具吸收项的发展型P-Laplace方程组解的存在惟一性

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拉普拉斯(Laplace)方程

1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))，在Ω上连续，并且在Γ上的任一点沿着Γ的单位外法向量n的方向导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导出Laplace方程的另一个著名实例来自牛顿的万有引力理论。由牛顿的万有引

§ 5.1 线性微分方程组解的存在唯一性定理

§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x x 0 0 1 0 0 f (t ) an (t ) an 1 (t ) a2 (t ) a1 (t )
1 1 (t ) 0 1(t ) 0 (t ) q(t ) p(t ) (t ) f (t ) 2 2
1 (t ) x 2 (t )
解
2 (t ) q ( t ) ( t ) p ( t ) ( t ) f ( t ) 1 2 0 x1 (t0 ) 1 , x2 (t0 ) 2 x
1 0 x q ( t ) p ( t ) f ( t )
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
x(n) a1 (t ) x( n1) an1 (t ) x an (t ) x f (t )
等价
1 0 0 0 x 0 0 an (t ) an1 (t ) 0 0 0 1 0 x 0 1 0 a2 (t ) a1 (t ) f (t ) 0
x1 x dx x 2 ……(5.3) dt xn
………….(5.4)
dx x A(t ) x f (t ) dt
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。

《常微分方程》第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理

x
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d

MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0

x0 )n d

MLn (x (n 1)!
x0 ) n1

y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method

【国家自然科学基金】_p-laplace_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

科研热词正解奇异脉冲微分方程存在性非线性边界问题非局部边值问题锥退化边值问题能量水平爆破极值原理整体存在性拟线性抛物方程组惟一性对称奇异边值问题多点边值问题唯一性可解性发展型p-laplace方程组乘积锥不动点理论不动点指数定理不动点指数不动点定理 p-laplace算子 p-laplace方程组 p-laplace m点边值问题 laplace方程
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
53 avery-peterson不动点定理
1
2011年科研热词 p-laplace算子 p-laplace方程非齐次边值问题重合度退化约束变分问题特征值水平集正解极小极大方法本性局部凸整体分支振动性抛物方程组常p-laplace系统山路引理对称性临界点原理存在性图像分割四阶边值问题周期解变分共振偏微分方程伪梯度流临界点不变集不动点定理 p-拉普拉斯方程 p-laplacian算子 leray-schauder度 hlder不等式推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
科研热词推荐指数正解 6 锥 4 极大单调算子 3 广义p-laplace算子 3 边值问题 2 超线性 2 耦合奇异边值问题 2 喷泉定理 2 伪单调算子 2 不动点理论 2 不动点 2 positive solution 2 cerami条件 2 鞍点定理 1 非齐次发展型p-laplacian方程 1 非线性dirichlet或neumann边值问题 1 积分微分方程 1 爆破 1 混合边值条件 1 时间测度链 1 时间尺度 1 强制位势 1 度理论． 1 常维p-laplace系统 1 常p-laplace系统 1 四阶边值问题 1 同宿解 1 具混合边值条件的积分微分方程 1 全局存在 1 值域和 1 临界指标 1 上下解 1 wirtinger不等式 1 sturm-liouville型 1 sturm-liouville-like 1 sobolev不等式 1 p—laplace方程 1 p-laplace算子 1 p-laplace equation, neumann boundary 1 value, upper p-laplace 1 neumann边值问题 1 hemi连续映射 1 fixed point theorem 1 coupled singular boundary value 1 problem cone 1 bai-ge不动点定理 1 bai-ge fixed point theorem 1

解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词一阶微分方程不动点定理解的存在性唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。

在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。

定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。

则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。

取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题 1：先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证：因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

第四章基本定理-41存在唯一性定理

（4.1.4）推出
yk2 x yk1 x
x
x0 f
x, yk1 x f
x, yk x dx ,
再利用Lipschitz条件和归纳法假设，有
yk2 x yk1 x
x x0
L
yk1 x
yk
x
dx
k 1
k2
M x L x x0
dx M L x x0
在 x, y平面上经过每一点有且只有一个解。
关于比卡定理x, y 在矩形区域
D : x x0 a, y y0 b 上关于 y 满足
Lipschitz条件，则 f x, y在D 上关于 y
是连续的。有时也称为是Lipschitz连续的。附注4.1.2 对于给定的在 D 上有定义的函数
的收敛性。下面证明级数（4.1.5）在I上是一致
收敛的。为此我们用归纳法证明不等式
yn1 x
yn
x
M L
L x x0
n1
,
n 1!
n 0,1, 2,L （4.1.6）
在I上成立。
事实上，当 n 0 时，由上面的讨论知（4.1.6）
成立。假设当 n k 时，（4.1.6）成立，先由
x f x, y dx
x0
x
x0 L yk y dx
x L MLk x x0 k1 dx
x0
k 1!
MLk1
x x0
k2
k 2!
由归纳假设，命题成立。
例题判断下列方程在什么样的区域上保证初值的解存在且唯一。
1 y=x2 +y2;
2
-1
y=x 3 ;
3 y= y y 0.
x
y2

5.1 毕卡存在唯一性定理

Peano存在性定理定理5.2 考虑初值问题
(E)
dy dx
=
f
(x,
y),
y(x0 )
=
y0,
其中f (x, y)在矩形区域
R：| x − x0 |≤ a,| y − y0 |≤ b 内连续；
⇒⇒ 则(E)在区间I = [x0 − h, x0 + h]上有并且只有一个解，其中常数 Nhomakorabeah
=
min {a,
• 5.1 Picard 存在唯一性定理
中心定理 − 毕卡存在唯一性定理的叙述定理5.1 考虑初值问题
(E)
dy dx
=
f
(x,
y),
y(x0 )
=
y0,
其中f (x, y)在矩形区域
R：| x − x0 |≤ a,| y − y0 |≤ b 内连续，且对y满足L - 条件
⇒⇒ 则(E)在区间I = [x0 − h, x0 + h]上有并且只有一个解，其中常数
-
ψ(x)
∫|=| x x0
[f
(s,
ϕ(s))
−
f
(s,
ψ
(s))]
ds
|
≤
x
∫x0
|
f
(s,
ϕ(s))
−
f
(s,
ψ(s))
|
ds
(先考虑x > x0的情况)
用L −条件
≤
∫x x0
L
|
ϕ(s)
−
ψ(s)
|
ds.
令g(x) =| ϕ(x) −ψ (x) |, x ∈[x0, x0 + δ ].从而

偏微分方程的解的存在唯一性

偏微分方程的解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中研究多元函数的偏导数之间关系的方程。

解的存在唯一性是指在一定的条件下，偏微分方程能有且只有一个解。

本文将从理论和数学推导两个方面来探讨偏微分方程的解的存在唯一性。

一、理论方面在讨论偏微分方程的解的存在唯一性之前，我们需要定义一些基本的概念。

1. 偏微分方程的定义偏微分方程是一个含有多个未知函数及其偏导数的方程，通常写作F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0。

其中，u表示未知函数，x1, x2, ..., xn 是自变量。

2. 初始条件和边界条件解决偏微分方程需要给出初始条件和边界条件。

初始条件是指在某一时刻或者某个区域的特定点上，未知函数及其偏导数的值。

边界条件是指在某个区域的边界上，未知函数及其偏导数的值。

3. 解的存在性和唯一性解的存在性是指在给定的初始条件和边界条件下，偏微分方程是否存在解。

解的唯一性是指在给定的初始条件和边界条件下，解是否唯一存在。

二、数学推导在数学推导中，我们将着重讨论一些经典的偏微分方程及其解的存在唯一性。

1. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

对于定义在区域Ω上的函数u(x, t)，热传导方程可写作∂u/∂t - ∇²u = 0，其中∇²表示Laplace算子。

热传导方程既有初始条件u(x,0)=f(x)，也有边界条件u(x,t)=g(x,t)。

根据热传导方程的性质，假设初始条件满足适当的光滑性和有界性条件，边界条件满足适当的光滑性和界定条件，可以证明存在唯一的解。

2. 波动方程波动方程是描述波动在空间中传播的方程。

对于定义在区域Ω上的函数u(x,t)，波动方程可写作∂²u/∂t² - ∇²u = 0。

波动方程的解存在性和唯一性需要根据初始条件u(x,0)=f(x)和边界条件u(x,t)=g(x,t)进行讨论。

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２００８年７月
Ｊｌ２０ｕｙ０８
具吸收项的发展型ＰＬｐａｅ方程组 — ａｌｃ解的存在惟一性
李岩波，辉来李
（吉林大学数学学院，长春１０１）３０２
摘要：究一类发展型ｐＬｐａｅ方程组Ｃｕｈ研－ａｌｃａｃｙ问题弱解的存在惟一性．利用抛物正则化方
法建立了弱解的存在性，并通过把相应的Ｃｕｈａｃｙ问题转化为一个方程的情形，再结合能量估
计和衰减估计两种方法，得到了弱解的惟一性．
关键词：非线性扩散系统；在性；惟一性；吸收项；－ａｌｃ存ｐＬｐａｅ方程组
中图分类号：１５２Ｏ７．文献标识码：Ａ文章编号：６１５８（０８０－５９０１７ —４９２０）４０７－８
ｐＬａ１ｃａｓｓｅｓ．ｐａｉｎｖｔｒｗｅｅｎｖｓｉａｅｎｒｉｅｔｔｄ．Ｔｈｅｓｔｎｅｇｅｘｉｅｃｗａｏｔｉｄｙｉｔｅｆｔｅｓｂａｎｅｂｖｒｕｏｈｐａａｌｃｅｕａｉｅｒｂｏｉｒｇｌｒｚｄ
Ｌｎ．ｏ，ＬＩＨｕ —ａＩＹａｂｉｌｉ
（ｏｌｅｆＭａｈｍｔｓｉｎＵｉｒｉ，ｈｎｃｕ３０２，ｈｎ）Ｃｌｇｔａｉ，ＪｉｎｖｓｙＣａｇｈｎ１０１Ｃｉｅｏｅｃｌｅｔａ
Ａｂｔｃ：ＴｅｘｓｅｃａｄｎｑｅｅｓｆｗａｓｌｔｎｆｒｈＣｕｈｐｏｌｍｏｎｅｏｕｉｎｒｓｒｔｈｅｉｔｎｅｎｕｉｕｎｓｏｅｋｏｕｉｓ０ｔｅａｃｙｒｂｅａｏｆａｖｌｔａｙｏ
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第４６卷
第４期
吉林大学学报（理学版）ＪＵＮＬＯＩＩＮＶＲＩＹ（ＣＥＣＤＴＯＯＲＡＦＪＬＮＵＩＥＳＴＳＩＮＥＥＩＩＮ）
Ｖｏ．６Ｎｏ４１４．
ｍｅｈｄＯｗｎ０ｔｅｄｆｃｌｆｔｅｃｍｐｒｏｅｗｅｈｗｏｕｉｎｆｔｅｓｓｍｏｓｅｔ０．ｉｇｔｈｉｕｔｏｈｏａｉｎｂｔｅｎｔｅｔｏｓｌｔｓｏｈｙｔｉｆｖｓｏｅｃｎｉｄ，ｗｅｄ
（９２～）１６，男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事偏微分方程的研究，Ｅｍｉｉｕｌｉｌ．ｄ．ｎ－ａｌｈｉ＠ｊｅｕｃ．：ｌａｕ
基金项目：国家自然科学基金（准号：１７１８．批０７０５）
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（ｔ，）∈ Ｑ＝Ｒ ×（，）０∞ ，（．）１２
收稿日期：０８０－４２０－１．０
作者简介：岩波（９２～）李１７，女，汉族，博士，师，从事偏微分方程的研究，Ｅｍｉｌｂｊ．ｄ．ｎ讲－ａ：ｉ＠ｌｅｕｃ．联系人：辉来ｌｙｕ李
Ｋｅｒｓ：ｎｎｉｅｒｄｆｓｎｓｓｍ；ｅｉｅｃ；ｕｉｕｎｓ；ａｓｒｔｎ； — ａｌｃａｙｔｍｙｗｏｄｏｌａｉｕｉｙｔｎｆｏｅｘｓｎｅｎｑｅｅｓｂｏｐｉｔｏＰＬｐａｉｎｓｓｅ
１引言
方程组
＝一
ｂＪ，
（
ｌ２，）
（・）ＩＩ
刻画了渗流、变、物化学和生物群体动力学等许多实际问题，相生因此，对方程组（．）１１的研究十分重
要 ¨－］４．
本文研究具有下列形式的发展型ｐＬｐａｅ方程组：－ａｌｃ
５０８
吉林大学学报（学版）理
第４６卷
ｕ（０＝ｕ（，，）ｍ）
Ｖ ∈Ｒ＝１２，．
（．）１３（ห้องสมุดไป่ตู้ ）１４
Ｃｕｈ问题解的存在性和惟一性，ａｃｙ其中＞，０ｑ＞，ｉ０ｂ≥０２Ｐ＞，０ａ＞，是常数，且
０≤ ｕ ∈Ｌ（）ｎＬＲ）优（，
ＥｘｓｅｃｎｉｕｎｓｆｔｏｕｔｏｏｈｏｕｉｎｒｉｔｎｅａｄＵｎｑｅｅｓｏｈｅＳｌｉｎｆｒｔｅＥｖｌｔｏａｙ
ｈｓｒｔｏＰ— ｐａｉｎＳｓｅｔＡｂｏｐｉｎｓＬａｌｃａｙｔｍｗｉ
ｃｍｂｎｄｔｎｒｔ０ｔｈｅｄｃｙｍｅｈｄｔｅｕｅｏｒｐｏｌｍｏｔｃｌｒｃｓ０ｉｅｈｅｅｅｍｅｈｄｗｉｈｔｅａｔｏｏｒｄｃｕｒｂｅｔｈｅｓａａａｅ，ＳｓｔｓａｉｈｙＯａｏｅｔｂｌｓｔｅｕｉｕｎｓｆｓｌｔｏｈｎｑｅｅｓｏｏｕｉｎ．