因式分解教学反思

因式分解教学反思
因式分解教学反思

《因式分解》教学反思

本节课我上的是因式分解的第一课时内容。这堂课我的教学设计理念,秉承以学生为主,先通过情景引入获得感性认识,然后通过观察思考交流讨论主动获取新知识,着重引导学生去观察变形的特点和理论依据,强调学生积极主动地参与课堂,充分经历知识的生成,发展,与应用的过程,在这个过程中掌握知识,形成技能,在整个教学活动中,让学生真正成为学习的主人,教师作为学习的组织者与引导者出现。

在上完这堂公开课之后,我感到压力山大,自己作为一名刚刚走上讲台的年轻教师,在教学技能和教学方法的掌控上有进步,也有很明显的不足,自己在反思的过程中,也心存愧疚,因为你教得不够好,学生可能就学得不够扎实,教师的素质会直接影响学生的学习效果的。

1.首先自己在教学用语上不够精炼,准确,教姿教态有大的进步,但是有些不该说的口头禅需要引起强烈的注意。所以,在今后无论上哪节课,我都要把这个问题坚决改正掉。当然,在鼓励学生回答问题上,我采用“自助餐”的形式,让学生自己选择,更加体现教学中尊重学生的主体性地位,同时学生回答得也不错,这些亮点还要继续坚持。整个公开课,学生的积极性我感觉还没有充分调动起来,有很多同学胆子小,怕犯错丢人,这些细节我再今后的课堂上要多加鼓励,另外提问的时候,学生回答不上来,可能也有教师的原因,问题提的不够明确,自然学生摸不到头脑,所以,教师点拨时要循循善诱,把

需要注意或者学生迷惑的疑点难点搞清楚,讲明白。语言要尽量简洁明了。

2.在整个教学流程安排上,我基本上按照知识的梯度,由易到难,由浅入深,习题的安排有基础性的题目,也有拔高的拓展应用题。总体上学生做的时候能基本学会提公因式法这种因式分解的方法。但是在问题1,问题2的题目问法上,我还需要注意几个细节,第一点就是下列等式分别属于怎样的变形过程,这个问法最好改成“下列各组中的等式从左到右分别属于什么变形?”这样学生更容易接受,更容易理解因式分解的变形过程。同时,问题2也可以改成“判断下列各式从左到右是不是因式分解?”现在新课程改革中提出“问题导学”,那么要进行这种教学模式,就必须提出更准确高水平的问题,只有这样才能给学生一定的时间空间去放手探究,未来的教学中,我会好好思考这方面的问题。

3.本节课在其他一些知识点的讲解上,还需要合理分配好教学时间,对于比较重要的知识点,比如“公因式的寻找",我是让学生自己去发现,去探究,可是有的学生讲得比较详细,有的则说不上来,学生具有差异性这个很正常,那么在讲完之后,我应该在做一总结,把这个知识点固化一下,在后面的提公因式法方法的介绍上就会少出现些问题。小组合作的教学方式本节课采用的时机还算合理,但是也发现部分学生参与积极性不高,部分数学学困生在讨论中不善于发表自己的意见,当然考虑到整个班级数学素养不高的特点,我经常是慢慢引导鼓励,希望学生能慢慢养成善于发表见地,善于提出问题解决问题。

另外,在讲解提公因式法的例题时,光让学生自己去做,有些问题的处理上不够妥当,学生理解上可能还会犯晕,比如提完公因式后,剩下的因式怎么处理?为什么这样处理呢?里面蕴涵了什么样的数学思想?这些该强调的地方点拨得不够多。“解一题就要通一题",放手让学生自己做,自己学,但是教师的角色不能被完全忽略掉,毕竟有些知识只有教师才能告知于学生,学生才能真正理解。这些思想方法我们学生可能知道,也有些同学可能没注意到,或者不懂。本节课的整体思想,化归思想,是我们这堂课最主要的精华。作为教师,我对教材的研读不够深刻,所以看问题的角度还很浅薄,那么自己没有一桶水,怎么端给学生一杯水呢?

最后,很感谢实验中学数学组的所有老师们给我提出的问题,更感谢宋校长的细心栽培和殷切期望,虽然每学期都有公开课,但是自己在历练中也在慢慢进步,相信“明天会更好"!站得高,才能看得远.我需要在备课的时候,多去提取教材中的知识点,信息点,然后自己通过整合,再展现给学生,这样课堂45分钟的时间便能充分利用好,学生学有所获,教师自然无需费劲。在当老师的这一年多时间里自己虽然成长了一点,但是面前需要处理的东西还有很多,在平时的工作中,我应该严格要求自己,多去听听老教师们的课,多去总结,特别是自己学生在学习过程中的问题,内心强大者,是能够正视自己缺陷的人,一堂公开课带给我的思考很多,作为班主任,作为教师,我要学的很多,很多。努力吧,希望自己真正从站上讲台,站稳讲台,到最后站好讲台。

(完整版)提公因式法因式分解练习题

因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中,哪些是因式分解,哪些不是。 (1))2(3362 2 3 b a a b a a -=- (2))1(2 3 2 x x x x --=+- (3)))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= (4))3)(2(--x x 652+-=x x (5)㎡=m ×m (6)㎡+m=m 3( ) 二、用提公因式法因式分解(一) (1)332168b a ab - (2)22mn n m +- (3)2 515x xy -- (4)3224 1ab b a - (5)ab b a b a -+2233 (6) 3 22316128ay y a y a -+- (7)am m a m a 126323+--(8)xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) (1)2 )()(b a b a +-+ (2))()(x y y y x x -+- (3))(2)(62 n m n m +-+(4))(2)(32 y x x y -+- (5))()(3y x x y x ----(6)2 2 )()(m n n n m m --- (7))(4)(6p q q q p p +-+ (8))(4)(122 x y ab y x b a --- (9)))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) (1))(2)(72a b y b a x --- (2) )3()3(52 2x a x --- (3) 23)()(2b a b a +-+ (4)2 22)3()3(a b x b a x --- 5))(3)(2p q b q p a ---(6)2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- (7)2 )1()1(---a a a (8)2 2 )()()(b a b a b a --+- (9))1()1(2)1(3x c x b x a -+---- (10))32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) (1)2 )())((y x x y x y x x +--+

待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式(附答案)待定系数法作为最常用的解题方法,可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中,认真学好并掌握待定系数法,必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中,通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开,利用多项式的恒等,求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数,得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1,然后给x,y取特殊值,求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设

因为该式是恒等式,所以它对所有使式子有意义的x,y都成立,那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验,得 ∴ 说明:本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有: 由①、③解得代入②中,②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解,故设原式

因式分解16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又 有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如:—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握: ①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时,多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤: (1)找出公因式; (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母; ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式; ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意:把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a2「b2 =(a+b)(a-b);完全平方公式:a2± 2ab+ b2= a-b2 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的

杨发涌因式分解法解一元二次方程教学反思

《因式分解法解一元二次方程》的教学反思茂山中学杨发涌授课班级:九年级216班本节课是人教版九年级数学上册中用因式分解法解一元二次方程。在实施具体教学过程后,以下是我对这堂课进行的反思: 成功之处: 1. 以学生发展为本,重视学生自主学习。 本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式,先由学生课外自学,了解用因式分解法解一元二次方程的解法,并会求一些简单的一元二次方程的解;其次,在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法;第三,通过当堂练习、讲评,进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。通过本课的授课情况及听、评课教师的反馈来看,基本上达到了课前设计的教学目的。 2. 精心设计习题,强化学生题感。 通过学生有可能出现的问题设计了相关的代表性的习题,让学生总结出用因式分解法解一元二次方程的解题思路:大致常见的有三种类型,提公因式法、公式法(平方差,完全平方公式)、十字相乘法,老师给予适时补充引导,通过见到什么题,就考虑用哪种方法,提高了解题速度,优化了解题方法,增强了学生解题感觉。 3.体现了“教教材”为“用教材教”的课程理念,不囿于教材。 这节课的内容教材上给的特别简单,如果不做补充,学生的思维得不到训练,知识得不到拓展,能力得不到提高,所以通过查阅中考资料等,精心设计习题,同时教学关注的焦点没有只停留在教会学生上,而是引导学生如何去学,授之以渔,由学会到会学,以便终身受益。 不足之处: 1.在课堂中有时处理问题过于急躁,过分关注学生的学习结果,而忽略了过程,处理有些知识点时,给学生留有思考的时间太少,这样使的部分学生不清楚,所以在后继学习中部分学生对于公因式为多项式的提公因式、平方差公式中的第一项和第二项均为多项式的题,部分学生模糊出错。 2.在习题的处理上,由于害怕时间比较紧,有时叫了举手的学生上黑板做

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是(). A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-9+x=(x+3)(x-3)-x C.xy2-x2y=xy(y-x) D.x2+5x+4=x(x+5+) 2.下列变形不属于分解因式的是(). A.x2-1=(x+1)(x-1) B.x2+x+1 4 =(x+ 1 2 )2 C.2a5-6a2=2a2(a3-3) D.3x2-6x+4=3x(x-2)+4 3.下列各式从左到右的变形中,哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 (1)ad+bd+cd+n=d(a+b+c)+n (2)ay2-2ay+a=a(y-1)2 (3)(x-4)(x+4)=x2-16 (4)x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1知能点2 提公因式法分解因式

4.多项式-7ab+14abx-49aby的公因式是________. 5.3x2y3,2x2y,-5x3y2z的公因式是________. 6.下列各式用提公因式法分解因式,其中正确的是(). A.5a3+4a2-a=a(5a2+4a) B.p(a-b)2+pq(b-a)2=p(a-b)2(1+q) C.-6x2(y-z)3+x(z-y)3=-3x(z-y)2(2x-z+y) D.-x n-x n+1-x n+2=-x n(1-x+x2) 7.把多项式a2(x-2)+a(2-x)分解因式等于(). A.(x-2)(a2+a) B.(x-2)(a2-a) C.a(x-2)(a-1) D.a(x-2)(a+1) 8.下列变形错误的是(). A.(y-x)2=(x-y)2 B.-a-b=-(a+b) C.(a-b)3=-(b-a)3 D.-m+n=-(m+n)

待定系数法分解因式

学科:奥数 教学内容:待定系数法分解因式 经验谈: 待定系数法作为最常用的解题方法,可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中,认真学好并掌握待定系数法,必将大有裨益。 【内容综述】 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。【要点讲解】 这一部分中,通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。 ★★例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开,利用多项式的恒等,求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数,得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1,然后给x,y取特殊值,求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设 因为该式是恒等式,所以它对所有使式子有意义的x,y都成立,那么无妨令得 令得

解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验,得 ∴ 说明:本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式。 ★★例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有: 由①、③解得代入②中,②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解,故设原式 ★★★例3 在关于x的二次三项式中,当时,其值为0;当时,其值为0;当时,其值为10,求这个二次三项式。 思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式,然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入,得

提的教学反思

给您提个醒教学反思 师生交流,小组交流(课前准备:生活中的提示卡资料)了解提示卡的作用(激发学生学习热情)——观察提示卡的特点(了解提示卡的基本构成要素)——教师演示提示卡的制作方法和步骤(重点启发学生合理利用各种材料)——欣赏各种形式的提示卡——创设情境(鼓励学生大胆说出自己的设计思路,有创意的设计,制作提示卡)——学生进行设计制作——展示评价。 在教学中,首先让学生交流自己收集的提示卡资料,了解提示卡的作用,激发学生参与到教学过程中来。然后引导学生观察提示卡上有什么。在观察的基础上,教师再通过讲解,示范,使学生掌握提示卡额基本制作方法。最后,创设情境,打开学生思路。由浅入深才有利于学生掌握提示卡的制作方法,并设计制作出有创意的提示卡。篇二:提公因式法教学反思 《提公因式法》教学反思 因式分解是八年级数学学习中非常重要的内容,是代数式的一种重要恒等变形。因式分解在代数式的运算中应用广泛,是后面即将学习的函数和分式等内容的基础,对于二次函数和解一元二次方程的学习起到铺垫作用。所以说因式分解这部分的内容是八年级数学的一个重点。 在学习因式分解之前,学生们已经学习了整式的乘法运算,而因式分解与整式的乘法是互逆关系,它是整式的乘法相反方向的变形。所以在学习这一节课时,我抓住学生已有的整式的乘法的学习基础,创设问题情境,激发学生的学习兴趣,同时提出一些问题引导学生自主探究、分组合作来自己体验探索的过程,并发现结果。学生自主探究学习能提升学生的独立学习能力,同时又能加深学生对知识的理解,在探索的过程中,学生能够发现因式分解和整式的乘法是互逆关系,这既说明了因式分解和整式乘法之间的密切关系,同时又反映出二者的根本区别,让学生对二者的理解更加清晰。 近年来,环境问题日益严峻,保护环境人人有责,所以,我以环境问题创设情景,既能激发学生的学习兴趣,又能增强学生保护环境、爱护环境的意识。本节课以防风固沙、植树造林设置问题,让学生根据题意列出算式,接着提问“有简便算法吗”引发学生的思考。学生通过利用以前学习的“乘法分配率”能够迅速找到简便的算法,然后再根据代数式的相关知识将其中的数字换成字母表示,这样就能自然得引出本节课的内容——因式分解。以环境问题创设情景,自然地引出因式分解的概念,并深刻的解读因式分解的概念,把因式分解与整式的乘法对比作出二者之间的关系图,利用知识的类比将新知识与旧知识联系起来,实现知识的拓展和迁移。这样学生就能很直观的感受到因式分解和整式的乘法二者之间的互逆关系,加深学生的理解,让学生以后在做因式分解的相关习题时能自觉的用整式的乘法进行检验。 做题是加深对概念理解最好的办法,所以我精选出几个因式分解的习题,让学生来判断哪些是因式分解、哪些不是因式分解,并说出不是因式分解的理由。在做题的过程中,一定让学生紧扣概念内容,意识到因式分解的实质是“和差化积”。 本节课学习的主题是提公因式法,而用提公因式法来分解因式的关键步骤就是找出公因式,所以我通过提出问题“如何正确找到多项式的公因式呢”,让学生分组进行讨论,自主探究出结果,在学生讨论的过程中,老师只需给予适当的点拨和指导。在小组讨论之后,让每个小组的小组长汇报讨论的成果,并和学生们一起小结,怎样找到多项式的公因式归纳成以下几条:1、定系数,各项系数的最大公约数;2、定字母(因式),各项都含有的相同字母或者因式;3、定指数,相同字母的“最低次幂”。同时也指出学生在找公因式时所出现的一些错误,提示学生在以后的学习中注意。针对前面讨论的结果,给出相应的习题让学生能及时强化知识,也为后面的学习打好基础。

因式分解专题1_用提公因式法(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解:a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是:对于一个任意的x=a 值,都有()()f x g x =;或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等. 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是: (1)确定所求问题含待定系数的一般解析式; (2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程(组); (3)解方程(组),从而使问题得到解决. 例如:“已知()22 52x a x bx c -=-?++,求a ,b ,c 的值.” 解答此题,并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后,就可得到a , b , c 的值.这里的a ,b ,c 是有待于确定的系数,这种解决问题的方法就是待定系数法. 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中,解析式就是:()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程. 在这一题中,恒等条件是: 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. (1)求a ,b (2)分解因式:432237x x ax x b -+++ 【答案】(1) 12 6a b =-=和 (2)()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解(一) ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】(1)让学生了解什么是因式分解; (2)因式分解与整式的区别; (3)提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是正的, 并且注意括号内其它各项要变号。 (2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。 (3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公因式, 这时要特别注意各项的符号)。 (4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()22a b a b a b -=+-; ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式: (1) a 2b ,5ab ,9b 的公因式 。 (2) -5a 2,10ab ,15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x -y),2xy(y -x) 的公因式 。

因式分解(四)待定系数法、求根法

因式分解(四)待定系数法、求根法 【知识要点】待定系数法 有的多项式虽不能直接分解因式,但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式,也可能是三个一次因式的积。于是,我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积,再根据恒等式的性质列出方程(组),进而确定其中的系数,得到分解结果,这种方法就称为待定系数法。 用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质: 如果a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x +a 0≡b n x n +b n-1x n-1+…+b 1x +b 0,那么a n = b n,a n-1= b n-1…,a 1=b 1 a 0=b 0,即恒等式同次项的对应系数一定相等。 这里,“≡”表示“恒等于”,即对任何x 值,等式左边的值都等于右边的值。 【典型例题】 例1 若3233x x x k +-+有一个因式是1x +,求k 的值。 例2 已知32 4715ax bx x +--被31x +和23x -整除,求,a b 的值,并将该多项式分解因式。 例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积,则k 为多少? 例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。(其中二次项系数均为1,且一次项系数相同),求P 的最大值。

例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式,且32 7561(1)()x x x m x p x a -+--=-+,其中,m a 是与x 无关的常数,求()p x 的表达式。 例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积,求m 的值。 因式分解(四)待定系数法、求根法练习 1.已知225x x ++是42 x ax b ++的一个因式,求a b +的值。 2.如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积,求a 的值。 3.多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。 4.已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值,求A B +的值。

因式分解-评课与教学反思稿

因式分解评课与教学反思 一.评课 提取公因式法是初中数学“因式分解”的重点内容之一,是在学生学完因式分解概念的基础上,学习的第一种分解因式的方法。是最基本也是最重要的因式分解方法。本节教材主要讲解提公因式法,共分三个课时完成,这是第一课时,该课时主要学习公因式是单项式时,如何找出各项的公因式,和会用提公因式法分解因式,学生了解了公因式的概念和提公因式的方法。会用提公因式法分解因式。通过这节课的学习进一步培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力及自学能力。因为提公因式法是所学的第一种分解因式的方法,也是最基本,最重要的因式分解法,所以本节课的重点是如何提公因式,难点及关键是如何找公因式。二.教学反思 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。因式分解这部分的内容是八年级数学第一学期重难点,它与整式乘法是相反方向的变形,变形的结果是整式的积的形式。分解因式与整式的乘法是互逆关系,即把分解因式看作是一个变形的过程,那么整式乘法又是分解因式的逆过程,这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系,另一方面又说明了二者之间的根本区别。探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法的再认识,因此,在教学过程中,我借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供一定的问题情境,并给他们留下一定的探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。学生学习因式分解看似容易,实际上在做题的过程中稍不注意就会犯错误,所以我采用“低起点、多归纳、勤练习、快反馈”的教学方法。 (1)低起点。由于学生基础较一般,因此教学的起点必须低,教学中将教材原有的内容降低到学生的起点上,然后再进行正常的教学,教学中主要:以课本教材中的较容易接受的知识引入作为起点;以所教学内容的最基本、最本质的东西作为教学的起点。如在“因式分解”教学中,将提取公因式法,分成二个步骤进行教学:先讨论“公因式”是什么?,再研究如何提取公因式,从而降低了起点,便于学生理解掌握这一知识。 (2)多归纳。考虑到学生的实际情况,要给予学生多归纳、总结,使学生掌握一定的条理性和规律性。只有不断的总结,才能有创新和发展。 (3)勤练习。教学中将每节课分成几个环节,每个环节都让观察、交流、讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现,这样调节了学生的注意力,使学生大量参与课堂学习活动。事实表明:课堂互动多了,学生中思想开小差、做小动作、讲闲话等现象大大减少了。 (4)快反馈。有些学生由于长期以来受各种消极因素的影响,数学学习往往需要多次反复才能掌握知识。这里的“多次反复”就是“多次反馈”。对于作业、练习中的问题,应采用集体、个别相结合,或将问题渗透在以后的教学过程中等手段进行反馈、矫正和强化。同时还要根据反馈得到的信息,随时调整教学要求、教学进度和教学手段。由于及时反馈,避免了课后大面积补课,提高了课堂教学的效率。“快反馈”既可把学生取得的进步变成有形的事实,使之受到激励,乐于接受下一次学习,又可以通过信息的反馈传递进一步强化。 通过以上教学,绝大部分的学生学习积极性较高,并且掌握的较好。

《因式分解--提公因式法》教案

《15.4.1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能:(1)使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念。 (2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系,并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法:(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、类比等手段,寻求因式分解与因数分解之间的关系,培养学生的观 察能力,进一步发展学生的类比思想。 (2)由整式乘法的逆运算过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力。 (3)通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观:让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点:因式分解的概念及提公因式法。 难点:正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)= 个整式的

五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中,对学生的评价方式:自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式,激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中,并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如: 1.个人回答问题次数:正确次数:改正人: 2.小组自评实验结论:活动1:正确、不完善、错误; (在所属情况下面打对勾)活动2:正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况:小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习:小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容(P165-167)。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一,它在以后的代数学习中有着重要的应用,如:多项式除法的简便运算,分式的运算,解方程(组)以及二次函数的恒等变形等,因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

因式分解与组成教学反思

因式分解与组成教学反思 因式分解与组成教学反思 在数学教学过程中,知识的传授不应只是教师单纯地讲解与学生简单的模仿,而应通过教学活动,让学生经历知识的形成与应用过程,从而使学生更好的理解知识的意义,掌握必要的技能,发展应用数学的意识,增强学好数学的愿望与信心。根据新课程标准要求和学生的起点能力,本节课的具体目标有两个,一个是会用完全平方公式分解因式,一个是会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。 在新课引入的过程中,我以“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式组织课堂教学。对新问题的引入,我是采取了由浅入深的方法,使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来,通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用完全平方进行因式分解。整堂课教下来我觉得自己做的比较好的几点是: 1、突显特点。这节课的重点是运用完全平方公式分解因式,而完全平方式的判定是关键。所以我比较重视完全平方式特点分析,应用。尤其强调完全平方式标准模式的书写,这也是学生思维过程的暴露,有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握,提高学生解题的准确率,对提高那些偏理科的数学尖子生的表达能力也有好处。对以后灵活掌握用配方法解一元二次方程,求代数式最值等知识有正向迁移作用。有利于学生思维能力的发展。 2、自主训练。我以先引导学生分析多项式特点,再让学生尝试

分解因式的方式完成例题教学。对课本上的练习题放手让学生自己完成,体现了以教师为主导,以学生为主体,及时反馈,及时巩固教学方式。 3、及时归纳。根据初二学生认知特点,教学中我给予学生及时的.多归纳,总结,使学生掌握一定的条理性和规律性,有利于学生的创新和发展。如完全平方式特点形象概括(口诀记忆法,结构的对称美),因式分解步骤概括(一提二套三查),以及换元思想,配方法的提出。 4、重视动态生成。教学中我发现学生们思维很活跃,接受能力比较强,我对例题教学作了及时调整,由师生合作完成改为先引导学生观察、分析多项式特点,再让学生自主完成解题过程。 5、根据学生的心理特点和实践认知水平,努力为他们创造成功的条件。在教学过程中采用类比、探索式教学,辅以讲练结合,师生互动,总而言之,努力营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。从新课标评价理念出发,抓住学生语言、思想等方面的亮点给予帮助、鼓励、提高学生学数学,用数学的信心。 不足之处: 1、探索用于因式分解的完全平方公式及特点分析时,没有把握好时间,这是导致后面时间不够的原因之一。 2、课堂预设没有完成,根据学生特点,我设计了这样一个教学环节:根据完全平方式特点,请学生构造一个完全平方式,并分解因式。当学生基本完成后,组织学生同桌交流,交流方式为:请把你的构思告诉同伴,先一个听,一

(完整版)因式分解-待定系数法

三.待定系数因式分解(整体思想) 1.分解因式:2235294x xy y x y +-++- 2.分解因式432435x x x x -+++ 3.若a 是自然数,且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数,求这个质数。 4.分解因式 432227447x x x x ---+ 5.分解因式:4322x x x +++ 6.22282143x xy y x y +-++- 7.当m 为何值时,2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积? 8.把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9. 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10.已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值,那么A+B 等于多少? 11.若3233x x x k +-+有一个因式是1x +,求k 的值。 12.已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除,求,a b 的值,并将该多项式分解因式。 13.设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积,则k 为多少? 14.若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。(其中二次项系数均为1,且一次项系数相同),求P 的最大值。 15.设()p x 是一个关于x 的二次多项式,且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+,其中,m a 是与x 无关的常数,求()p x 的表达式。 16.多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积,求m 的值。 17.已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式,求a b +的值。 18.如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积,求a 的值。 19. 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法. 常用的因式分解公式:

例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3. 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决. 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比较两边对应项的系数,则有 解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.例2 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7. 分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式. 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有 由bd=7,先考虑b=1,d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).

因式分解的教学反思

因式分解的教学反思 因式分解是八年级数学第二学期教学内容的重点、难点,学的好坏将直接影响以后要学习的内容。我虽然在讲这部分内容之前再三强调重要性,但学生学习结果仍不理想,题做的差三落四,花样百出,令人啼笑皆非。 学生出错的地方我总结有以下几个方面: 一、因式分解不能彻底,如: x4 - y4=(x2+y2)(x2 -y2) (3x+y)2 -(x+3y)2=[(3x+y)+(x+3y)][(3x+y)-(x+3y)]=(4x+4y)(2x-2y) 二、平方差公式,完全平方公式混淆,如: a2 -b2=(a-b)2 三、平方差公式运用不正确,如: 4a2 -b2=(4a+b)(4a-b) 4(x+y)2 -(x-y)2=[4(x+y)+(x -y)][4(x+y)-(x-y)] 四、多项式只有部分分解因式,如: x2-6x+9=x(x -6)+9 五、因式分解时处理不好符号问题,如:

a(x -y)2 -b(y -x)2=a(x -y)2 +b(x -y)2=(x -Y)2(a+b) 六、不首先考虑提公因式法,胡作,如: ax2 -by2=(ax+by)(ax -by) 七、遇到与公式特点稍有出入的变式题就不会灵活运用,如: 6xy -x2y -9y=y(6x -x2 -9) (a -b)2 +4ab=不会做 究其原因,我觉得主要有以下几个方面: 一、因式分解方法逐一学习时,学生会觉得简单,主要套公式而已,所以思想上不重视,得不到课后的足够巩固。 二、公式记得不牢,不能区分各自的特点,由于思想上的模糊,从而把平方差公式和完全平方公式记混淆。 三、没有养成良好的学习习惯,看见两项就想用平方差公式,看见三项就想用完全平方公式,不首先考虑提公因式法,而且也很少考虑是否分解的彻底。 四、虽然因式分解只有三个方法,但也不能灵活运用,只要与平时所做的题稍有出入,便不知从何下手。 为此,我做了以下尝试。

因式分解-提公因式法(含答案)

13.5.1 因式分解-提公因式法 【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是(). A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-9+x=(x+3)(x-3)-x C.xy2-x2y=xy(y-x)D.x2+5x+4=x(x+5+) 2.下列变形不属于分解因式的是(). A.x2-1=(x+1)(x-1)B.x2+x+1 4 =(x+ 1 2 )2 C.2a5-6a2=2a2(a3-3)D.3x2-6x+4=3x(x-2)+4 3.下列各式从左到右的变形中,哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些两者都不是? (1)ad+bd+cd+n=d(a+b+c)+n (2)ay2-2ay+a=a(y-1)2 (3)(x-4)(x+4)=x2-16 (4)x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 知能点2 提公因式法分解因式 4.多项式-7ab+14abx-49aby的公因式是________. 5.3x2y3,2x2y,-5x3y2z的公因式是________. 6.下列各式用提公因式法分解因式,其中正确的是(). A.5a3+4a2-a=a(5a2+4a) B.p(a-b)2+pq(b-a)2=p(a-b)2(1+q) C.-6x2(y-z)3+x(z-y)3=-3x(z-y)2(2x-z+y) D.-x n-x n+1-x n+2=-x n(1-x+x2) 7.把多项式a2(x-2)+a(2-x)分解因式等于(). A.(x-2)(a2+a)B.(x-2)(a2-a) C.a(x-2)(a-1)D.a(x-2)(a+1) 8.下列变形错误的是(). A.(y-x)2=(x-y)2B.-a-b=-(a+b) C.(a-b)3=-(b-a)3D.-m+n=-(m+n) 9.分解下列因式: (1)6abc-3ac2(2)-a3c+a4b+a3 (3)-4a3+16a2-26a (4)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)

八年级数学:《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校: 年级: 任课教师: 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订:XX文讯教育机构

《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点 归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识体系梳理 ◆添项拆项法 有的多项式由于“缺项”,或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 一般来说,添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后,不能运用四种基本方法分解,添项拆项也是无用的。 ◆待定系数法 有些多项式不能直接分解因式,我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来,进而得出因式分解结果,这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆换元法

所谓换元,即对结构比较复杂的代数式,把其中某些部分看成一个整体,用新的字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化、明朗化,象这种利用换元来解决复杂问题的方法,就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 (1)、使用换元法时,一定要有意识,即把某些相同或相似的部分看成一个。 (2)、换元法的种类有:单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。 (3)、利用换元法解决问题时,最后要让原有的数或式“回归”。 ★★典型例题、方法导航 ◆方法一:添项拆项法 【例1】分解因式: 分析:此多项式是三次三项式,缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次,因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积,即,再看常数项可分解成±1、±2,因此我们可猜想分解的结果可能是或或 ,但的中间项是 ,因此是不可能的,因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看: 解: 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗?在注意到分解结果中有和

人教版初二数学上册因式分解教学反思

因式分解教学反思 广外中山外校戴天 因式分解是人教版八年级数学上册一个重要的内容,也是初中代数易错的知识点,也是中考的考点之一。因此,在教学过程中,我借助学生已有的基础,给学生提供丰富 的问题情境,并给他们留下充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从模仿到理解并 熟练掌握的过程。 一、反思教学设计 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。因式分解与乘法公式是相反方向的变形,变形的结果是整式的积的形式。分解因式与整式的乘法是互逆关系,即把分解因式看作 是一个变形的过程,那么整式乘法又是分解因式的逆过程,这种互逆关系一方面体现二 者之间的密切联系,另一方面又说明了二者之间的根本区别。在“当堂检测”部分设计 了一个选择题第1题考察这一点。通过学生的练习来看,绝大多数学生已经掌握。 在因式分解的几种方法中,提取公因式法是最基本的方法,学生也很容易掌握。但 在一些综合运用的题目中,学生总会易忘记先观察是否有公因式,而直接想着运用公式 法分解。这样直接导致有些题目分解错误,有些题目分解不完全。因此在“例题精讲” 中例1和例2中都设计了先提公因式这个环节。在“当堂检测”部分也通过填空题第1~4题强化这个认识。结果第2题3x2 -6x ? 3二.和第3题 3a2 -12= ________________ ?部分学生就没有意识到应该先提出公因数3。尤其是第4 题(x 3)2 -(x 3^ ______________ ?需要将x+3作为一个整体提出,而部分学生却将 (x+3) 2先行展开再合并后再分解。而在“能力提升”部分更是体现这一技巧,需要移项后整体提出a2-b2,从而这也导致了结果的第二种可能。 旧教材内容难度高、它要求学生必须系统的把握因式分解的所有方法全部学会,便于满足往后的学习。而新教材对原教材的要求及难度做了一定的调整,首先从要求上对 学生来说只会灵活地运用提公式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)两种分解因 式法,对分组分解法和十字相乘法的因式分解则不做要求。考纲要求“会用提公因式法、 公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 。”学生比较会将平 方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻,彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。所以在“考点扫描”部分就设 计了第2题和第4题来辨别完全平方式。并通过“例题精讲”部分例2来强化,当然“考点扫描”部分第5、6题和“例题精讲”部分例3、例4以及“当堂检测”部分填空题第1~6题、解答题第1题都有涉及。 对于其他因式分解方法,教材中只在选学栏目中给出了一种方法,因式分解 x2 +(p+qx + pq = (x+p)(x+q)型(十字相乘法),仅供学有力的同学参考。因此数学老师的教学将受到局限性,如果当时讲了,学生的学习内容的难度掌握也必将受到影响。如果当时不讲,对往后解决列一元二次方程解应用题和二次函数解析式也必将会遇到一定的麻烦。但在中考备考第一轮复习中,这个问题就不再是问题。因此通过“考点 扫描”部分第3题和“例题精讲”部分例1来进行训练。从实际训练效果来看,绝大多数学生已

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