互转化问题．这里注意全称量词命题的否定为存在量词命题，反过来存在量词命题的否定是全称量词命题．根据命题“∃x0∈R，x02−x0+1≤0”是特称量词命题，其否定为全称量词命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“>”即可得答案【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x02−x0+1≤0”是存在量词命题∴命题的否定为∀x∈R，x2−x+1>0．故选：A．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的转换能力的应用，属于基础题型．直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为柱体．当选A时，正视图的中间的竖线为虚线．选项BCD 正确．故选：A ． 5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，考查指数对数的运算性质，属于基础题目．直接根据指数对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为函数f(x)=2x −2−x ，则f(log 23)=2log 23−2−log 23=3−13=83；故选：B ． 6.【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足{x −1≥0,y −2≥0,x +y −5≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3,2)，B(1,2)，C(1,4) 设z =F(x,y)=2x +y ，将直线l ：z =2x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3,2)=2×3+2=8．故选：C ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x +y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =2时，z =2x +y 取得最大值8．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =2x +y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：由题意矩形的另两个顶点在半圆轴上时，矩形面积才能取得最大值，OD =20√2m ，设矩形在半圆板直径上的一边长为2x ，θ角如图所示，则x =20√2cosθ，另一边的长为CD =20√2sinθ，矩形面积为S =1600sinθcosθ=800sin2θ，当2θ=90°即θ=45°时，也即长为40√2cos45°=40，宽为20√2sin45°=20时，矩形面积最大．最大面积是800m 2．故选：D ．用圆的半径为20√2m 与图中所示的角(可设出)表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题．由已知a n a n+1=9n,利用递推关系结合等比数列的通项公式即可求解公比q．【解答】解：由a n a n+1=9n>0，当n⩾2时，∴a n a n+1a n−1a n =a n+1a n−1=9n9n−1=9，∴q2=9，故q=3或q=−3，当q=−3时，a n a n+1=(−3)×a n2<0与a n a n+1=9n>0，矛盾，所以不符合题意．故选：B．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3x2−3=(x2−1)，令f′(x)=0，解得x=±1，当−1<x<1时，f′(x)<0，当x<−1，或x>1时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，当a>1时，f(a)>f(1)，充分性成立，当f(a)>f(1)，不能得到a>1，故必要性不成立，故选：A．先判断函数的单调性，再根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．由题意画出图形，求得tan∠F1AF2=2ab ，再由π6≤∠F1AF2≤π4求得ba的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．【解答】解：如图，由题意，A(c,bac)，|F1F2|=2c，则tan∠F1AF2=|F1F2||AF2|=2cbac=2ab．由π6≤∠F1AF2≤π4，得√33≤2ab≤1，即2≤ba≤2√3．∴e=ca=√1+(ba)2∈[√5,√13].故选：A．11.【答案】C【解析】解：如图1所示：∵AB⊥BC，D为AC的中点，∴AD=BD= DP=DC=1，而PD⊥平面ABC，∴PA=PB=PC=√2，①正确；在△PAB中，PA=PB=√2，而AB<AD+BD=2，∴cos∠PAB=2√2<√22，因为0<∠PAB<π，所以∠PAB的取值范围是(π4,π2)，②正确；∵AD=BD=DP=DC=1，所以三棱锥P−ABC的外接球球心为D，即半径R=1，故其外接球的体积为4π3，③错误；当AB=BC时，BD⊥AC，所以AB=BC=√2，即△ABC为正三角形，沿PC将侧面PBC展开到平面PAC，如图2所示，连接BD，所以BD即为DE+BE的最小值．在△DCB中，CD=1，BC=√2，∠DCB=45°+60°=105°，所以BD2=1+2−2×1×√2×cos105°，解得BD=√6+√22，④正确．故选：C．作出图象，依据条件逐个判断各命题即可解出．本题主要考查棱锥的结构特征的理解和应用，三棱锥外接球的计算以及利用展开图求最值，考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了本题考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据题意，可解得A=1+√2，由题，将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，即3π是该函数最小正周期的整数倍，k⋅2πω=3π(k∈z)，因为0<ω<1，得ω=23.求得函数解析式．根据任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，转化为x∈[0,t]，2f(x)min≥f(x)max，根据三角函数的单调性及最值，即可求得t的最值．【解答】解：∵函数f(x)=Asin(ωx+π4)−1(A>0,0<ω<1)的图象经过点(0,√22)，∴√22A−1=√22，故A=1+√2．且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，∴k⋅2πω=3π，k∈z，∴ω=23k，k∈z，∵0<ω<1，∴ω=23．f(x)=(1+√2)sin(23x+π4)−1．当x∈[0,t]，23x+π4∈[π4,23t+π4]，∵对任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，即x∈[0,t]，2f(x)min≥f(x)max，①当23t+π4≤π2，2f(x)min=2[(√2+1)sinπ4−1]=√2，f(x)max=(√2+1)sinπ2−1=√2.∴2f(x)min≥f(x)max成立．又∵23x+π4=π4与23x+π4=3π4对称，所以23t+π4≤3π4时，2f(x)min≥f(x)max恒成立；②当23t+π4>34π时，f(x)max=(√2+1)sinπ2−1=√2．2f(x)min<√2，即2f(x)min≥f(x)max不成立．综上所述，对任意的x1，x2∈[0,t]，2f(x1)≥f(x2)成立，2 3t+π4≤3π4，即t≤3π4．故选：A．13.【答案】−23【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,λ)，b ⃗ =(2,3)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2+3λ=0，则实数λ=−23，故答案为：−23．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出λ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】135251【解析】【分析】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．由已知表格中的数据求得样本点的中心坐标，代入回归方程，再把点(170,117)代入回归方程，联立方程组求解b ̂的值．【解答】解：由已知表格中的数据，求得x −=120+110+125+130+1145=119.8，y −=92+83+90+96+895=90．则119.8b ̂+a ̂=90，① 又170b ̂+a ̂=117，② 联立①②解得b ̂=135251．故答案为：135251．15.【答案】792【解析】解：由于{Snn }是等差数列．所以S55−S 11=4d ，解得d =2−54=−34，所以Snn=5−34(n −1)，整理得S n =5n −34n 2+34n =−34n 2+234n ．故a n =S n −S n−1=−32n +132(n ≥2)．所以：|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯…+|a 10|=5+72+2+12+1+52+82+112+142+172=792．故答案为：792．首项求出数列的通项公式，进一步求出含绝对值的数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 16.【答案】2 【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(p 2,0)，由题意可得直线AB 的方程为：x =y +p 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与抛物线的方程联立{x =y +p 2y 2=2px，整理可得：y 2−2py −p 2=0，则y 1+y 2=2p ，x 1+x 2=y 1+y 2+p =3p ，所以弦AB 的中点C(3p 2,p)，所以弦AB 的中垂线的方程为：y −p =−(x −3p 2)，令y =0，可得x =5p 2，即M(5p 2,0)，所以|FM|=|5p2−p 2|=2p ，所以4p |FM|=4p 2p =2，故答案为：2．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由题意可得直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦AB 的中点坐标，再求弦AB 的中垂线的方程，令y =0，求出M 的横坐标，进而求出|FM|的值，再求出4p|FM|的值．本题考查抛物线的性质及线段中垂线的求法，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1120=55%．∵55%<65%，故不需要对该销售小组发放奖励．(Ⅱ)由题意，可得月均销售额不低于3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为A 1，A 2，其余的记为a 1，a 2，a 3．从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：(A 1,A 2)，(A 1,a 1)，(A 1,a 2)，(A 1,a 3)，(A 2,a 1)，(A 2,a 2)，(A 2,a 3)，(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 2,a 3).共有10种．其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：(A 1,A 2)，(A 1,a 1)，(A 1,a 2)，(A 1,a 3)，(A 2,a 1)，(A 2,a 2)，(A 2,a 3)，共有7种．故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为P =710．【解析】(Ⅰ)利用列举法求出该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，从而月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1120=55%.由此能求出不需要对该销售小组发放奖励．(Ⅱ)月均销售额不低于3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为A1，A2，其余的记为a1，a2，a3.从上述5名销售员中随机抽取2名，利用列举法能求出选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，(a−c)sin(A+B)=(a−b)(sinA+sinB)，即(a−c)sinC=(a−b)(sinA+sinB)，再利用正弦定理可得c(a−c)=(a−b)(a+b)，整理可得a2+c2−b2=ac，故cosB=a2+c2−b22ac =12，∴在△ABC中，B=π3．(Ⅱ)∵b=4，∴a2+c2−16=ac，∴(a+c)2=16+3ac≤16+3(a+c2)2，当且仅当a=c时等号成立．∴(a+c)24≤16，故a+c≤8，即a+c的最大值为8．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．(Ⅰ)由题意利用正弦定理、余弦定理求得cos B的值，可得角B的大小．(Ⅱ)由题意利用基本不等式，求得a+c的最大值．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，取AD的中点O.连接OM，ON．在矩形ADEF中，∵O，M分别为线段AD，EF的中点，∴OM//AF．又OM⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴OM//平面ACF．在△ACD中，∵O，N分别为线段AD，CD的中点，∴ON//AC．又ON⊄平面ACF，AC⊂平面ACF，∴ON//平面ACF．又OM∩ON=O，OM，ON⊂平面MON，∴平面MON//平面ACF．又MN⊂平面MON，∴MN//平面ACF．(Ⅱ)解：如图，过点C作CH⊥AD于H．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，CH⊂平面ABCD，∴CH⊥平面ADEF．同理DE⊥平面ABCD．连接OB，OC.在△ABD中，∵AB⊥BD，AD=4，∴OB=12AD=2．同理OC=2．∵BC=2，∴等边△OBC的高为√3，即CH=√3．连接BE．∴多面体ABCDEF的体积为：V ABCDEF=V B−ADEF+V B−CDE=V B−ADEF+V E−BCD=13S ADEF⋅CH+13S△BCD⋅DE=13×2×4×√3+1 3×12×2×√3×2=10√33．【解析】(Ⅰ)取AD的中点O.连接OM，ON.推导出OM//AF.从而OM//平面ACF.进而ON//AC.ON//平面ACF.平面MON//平面ACF.由此能证明MN//平面ACF．(Ⅱ)过点C作CH⊥AD于H.则CH⊥平面ADEF.同理DE⊥平面ABCD.连接OB，OC.连接BE.由V ABCDEF=V B−ADEF+V B−CDE=V B−ADEF+V E−BCD，能求出多面体ABCDEF的体积．本题考查线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)，当m=1时，f(x)=e xe −lnx.则f′(x)=e xe−1x，令ℎ(x)=f′(x)=e xe −1x，则ℎ′(x)=e xe +1x2>0，∵f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(Ⅱ)证明：当m=2时，f(x)=e xe2−lnx.则f′(x)=e xe2−1x．∵f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=1e −1<0，f′(2)=1−12>0，∴存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0．∴当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,x0)上单调递减；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(x0,+∞)上单调递增，∴f(x)最小值=f(x0)=e x0e2−lnx0．又e x0e2=1x0，即lne x0−2=ln1x.化简，得x0−2=−lnx0．∴f(x)最小值=e x0e2−lnx0=1x0+x0−2．∵x0∈(1,2)，∴f(x)最小值=1x0+x0−2>2√1x0⋅x0−2=0．∴当m=2时，f(x)>0．【解析】(Ⅰ)代入m=1，求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)代入m=2，求出函数的导数，表示出函数的最小值，得到lne x0−2=ln1x0，求出函数的最小值，结合不等式的性质证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及基本不等式的性质，是一道综合题． 21.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆C 的左焦点F 1(−√3,0)，∴c =√3．将Q(1,√32)代入x 2a 2+y 2b 2=1，得1a 2+34b 2=1．又a 2−b 2=3，∴a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)(i)证明：设点P(x 0,y 0)，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为y =k(x −x 0)+y 0．由{y =k(x −x 0)+y 0x 2+4y 2−4=0，消去y ，得(1+4k 2)x 2+8k(y 0−kx 0)x +4(y 0−kx 0)2−4=0， △=64k 2(y 0−kx 0)2−4(4k 2+1)[4(y 0−kx 0)2−4]．令△=0，整理得(4−x 02)k 2+2x 0y 0k +1−y 02=0．由已知，则k 1k 2=1−y 024−x 02．又x 02+y 02=5，∴k 1k 2=1−(5−x 02)4−x 02=x 02−44−x 02=−1． (ii)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为y =k 1(x −x 1)+y 1．由{y =k 1(x −x 1)+y 1x 2+4y 2−4=0，消去y ，得(1+4k 12)x 2+8k 1(y 1−k 1x 1)x +4(y 1−k 1x 1)2−4=0． Δ=64k 12(y 1−k 1x 1)2−4(1+4k 12)[4(y 1−k 1x 1)2−4]．令△=0，整理得(4−x 12)k 12+2x 1y 1k 1+1−y 12=0．则k 1=−x 1y 14−x 12=−x 1y 14y 12=−x14y 1． ∴直线PA 的方程为y =−x14y 1(x −x 1)+y 1．化简，可得x 1x +4y 1y =4y 12+x 12，即x 1x 4+y 1y =1．经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为x =2或x =−2，也满足x 1x 4+y 1y =1．同理，可得直线PB 的方程为x 2x 4+y 2y =1．∵P(x 0,y 0)在直线PA ，PB 上，∴x 1x 04+y 1y 0=1，x 2x 04+y 2y 0=1． ∴直线AB 的方程为x 0x 4+y 0y =1．由{x 0x 4+y 0y =1x 2+4y 2=4，消去y ，得(3y 02+5)x 2−8x 0x +16−16y 02=0． ∴x 1+x 2=8x 03y 02+5，x 1x 2=16−16y 023y 02+5．∴|AB|=√1+x 0216y 02|x 1−x 2|=√15y 02+516y 02[64x 02−4(3y 02+5)(16−16y 02)(3y 02+5)2]=2√53y 02+5√3y 02+1y 02(3y 04+y 02)=2√5(3y 02+1)3y 02+5．又由(i)可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM ⊥PN ；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM ⊥PN ．∴MN 为圆O 的直径，即|MN|=2√5．∴|AB||MN|=2√5(3y 02+1)022√5=3y 02+13y 02+5=1−43y 02+5．又y 02∈[0,5]， ∴1−43y 02+5∈[15,45]． ∴|AB||MN|的取值范围为[15,45]．【解析】(Ⅰ)由焦点坐标和Q 满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)(i)由已知椭圆方程求出A ，B 的坐标，设P(x 0,y 0)(−2≤x 0≤2)，由斜率公式及点P 在椭圆上即可得到k 1⋅k 2是定值−1；(ii)求得直线AP ，BP 的方程，进而得到AB 的方程，再与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，利用弦长公式表示出|MN|，即可求得范围．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线方程和曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档偏难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =−83+√22t y =43+√22t(t 为参数)，消去此时t ，可得直线l 的普通方程为x −y +4=0；由ρ2+6ρcosθ=a ，结合ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+6x −a =0；(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2+5√23t −649−a =0．则△>0，且t 1+t 2=−5√23,t 1t 2=−(649+a)．由题意，不妨设t 1=−2t 2， ∴t 2=5√23，t 1=−10√23，得到−1009=−649−a ，即a =4，符合△>0．∴a 的值为4．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．(Ⅰ)直接把直线参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合题意求解a 值．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)<x ，即|x −1|−|x +2|<x ，①当x ≥1时，化简得−3<x ，解得x ≥1；②当−2<x<1时，化简得−2x−1<x，解得−13<x<1；③当x≤−2时，化简得3<x，此时无解；综上，不等式的解集为(−13,+∞)．(Ⅱ)∵|x−1|−|x+2|≤|(x−1)−(x+2)|=3，当且仅当x≤−2时等号成立，∴M=3，即a+4b+9c=1，∵1−9cab +a−3cac=a+4bab+1c−3a=1a+1b+1c，又a，b，c>0，∴1a+1b+1c=(1a+1b+1c)(a+4b+9c)≥(a √a+√b⋅√4bc√9c)2=(1+2+3)2=36，当且仅当1aa=1b4b=1c9c，即a=16，b=112，c=118时取等号，∴1−9cab +a−3cac的最小值为36．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的取值范围，可得不等式的解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式求出f(x)的最大值为M，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．。

2020年四川省雅安市高三数学第三次诊断性考试理科试题

雅安市2020年高三第三次诊断性考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：1、设全集U R =，集合{|2}A x x =≥-，集合{|3}B x x =<，则()U C A B I =（）A 、{|23}x x -≤<B 、{|2}x x ≤-C 、{|3}x x <D {|2}x x <- 2、点(1,2)A -在直线cos 240x y θ--=的（）A 、上方B 、下方C 、线上D 、位置视θ而定3、若2()f x ax x c =--，且不等式()0f x >的解集为(2,1)-，则函数()y f x =-的图象为（）4、函数2()31f x ax ax =++，若()()f x f x '>对一切x 恒成立，则实数的取值范围是（）A 、413a <B 、0a ≥C 、4013a <<D 、4013a ≤< 5、已知P ：12x>，Q ：1x <，则Q 是P 的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 6、已知点(1,2)A ，过点(5,2)-的直线与抛物线24y x =交于另外两点B 、C ，那么ABC ∆ 是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、锐角或钝角三角形7、已知向量(,)n p a n =u r ，1(,1)n q a n +=+r ，（*n N ∈），若13a =，//p q u r r ，则数列{}n a 的通项n a 等于（）A 、2n +B 、35n +C 、3nD 、5n 8、已知2cos 23x =，则44sin cos x x +的值为（） A 、1318 B 、1118 C 、79D 、1 9、在正方体1111ABCD A B C D -中，与1AB 所成角为60°的棱和面对角线共有（）A 、4条B 、5条C 、8条D 、9条 10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12009a =，20092007220092007S S -=-，则2009S =（）A 、2020B 、2020C 、2020D 、2020 11、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M =-的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（） A 、15 B 、16 C 、82 D 、5212、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为（）A 、715 B 、815 C 、813 D 、713第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷(文科) (解析版)

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合M={x|x>0,x∈R}，N={x||x−1|≤2,x∈Z}，则M∩N=()A. {x|0<x≤2,x∈R}B. {x|0<x≤2,x∈Z}C. {−1,−2,1，2}D. {1,2，3}2.复数z=3−i1−i等于()A. 2−iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i3.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. √2−1B. 4(√2−1)π2C. 4(√2+1)π2D. 164.等比数列{a n}中，a2a4=16，则a1a5=()A. 4B. 16C. −4D. −165.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，θ为向量a⃗+b⃗ 与向量a⃗的夹角，那么cosθ=()A. 12B. √22C. √32D. 06.若函数f(x)=e x(sinx+a)在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为()A. [√2,+∞)B. (1,+∞)C. [−1,+∞)D. (√2,+∞)7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图，则f(x)=()A. f(x)=2sin(4x+π3)B. f(x)=2sin(4x−π3)C. f(x)=2sin(43x−8π9)D. f(x)=2sin(43x+8π9)8.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定()A. 与a，b都相交B. 只能与a，b中的一条相交C. 至少与a，b中的一条相交D. 与a，b都平行9.执行如图所示的程序框图，则输出的S等于()A. 19B. 42C. 47D. 8910.已知F1(−c,0)，F2(c,0)分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点，抛物线y2=4cx与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|=4a+c，则双曲线的离心率为()A. 3B. √3C. 2D. √211.关于曲线C：x2+y2=|x|+|y|，给出下列五个命题：①曲线C关于x轴对称；②曲线C关于y轴对称；③曲线C关于y=x对称；④曲线C关于原点对称；⑤曲线C所围成的区域面积大于6．其中正确的命题个数为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=lnx+12ax2−2√2x有两个极值点，则a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (0,3)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={log3x,x>0,(12)x,x≤0,则f(f(19))=________．}的前n项和，则14.设{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，S7=7，S15=75，已知T n为数列{S nn T n=______ ．15.生产一台甲型机器需A材料2吨，B材料3吨，生产一台乙型机器需A材料3吨，B材料2吨，仓库存有A、B两种材料各60吨．一台甲型机器可获利3000元，一台乙型机器可获利4000元，则以仓库现有材料生产甲、乙两种型号的机器所获最大利润为______元．16.已知直线l：y=x+b与抛物线C：y2=4x相切，则b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某班50名学生在一次百米测试中，成绩(单位：秒)全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率．18.已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC=√3,a=3，(b−3a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(Ⅰ)求sin B的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，且AB//CD，AB=AD=2DC=2，AB⊥面PAD，M是PB的中点．(Ⅰ)求证：CM//面PAD；(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积．20.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．(Ⅰ)求f(x)−g(x)的极值；(Ⅱ)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．21.已知点Q是圆M：(x+√5)2+y2=36上的动点，点N(√5,0)，若线段QN的垂直平分线MQ于点P．(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程(Ⅱ)若A是轨迹E的左顶点，过点D(−3,8)的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．)=1，22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程是√2ρsin(θ+π4 )在直线l上．以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，点Q(ρ,π2且两坐标系取相同的单位长度．(I)求曲线C及直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|QA|+|QB|的值．23.已知不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a，b的值；(x∈A)的最小值．(2)求函数f(x)=(2a+b)x−1(a−b)(x−1)-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．解：集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|≤2,x ∈Z}={x|−1≤x ≤3,x ∈Z}={−1,0，1，2，3}，则M ∩N ={1,2，3}．故选D ．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z ．解：z =3−i1−i =(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i 2=2+i ，故选B ．3.答案：B解析：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S(Ω)=π2×π2=π24，满足所投的点落在阴影图内所对应的几何度量： S(A)=∫(π40cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)|0π4=√2−1；所以P(A)=S(A)S(Ω)=4(√2−1)π2．故选：B ．利用定积分求得阴影部分的面积，再计算对应的面积比即可．本题考查了利用定积分求平面区域面积和几何概型的概率计算问题，是基础题．4.答案：B。

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