§ 2 已知幂势平行截面面积求体积
祖暅原理与球的体积.ppt
例题讲解
例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各
个顶点都在球O的球面上，问球O的体积.
分析：球外接于正方体
解：RtB1D1D中 : (2R)2 a2 ( 2a)2,得
R 3a 2
V 4 R3 3 a3
3
2
答：球O的体积为 3 a3.
2
D A
D A11
D A
D A11
C B
思考 我们怎样求一个小球的体积？
排水 法
V V 球
排开水
H h
如何求地球的体积呢？
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
幂势即同, 积不容异
思考:利用此原理如何得到球的体积公式?
高与底面半径均为R的旋转体体积对比
O C1
B1
C B O
C1
B1
深入探究
若正方体的棱长为a，则
a
3a
2a
D A
C
D
B
A
D
CA
B
D
1
A
1
C 1A
B
1
1
D B1
1
C
D
1A
1
1
C
B
C
1
B
学以致用
已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出 地球的体积？(假设地球是一个标准的球体）
R
V半球 ?
探索
猜测：V半球
2 3
R3实验:给出如下来自何模型R实验步骤:
１．拿出圆锥和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
课件6：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
设 OA＝R，则 OO′＝12R， ∵OO′⊥截面 ABC，∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝ 23R＝ 3 (cm)，∴R＝2(cm)， ∴V 球＝43πR3＝332π(cm3)，S 球＝4πR2＝16π(cm2)． 即球的体积为332π cm3，表面积为 16π cm2.
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－（OE－O1E1）2＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
【规律方法】 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径 和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平 面问题的主要方法．
【跟踪训练】
4．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球 的体积之和的( ) A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍
【跟踪训练】
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相
等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有2aπ2＝rhπ＝r24，a2，
① ②
由①得 r＝ ππa，
由②得 πrh＝2a2，∴V 圆柱＝πr2h＝2ππa3，
∴V
正方体∶V
圆柱＝a3∶2
[解] 设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S. ∴VA1－ABC＝13S△ABC·h＝13Sh， VC－A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh. 又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh， ∴VB－A1B1C＝V 台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝37Sh－S3h－4S3h＝23Sh， ∴体积比为 1∶2∶4.
第十九章 定积分的应用
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线()()0≥=x f y ，以及直线()b a b x a x <==,和x 轴所为曲边梯形的面积为()⎰⎰==ba b a ydx dx x f A .|| 如果()x f 在[]b a ,上不都是非负的,则所围图形的面积为()⎰⎰==ba b a dx y dx x f A .|||| 一般地，由上、下两条连续曲线()x f y 2=与()x f y 1=以及两直线a x =与()b a b x <=所围成平面图形（图10－1），它的面积计算公式为()[()].12dx x f x f A ba ⎰-= （1） 图10－1 图10－2例１ 求抛物线x y =2与直线032=--y x 所围图形的面积A ．解 该平面图形如图10-2所示．先求出抛物线与直线的交点()1,1-P 与()3,9Q ．用1=x 把图像分为左、右两部分，应用公式（1）分别球的它们的面积为 [()]⎰⎰==--=10101,342dx x dx x x A .32823912=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰dx x x A 所以.33221=+=A A A 本题也可以把抛物线方程和直线方程改写成()()[].3,1,232,12-∈=+===y y g y x y g y x并改取积分变量为y ，便得()()[]dy y g y g A ⎰--=3112().33232312=-+=⎰-dy y y设曲线C 由参数方程 ()()[]βα,,,∈==t t y y t x x （2）给出，在[]βα,上()t y 连续，()t x 连续可微且()0≠'t x （对于()t y 连续可微且()0≠'t y 的情形可类似的讨论）.记()()()(),,0a b b a x b a x a t y <<==≠'或β则由曲线C 及直线x b x a x 和==,轴所围成的面积的图形，其面积计算公式为()().||dt t x t y A '=⎰βα （3）例2 求由摆线()()()0cos 1,sin >-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所为平面图形（图10-3）的面积图10-3解 摆线的一拱可取[]π2,0∈t .所求面积为()()[]dt t t a t a A '--=⎰sin cos 120π()222023cos 1a dt t a a ππ=-=⎰.如果由参数方程（2）所标示的曲线是封闭的，即有 ()()()(),,ββy a y x a x ==且在[]βα,内曲线自身不在相交，那么有曲线自身所围图形的面积为()()||dt t x t y A '=⎰βα()().||⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎰dt t x t y βα或此公式可由公式（1）和公式（3）推出，绝对值内的积分，其正、负由曲线（2）的旋转方向所确定.例3 求椭圆12222=+by a x 所围的面积. 解 化椭圆为参数方程[].2,0,sin ,cos π∈==t t y t a x由公式（4），求得椭圆所围面积为()|cos sin |20dt t a t b A '=⎰π.sin 202ab tdt ab ππ==⎰显然，当r b a ==时，这就等于圆面积.2r π设曲线C 由极坐标方程()[]βαθθ,,∈=r r给出，其中()θr 在[]βα,上连续，.2παβ≤-由曲线C 与两条射线βθαθ==,所围成的平面图形，通常也可称为扇形（图10-4）.此扇形的面积算公式为().212θθβαd r A ⎰= （5）图10-4 图10-5这任可由定积分的基本思想而得.如图10-5所示，对区间[]βα,作任意分割,:110βθθθθ=<<<<=-n n a T射线()1,,2,1-==n i i θθ把扇形分成n 个小扇形.由于()θr 是连续的，因此当||||T 很小时，在每一个[]i i i θθ,1-=∆上()θr 的值变化也很小.任取i i ∆∈ξ，便有()().,,2,1,,0n i r r i i =∆∈≈θξ这时，第i 个小扇形的面积(),212i i i r A θξ∆≈∆ ()∑=∆≈n i i i r A 12.21θξ由定积分的定义和连续函数的可积性，当0||||→T 时，上式右边的极限即为公式（5）中的定积分.例4 求双曲线θ2cos 22a r =所围平面图形的面积. 解 如图10-6所示，因为,02≥r 所以θ的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ与.45,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ由图形的对称性及公式（5），得到 ⎰⋅=4022cos 214πθθd a A =.|2cos 2402a a =πθ 图10-6§2 由平行截面面积求体积设Ω为三围空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面a x =与b x =之间).(b a <为方便起见称Ω位于[]b a ,上的立体.若在任意一点[]b a x ,∈处做垂直于x 轴的平面，它截得 Ω的截面面积显然是x 的函数，记为()x A ，[]b a x ,∈，并称之为Ω的截面面积函数（见图10-8）.本节将导出由截面面积函数求立体体积的一般公式和旋转体的体积公式. 图10-8设截面面积函数()x A 是[]b a ,上的一个连续函数，对[]b a ,作分割.:10b x x x a T n =<<=过个分割点做垂直x 轴的平面,,2,1,n i x x i ==它们把Ω切割成n 个薄片.设()x A 在每个小区间[]i i x x i ,1-=∆的最大、小值分别为i M 与i m ，那么每一薄片的体积i V ∆满足 .i i i i i x M V x m ∆≤∆≤∆于是，Ω的体积∑=∆=n i i V v 1满足 .11∑∑==∆≤≤∆n i i i n i i ix M V x m因为()x A 为连续函数，从而在[]b a ,上可积，所以当||||T 足够小时，能使(),11ε<∆-=∆∑∑==n i i i i n i ii x m M x w其中ε为任意小的正数.由此知道⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=∑∑=→=→n i i i T ni i i T x m x M V 10||||10||||lim lim 或 (),lim 10||||∑=→∆=n i i i T x A ξ其中()()i i i m M A 或=ξ，所以有 ().dx x A V b a ⎰= （1）例1 求两个圆柱面222222a x z a y x =+=+与所围立体的面积.解 图10-9所示为该立体在第一卦限部分的图像（占整体的八分之一）.对任一[]a x ,00∈，平面0x x =与这部分立体的截面是一个边长为202x a -的正方形，所以()x A []..,0,22dx a x x a ∈-=由公式（1）便得().31683022a dx x a V a =-=⎰ 例2 求由椭圆面1222222=++cz b y a x 所为立体的体积. 解 以平面()a x x x ≤=||00截椭球面，得椭圆（它在yOz 面上的正投影）：.1112202222022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x c z a x b y所以截面面积函数为（根据§1例3）：()[].,,122a a x a x bc x A -∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π于是求得椭圆体积.34122abc dx a x bc V aa ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰- 显然当r cb a ===时，这就等于球的体积.343r π 设B A ΩΩ,位于同一区间[]b a ,上的两个立体，其体积分别为.,B A V V 若在[]b a ,上它们的截面面积函数()()x B x A 与皆连续，且()()x B x A =，则有公式（1）推知.B A V V =这个关于截面面积相等则体积也相等的原理，早已为我国齐梁时代的数学家祖冲之之子，生卒年代约在公园5世纪末至6世纪初）在计算球的体积时所发现.在《九章算术》一书中所记载的组原理是：“夫叠基成立积，缘幂势既同则积不可容异”，其中幂就是截面面积，势就是高，这就是说，等高处的截面面积既然相等，则两立体的体积不可能相等（图10-10）.17世纪意大利数学家卡伐列利也提出了类似的原理，但要比组完一千多年.下面讨论旋转体的体积设f 是[]b a ,上的连续函数，Ω是由平面图形()b x a x f y ≤≤≤≤|,|||0绕x 轴旋转一周所得的旋转体，那么易之截面面积函数为()()[][].,,2b a x x f x A ∈=π 由公式（1），得到旋转体Ω的体积公式为()[].2dx x f V π=例3 使用公式（2）导出圆锥体的体积公式.解 设正圆锥的高为h ，地圆半径为r .如图10-11所示，这圆锥体可由平面图形[]h x x h r y ,0,||0∈≤≤绕x 轴旋转一周而得，所以其体积为 ,31220h r dx x h r V h ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ 这个结果读者在中学课本便熟知了，又因同底同高的两个圆锥，在相同高程处的截面为相等的圆，及截面面积函数相同，所以任意高为h ，底半径为r 的圆锥（正或斜），其体积恒为.312h r π 例4 求圆()()R r r R y x <<≤-+0222绕x 轴旋转一周所得的环状立体的体积. 解 如图10-12所示，圆()222r R y x =-+的上、下半圆分别为 (),222x r R x f y -+==().||,221r x x r R x f y ≤--==故圆环体的截面面积函数是()()[]()[]2122x f x f x A ππ-= [].,,422R r x x r R -∈-=π图10-11 图10-12由此得到圆环体的体积为.2822022R r dx x r R V rππ⎰=-=如果把上述改写成,22r R ππ⋅读者不难看出这相当于一个圆锥体的体积.§3 平面曲线的弧长与曲率一 、平面曲线的弧长先建立曲线弧长的概念.设平面曲线.AB C =如图10-14所示，在C 上从A 到B 依次去分点：,,,,,1210B P P P P P A n n ==-它们成为对曲线C 的一个分割，记为T.然后用线段连结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦(),,2,11n i P P i i =-这n 条弦又成为C 的一条内接折线,记|,||,|max ||||1111P P st P P T i ni i n i -=-≤≤∑== 分别表示最长弦的长度和折线的总长度.定义1 对于曲线C 的无论怎样的分割T ，如存在有限极限,lim 0||||s st T =→则曲线C 是可求长的，并把极限s 定义作为曲线C 的弧长.定义2 设平面曲线C 由参数方程()()[]βα,,,∈==t t y y t x x给出.如果()t x 与()t y 在[]βα,上连续可微，且()t x '与()t y '不同时为零（即()()[]βα,,022∈≠'+'t t y t x ），则称C 为一条光滑曲线.定理10-1 设曲线C 由参数方程（1）给出，若C 为一条光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为 ()()⎰'+'=βα.22dt t y t x s证 如前所述，对C 作任意分割{},,,10n P P P T =并设0P 与n P 分别对应βα==t t 与，且 ()()()().1,,2,1,,,-==n i ti y ti x yi xi P i 于是，与T 对应的得到区间[]βα,的一个分割β=<<<<<='-n n o t t t t t a T 121:在T '所属的每个小区间[]i i t t i ,1-=∆上，由微分中值定理得()()().,1i i i i i i i t x t x t x x ∆<∆'=-=∆-ξξ()()().,1i i i i i i i t y t y t y y ∆<∆'=-=∆-ηη 从而曲线C 内接折线总长为.122∑=∆+∆=n i i i y x sT()().122t y x i n i i ∆'+'=∑=ηξ又因C 为光滑曲线，当()0≠'t x 时，在t 的某领域内()t x x =有连续的反函数，故当0→∆x 时0→∆t ；类似的，当()0≠'t y 时，亦能由0→∆y 推知0→∆t .所以当0|1|22→∆+∆=-i i i i y x P P 时，必有0→∆i t .反之，当0→∆i t 时，显然有.0|1|→-i i P P 由此知道；当C 为光滑曲线时，0||||→T 与0||||→'T 是等价的.由于()()t y t x 22'+'在[]βα,上连续从而可积，因此根据定义1，只需证明：()(),lim lim 1220||||0||||∑=→→∆'+'=n i i t t t i y i x sT ξξ （3）而后者即为（2）式右边的定积分，为此记()()()()i i i y i x y i x ξξηξσ2222'+'-'+'=则有 ()()[].122t y i x sT i n i i ∆+'+'=∑=σξξ利用三角形不等式易证()()()()|,|||||||||i i i i i y y y y ξηξησ'-'≤'-'≤由()t y '在[]βα,上连续，从而一致连续，故对任给的,0>ε存在,0>δ当δ<'||||T 时，只要i ξ、,i i ∆∈η就有.,,2,1,||n i i =-<αβεσ因此有 ()()∑∑--∆=∆'+'-n i i i i n i i t t y i x sT 1122||||σξξ∑-<∆≤n i i i t 1.||εσ即（3）式得证，亦即公式（2）成立.若曲线C 有直角坐标方程()[]b a x x f y ,,∈=表示，把它看做参数方程时，即为()[].,,,b a x x f y x x ∈==所以当()x f 在[]b a ,上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线.这时弧长公式为 ()⎰'+=ba dx x f s .12 （4）又若曲线C 由极坐标方程()[]βαθθ,,∈=r r表示，把它化为参数方程，则为()()[]βαθθθθθ,,cos ,cos ∈==r y r x()()(),sin cos θθθθθr r x -'='()()(),cos sin θθθθθr r y '+='()()()(),2222θθθθr r y x '+='+'因此，当()θr '在[]b a ,上连续，且()θr '与()θ2r '不同时为零时，此极坐标曲线为一光华曲线.这时弧长公式为 ()().22θθθβαd r r s ⎰'+= （5）例1 求摆线()()()0cos 1,sin >-=-=a t a y t t a x 一拱的弧长（见图10-3）。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
2020/3/11
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
2020/3/11
2020/3/11
2020/3/11
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
2020/3/11
质疑再探
2020/3/11
运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
2020/3/11
旋转体的体积试题解析——高数常考题目
B x = x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
x = x1( y) o
A
2a x
分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy =
2a
0
x
2
2
(
y)dy
-
2a 0
x
2
1
(
y
)dy
= a2 (t - sin t)2 a sin tdt 2 - a2 (t - sin t)2 a sin tdt 0
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
Vx =
2a y2 ( x)dx
0
a 2a
= 2 a2 (1 - cos t)2 a(1 - cos t)dt 0
= a3
2
(1 - 3cos t
3cos2
t
- cos3
t )dt
=
52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
直线 x = a 、 x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y = f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV = [ f ( x)]2 dx
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月11 日星期 五上午 4时42 分51秒0 4:42:51 20.12.1 1
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 4时42 分20.12. 1104:4 2December 11, 2020
祖暅原理
柱体、锥体、球体的体积公式。 思维能力方面：体会到联想，类比，猜想
证明等合情推理及逻辑推理的 方法在探索新知识方面的重要 作用
探究锥体的体积公式 问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
1 V锥体 3 S底h
探究球体的体积
如图，设平行于大圆且与大圆的距离为L的平面
截半球所得圆面的半径为r，r= R2 l2
于是截面面积 S r 2 (R2 l 2 ) R2 l 2
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
柱体的体积是_V__柱__体____S__底h
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅 原理推导锥体的体积公式吗？
高一数学备课组
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测(含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A ．25B ．55C ．155D ．1052．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3⎤⎦B ．2,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,4 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．264．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ）A ．34B ．63C ．5D ．2236．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．5673B ．5273C ．4973D ．147 7．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（ ）A ．GH 平分EF ，BH AG HC GD = B ．EF 平分GH ，BH GD HC AG = C ．EF 平分GH ，BH AG HC GD = D ．GH 平分EF ，BH GD HC AG= 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A 22B ．22C 27D 211 9．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足14,7AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．77B ．142C ．714D ．14710．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．212．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ）A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤二、填空题13．已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .14．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.15．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．16．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱11A B ，1BB ，11B C 的中点，则下列结论中：①FG BD ⊥； ②1B D ⊥面EFG ；③面//EFG 面11ACC A ； ④//EF 面11CDD C ．正确结论的序号是________.18．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．19．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________20．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题21．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：BD AC ⊥.22．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．23．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.24．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ：（2）求四棱锥E ABCD -的体积.25．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为233PB =60PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面PAC 所成角的大小．26．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC//OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可.【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC//OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 55OD OED DE ∠===． 故选：D.【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 2．A解析：A【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可.【详解】由题意得BC x =，则212x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有： ∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE平面ADE ， ∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC == ∴2114AE x =-212x AD +=， 在ADE 中，由三边关系得：22111124x x ++>-22111124x x +<+-③0x >； 由①②③可得03x <<．故选：A.【点睛】 本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.3．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值，因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M =， 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥，则222211111(2)3M B A A M B =+=+=，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 4．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin POPCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin POPCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>.故选：A 【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，111233d =⨯⨯，故3d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.6．A解析：A 【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P到平面ABC 距离最大，由AB AC ==，BC =，得cos 4ACB ∠==，则sin 4ACB ∠=，28sin 4AB AM CB ===∠，4AM =，3OM ===，358PM =+=，又11sin 22ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯=△所以最大的183P ABC V -=⨯=故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．7．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点， 所以0BH AGHC GD==，EF 平分GH ， 即BH AG HC GD =，所以舍去ABD ，选C 故选：C8．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒= 22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+，所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ， 在ABC 中，72cos 4214ABC ∠==，14sin 4ABC ∴∠=， 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，1111421427377332O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.10．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 3310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.12．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-=2DC =，∴1cos 3233θ==⨯⨯，2233AO CO CE ===∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切 解析：125π 【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长. 【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高4cm AF =，母线5cm AB AC ==， 设ABC 的内切圆O 与圆锥的母线相切与点E ，则OE AB ⊥， 则该圆锥内半径最大的球即以O 为圆心，OE 为半径的球， 在直角三角形ABF 中，2222543cm BF AB AF =--=，由圆的切线性质可得3cm BE BF ==， 所以532cm AE AB BE =-=-=， 在直角三角形AFB 和直角三角形AEO 中， 因为∠∠EAO BAF =，所以△△AFB AEO ~，所以AE OE AF BF =，则可得3cm 2OE =， 过点E 作ED AF ⊥，D 为垂足，则球O 与圆锥的侧面的交线是以DE 为半径的圆，354cm 22AO AF OF =-=-=， 因为1122△AEO S AE OE ED AO =⋅=⋅，所以6cm 5ED =， 所以球O 与圆锥的侧面的交线长为6122cm 55ππ⨯=. 故答案为：125π. 【点睛】本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决.14．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得 解析：414π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则2221(2)t t =+-，解得54t =， 设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =， 则22541()14r =+=所以41414().164S ππ=⨯⨯= 故答案为：414π 【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.15．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ， 则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -， 根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ()22310r r r +=， 所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ=，所以210910rππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=. 故答案为：100π 【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.16．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：4747,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果. 【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ， 可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值， 且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 1117827477tan tan()1637117O HN O HO NHO ---∠=∠-∠====++11tan tan()1O HM O HO OHM ∠=∠+∠==== 所以tan θ的取值范围是44,33⎡+⎢⎣⎦，故答案为：4433⎡⎢⎣⎦. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值；（4）利用和差角正切公式求得结果. 17．②④【分析】由是正三角形可判断①；判断出平面平面平面可判断②；假设面面则可以推出可判断③；由平面平面平面可判断④【详解】连接分别是的中点对于①因方是正三角形所以与不垂直；对于②连接因为且所以平面平面解析：②④.【分析】由1//FG BC ，1BDC 是正三角形，可判断①；判断出1DB ⊥平面11A C B ，平面11//AC B 平面EFG ，可判断②；假设面//EFG 面11ACC A ，则可以推出1//AA EF 可判断③；由平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，可判断④.【详解】连接11A C ，1A B ，1BC ，BD ，1B D ，E ，F ，G 分别是1A B ，1BB ，11B C 的中点． 对于①，因方1//FG BC ，1BDC 是正三角形，所以FG 与BD 不垂直；对于②，连接11D B ，因为1111111AC B D ,AC BB ⊥⊥，且1111B D BB B ⋂=，所以 11A C ⊥平面11BDD B ，1DB ⊂平面11BDD B ，所以111AC DB ⊥，同理11BC DB ⊥， 且1111A C BC C ，所以1DB ⊥平面11A C B ，因为1//A B EF ，11//AC EG ，且111A B AC A ⋂=，EF EG E =，所以平面11//AC B 平面EFG ，所以1B D ⊥平面EFG ．正确； 对于③，如果面//EFG 面11ACC A ，由平面EFG平面11ABB A EF =， 平面11CC A A 平面111BB A A A A =，则1//AA EF ，显然不正确；对于④，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，所以//EF 平面11CDD C ，正确故选：②④.【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明， 属于中档题.18．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26【分析】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可.【详解】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以11A N PC ， 因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ，所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形，因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1A MCN ，所以1//PC 平面1A MCN ，同理可证//PB 平面1A MCN ，因为1PC PB P ⋂=，所以平面1//PBC 平面1A MCN ，因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1A MCN ，连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ，由11AM A N ==，MN =可得1A H ==所以111122A MN S MN A H =⨯⨯=⨯=，所以平行四边形1A MCN 的面积为12A MN S=故答案为：【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.19．【分析】根据给定的几何体的三视图得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥得出圆柱的底面半径和高利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式即可求解【详解】解：根据给定的几何体的三视图可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆 解析：23π 【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式，即可求解．【详解】解：根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆锥，且底面半径1，高为1的组合体，所以几何体的体积为：2221311113πππ⨯⨯⨯=⨯-⨯． 故答案为：23π.【点睛】关键点点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 20．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为解析：①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP 平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为AC BD ⊥且1DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确；③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC B C C ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为PC ⊂平面1AB C ，所以1BD PC ⊥，故③正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线的性质，得到//EF AB ，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）根据面面垂直的性质定理，得到BD ⊥平面ACD ，进而证得BD AC ⊥.【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关空间关系的证明问题，解题方法如下：（1）熟练掌握线面平行的判定定理，在解题过程中，一定不要忘记线在面内、线在面外的条件；（2）根据面面垂直的条件，结合线线垂直，利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而证得线线垂直.22．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．证明四边形DGHM 是平行四边形，可得线面平行；（2）由H 到平面AEC 的距离为F 到平面AEC 的距离的一半，先求出F 到平面AEC 的距离，用体积法可求得F 到平面AEC 的距离．【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ， 所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//FC//HM ， 所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ． 因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：连接HA ，HC ，AF ，记F 到平面ACE 的距离为d ，则H 到平面ACE 的距离为2d ． 在CEF △中，6EF =，高为4，所以CEF △的面积为164122⨯⨯=． 因为三棱锥A CEF -的高为4，所以A CEF -的体积为1124163⨯⨯=．在ACE 中，AC =AE CE ==，所以ACE 的面积为22142(25)(22)462⨯⨯-=． 因为A CEF -的体积与F ACE -的体积相等，所以146163⨯⨯=d ，所以26d =．故H 到平面ACE 的距离为6．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求点到平面的距离．求点到平面的距离的常用方法： （1）定义法：作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长；（2）用体积法计算；（3）空间向量法：求出平面外的点到平面内任一点连线的向量在平面的法向量方向上投影的绝对值．23．（1）证明见解析；（2）62【分析】（1）证明AC ⊥BC 和PA ⊥BC ，BC ⊥面PAC 即得证；（2）先证明∠BPC 为PB 与平面PAC 所成的角，再通过解三角形求出,BC PC 即得解.【详解】证明：(1) AB 为圆O 直径 ∴∠ACB =90°即AC ⊥BCPA ⊥面ABC ，∴PA ⊥BCAC PA =A∴BC ⊥面PAC.(2) BC ⊥面PAC ， ∴∠BPC 为PB 与平面PAC 所成的角，在直角三角形ABC 中，22213BC =-=， 在直角三角形PAC 中，22112PC =+=, 在直角三角形PBC 中，tan ∠BPC =3622=. 故直线PB 与平面PAC 所成角的正切值为62. 【点睛】方法点睛：求线面角常用几何法求解，其步骤为：找→作→证（定义）→指→求（解三角形）.24．（1）证明见解析；（2）233. 【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面ACE 内找一条直线与PB 平行；(2)利用等体积法求体积．【详解】 （1）取AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，可知，EO 为PBD △的中位线，PB EO ∥，又EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以PB 平面ACE（2）因为,,AD PD AD DC PD DC D ⊥⊥⋂=，所以AD ⊥平面PDC ，又因为,60PD CD PDC =∠=︒，所以PDC △为等边三角形，12E ABCD P ABCD A PDC V V V ---== 112322sin 60232A PDC V -=⨯⨯⨯⨯︒⨯=. 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果当时求体积，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.25．（1）证明见解析；（2）45.【分析】（1）利用余弦定理求出PC ，利用勾股定理可证得PC BC ⊥，再由PC AB ⊥结合线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，推导出直线BF 与平面PAC 所成的角为BFH ∠，求出BH 、FH ，即可求得BFH ∠，即为所求.【详解】（1）在PBC 中，43PB =，23BC =，60PBC ∠=，由余弦定理可得2222cos 36PC PB BC PB BC PBC =+-⋅∠=，222PC BC PB ∴+=， PC BC ∴⊥，PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，PC ∴⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，如下图所示：ABC 是边长为3H 为AC 的中点，BH AC ∴⊥且sin 603BH AB ==，PC ⊥平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，BH PC ∴⊥，AC PC C ⋂=，BH ∴⊥平面PAC ，所以，BFH ∠就是直线BF 与平面PAC 所成角．HF ⊂平面PAC ，BH FH ∴⊥，。
祖暅原理
祖暅原理祖暅原理也就是“等积原理”。
它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。
祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。
他提出的难方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。
这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。
（古时人称伞为“盖”，“牟”同侔，意即相合。
）根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三,显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。
刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。
可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。
祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势相同，则体不容异”的结论。
“势”即是高，“幂”是面积。
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。
二者有异曲同工之妙。
根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积，然后再导出球的体积。
这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。
于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。
其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
应用截面面积求体积
下求 (ln x )2dx
e 1 e 2
(ln x ) dx x(ln x ) | 2 ln xdx
1 2 e 1 e 1
e e 2( x ln x x) |1
e 2[(e e ) (0 1)] e 2
V (ln x )2dx (e 2)
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应用截面面积求体积
§8.5 定积分的应用
2、旋转体
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周而成的旋转体，其体积为：
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o a b
x
o
a
x
b
x
V p( x )dx a
设距顶点o为z(0 z h)的截面面积为p( z ).
p( z ) z 2 2 Q h
Q 2 p( z ) 2 z , 0 z h h
z
h
p( z )是[0, h]的连续函数
v p( z )dz
h 0
h 0
Q 2 z dz 2 h
Q
Q 2 h
h
0
Q z3 h 1 z dz 2 |0 Qh 3 h 3
2
z
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§8.5 定积分的应用
x2 y2 c 例2、求椭圆柱面 2 2 1及平面z= x , z 0所围成立体 a b a
( z 0)的体积. 解：y [b, b], P(0, y,0)为y轴上的任一点， 过点P作
a
三,已知平行截面面积函数的立体体积 共36页
所围公共部分的面积 .
答案:
A2
6
0
a2
sin2
d
6412a2co2sd
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二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
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例8. 求双纽线 r2a2co2s所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
A 4
4
1a2
co2s
d
02
y
4
a2
4
co 2sd(2)
0
a2si2 n4 a2
0
o
ax
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 ra2sin
例12. 求阿基米德螺线ra (a0 )相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: dsr2()r2()d
a22a2d a12d
o
2a x
r a
2
sa
12d
(P349
公式39)
0
a2
12 1ln
2
12
2 0
a 1 4 2 a ln 2 (1 4 2) 2
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积近似值(小元素)为
dA1()2d
2 所求曲边扇形的面积为
r()
d
A122()d
x
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1
§ 2 由平行截面面积求体积
一、已知平行截面面积函数的一般体积公式：
设一几何体夹在x＝a和x＝b（a
的体积V等于：()baVSxdx。
注：利用微元法推导公式
例1 求由两个圆柱面 222ayx 和 222azx所围立体体积 . ( 3316a )
例2 求由椭球面2222221xyzabc所围的几何体体积。(a,b,c>0) ( abc34 )
祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子，齐梁时人，大约在五世纪下半叶到
六世纪初 )
补例1 求底面积为S，高为h的斜柱体的体积V。
补例2 求底面积为S，高为h的圆锥体的体积V。
二、旋转体的体积
定义旋转体并推导出体积公式.
设y＝y(x)于[a,b]（R）可积，曲线y＝y(x)，a≤x≤b，绕x轴产生旋转体的截面积为S(x)＝2()yx，
则
V
旋体
＝2()bbaaSxdxydx
注：利用微元法推导公式
例3 推导高为h, 底面半径为r的正圆锥体体积公式.
例4求由圆)0(,)(222RrrRyx绕X轴一周所得旋转体体积.
特别有 25)20(22yx 对应的面积为10002
补例3 求抛物线22yx，0≤x≤1分别绕x轴和y轴所产生的旋转体体积。
补例4 求由曲线02yx和0yx所围平面图形绕X轴旋转所得立体体积.
补例5 ,0 , :xeyDxX轴正半轴 . D绕X轴旋转 . 求所得旋转体体积.
作业 P
246：1，2（1）、（2）、（3）、5*