空间图形的公理(公理1,2,3)
拔高讲义——第八章立体几何之第2讲：空间点、线、面的位置关系(教师版)
第2讲 空间点、线、面的位置关系最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.平面的公理与定理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(5)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). ②范围：⎝⎛⎥⎤0，π2.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)圆心和圆上两点可以确定一个平面.(×)(2)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(×)(4)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.(√)(5)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线.(×)2.下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A.0B.1C.2D.3解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，∴④不正确.答案 C3.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.答案 D4.如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________.A和BC的解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面.答案①②③5.(人教A必修2P52B1(2)改编)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________.解析取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN綉AD綉BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角.又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，∴∠MHB＝90°.答案90°考点一平面基本性质的应用【例1】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点. 证明 (1)连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又A1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E ，C ，D 1，F 四点共面. (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE ，D 1F ，DA 三线共点.规律方法 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.【训练1】 如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綉12AD ，BE 綉12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知G 、H 分别是F A 、FD 的中点，得FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形. (2)解 由BE 綉12AF ，G 为F A 中点知，BE 綉FG ，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.考点二空间两条直线的位置关系【例2】(1)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).(2)(2016·余姚模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行解析(1)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.(2)如图，连接C1D，BD，AC，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.答案(1)②④(2)D规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【训练2】如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B ∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线.证明法一(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线.法二(直接证法)∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线.考点三异面直线所成的角【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值. 解 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°， 在Rt △ABO 中，AB ＝2，∠OAB ＝30°， ∴BO ＝AB ·sin 30°＝1，∵PO ⊥面ABCD ，OB ⊂面ABCD ， ∴PO ⊥OB ，∴在Rt △POB 中，PO ＝BO ·tan 60°＝3， ∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3. ∴四棱锥P －ABCD 的体积 V P －ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥P A ，∴∠DEF 为异面直线DE 与P A 所成角(或其补角).在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，P A ＝6，∴EF ＝62. 在正△ABD 和正△PDB 中，DF ＝DE ＝3， 在△DEF 中，由余弦定理， 得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－（3）22×3×62＝6432＝24.即异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24.规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.【训练3】 已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角的大小.解 法一 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角. 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN (或其补角)是AB 与MN 所成的角.又因为AB ＝CD ， 所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°. 若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.法二 由AB ＝CD ，可以把该三棱锥放在长方体AA 1BB 1－C 1CD 1D 中进行考虑，如图，由M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以MN ∥AA 1，即∠BAA 1(或其补角)为AB 与MN 所成的角. 连接A 1B 1交AB 于O ，所以A 1B 1∥CD ，即∠AOA 1(或其补角)为AB 与CD 所成的角.所以∠AOA 1＝60°或120°，由矩形AA 1BB 1的性质可得∠BAA 1＝60°或30°. 所以直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.[思想方法]1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点B 的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. [易错防范]1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.在下列命题中，不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.答案 A2.(2016·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.答案 A4.(2016·深圳调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，∴截面为六边形PQFGRE.答案 D5.(2016·哈尔滨一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A.90°B.75°C.60°D.45°解析如图，过点B作直线BE∥CD，交DA的延长线于点E，连接PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角.∵△P AB和△P AD都是等边三角形，∴∠P AD＝60°，DA＝P A＝AB＝PB＝AE，∴∠P AE＝120°.设P A＝AB ＝PB＝AE＝a，则PE＝3a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝2a，∴在△PBE 中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.即异面直线CD与PB所成角为90°.故选A.答案 A二、填空题6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与b，c的位置关系是________.解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.答案a∥b∥c7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.答案 48.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________.解析 A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确.答案 ③④三、解答题9.如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点.求证：D 1、H 、O 三点共线.证明 如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB1綉DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线.10.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 的中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，即∠MED ＝90°，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案 B12.(2016·长春一模)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33解析 画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示.设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角，△ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF .又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36. 答案 B13.对于四面体ABCD ，下列命题①相对棱AB 与CD 所在直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.其中正确的是________(填序号).解析 对于①，由四面体的概念可知，AB 与CD 所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A 作四面体的高，当四面体ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA ＝DB ，CA ＝CB 时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB 、BC 、CD 、DA 的中点依次为E 、F 、M 、N ，易证四边形EFMN 为平行四边形，所以EM 与FN 相交于一点，易证另一组对棱中点连线也过它们的交点，故④正确. 答案 ①④14.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E ，F ，G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点.(1)解∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC，又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)证明∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴EFGH为梯形.令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD. 又P∈FG，FG⊂平面BCD，∴P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点.。
04空间图形的基本关系与公理
教学课题：空间图形的基本关系与公理教学分析：从长方体出发，认识几何体的点、线、面，通过仔细观察，让学生觉得四个公理确实是显而易见的. 本节的等角定理没有给出证明，而是通过从平面到空间的类比得到和理解这个定理.三维目标：1．掌握五类位置关系的分类及其有关概念，掌握平面的基本性质，提高学生的归纳、类比能力；2．掌握公理4和等角定理，并会运用它们解决问题，培养学生发展空间想象能力，运用图形语言进行交流的能力、几何直观的能力.教学重点：4个公理和等角定理的应用.教学难点：空间图形的位置关系和公理的归纳.教学课时：4课时教学过程：第1课时（空间图形基本关系的认识）一．创设情景，引入新课空间图形很丰富，但其都是由点、线、面所组成的. 研究清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的，那么，我们从今天开始，就以长方体中的点、线、面来研究空间图形的基本要素：点、线、面的位置关系. （引入新课）二．新知师在黑板上画出如下长方体，观察点、线、面的位置关系，并思考空间中点、线、面之间的位置关系问题.根据上面的长方体模型，引导学生归纳空间中点、线、面之间的位置关系，并填写下表：（师投影）强调异面直线：异面直线的定义为：不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 也就是说：既不相交又不平行的两条不重合直线称为异面直线，其常用的判定方法为：连接平面外一点A 与平面内一点B 的直线AB 与该平面内不过点B 的任意直线是异面直线.思考：分别在不同平面内的两条直线的位置关系是什么？例 如图，正方体1111D C B A ABCD 中，Q P S R N M ,,,,,分别是所在边上的中点，则： ⑴MN 与RS 的关系是 ； ⑵MN 与PQ 的关系是 ；⑶RS 与MN 的关系是 .三．小结：总结空间中点、线、面之间的位置关系. 四．作业：习题A 41-组第4题.第2课时（空间图形公理1、2）一．复习回顾，引入新课复习空间中点、线、面之间的位置关系，强调数学符号表示空间中点、线、面之间的位置关系. 师：公理是显而易见的事实，如两点确定一条直线，那么在空间图形中有哪些公理？（导入新课） 二．新知 ㈠公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）.图形表示：符号语言：若l A ∈，l B ∈，α∈A ，α∈B ，则α⊂l . 理解：⑴理解平面时，类似于直线，向四面八方无限延展； ⑵画法：只需将直线画在平行四边形（平面）内即可. 作用：⑴判断直线在平面内的方法；⑵判断点在平面内的方法：如l A ∈，α⊂l ⇒α∈A ； ⑶用直线检验平面（木工用尺子检验平面）.例：如图，在ABC ∆中，若BC AB ,在平面α内，判断AC 是否在平面α内.㈡公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）. 图形语言：符号语言：若C B A ,,不共线，则有且只有一个平面α，使得α∈C B A ,,.注意：①三点定平面是不正确的；②经过不在同一直线上的四个点不一定有平面，如四面体的四个顶点.作用：⑴定平面；⑵证明点、线共面问题. 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若l A ∉，则有且只有一个平面α，使得α∈A ，α⊂l . 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若A b a = ，则有且只有一个平面α，使得α⊂a ，α⊂b . 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若b a //，则有且只有一个平面α，使得α⊂a ，α⊂b .公理2及三个推论的作用：三个推论及公理都是用来确定平面，确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，也为证明直线共面问题提供了依据.例 已知平面α内有两条直线b a ,，且A c a = ，B c b = ，求证：c b a ,,共面.例 已知三条平行线c b a ,,与直线d 分别相交于点C B A ,,，求证：d c b a ,,,共面. 三．小结：总结公理1、公理2及其推论的内容和作用. 四．预习下节内容.第3课时（空间图形公理3、4）一．复习回顾，导入新知复习提问公理1、公理2及其公理2的三个推论.师：今天，我们继续学习空间图形中的其它公理. （板书课题） 二．新知 ㈢公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 图形语言：符号语言：若α∈P ，β∈P ，则l =βα ，且l P ∈.提出：已知α与β有一个公共点P ，我们知道两面相交，其交线是一条直线且过点P ，那么如何确定它的交线呢？解答：找出另一点βα ∈Q ，则直线PQ 就是α与β的交线.例 如图正方体中，F E ,分别为1CC 和1AA 的中点，请画出平面F BED1与平面ABCD 的交线.归纳：由上例可知公理3中：“两面共一点”是条件，“两面共一线，且过这一点，交线唯一”是结论. 那么，公理3有哪些作用？公理3的作用：⑴判断两面是否相交，即：只要两平面有公共点，则这两平面相交；⑵判断点共线、线共点问题：若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上.例 如图，在正方体中 ，D B 1与平面1ACD 交于点O ，BD 与平面1ACD 交于点M ，求证：1,,D O M 三点共线.㈣公理4平行于同一条直线的两条直线平行. 图形语言：符号语言：若b a //，c a //，则c b //. 推广：平行于同一条直线的直线互相平行. 作用：判断线线平行.例 如图，在正方体中，N M ,分别是AD CD ,的中点，求证：四边形11C MNA 是梯形.三．练习：1．在空间，下列命题正确的个数为（ ） ⑴有两组对边相等的四边形是平行四边形； ⑵四边相等的四边形是菱形； ⑶平行于同一条直线的两条直线平行； ⑷有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. A.1 B.2 C.3 D.42．如图，已知11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆与111C B A ∆全等.四．小结：总结公理3和公理4的概念及其用法. 五．作业：习题A 41-组第5题.第4课时（等角定理）一．复习回顾，引入新课复习提问：公理1~4的概念及其用法.师：今天，我们再来学习空间图形中的一个重要的定理.（导入新课） 二．探究新知 ㈤等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 思考与讨论：在什么情况下，这两角是相等的？互补的？（学生讨论交流）结论1：空间中，如果一个角的两边与另一角的两边分别对应平行，且对应边的方向都相同（或都相反），那么这两个角相等.结论2：空间中，如果一个角的两边与另一角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补.等角定理的应用：（求解异面直线的夹角）等角定理说明了在平移变换下，角的大小不改变，它为我们求解异面直线所成角的大小提供了依据，如图所示，过空间任意一点P ，分别引两条异面直线b a ,的平行线21,l l （1//l a ，2//l b ），这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线b a ,所成的角. 如果两条异面直线所成的角是直角，我们就称这两条直线互相垂直，记作：b a ⊥.例（教材例1） 在空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.例（教材例2） 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线CD AB ,在原正方体中的位置关系是（ ）A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成 60变式训练：如图所示是正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线GH EF CD AB ,,,这四条直线是异面直线的有 对.三．练习：1．已知PQ AB //，QR BC //， 30=∠ABC ，则PQR ∠等于（ ） A. 30 B. 30或 150 C. 150 D.以上结论都不对2．三条直线经过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作 个不同的平面. 这些平面把空间分为 个部分.3．如图，ABCD 为空间四边形，点F E ,分别是BC AB ,的中点，点H G ,分别在AD CD ,上，且AD DH 31=，CD DG 31=. 求证：直线BD FG EH ,,交于一点.四．小结：等角定理的内容及其应用.。
第2讲 空间中的公理与平行关系-中等难度-讲义
空间中的公理与平行关系知识讲解一、空间中的公理1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉；点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．教师内容：数学有三种语言：文字语言、图形语言以及符号语言，符号语言方便记忆，可以结合图形语言来加深理解．我们在集合那里学习的子集之间的关系有⊆和，分别区分子集与真子集．而在立体几何这里，线面之间的关系永远只能是真子集，所以直接用⊂表示即可．2．平面的三个公理： 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图： 符号语言表述：A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，教师内容：公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．公理一也说明了平面是平的，用直线检验平面是否“平”．公理二： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A B C ααα∈∈∈，，．教师内容：公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．公理二说明平面比直线多了一个维度，所以需要多一个不共线的点来确定．公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：A a A aαβαβ，．∈⇒=∈如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线．教师内容：公理三反映了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．教师内容:三个推论都可以由平面基本性质的三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．二、平行的证明1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：共面直线：平行直线与相交直线；异面直线：不同在任一平面内的两条直线．教师内容:根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线所成的角．异面直线所成角的范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 3．直线与平面的位置关系： ⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴； ⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥，如图⑶．教师内容:画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行；4．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：l m l m l ααα⊄⊂⇒∥∥，，．图象语言表述：如右图．教师内容:要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（l m ∥），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：l l m l m αββ⊂=⇒∥∥，． 图象语言表述：如右图．教师内容:线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，由平行的定义立即可得（共面且无交点）．即线面平行的性质定理可以作为线线平行的一个判定．若a α∥，我们要在α内找一条直线b 与a 平行，我们只需要过直线a 做一个与α相交的平面β，它们的交线即为与a 平行的直线b ．6．两个平面的位置关系 ⑴ 两个平面,αβ平行：没有公共点，记为αβ∥；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行．⑵ 两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．7．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．如右图所示．,,,a b A a b ββαβ=⇒∥∥∥．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．教师内容: l3()2()1()lA αααl ml αβαl m A b a αβ面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到：如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．8.两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：a b a b αβαγβγ==⇒∥，，∥．图象语言表述：如右图所示．教师内容:1．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．2．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论γβαb a典例精讲一．选择题（共25小题）1．（2017秋•金安区校级期末）下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行直线确定三个平面．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；对于②，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，∴②错误；对于③，若四点不共面，则每三点一定不共线，假设有三点共线，则这四点一定共面，这与已知四点不共面矛盾，∴假设不成立，③正确；对于④，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴④错误；综上，其中正确的命题序号是③．故选：A．2．（2017秋•临夏市校级期末）已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b 与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在平面β内D．平行或b在平面β内【分析】根据线面平行的性质去判断b与β的位置关系即可．【解答】解：因为a、b是两条平行直线，且a∥平面β，所以b与β的位置关系是b∥β或b⊂β．故选：D．3．（2017秋•东城区期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AD所在直线异面的棱的条数是（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与AD既不相交也不平行的棱即可．【解答】解：由图象知与AD异面的直线有A1B1，BB1 ，CC1，C1D1有4条，故选：B．4．（2018春•安顺期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】由平面展开图可得正方体，结合异面直线的判定和所成角，即可得到所求答案．【解答】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD﹣EFMN，如右图：在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有AF，CN是异面直线且垂直；BM，DE是异面直线且垂直．故选：B．5．（2018春•西城区期末）设m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内．则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n D．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得m∥α；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m∥n，n∥α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故B正确；在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：B．6．（2018春•南关区校级期末）对于直线m，n与平面α，下列推理正确的是（）A．m∥n，n⊂α⇒m∥αB．m⊥n，n⊂α⇒m⊥αC．m∥α，n⊂α⇒m∥n D．m⊥α，n⊂α⇒m⊥n【分析】在A中，m∥α或m⊂α；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C 中，m与n平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：在A中，m∥n，n⊂α⇒m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，m∥α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故C错误；在D中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．7．（2018春•宜昌期末）给出下列四种说法：①若平面α∥β，直线a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若直线a∥b，直线a∥α，直线b∥β，则α∥β；③若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β；④若直线a∥α，a∥β，则α∥β．其中正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据直线与平面以及平面与平面的位置关系，判断所给的命题是否正确即可．【解答】解：对于①，若平面α∥β，直线a⊂α，b⊂β，则a∥b或异面，①错误；对于②，若直线a∥b，直线a∥α，直线b∥β，则α∥β或相交，②错误；对于③，若平面α∥β，直线a⊂α，则a与β无公共点，即a∥β，③正确；对于④，若直线a∥α，a∥β，则α∥β或相交，∴④错误；综上，其中正确说法序号是③，共1个．故选：D．8．（2017秋•仙桃期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，Aa1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGB．则HB=（）A．6B．7C．8D．9【分析】在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG，进而可得答案．【解答】解：交线围成的正方形EHGF，如图，在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG且HB=GC=6，则EF平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于A1D1，所以EF垂直面A1AB1B，所以EF垂直于EH，且由题意得EH=FG=10，由AA1=EM=8，则MH=6，故BH=AB﹣AM﹣MH=16﹣4﹣6=6故选：A．9．（2018春•钦州期末）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点，则直线EF 与直线AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，利用向量法能求出直线EF 与直线AC 所成的角．【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则E （2，1，0），F （2，0，1），A （2，0，0），C （0，2，0），EF →=（0，﹣1，1），AC →=（﹣2，2，0），设直线EF 与直线AC 所成的角为θ，则cosθ=|EF →⋅AC →||EF →|⋅|AC →|=√2⋅√8=12， ∴θ=60°． ∴直线EF 与直线AC 所成的角为60°．故选：C．10．（2017秋•莲湖区校级期末）在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE：EA=BF：FC，且DH：HA=DG：GCD．AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC【分析】由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，从而AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC．【解答】解：∵在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，BD∥平面EFGH，∴BD∥EH，BD∥FG，∴AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC．故选：D．11．（2015秋•绥阳县校级期中）下列说法错误的是（）A．如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补C．两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面D．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥【分析】由公理一，可判断A；由平行角定理，可判断B；由公理二的推论可判断C；由正棱锥的定义，可判断D．【解答】解：由公理一得：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故A正确；由平行角定理得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故B正确；由公理二的推论可得：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面，故C正确；底面是正三角形但侧棱不相等的三棱锥不是正三棱锥，故D错误；故选：D．12．（2017秋•汉中期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AA1与B1D所成角的余弦值是（）A．√33B．√22C．12D．√32【分析】由BB1∥AA1，得∠DB1B是AA1与B1D所成角，由此能求出AA1与B1D 所成角的余弦值．【解答】解：∵BB1∥AA1，∴∠DB1B是AA1与B1D所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则DB1=√3a，BD=√2a，BB1=a，∴AA1与B1D所成角的余弦值为：cos∠DB1B=DB12+BB12−BD22×DB1×BB1=2222×√3a×a=√33．故选：A．13．（2017秋•海淀区校级期末）已知点A∈直线l，又A∈α，则（）A．l∥αB．l∩α=A C．l⊂αD．l∩α=A或l⊂α【分析】直线l与平面α有公共点A，从而l∩α=A或l⊂α．【解答】解：∵点A∈直线l，又A∈α，∴直线l与平面α有公共点A，∴l∩α=A或l⊂α．故选：D．14．（2018春•东湖区校级期中）已知平面α，直线a．则在α内一定存在直线b，使a与b（）A．平行B．相交C．异面D．垂直【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．【解答】解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错．当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．故选：D．15．（2018春•朝阳区期末）棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（）A．6√2B．3√2C．6√3D．3√3【分析】由已知可得过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面是一个边长为√2的正六边形，进而得到答案．【解答】解：如图所示：取棱AD，AB，BB1的中点E，F，G，则该截面是一个边长为√2的正六边形，其面积为6×√34×（√2）2=3√3．故选：D．16．（2018•上海模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1．【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1，共3条．故选：C ．17．（2018•东莞市模拟）如图，圆锥的底面直径AB=2，高OC =√2，D 为底面圆周上的一点，∠AOD=120°，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．75°D ．90°【分析】取AB̂中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出空间中两条直线AD 与BC 所成的角．【解答】解：取AB̂中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵圆锥的底面直径AB=2，高OC =√2，D 为底面圆周上的一点，∠AOD=120°，∴由题意得A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （0，0，√2），D （√32，12，0）， AD →=（√32，32，0），BC →=（0，﹣1，√2）， 设空间中两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴cosθ=|AD →⋅BC →||AD →|⋅|BC →|=32√3⋅√3=12， ∴θ=60°，∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为60°．故选：B ．18．（2017秋•金华期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．√1414B．√19214C．√1313D．13【分析】由已知画出图形，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【解答】解：如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得BC1=√22+32=√13，则AC1=√12+(√13)2=√14．∴cos∠C1AB=√14=√1414．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为√14 14．故选：A．19．（2018•三模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，P为边AB的中点，现将△DAP 绕直线DP 翻转至△DA'P 处，若M 为线段A'C 的中点，则异面直线BM 与PA'所成角的正切值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．4【分析】取A′D 中点N ，连结PN ，MN 推导出四边形PBMN 为平行四边形，从而MB ∥PN ，由此能求出异面直线BM 与PA'所成角的正切值．【解答】解：取A′D 中点N ，连结PN ，MN ，∵M 是A′C 的中点，∴MN ∥CD ∥PB ，且MN=PB ，∴四边形PBMN 为平行四边形，∴MB ∥PN ，在Rt △A′PN 中，tan ∠A′PN=A ′N A P =12， ∴异面直线BM 与PA'所成角的正切值为12． 故选：A ．20．（2018•全国二模）在三棱锥S ﹣ABC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=SA ，SA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ）A ．√55B ．√66C ．√306D ．以上结论都不对 【分析】取AC 中点为E ，连结DE ，SE ，则DE ∥AB ，∠SDE 就是异面直线AB 与SD 所成角，由此能求出异面直线AB 与SD 所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AC 中点为E ，连结DE ，SE ，∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以DE ∥AB ，∴∠SDE 就是异面直线AB 与SD 所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE =√5，又DE=1．∴BA ⊥平面SAC ，∴DE ⊥平面SAC ，∴DE ⊥SE ，∴SD =√6．在Rt △SDE 中，cos∠SDE =DE SD =6=√66． ∴异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为√66． 故选：B ．21．（2018•抚顺一模）给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】在①中，由线面平行的判定定理得a ∥α；在②中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；在③中，这条直线与这个平面不一定垂直；在④中，由面面垂直的性质定理得这两个平面的交线垂直于第三个平面．【解答】解：在①中，如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行， 那么由线面平行的判定定理得a ∥α，故①正确；在②中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故②正确；在③中，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面不一定垂直，故③错误；在④中，若两个相交平面都垂直于第三个平面，则由面面垂直的性质定理得这两个平面的交线垂直于第三个平面，故④正确．故选：C．22．（2017秋•上高县校级期末）如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．③④C．①②③D．②④【分析】在图①中，由BC∥PN，AC∥PM，推导出AB∥平面MNP；在图②中，由AC∥MN，BC∥PN，推导出AB∥平面MNP；在图③中，由BC∥MN，AC ∥PN，推导出AB∥平面MNP；在图④中，AB∩平面PMN=B．【解答】解：正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，在图①中，∵BC∥PN，AC∥PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故①能得出AB∥平面MNP；在图②中，∵AC∥MN，BC∥PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故②能得出AB∥平面MNP；在图③中，BC∥MN，AC∥PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故③能得出AB∥平面MNP；在图④中，AB∩PB=B，PB⊂平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，故④不能得出AB∥平面MNP．故选：C．23．（2018•桃城区校级模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．【解答】解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．故选：D．24．（2018•香坊区校级四模）对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：①存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；②存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①利用线面垂直的性质和定义进行判断．②利用面面垂直的性质和定义进行判断．③利用点到平面的距离去判断．④利用线面平行的性质和定义判断．【解答】解：①若α∥β时，存在直线l，若α与β不平行，则这样的直线不存在，所以①错误．②若α∥β时，存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ，α与β不平行，相交时，只要交线垂直于γ时，也满足条件，所以②正确．③若α∥β时，α内有不共线的三点到β的距离相等，若α与β相交时，在交线的两侧也存在不共线的三点到β的距离相等，所以③正确．④若α∥β时，存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β，若α与β相交时，则不存在，所以④错误．故选：B．25．（2017秋•平遥县月考）下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是（）A．B．C．D．【分析】在B中，推导出AB∥DE，AC∥EF，从而平面ABC∥平面DEF．【解答】解：在B中，如图，连结MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF．故选：B．二．填空题（共3小题）26．（2010秋•启东市校级期中）已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，则∠PQR 等于30°或150°．【分析】由题意AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，由平行公理知，∠PQR与∠ABC 相等或互补，答案易得【解答】解：由题意知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，根据空间平行公理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补所以∠PQR等于30°或150°故答案为：30°或150°．27．（2019春•冀州区校级月考）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足M在线段FH上时，有MN∥平面B1BDD1．【分析】根据平面FHN ∥平面B 1BDD 1，可知平面FHN 内任意一条直线都与平面B 1BDD 1平行，而点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，所以M 满足条件M ∈FH ．【解答】解：∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ，∴面FHN ∥面B 1BDD 1．∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动故M ∈FH ．故答案为：M 在线段FH 上28．（2018秋•城北区校级月考）设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS= 68或683． 【分析】作出图形，利用平面与平面平行推出直线与直线平行，通过相似列出比例关系，求解即可．【解答】解：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SB SA =SD SC ，即918=SC−34SC，∴SC=68． 如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SA SB =SC SD =SC CD−SC ，即189=SC 34−SC． ∴SC=683故答案为：68或683三．解答题（共6小题）29．（2015秋•西宁校级月考）已知：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b=A ，P ∈b ，PQ ∥a ．求证：PQ ⊂α．【分析】首先根据两条直线平行，得到一个确定的平面，根据直线a ⊂β，点P∈β，p ∈b ，b ⊂α，确定p ∈α，根据一条直线和直线外一点可以确定一个平面，得到另个平面是同一个平面，得到结论．【解答】证明∵PQ ∥a ，∴PQ 与a 确定一个平面β，∴直线a ⊂β，点P ∈β．∵p ∈b ，b ⊂α，∴p ∈α∵a ⊂α，∴α与β重合，∴PQ ⊂α30．（2017秋•昌江区校级期末）如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 、H 分别是所在棱A 1D 1，B 1C 1，C 1C 和AB 的中点．（1）求证EG ∥平面A 1BC 1；（2）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．【分析】（1）推导出FG∥CD1，CD1∥A1B，从而FG∥A1B，进而FG∥平面A1BC1，再求出EF∥平面A1BC1，从而平面EFG∥平面A1BC1，由此能证明EG∥平面A1BC1．（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，推导出NH∥EF，由此能证明E、F、G、H四点共面．【解答】证明：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点，∴FG∥CD1，CD1∥A1B，∴FG∥A1B，∵FG⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，∴FG∥平面A1BC1，同理，EF∥平面A1BC1，EF∩EG=E，∴平面EFG∥平面A1BC1，EG⊂平面EFG，∴EG∥平面A1BC1．（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，则N是BC的中点，∴NH∥AC∥A1C1，∴NH∥EF，∴E、F、G、H四点共面．31．（2018•红河州二模）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2，点D是A1B 的中点，点E是B1C1的中点．（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若三棱锥E﹣DBC的体积为√312，求该正三棱柱的底面边长．【分析】（1）连接AB1，AC1，推导DE∥AC1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）由等体积法，得V E﹣DBC=V D﹣EBC，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半，作AF⊥BC交BC于点F，由此能求出该正三棱柱的底面边长为1．【解答】证明：（1）如图，连接AB1，AC1，∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，………………………………（1分）∴在△B1AC1中，DE∥AC1……………………………（3分）∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1………………………………（5分）∴DE∥平面ACC1A1………………………………（6分）解：（2）由等体积法，得V E﹣DBC=V D﹣EBC∵D是A1B的中点，∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半．………………………………………………（8分）如图，作AF⊥BC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1．设底面正三角形的边长a，则三棱锥的高ℎ=12AF=√34a，S△EBC=12×a×2=a…………………………………………（10分）∴V D−EBC=13S△EBC⋅ℎ=√312a2=√312，解得a=1∴该正三棱柱的底面边长为1．……………………………………………………………（12分）32．（2018春•香坊区校级期中）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（1）求证：PQ∥平面SAD；（2）若SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．【分析】（1）取CD中点G，连结PG、QG推导出平面PGQ∥平面SDA，由此能证明PQ∥平面SAD．（2）求出SE⊥AD，SE=√4−1=√3，SE⊥平面ABC，S△ABC =12×2×2×sin120°=√3，由此能求出三棱锥S﹣ABC的体积．【解答】证明：（1）取CD中点G，连结PG、QG，∵在四棱锥S﹣ABCD中，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．∴PG∥SD，QG∥AD，∵PG∩QG=G，SD∩AD=D，∴平面PGQ∥平面SDA，∵PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面SAD．（2）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，SA=SD，SA=AB=2，∴SE⊥AD，SE=√4−1=√3，∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，∴SE⊥平面ABC，∵S△ABC =12×2×2×sin120°=√3，∴三棱锥S﹣ABC的体积V=13S△ABC×SE=13×√3×√3=1．33．（2018秋•仙桃校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD 的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．【分析】（1）推导出MN∥PA，从而MN∥平面PAB，再推导出CN∥AB，从而CN∥平面PAB，由此能证明平面CMN∥平面PAB．（2）点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，三棱锥P﹣ABM的体积V=V M﹣PAB=V C﹣PAB=V P﹣ABC，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA．。
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
平行公理1234
平行公理1234平行公理是哲学家们所遵守的一组公理，用于描述自然界的复杂结构。
它们可以帮助人们理解物理法则的本质，以及我们对自然界的认识。
它们也可以为解决物理问题提供灵活性和可行性。
在这里，我们将介绍平行公理1234，帮助读者理解它们并学会用它们来解决物理问题。
首先，让我们来看看平行公理1：存在的东西可以拆分成无限多的部分。
这条公理表明，所有的事物都可以按它们的量级进行拆分。
我们可以使用这条公理来研究复杂的物理结构，如活体生物，核物理，甚至空间时间流程。
此外，该公理可以帮助研究人员更好地理解物质的组成，以及物质是如何产生、转变和衰变的。
其次，让我们来看看平行公理2：物理定律与时间无关。
这条公理表明，物理定律不会随着时间的推移而发生变化。
换句话说，物理定律无论在任何时间，都具有不变性。
换句话说，物理定律的规则不会随着时间的推移而发生变化。
将此公理应用于实践中，可以帮助人们更好地了解物质的变化，以及如何控制物质的运动。
接下来，让我们来看看平行公理3：物理定律有相对性。
这条公理表明，所有的物理定律都存在一定的相对性。
许多物理定律都是建立在某种绝对参照系之上的，如果有一个参照系是不准确的，那么所有的结果就都是不准确的。
在实践中，有效地使用该公理可以帮助研究人员更好地理解物质的运动，以及如何数学上表达运动。
最后，让我们来看看平行公理4：物理定律是物质的规律性表现。
这条公理表明，物理定律是物质表现出的规律性表现。
此外，该公理表明，物理定律是由物质产生的，而不是由空间、时间或其他外部因素产生的。
在实践中，有效地使用该公理可以帮助研究人员更好地理解物质的变化情况，以及物质是如何表现出物理定律的。
以上就是平行公理1234的四大基本原则及其应用的简要介绍。
平行公理1234可以帮助我们更好地理解物理定律，以及我们对物理学的认知。
它们也能够帮助研究人员更好地解决复杂的物理问题，并协助我们发现物质的规律性表现。
如果科学家们能够有效地使用这些公理，那么我们就可以更好地了解自然界，并控制物理定律。
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
1.4.2空间图形的公理
文字语言 公理1：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面（即可以确定一个 平面. 图形语言
· A · B · C
α
作用：一确定平面;二
B 唯 一 C A， B， C不 共 线 A
用来证明点、线共面
符号语言
• • • •
推论： 1、一条直线和直线外一点确定一个平面 2、两条相交直线确定一个平面 3、两条平行直线确定一个平面
（2） 如图②中直线a和b在同一个平面内，但没有 公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作： a∥b；
(3)如图③中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1， 它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作 异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时 通常用一个或两个平面衬托，如图:
a
b
b a
2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( D ) A．异面 C．相交 B．平行 D．以上都有可能
【解析】选D.如图，a∥b，c与d相交，a与d异面．
3．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为( B ) A ．1 C ．6 B ．3 D ．0
【解析】选B.以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但
文字语言 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线.
β
图形语言
α
·
P
l
符号语言？
作用:一是 判定两个 平面是否 相交;二是 判断点在 直线上.
探究点1
平行公理
思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，
在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？
C
A
D B
高中数学 点、直线、平面之间的位置关系
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质(含答案解析)
名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。
空间图形的基本关系与公理
北 师 大 版
分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G，联结 EF、FG、 EG.
第8章 第二节
高考数学总复习
则∠FEG 或∠FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角，
设 BA＝AC＝AA1＝1，
则 EF＝ 22，EG＝ 22，FG＝
BC，BB1，AA1，C1D1，共 5 条．
北 师
大
版
第8章 第二节
高考数学总复习
(理)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC
＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( )
A．30°
B．45°
北
C．60°
D．90°
师 大
[答案] C
版
第8章 第二节
高考数学总复习
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
北
师
[答案] C
大
版
[解析] a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b
பைடு நூலகம்
平行，否则，若 c∥b，则 a∥b，与已知矛盾，因而 c 不与 b
平行．
第8章 第二节
高考数学总复习
(理)给出下列命题：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；
高考数学总复习
空间图形的基本
第二节
关系与公理
北 师
大
版
第8章 第二节
高考数学总复习
北 师 大 版
第8章 第二节
高考数学总复习
考纲解读
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．