因式分解运用公式法最新版
因式分解(超全方法)
因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。
下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。
练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
因式分解公式法
因式分解公式法
因式分解，即将一个复杂的多项式拆分成若干更为简单的几项式的过程，它使多项式在运算时可以简化许多问题。
因式分解公式是最常用的一
种解决方法，它通过多项式整体的运算，从而达到多项式拆分的目的。
因式分解公式主要使用三种方法，即带因式分解、最高幂次因子分解
和指数公式法。
首先，带因式分解，这种方法可以将一个多项式分解成该
多项式中出现的各个因子的乘积，如2x^2-6x+4=2(x-2)(x-2)；其次，最
高幂次因子分解，可以将多项式拆分成相乘的最高幂次因子之乘积，如
3x^2+6x+3=3(x+1)^2；最后，指数公式法，主要用来将多项式分解成该多
项式的常数项外，其他元素的积的形式。
因式分解公式可以将多个复杂的多项式简化为若干更为简单的几项式，有助于简化一些复杂的运算，使计算更加方便，更加高效。
因此，在计算
数学和科学问题时，因式分解公式是一个很有用的工具。
因式分解法的公式法
因式分解法的公式法因式分解法中的公式法，那可是数学世界里的一把神奇钥匙！咱先来说说啥是公式法。
简单来讲，就是利用一些固定的公式来把一个多项式分解成几个整式乘积的形式。
这就好像我们有一把专门的钥匙，能打开特定类型的锁一样。
常见的公式有平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²；还有完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
就拿平方差公式来说吧，我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如我们要计算一个很大很大的数，比如 9999² - 1²，如果直接算是不是很麻烦？但用平方差公式，就可以写成(9999 + 1)×(9999 - 1)，一下子就简单多啦！”这小同学听完，眼睛一下子亮了起来，好像发现了新大陆。
完全平方公式也很有意思。
比如说 x² + 6x + 9 ，我们一看，这就是一个完全平方的形式，可以直接写成 (x + 3)²。
在实际解题中，公式法可帮了大忙。
比如说遇到这样一个式子：4x²- 25 ，那我们马上就能想到这是平方差的形式，4x²可以写成 (2x)²，25 就是 5²，所以就能分解为 (2x + 5)(2x - 5) 。
再比如说 9y² - 12y + 4 ，这不就是 (3y - 2)²嘛。
不过，同学们在运用公式法的时候，可一定要小心仔细，要看清楚式子的结构，别张冠李戴啦。
我还发现，有些同学一开始总是容易混淆这两个公式，不是记错了符号，就是搞混了形式。
这时候可别着急，多做几道练习题，慢慢就能找到感觉了。
就像有一次考试，有一道题是分解 x² - 4xy + 4y²，不少同学写成了(x - 2y)(x + 2y) ，这可就错啦，应该是 (x - 2y)²。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
七年级下册因式分解公式
七年级下册因式分解公式
我们要对一个多项式进行因式分解，因式分解是一种将多项式化为几个整式的积的形式。
在七年级下册中，我们主要学习了几种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法等。
首先，我们要理解什么是因式分解。
因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的形式。
例如：x^2 - 2x + 1 可以因式分解为 (x - 1)^2。
接下来，我们来看看七年级下册中主要学习的因式分解公式有哪些。
1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 和 a^2 - 2ab + b^2 =
(a - b)^2。
3. 提公因式法：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么我们可以把这个公共因子提取出来，使得剩下的部分更容易进行因式分解。
现在，我们可以使用这些公式来因式分解一些多项式了。
例如，我们可以将多项式 x^2 - 2x + 1 因式分解为 (x - 1)^2。
再比如，我们可以将多项式 4x^2 - 4x 因式分解为 4x(x - 1)。
通过因式分解，我们可以更好地理解和简化多项式，从而更好地解决数学问题。
高中因式分解常用公式(二)
高中因式分解常用公式(二)高中因式分解常用公式1. 二次方差式公式•二次差分求和公式：(a+b)2−a2−b2=2ab例如，将公式中的a替换为5，b替换为3，得到：$ (5+3)^2 - 5^2 - 3^2 = 2 = 30 $•二次差分求差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2例如，将公式中的a替换为7，b替换为4，得到：$ (7+ = 7^2 - 4^2 = 33 $2. 平方差式公式•平方差公式：(a+b)2−(a−b)2=4ab例如，将公式中的a替换为6，b替换为2，得到：$ (6+2)^2 - (6-2)^2 = 4 = 48 $•平方和差公式：a2+b2=(a+b)2+(a−b)22例如，将公式中的a替换为9，b替换为5，得到：=10692+52=(9+5)2+(9−5)223. 完全平方公式•平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)例如，将公式中的a替换为12，b替换为6，得到：122−62=(12+=216•平方和公式：a2+b2=(a+b)2−2ab例如，将公式中的a替换为8，b替换为4，得到：82+42=(8+4)2−2×8×4=804. 完全立方公式•立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)例如，将公式中的a替换为5，b替换为3，得到：53+33=(5+3)(52−5×3+32)=224•立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)例如，将公式中的a替换为7，b替换为2，得到：73−23=2+7×2+22)=375以上是高中因式分解常用的一些公式及其示例解释。
通过运用这些公式，可以简化因式分解的过程，提高解题的效率。
因式分解公式法
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m . ⑷ 63244914b b a a +-⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
完整)初中常用因式分解公式
完整)初中常用因式分解公式初中常用因式分解公式因式分解是将一个多项式化简为几个整式的乘积形式的过程。
因式分解方法有以下几种：1、___因法：如果一个多项式的各项都含有相同的因式，可以将这个相同因式提取出来，从而将多项式化简为两个因式的乘积形式。
例如，分解因式x^2-2x：解：x^2-2x = x(x-2)2、应用公式法：利用乘法公式的互逆关系，将某些多项式分解因式。
例如，分解因式a^2+4ab+4b：解：a^2+4ab+4b = (a+2b)(a+2b)（完全平方公式）最常用的公式有：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^22) (a±b)^2 = a^2±2ab+b^23) (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^34) (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^35) a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^26) a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)3、分组分解法：将多项式按照一定规则进行分组，并提取公因式，得到一个因式乘积的形式。
例如，分解因式m +5n-mn-5m：解：m +5n-mn-5m = m -5m -mn+5nm -5m )+(-mn+5n)m(m-5)-n(m-5)m-5)(m-n)注意，该方法的核心是能够分组并提取公因式。
4、十字相乘法：对于形式为mx +px+q的多项式，如果a×b=m，c×d=q，且ac+bd=p，则可以将多项式分解为(ax+d)(bx+c)。
例如，分解因式7x^2-19x-6：分析：1-372交差相乘再相加2-21=-19解：7x^2-19x-6 = (7x+2)(x-3)5、配凑法：对于无法利用公式法的多项式，可以将其配成我们已经熟悉的分式分解方法，然后进行因式分解。
例如，分解因式x^3-3x^2+4解：剔除格式错误和明显有问题的段落，改写每段话如下：解原式= x^3 - 3x^2 - 4x + 4x + 4x(x^2 - 3x - 4) + (4x + 4)x(x + 1)(x - 4) + 4(x + 1)到这儿我们可以提公因式了x + 1)(x^2 - 4x + 4)x + 1)(x - 2)^26、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再进行因式分解。
因式分解公式法范文
因式分解公式法范文首先，让我们从基本的因式分解公式开始。
如果我们有一个二次多项式，如x²+bx+c，我们可以使用下述标准公式来分解它：x²+bx+c=(x+m)(x+n)其中，m和n是满足下述条件的两个数：1.它们的和等于该二次多项式中一次项的系数b的相反数；2.它们的积等于该二次多项式中最后一项的系数c。
下面，我们将详细介绍一些常用的因式分解公式。
一、差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式适用于当两个数的平方之差表达式中的两个数a和b分别满足如下条件：1.它们的和等于该平方差表达式中的一次项的系数；2.它们的积等于该平方差表达式中的常数项。
举个例子，如果我们有一个平方差表达式x²-9，我们可以使用差平方公式来分解它：x²-9=(x+3)(x-3)二、公式法：1.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²这两个公式可以帮助我们分解一个二次多项式或一个平方和表达式为两个完全平方。
举个例子，如果我们有一个二次多项式x²+6x+9，我们可以应用完全平方公式将其分解为两个完全平方：x²+6x+9=(x+3)²2.立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)这个公式适用于当两个数的立方和表达式中的两个数a和b分别满足如下条件：1.它们的和等于该立方和表达式中的一次项的系数；2.它们的积等于该立方和表达式中的常数项的相反数。
举个例子，如果我们有一个立方和表达式x³+8，我们可以使用立方和公式将其分解为两个因子：x³+8=(x+2)(x²-2x+4)三、其他公式：1.如上所述2.标准立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)这个公式适用于当两个数的立方差表达式中的两个数a和b分别满足如下条件：1.它们的差等于该立方差表达式中的一次项的系数；2.它们的积等于该立方差表达式中的常数项的相反数。