高二上学期期末考试数学
高二年级上学期期末考试数学试卷(理科)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时
间120分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”
是“返回家乡”的()
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知空间四边形OABC中，
OAa
，OBb，OCc
，点M在OA上，且2OMMA，
N
为BC中点，则MN＝()
A.121232abcB.
111
222
abc
C.211322abcD.
221
332
abc
3.设命题p：函数sin2yx的最小正周期为
2；命题q：函数cosyx的图象关于直线2
x
对
称.则下列判断正确的是()
A.p为真B.p为假C.pq为真D.pq为假
4.下列结论错误的是()
A.命题“若2340xx，则4x”的逆否命题为“若4x，则2340xx”
B.命题“230x,xxR”的否定是
2
000
30x,xxR
C.命题“若
22
acbc
，则ab”的逆命题为真命题
D.命题“若220mn，则0m且0n”的否命题是“若220mn，则m≠0或n≠0”
5.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·
NP
→
＝0，则动点
P(x，y)的轨迹方程为()
A.28yxB.28yxC.24yxD.
2
4yx
6.双曲线
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双
曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝()
A.3B.2C.3D.
2
7.已知椭圆22142xy上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这
样的点P有()
A．3个B．4个C．6个D．8个
8.抛物线22(0)ypxp的焦点为F，其准线与双曲线221yx相交于A，B两点，若△ABF为
等边三角形，则p＝（）
A.22B.23C.2D.
3
9.椭圆221(0,0)axbyab与直线1yx交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的
斜率为32，则ba的值为()
A.233B.32C.932D.
23
27
10.直三棱柱111ABCABC中，090BCA，M，N分别是
11AB，11AC的中点，1
BCCACC
，
则BM与AN所成的角的余弦值为()
A．110B．25C．22D．
30
10
11.抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，,AB是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB
．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则||||MNAB的最大值是（）
A．12B．1C．22D．
3
2
12.设椭圆C：
22
22
1(0)
xy
abab的左右焦点分别为1F，2F，过点1F
的直线与C交于点P，Q.
若
212||||PFFF，且11
3||4||PFQF
，则C的离心率为（）
A．57B．35C．267D．
26
5
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线212yx的准线与双曲线
22
1
93
xy
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于
________.
14.已知长方体
1111ABCDABCD中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点1A到截面11
ABD
的
距离是.
15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或
丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一
位是假的，则获奖的歌手是_____.
16.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)ypxp上任意一点，M是线段PF上的点，
且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.(本小题满分10分)
①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35(,)22，(3,5)，求椭圆方程.
②已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab与圆
22
:(5)9Mxy
.双曲线C的焦距为10，它的
两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线C的方程.
18.(本小题满分12分)
设p：实数x满足
22
540xaxa
(其中0a)，q：实数x满足
5
0.
2
x
x
(I)若1a，且pq为真，求实数x的取值范围.
(II)若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19．(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC－A
1B1C1
中，底面ABC为等腰直角
三角形，AB＝AC＝1，BB
1＝2，∠ABB1
＝60°.
(I)证明：AB⊥平面AB1C；
(II)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.
20．(本小题满分12分)
已知抛物线C：
2
2(0)ypxp
的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点为M，且
82OM
（O为坐标原点）.
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(II)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|
＝|PB|，求△FAB的面积.
21．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，
底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.
(Ⅰ)求证：OC⊥PD；
（II）若PD与平面PAB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.
22．(本小题满分12分)
已知圆
22
:(1)8Axy
，圆A内一定点(1,0)B，动圆P过点B且与圆A内切.记动圆圆心P的
轨迹为C.
（Ⅰ）求轨迹C方程；
（II）过点
1
(0,)
3
S
的动直线l交轨迹C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，
使得以线段MN为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)含答案
2023学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（B 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程10x y ++=，则倾斜角为（）A.45° B.60°C.120°D.135°【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=的斜率为-1，设直线的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，因为[)0,πθ∈，所以3π1354θ== .故选：D.2.抛物线24y x =的准线方程为（）A.2x =-B.=1x - C.1y =- D.=2y -【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线24y x =得：焦点在x 轴上，开口向右，p =2，所以其准线方程为=1x -，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.3.在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则()12AB BD BC ++=（）A.ADB.GAC.AGD.MG【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得2BD BC BG +=，代入即可得出答案.【详解】因为，点G 是CD 的中点，所以，2BD BC BG +=，所以，()12AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：C.4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则4a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由443a S S =-直接计算即可.【详解】由题意()()4344321218a S S =-=---=.故选：C.5.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1A 到平面1AB C 的距离为（） A.13B.12C.23 D.33【答案】D 【解析】【分析】设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，根据1111A AB C C A AB V V --=，结合锥体的体积的计算，即可求解.【详解】如图所示，设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，由1111A AB C C A AB V V --=，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，可得11AC CB B A ===三棱锥11A AB C -的体积为11113A ABC AB C V S h -=⨯⨯ ，所以11121113432h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h ，所以点1A 到平面1AB C 的距离为3.故选：D.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数．．．．，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）A.55B.49C.36D.28【答案】C 【解析】【分析】由题意，整理数列的通项公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，三角形数可看作11=，312=+，6123=++，101234=+++，则第n 个三角形数为()11232n n n +++++=；正方形数可看作211=，242=，293=，2164=，，则第n 个正方形数为2n ；对于A ，令255n =，其解不是正整数，所以55不是正方形数，故A 错误；对于B ，令249n =，解得7n =，令()1492n n +=，其解不是正整数，所以49不是三角形数，故B 错误；对于C ，令236n =，解得6n =，令()1362n n +=，解得8n =，故C 正确；对于D ，令228n =，显然其解不是正整数，所以28不是正方形数，故D 错误.故选：C.7.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A.13B.12C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ；圆柱的底面半径为r ，高为x ，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则r h x R h-=，∴h x xr R R R h h-==-．∴圆柱侧面积22π2π·2π·2π(0)x R S r x R R x x Rx x h h h ⎛⎫==-=-+<< ⎪⎝⎭．22ππ(0)22R h Rhx x h h ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭∴当2hx =时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为21x h =．故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（）A.B.C.2 D.23【答案】A 【解析】【分析】不妨设3a =，12F PF θ∠=，则c =21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，结合椭圆定义可列关于θ的方程由此即可得解.【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，不妨设3a =，则c =点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，所以260QOF ∠=，又O 是12F F 的中点，所以12212QO F F OF ==，所以2QOF △是正三角形，所以2QF c ==，可得2130F F P ∠= ，设12F PF θ∠=，21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，所以2sin tan c c a θθ++=，即336sin tan θθ+=，所以22cos 1cos 12sin 2sin cos tan 222θθθθθθ+===tan 23θ=，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，所以12tan F PF ∠=故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含θ的式子表示出21,,PF PQ FQ ，从而即可顺利得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知圆221:870C x y x +-+=和圆222:60C x y y m +++=外离，则整数m 的一个取值可以是（）A.4B.5C.6D.7【答案】CD 【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数m 的值.【详解】因为方程22870x y x +-+=可化为()2249x y -+=，所以圆1C 的圆心1C 的坐标为()4,0，半径为3，因为方程2260x y y m +++=可化为()2239x y m ++=-，由已知90m ->，且m 为正整数，所以圆2C 的圆心2C 的坐标为()0,3-，所以圆心距125C C ==，因为圆1C 和圆2C 外离，所以53>+，所以59m <<，故m 的可能取值有6,7,8，故选：CD.10.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A.22142x y -=与22142x y += B.22142x y -=与22124y x -=C.22142x y +=与22124x y += D.240y x +=与220x y +=【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；椭圆22142x y +=的离心率为22e ===≠，故A 错误；对于B 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；双曲线22124y x -=的离心率为62e ===≠，故B 错误；对于C 项，椭圆22142x y +=的离心率为2e ===；椭圆22124x y +=的离心率为2e ===，故C 项正确；对于D 项，方程240y x +=可化为抛物线24y x =-，方程220x y +=可化为抛物线22x y =-，而且抛物线的离心率均为1，故D 项正确.故选：CD.11.已知三棱锥-P ABC 如图所示，G 为ABC 重心，点M ，F 为,PG PC 中点，点D ，E 分别在,PA PB 上，PD mPA = ，PE nPB =，以下说法正确的是（）A.若12m n ==，则平面DEF ∥平面ABC B.111333PG PA PB PC=++ C.111266AM AP AB AC=++ D.若M ，D ，E ，F 四点共面，则111m n+=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由中位线得//,//DE AB DF AC ，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC ，直接由图形的性质分解向量即可；对于D 由B 中结论变形为111663PM PD PE PF m n =++，由四点共面的充要条件即可判断.【详解】对于A ，若12m n ==，即,D E 分别为,PA PB 的中点，又点F 为PC 的中点，所以//,//DE AB DF AC ，又DE ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以//DE 面ABC ，同理可证//DF 面ABC ，又,,DE DF D DE DF =⊂ 面DEF ，所以平面DEF ∥平面ABC ，故A 正确；对于BCD ，如图所示：设BC 中点为H ，连接,AH AM ，因为点G 为ABC 重心，所以点G 在线段AH 上面，所以()221332PG PA AG PA AH PA AB AC =+=+=+⨯+ ()11113333PA AP PB AP PC PA PB PC =++++=++，故B 正确；对于C ，1111122333AM AP PM AP PG AP PA PB PC ⎛⎫=+=+=+++ ⎪⎝⎭ ()()511111666266AP PA AB PA AC AP AB AC =++++=++，故C 正确；因为()11112233PG PM PA PB PC PD PE PF m n ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以111663PM PD PE PF m n =++ ，若M ，D ，E ，F 四点共面，则1111663m n ++=，解得114m n +=，故D 错误.故选：ABC.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a <，120a a +>，则下列命题正确的是（）A.若{}n a 为等差数列，则数列{}n S 为递增数列B.若{}n a 为等比数列，则数列{}n S 为递增数列C.若{}n a 为等差数列，则数列{}n a 为递增数列D.若{}n a 为等比数列，则数列{}n a 为递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，得到公差0d >，110a d a +>->，结合等差数列求和公式得到110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，A 正确，推出()11n n a a n +>≥得到C 正确；BD 选项，得到公比211a q a =<-，举出反例得到C 错误，由10a >，且11n na q a +=>，得到D 正确.【详解】因为10a <，120a a +>，所以20a >，且211a a a >=-，AC 选项，若{}n a 为等差数列，则公差210d a a =->，110a d a +>->，则()112n n n S na d -=+，110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，则数列{}n S 为递增数列，A 正确；由于21a a >，故21a a >，又0d >，故()102n n a a n +>>≥，则()11n n a a n +>≥，数列{}n a 为递增数列，C 正确；BD 选项，若{}n a 为等比数列，则公比211a q a =<-，不妨设2q =-，11a =-，则232,4a a ==-，故1313S S =->=-，则数列{}n S 不为递增数列，B 错误；由于1q >，故11n na q a +=>，又10a >，故数列{}n a 为递增数列，D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可以是______．（只需填写满足条件的一个方程）【答案】2241y x -=（答案不唯一）.【解析】【分析】由相同渐近线的双曲线的共性即可求解.【详解】若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可设为()224,0y x λλ-=≠，在这里不妨取1λ=即可满足题意.故答案为：2241y x -=（答案不唯一）.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =______．【答案】1【解析】【分析】由等比数列前n 项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比q ，从而由514a a q =即可得解.【详解】设公比为(),0q q >，由题意31232123S a a a a a =++=+，所以231211122a a q a a a q a ==+=+，又10a ≠，所以220q q --=，解得20q =>满足题意，所以51441612a q a ===.故答案为：1.15.已知点P 为圆()()22:448C x y -+-=上一动点，()2,0A ，()0,2B ，则点P 到直线AB 的距离的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先得出圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离，以及圆()()22:448C x y -+-=的半径，由此结合1d r d d r -≤≤+即可求解.【详解】显然点()2,0A ，()0,2B 在圆()()22:448C x y -+-=的外面，而直线:122x y AB +=，即:20AB x y +-=，又圆()()22:448C x y -+-=的圆心、半径分别为()4,4,C r =所以圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离为d ==设点P 到直线AB 的距离的为1d ，则1d r d d r =-≤≤+=，即点P 到直线AB 的距离的取值范围是.故答案为：.16.两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为______．【答案】33【解析】【分析】建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值.【详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，BC BE ∴⊥，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0A C F E (),,,CM a BN b a b ⎡==∈⎣ ，∴M ，N ．MN =，当33a b ==时，MN 最小，最小值为3；故答案为：33四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1AB =，2'AD AA ==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，设AB a =，AD b = ，AA c '= ．（1）用向量,,a b c 表示A C ' ；（2）求BC A C ''⋅ ．【答案】（1）a A C b c'=+- （2）1BC A C ''⋅=【解析】【分析】（1）直接分解向量即可求解；（2）首先分解向量得B b C c '=+ ，进一步结合,,a b c 两两之间的数量积即可求解.【小问1详解】由题意A C A A AC AA A AD a B b c '''=+=-++=+- .【小问2详解】由题意BC BC CC AD AA b c '''=+=++=，因为1AB =，2AD AA '==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，所以2210,121,42a b a c b c ⋅=⋅=⨯⨯=== ，所以()()2201441B b c a b c a b a c b c C A C ⋅''⋅++-+⋅+-==+-==+ .18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．【答案】（1）n a n=（2）102101T =【解析】【分析】（1）直接由等差数列前n 和以及等差数列基本量的计算可得公差d ，由此即可得解；（2）直接由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解.【小问1详解】由题意33a =，()4123423225S a a a a a a a =+++=+=，因为33a =，解得22a =，所以等差数列的公差321d a a =-=，所以数列{}n a 的通项公式为()22n a a n d n =+-=.【小问2详解】由题意22n a n n n b a n =+=+，所以数列{}n b 的前10项和210101210222T =+++++++()()10212101105520462101212⨯-⨯+=+=+=-.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的菱形，2π3ABC ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD =，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ；（2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见讲解.（2）4【解析】【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.（2）利用空间向量求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，因为PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PDB .【小问2详解】连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MO 为PBD △的中位线，所以MO PD ∥，因为PD ⊥平面ABCD ，所以MO ⊥平面PBD ，如图建立空间直角坐标系.根据题意有0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1,,122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面MAC 的一个法向量为()1,0,0n =，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则·2sin cos ,4CP n CP n CP n θ==== ，所以CP 与平面MAC所成角的正弦值4.20.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为5，求该圆的方程．【答案】或【解析】【详解】（法一）设圆P 的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°圆P 截x 轴所得的弦长为，2|b|=，得r 2=2b 2，圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2=a 2+1，得2b 2-a 2=1．又因P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圆的方程是，或（法二）设圆的方程为，令x =0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，从而有2b 2-a 2=1．又因为P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r 2=2b 2=2所求圆的方程是，或21.已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，112a =．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）13k <【解析】【分析】（1）证明111n na a +-为定值即可；（2）先求出数列{}n a 的通项，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，利用单调法求出数列{}n b 的最小项即可得解.【小问1详解】因为11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为112a =，公差为1的等差数列；【小问2详解】由（1）得11n n a =+，所以11n a n =+，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，则()1221222211n n n n n n n n n b b S S S S a a a ++++++-=---=+-11111111023222232422324n n n n n n n n =+->+-=->++++++++，所以数列{}n b 是递增数列，所以()1212min 13n b b S S a ==-==，即()2min 13n n S S -=，所以13k <.22.已知点()2A 在双曲线C ：22221x y a a -=上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）221x y -=（2）3(,1) 4【解析】【分析】（1）由点()2A在双曲线C上，代入求得a的值，即可求解；（2）根据题意，设直线l为2y x m=+，联立方程组，由0∆>，求得12m<-，且21212,4(1)x x x x m+=-=+，利用弦长公式求得则PQ=，进而得到229S m=-，再由直线AP和AQ 的方程，得到254121MNm=-，求得AMN的面积3521Sm=-，进而得到122511,24209S mS m m=-<--+，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由点()2A在双曲线2222:1x yCa a-=上，可得22541a a-=，解得21a=，所以双曲线C的方程为221x y-=.【小问2详解】解：由直线l垂直于OA，可得直线l的斜率为12OAkk=-=，设直线l 的方程为52y x m=+，且1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程组2221y x mx y⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，整理得224(1)0x m+++=，因为直线l与双曲线C的右支交于,P Q两点，则()()2212212Δ16(1)0410mx xx x m⎧=-+>⎪⎪+=->⎨⎪=+>⎪⎩，解得12m<-，可得21212,4(1)x x x x m+=-=+，则12PQ x=-===又由点A到直线220l y m-+=的距离为1293d m==-，所以21292S PQ d m=⋅=-，直线AP的方程为2y x-=+，令0x=，可得2My=+，直线AQ的方程为2y x-=+，令0x=，可得2Ny=+则M NMN y y=-===21m==-，所以AMN的面积354121Sm=-，又由23312221S S SSS S S-==-，则12255111,(21)(29)24209S mS m m m m=-=-<----+，令()22542094(162f m m m m=-+=--，可得函数()f m在1(,2-∞-上单调递减，且1(202f-=，所以()20f m>，所以123(,1)4SS∈，即12SS的取值范围为3(,1)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试卷
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A ．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B ．若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r
C ．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D ．若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 为空间的一组基底，且OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，
D 四点共面
10．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（ ）.
A ．这组数据是近似对称的
B ．数据中可能有极端大的值
C ．数据中可能有异常值
D ．数据中众数可能和中位数相同
11．某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100
名，并对其性别（M （男）、F （女））及消费金额（A （消费金额
>400），B （200<消费金额≤400），
C （
0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如
人数统计表，则下列选项正确的是（ ）
）得曲线M 的方程为24y x =.设(),A x y ，(),B x y .。
山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为（）A.12，2B.12-，2 C.12，2- D.12-，2-2.圆()()22123x y +++=的圆心坐标和半径分别为（）A.()1,2--B.()1,2C.()1,2--，3D.()1,2，33.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y x=± B.2y x=± C.22y x =±D.y =4.平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＝0的距离等于（）A.1B.0C.D.35.设抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，且点()4,2A ，则PA PF +的最小值为（）A.72B.4C.92D.56.已知直线12y x =与双曲线()22210x y a a-=>相交于,A B 两点，且,A B 两点的横坐标之积为4-，则该双曲线的焦距为（）A. B. C.1D.7.在椭圆221169x y +=中，以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为（）A.210x y -+= B.340x y -= C.34120x y +-= D.86250x y --=8.如图，直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于点B ，与准线交于点A ，且3AB BF =，则直线l 的斜率为（）A.22B.2C.3D.32二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线1l ：20x y -=与2l ：30x y +-=交于点P ，则下列说法正确的是（）A.点P 到原点的5B.点P 到直线10x y --=的距离为1C.不论实数m 取何值，直线3l ：()2210m x y +--=都经过点PD.()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标10.当()0,πα∈时，方程22cos 1x y α+=表示的轨迹可能是（）A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线11.椭圆C 的方程为221167x y +=，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，点M 为椭圆上一点且在第一象限.若12MF F △是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A.22MF = B.2117cos 18MF F ∠=C.点M 到x 轴的距离为353D.129MF F S =△12.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率5，M 为双曲线C 上一点，MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，4ON =，则下列结论正确的是（）A.双曲线C 的标准方程为2214x y -= B.2//ON MF C.双曲线C 的焦距为45D.点M 到两条渐近线的距离之积为165三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.抛物线22x y =-的焦点坐标为________.14.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是________.15.已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点.当4AF =时，2π3OFA ∠=，则OA =________.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆上两点P ，Q 满足1F P a =，且1253F P F Q =，则椭圆C 的离心率为________.四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个顶点分别为()1,1A -，()3,3B ，()2,0C .（1）求边AC 所在直线的方程；（2）判断ABC 的形状.18.已知圆M 的方程为2268210x y x y +--+=，点()3,P m 在圆M 内.（1）求实数m 的取值范围；（2）求过点()1,0Q 且与圆M 相切的直线l 的方程.19.已知双曲线C ：()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.（1）求双曲线C 的方程；（2l 经过右焦点2F ，与双曲线的右支相交于A ，B 两点，双曲线的左焦点为1F ，求1ABF 的周长.20.已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，过点F 的直线交抛物线于C 、D 两点，求证：CGF DGF ∠=∠.21.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，经过右焦点F 的直线l （斜率不为0）与椭圆M 分别交于C 、D 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）记椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，ABC 和ABD △的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的最大值.2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为（）A.12，2B.12-，2 C.12，2- D.12-，2-【答案】B 【解析】【分析】利用横纵截距的意义求解即得.【详解】直线42y x =+，当0y =时，12x =-，当0x =时，2y =，所以直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为12-，2.故选：B2.圆()()22123x y +++=的圆心坐标和半径分别为（）A.()1,2--B.()1,2C.()1,2--，3 D.()1,2，3【答案】A 【解析】【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.【详解】圆()()22123x y +++=的圆心坐标为()1,2--.故选：A3.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y x =±B.2y x=± C.22y x =±D.y =【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线方程为：22124x y -=，所以渐近线方程为：y ==.故选：D4.平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y＝0的距离等于（）A.1B.0C.D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.【详解】l 1、l 2的距离为d = 1.故选：A.【点睛】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.5.设抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，且点()4,2A ，则PA PF +的最小值为（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】设点P 到准线的距离为PH ，当,,A P H 三点共线时，PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】解：抛物线22y x =的焦点是1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：12x =-，设点P 到准线的距离为PH ，则PA PF PA PH +=+，如图所示：当,,A P H 三点共线时，PA PF +取得最小值19422AH =+=，故选：C6.已知直线12y x =与双曲线()22210x y a a-=>相交于,A B 两点，且,A B 两点的横坐标之积为4-，则该双曲线的焦距为（）A.22B.23C.21D.6【答案】B 【解析】【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.【详解】联立222121y x x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得22244a x a =-，所以240a ->，此时方程的解为22122244,44a a x x a a==--，222244444a a a a ⎛=- --⎝，解得22a =，符合240a ->，所以双曲线的焦距为213+=.故选：B.7.在椭圆221169x y +=中，以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为（）A.210x y -+=B.340x y -= C.34120x y +-= D.86250x y --=【答案】C 【解析】【分析】先确定点M 在椭圆内部，设交点为()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】因为223221169⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，故点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内部，过点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为()()1122,,,A x y B x y ，则12124,3x x y y +=+=，又2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222212120169x x y y --+=，整理得()()121212129943161634x x y y k x x y y +-⨯==-=-=--+⨯，所以以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为()33224y x -=--，即34120x y +-=.故选：C.8.如图，直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于点B ，与准线交于点A ，且3AB BF =，则直线l 的斜率为（）A. B.2 C.3D.【答案】A【解析】【分析】过点B 作准线的垂线，垂足为M ，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.【详解】过点B 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，在直角三角形ABM 中，1sin 33BM BMBAM AB BM ∠===，cos 3BAM ∠==，所以πsin πcos 2tan tan 2π2sin cos2BAM BAM BFx BAM BAM BAM ⎛⎫-∠ ⎪∠⎛⎫⎝⎭∠=-∠=== ⎪∠⎛⎫⎝⎭-∠ ⎪⎝⎭故选：A.二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线1l ：20x y -=与2l ：30x y +-=交于点P ，则下列说法正确的是（）A.点P到原点的距离为B.点P 到直线10x y --=的距离为1C.不论实数m 取何值，直线3l ：()2210m x y +--=都经过点PD.()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，求出点P 的坐标，再逐项计算、判断即得.【详解】由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1,2x y ==，则点(1,2)P ，对于A ，(1,2)P=A 正确；对于B ，(1,2)P 到直线10x y --=的距离=，B 错误；对于C ，(2)12213m m +⨯-⨯-=-，当3m ≠时，直线3l 不过点P ，C 错误；对于D ，直线2l 的斜率1k =-，因此()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标，D 正确.故选：AD10.当()0,πα∈时，方程22cos 1x y α+=表示的轨迹可能是（）A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线【答案】ABD 【解析】【分析】对α所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.【详解】对方程22cos 1x y α+=，若,cos 02παα==，则21y =，即1y =±，此时该方程表示两条直线1y =与1y =-；若()0,,cos 0,12παα⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，此时该方程表示椭圆；若(),,cos 1,02παπα⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，此时该方程表示双曲线；综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.故选：ABD.11.椭圆C 的方程为221167x y +=，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，点M 为椭圆上一点且在第一象限.若12MF F △是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A.22MF = B.2117cos 18MF F ∠=C.点M 到x 轴的距离为3D.129MF F S =△【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.【详解】如图：因为椭圆的标准方程为：221167x y +=，所以：4a =，7b =，221673c a b =-=-=.因为点M 在第一象限，且12MF F 是等腰三角形，离心率3142c a =>，所以必是：121F F MF =.根据椭圆的定义，211222222MF a MF a F F a c =-=-=-=，故A 正确；在12MF F 中，1126MF F F ==，22MF =，由余弦定理：22221212121241cos 2·246MF F F MF MF F MF F F +-∠===，故B 错误；由2135sin 6MF F ∠=，M 到x 轴的距离为：2213535·sin 263MF MF F ∠=⨯=，故C 正确；1213563523MF F S =⨯⨯= ，故D 错误.故选：AC12.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为52，M 为双曲线C 上一点，MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，4ON =，则下列结论正确的是（）A.双曲线C 的标准方程为2214x y -= B.2//ON MF C.双曲线C 的焦距为45 D.点M 到两条渐近线的距离之积为165【答案】BCD 【解析】【分析】不妨设为M 双曲线的右支上一点，延长21、MF F N 交于点G ，根据三角形全等进而得1=MF MG ，1=F N GN ，再结合双曲线的定义，中位线定理得a ，由离心率求出b 可得双曲线方程可判断ABC ；设()11,M x y ，则22111164x y -=，求出点M 到两条渐近线的距离之积可判断D.【详解】对于A ，不妨设点M 在双曲线的右支上，延长21、MF F N 相交于点G ，因为MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，所以1F N MN ^，在1、MF N MGN V V 中，11F MN GMNMN MN F NM GNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以1≌MF N MGN V V ，所以1=MF MG ，1=F N GN ，即N 为线段1F G 的中点，可得ON 为12F GF △的中位线，根据双曲线的定义12222MF MF MG MF F G a -=-==，因为ON 为12F GF △的中位线，所以228F G ON ==，即4a =，离心率为c a =，可得c =，所以22220164=-=-=b c a ，所以双曲线C 的标准方程为221164x y -=，故A 错误；对于B ，因为ON 为12F GF △的中位线，2//ON F G ，即2//ON MF ，故B 正确；对于C，因为c =，所以双曲线C的焦距为C 正确；对于D ，双曲线C 的标准方程为221164x y -=，所以渐近线方程为2xy =±，即20x y ±=，设()11,M x y ，则22111164x y -=，即22114116x y -=，点M到两条渐近线的距离之积为221141655x y -==，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长21、MF F N 相交于点G ，结合几何关系得到N 为1F G 的中点，进而求得双曲线的解析式.三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.抛物线22x y =-的焦点坐标为________.【答案】1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.【详解】由抛物线方程22x y =-，可知抛物线标准方程为212y x =-，其焦准距14p =，焦点在x 轴负半轴上，故其焦点坐标为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭14.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是________.【答案】()()221210x y ++-=【解析】【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.【详解】根据题意，42131,222C C x y -++==-==，即圆心坐标为()1,2-；则圆C 的半径()()22122310r =--+-=故所求圆的方程为：()()221210x y ++-=.故答案为：()()221210x y ++-=.15.已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点.当4AF =时，2π3OFA ∠=，则OA =________.【答案】【解析】【分析】过A 作准线的垂线AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为,C B ，结合条件及抛物线的定义可求得p ，在AFO V 中，利用余弦即可求出结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设A 在第一象限，过A 作准线的垂线AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为,C B ．如图所示，由题意知π2πππ2326BFA OFA ∠∠=-==-，因为4AF =，易知2AB =，又A 点到准线的距离为：24d AB BC p =+=+=，解得2p =，在AFO V 中，1,4OF AF ==，2π3OFA ∠=，由余弦定理得22212cos 161214()212OA OF FA OF FA OFA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以OA =.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆上两点P ，Q 满足1F P a =，且1253F P F Q =，则椭圆C 的离心率为________.【答案】12##0.5【解析】【分析】向量坐标化得Q 的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.【详解】根据椭圆性质，122F P F P a +=，1F P a =，则2F P a =，则点P 位于y 轴上，设()0,P b ，()()12,0,,0F c F c -，其中c =设()00,Q x y ，由于1253F P F Q = ，得：()()005,,3c b x c y =-，即008535c x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆得：222264912525c b a b+=，即264912525e +=，解得离心率12e =.故答案为：12.四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个顶点分别为()1,1A -，()3,3B ，()2,0C .（1）求边AC 所在直线的方程；（2）判断ABC 的形状.【答案】（1）320x y +-=；（2）ABC 是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）求出直线AC 的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）求出直线BC 的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.【小问1详解】依题意，直线AC 的斜率()011213AC k -==---，则直线AC 的方程为：()123y x =--，化简得：320x y +-=.【小问2详解】直线BC 的斜率30332BC k -==-，显然1AC BC k k ⋅=-，即AC BC ⊥，ABC 是直角三角形，又||||AC BC ==，则ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰直角三角形.18.已知圆M 的方程为2268210x y x y +--+=，点()3,P m 在圆M 内.（1）求实数m 的取值范围；（2）求过点()1,0Q 且与圆M 相切的直线l 的方程.【答案】（1）()2,6；（2）1x =或3430x y --=.【解析】【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.【小问1详解】圆M ：22(3)(4)4x y -+-=的圆心(3,4)M ，半径2r =由点()3,P m 在圆M 内，得()()223344m -+-<，解得26m <<，所以m 的取值范围为()2,6.【小问2详解】显然点Q 在圆M 外，圆M 的切线经过点()1,0Q ，圆心(3,4)M 到直线1x =的距离为2，则直线1x =是过点()1,0Q 的圆M 的切线；当切线的斜率存在时，设圆M 的切线方程为()1y k x =-，2=，解得34k =，切线方程为()314y x =-，即3430x y --=，所以圆M 的切线方程为1x =或3430x y --=.19.已知双曲线C ：()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.（1）求双曲线C 的方程；（2l 经过右焦点2F ，与双曲线的右支相交于A ，B 两点，双曲线的左焦点为1F ，求1ABF 的周长.【答案】（1）22122x y -=；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c ，再求出a 即可.（2）求出直线AB 的方程，与双曲线方程联立求出弦AB 长，再借助双曲线定义求解即得.【小问1详解】拋物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则双曲线C 的半焦距2c =，由224a +=，得22a =，所以双曲线C 的方程为22122x y -=.【小问2详解】由（1）知2(2,0)F ，直线AB的方程为)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由)221222x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2670x x -+=，显然0∆>，则126x x +=，127x x ⋅=，AB ===，因此2121||||4||||2||2AF BF AB B a AF a F a =+=++=++，所以1ABF的周长为.20.已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，过点F 的直线交抛物线于C 、D 两点，求证：CGF DGF ∠=∠.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p 的值，即得答案；（2）设出直线CD 的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简GC GD k k +，即可证明结论.【小问1详解】由题意点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.得232p+=，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.【小问2详解】证明：设直线CD 的方程为1x ty =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，由241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440y ty --=，216(1)0t ∆=+>，124y y ∴⋅=-.()()()()12121222221212440441144GC GD y y y y y y k k y y yy ++∴+=+==++++，GC GD k k ∴=-，即直线,GC GD 关于x 轴对称，故CGF DGF ∠=∠.21.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，经过右焦点F 的直线l （斜率不为0）与椭圆M 分别交于C 、D 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）记椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，ABC 和ABD △的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 满足的等量关系，求得,,a b c ，则方程得解；（2）设出直线l 的方程为1x ty =+，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数t 表达12S S -，利用基本不等式，即可求得结果.【小问1详解】由方程组221,2191,4c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2a =，b =，故椭圆M 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题知，直线CD 经过点()1,0，且斜率不为0.设直线CD 的方程为1x ty =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由221,431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690t y ty ++-=，显然0∆>，122634t y y t ∴+=-+，122934y y t =-+又24AB a ==，12121221212234t S S AB y y y y t ∴-=⨯-=+=+，当0=t 时，120S S -=当0t ≠时，121243S S t t-=≤=+当且仅当3t =±时，等号成立.综上所述，12S S -【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题；处理第二问的关键是合理转化12S S -为122y y +，再利用韦达定理和基本不等式解决问题.。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
南通市2023-2024学年高二上学期期末数学考试(原卷版)
（2）若 MF , MP , NF 成等差数列，求 NP . 20. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD, AB AD, AD BC ，AP AB AD 1, BC 2.
（1）求二面角 B PD C 的正弦值；
（2）在棱 PC 上确定一点 E ，使异面直线 PD 与 BE 所成角的大小为 60 ，并求此时点 E 到平面 PBD 的距
7. 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 3, BD 4, AD1 DC AB1 BC 5 ，则
cos AA1, BD （ ）
5
A.
12
B. 5 12
4
C.
15
D. 4 15
.8.
已知
F
是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，直线 y
16. 已知圆 C : (x 4)2 y2 5, A, B 是 C 上的两个动点，且 AB 2 .设 A x1, y1 ， B x2, y2 ，则
x1 y1 2 x2 y2 2 的最大值为__________. 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
9. 下列等式中，正确的是（ ）
A A52 A35
B. C52 C35
C. C52 C35 C36 10. 已知曲线 E : x2 y2 xy 4 ，则（ ）
D. 2A22 3A33 A44 A22
A. E 关于原点对称
B. E 关于 x 轴对称
C. E 关于直线 y x 对称
55
1, , , 1. 数列 3 2
的通项公式可能是 an （
福建省三明市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
三明市2023-2024学年第一学期普通高中期末质量检测高二数学试题（答案在最后）本试卷共6页。
满分150分。
注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()1,3,1a =-，()2,,5b k = ，若a b ⊥ ，则实数k 的值为（）A ．1B ．1-C ．73D ．73-2．双曲线2213x y -=的焦距为（）A B ．C ．2D ．43．等比数列{}n a 中，若32,a =，54a =，则9a =（）A ．10B ．16C ．24D ．324．两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（）A ．5B ．5C D ．55．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，11,34OE OA BF BC ==，且EF = （）A ．131344a b c-+ B ．131344a b c++C ．131344a b c--+ D ．131344a b c-++ 6．已知()1,0A -，()1,0B ，若直线()3y k x =-上存在点P 使得90APB ∠=︒，则实数k 的取值范围为（）A ．22,44⎡-⎢⎣⎦B ．22,00,44⎡⎤⎡-⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦C ．,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若12a =，12n n na S +=，()1nn n b a =-，则200T =（）A ．150B ．100C ．200D ．50508．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线()220y px p =>的焦点F 发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60p ＝（）A ．1B ．32C ．2D ．52二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：A2. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. m > 2B. m < -2C. m > -2D. m < 2答案：D3. 已知函数f(x) = (x - 2)^2 + 1的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 5答案：B4. 若a，b是方程x^2 - 3x + 1 = 0的两根，则a^2 + b^2的值等于（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C5. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则方程f(x) = 0在区间（0，3）内的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < -3C. x > -1D. x < 1答案：C7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 4，若f(x) > 0，则x 的取值范围是（）A. x > 1B. x < 1C. x > 2D. x < 2答案：A8. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) < 0，则x的取值范围是（）A. x > 3/2B. x < 3/2C. x > 3D. x < 3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
答案：710. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：011. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1的图象上存在点P(m，n)，使得f(m) = n，求实数k的取值范围。
河南省许昌市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
XCS2023-2024学年第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过(0,4),(1,3)A B -两点的直线的方向向量(1,)k ，则k =（）A.1- B.0C.1D.22.若方程22147x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A.7m <-或4m > B.74m -<<C.4m <-或7m > D.47m -<<3.直线l 过点(2,1)P ，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为（）A.3420x y ++=B.4350x y -+=C.4350x y ++= D.4350x y --=或1y =4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点B 到1AC 的距离为（）A.B.2C.3D.45.下列说法正确的是（）A.若直线1l 的倾斜角为α，则它的斜率为tan k α=B.直线()2:30l x my m -+=∈R 过定点()3,0C.圆221:4C x y +=上有且仅有3个点到直线3:0l x y -+=的距离等于1D.与圆()()222:212C x y -+-=相切，且在x 轴y 轴上的截距相等的直线只有一条6.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则20232024a a +的值是（）A.8094B.8095C.8096D.80977.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e ω=（其中12ω-=）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作,O P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作O 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于,M N 两点，则2222||||b a OM ON +=（）A.1ωB.ω C.ω- D.1ω-8.已知函数()22e 2x f x a bx x =⋅++-，若()11f '=，则()1f '-=（）A.1- B.0C.1D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和n S ．若3121316,0,0a S S =><，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列B.590S =C.3247d -<<-D.12312,,,,S S S S L 中最大的是6S10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，离心率为22，若M ，N 为C 上关于原点对称的两点，则（）A.C 的标准方程为22142x y +=B.114194MF NF +≥C.12BM BN k k ⋅=-D.四边形12MF NF 的周长随MN 的变化而变化11.已知函数()332f x x x =-++，则（）A.()f x 有两个极值点(1,0),(1,4)-B.()f x 有两个零点C.直线4y x =是()f x 的切线D.点(0,2)是()f x 的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1,0A 、()0,3,0B 、()2,2,2C ，则向量AB 在AC上的投影向量的模是___________．13.已知数列{}n a 满足，()11*1,2+=⋅=∈nn n a a a n N ，若nS为数列前n 项和，则2024S =___________.14.若函数21()4ln 2f x x x =-在其定义域的一个子区间(2,2)k k -+上，不是单调函数，则实数k 的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比11223303,1,4,12q a b a b a b <<====.（1）求{}{}n n a b ､的通项公式；（2）求数列{}n na b 的前n 项和.16.已知圆C 的方程为224x y +=．（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若AB =，求直线l 的方程；（2）点(),P x y 为圆上任意一点，求()()2234x y -+-的最大值和最小值．17.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别DD 1、BD 、BB 1是中点.（1）证明：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(3,0)，且经过点(22,5)．（1）求双曲线C 的方程；（2）若以(0)k k ≠为斜率的直线L 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．19.已知函数()()2ln f x x a x a =+∈R ，()e xg x x =-（其中e 为自然对数的底数）、（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求a 的值；（2）设0a >，1x ∀、[]()2122,4x x x ∈≠，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数a 的取值范围．XCS2023-2024学年第一学期期末教学质量检测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】ABC 【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】66【13题答案】【答案】1012323⨯-【14题答案】【答案】[)2,4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）1,2n n n a n b -==（2）212422n nn -⎛⎫--⎪⎝⎭【16题答案】【答案】（1）1x =或3450x y -+=；（2）最大值为49，最小值为9.【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3.【18题答案】【答案】（1）22145x y -=（2）55,0,,4224⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【19题答案】【答案】（1）2a e =-（2）(20,2e 6⎤-⎦。