由平行截面面积求体积1
已知平行截面面积求立体的体积：图形、动画、计算
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 3
例 1立 体 以 f(x ) x 2 1 和 g (x ) x 4 1 （ 3 x 3 ） 之 间 的 区 域 为 底 ，
1 0
1 5 0
在 x 处 的 垂 直 于 x 轴 的 截 面 是 一 个 高 H 3 的 等 腰 三 角 形 。
3
3 2 1 01 5 0 1 2 5
3
-3230x21100x432709 dx125
f:=x->(3/2)*(x^2/10+x^4/150+2): a:=-3:b:=3: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 5
现在来求这个立体的体积
截面面积 A(x) 1 3 [ f (x) g (x)]
2 3 x2 x4 ( 2) 2 10 150
立 体 体 积 V 3A ( x ) d x 33 (x 2 x 4 2 ) d x 2 7 0 9
切片法 1
已知平行截面的面积求体积
（切片法）
h蜀ttp南://xu竹xzm海
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 2
用数学软件Maple作了有关动画 这些动画生动地显示了立体的形成过程
计算了一些立体的体积
g(x) x4 1 150
x
y
f (x) x2 1 10
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 4
动画的Maple程序
数学分析10.2由平行截面面积求体积
第十章 定积分的应用 2 由平行截面面积求体积定义：设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与x=b 之间(a<b). 称Ω为位于[a,b]的立体. 若在任意一点x ∈[a,b]处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记为A(x), x ∈[a,b]，并称之为Ω的截面面积函数.公式1：设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，对[a,b]作分割T ：a=x 0<x 1<…<x n =b. 过各分点作垂直于x 的平面x=x i , i=1,2,…,n ，它们把Ω切割成n 个薄片. 设A(x)在每个小区间△i =[x i-1,x i ]上的最大, 最小值分别为M i 与m i ，那么每一薄片的体积△V i 满足 m i △x i ≤△V i ≤M i △x i . 于是Ω的体积V=∑=n1i i V △满足∑=n1i iix△m ≤V ≤∑=n1i i i x △M . 因为A(x)连续，从而在[a,b]上可积，所以当T 足够小时，能使i n1i i x △ω∑==∑=n1i i i i x )△m -(M <ε，ε为任意小的正数.∴V=∑=→n 1i i 0T M lim △x i (或∑=→n 1i i 0T m lim △x i )=∑=→n1i 0T A lim (ξi )△x i . 其中A(ξi )=M i (或m i ). ∴V=⎰ba A(x )dx.例1：求由两个圆柱面x 2+y 2=a 2与z 2+x 2=a 2 所围立体的体积.解：如图取该立体的第一卦限，即81部分.对任一x 0∈[0,a]，平面x=x 0与这部分立体的截面是正方形，边长为：202x a -，即A(x)=a 2-x 2, x ∈[0,a]. ∴V=8⎰a 0A(x )dx=8⎰-a22)x (a dx=316a 3.例2：求由椭球面222222cz b y a x ++=1所围立体(椭球)的体积.解：以平面x=x 0(|x 0|≤a)截椭球面，得椭圆：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-220222222a x 1c z a x 1b y =1.∴截面面积函数为：A(x)=πbc ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22a x 1, x ∈[-a,a]. ∴V=⎰aa -A(x )dx=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-aa -22a x 1πbc dx=34πabc.注：当a=b=c=r 时，就等于球的体积34πr 3.定理：设ΩA ,ΩB 为位于同一区间a,b 的两个立体，其体积分别V A ,V B .若在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续，且A(x)=B(x)则V A =V B .公式2：设f 是[a,b]上的连续函数，Ω是由平面图形0≤|y|≤|f(x)|, a ≤x ≤b 绕x 轴旋转一周的旋转体，则截面面积函数为A(x)=π[f(x)]2, x ∈[a,b]. ∴旋转体Ω的体积为：V=π⎰ba2[f(x )]dx.例3：试用公式2导出圆锥体的体积公式.解：设正圆锥的高为h ，底圆半径为r ，则有0≤|y|≤hrx, x ∈[0,h].∴V=π⎰⎪⎭⎫⎝⎛h02x h r dx=31πr 2h.例4：求由圆x 2+(y-R)2≤r 2 (0<r<R)绕x 轴旋转一周所得环状立体体积.解：圆的上下半圆分别为：y=f(x)=R+22x r -；y=g(x)=R-22x r -, |x|≤r. ∴圆环体截面面积函数为：A(x)=π[f(x)]2-π[g(x)]2=4πR 22x r -, x ∈[-r,r]. ∴V=2⎰-r022x r πR 4dx=8πR ⎰-r022x r dx= 2π2r 2R.习题1、如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积.解：如图所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为：16y 100x 22+=1， 斜面的方程为Z=2x.用平面x=t 截这个立体，得一长方形，其边长为：8100t 12-和2t.∴A(x)=82x 100x 12⋅-=4x 100x 12-, x ∈[0,10].∴截得楔形体的体积为：V=⎰-1002100x 1x 4dx=3400.2、求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积： (1)y=sinx, 0≤x ≤π, 绕x 轴；(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0), 0≤t ≤2π, 绕x 轴； (3)r=a(1+cos θ), (a>0), 绕极轴；(4)2222b y a x +=1, 绕y 轴. 解：(1)V=π⎰π02x sin dx=2π2.(2)V=π⎰2π22cost)-(1a d[a(t-sint)]=πa3⎰2π3cost)-(1dt=5a 3π2.(3)r=a(1+cos θ), (a>0)是心脏线，而心脏线极轴之上部分的参数方程为： x=a(1+cos θ)cos θ; y=a(1+cos θ)sin θ, (0≤θ≤π) ∴V=|π⎰π322y dx|-|π⎰π32π2y dx|=|π⎰+π222θsin ) cos θ(1a da(1+cos θ)cos θ|=πa3⎰+++π2333) cos θ2θ)(1θcos sin 2θcosθsin 2θ(sin d θ=38πa 3.(4)y=b 22a x 1-, ∴V=πb 2⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a -22a x 1dx =34a b 2π.3、已知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积V=πh 2(r-3h) (h ≤r). 证：球缺体积可看作曲线y=22x R -,R-h ≤x ≤R 绕x 轴旋转而得， V=π⎰Rh-R 2y dx=π⎰-Rh-R 22)x (R dx=πh 2(r-3h). 得证.4、求曲线x=Rcos3t, y=Rsin3t, (R>0)所围平面绕x轴旋转所得立体体积.解：V=π⎰RR-2y dx=π⎰0π62tsinR dRcos3t=3πR3⎰π027ttcossin dt=10516πR3.5、导出曲边梯形0≤y≤f(x), a≤x≤b绕y轴旋转所得立体的体积公式为：V=2π⎰bax f(x)dx.证：曲边梯形绕y轴旋转，在x处的截面图形为一圆柱的侧面，其面积为：A(x)=2πx·f(x), a≤x≤b. 所围立体体积为：V=⎰baA(x)dx=2π⎰b a x f(x)dx. 得证.6、求0≤y≤sinx, 0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体体积. 解法1：曲线y=sinx可分成两部分：x=arcsiny, x=π-arcsiny, 0≤y≤1. 用y=t截这个立体，其截面面积为：A(t)=π[(π-arcsint)2- (arcsint)2]=π3-2π2arcsint.即面积函数为A(y)=π3-2π2arcsiny.∴V=⎰123arcsiny)2π-(πdy=2π2.解法2：利用第5题的结论可得：V=2π⎰πx sinx dx=2π2.。
由平行截面面积求体积
4
u
d
u
令v u
2
16
a3
2
2
(2v
sin 2v) cos4 v d v
偶函数
奇函数
2019年12月17日6时31分
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例7. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:
截面面积为
y f (x) y
从而旋转体体积为
V
b
[
f
(
x
)]2
dx
a
o ax b x
2019年12月17日6时31分
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7
例3 圆锥体的体积公式． 解 设圆锥体的高为 h ，底圆半径为 r 其体积为
2019年12月17日6时31分
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b
V a A( x)d x
2019年12月17日6时31分
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4
例1. 求两个圆柱面
x2 y2 a2, x2 z2 a2
所围的体积．
z
x2 y2 a2
解 利用对称性, 考虑第一卦限部分, O
对任意 x [0, a] , 作垂直于 x 轴的 a
设立体 Ω 夹在垂直于x 轴的两平面 x = a , x = b 之间 在点 x∈ [a , b] 处作垂直于x 轴的平面，它截得 Ω 的 截面面积为A(x), 设 A(x) 在[a , b]连续
A( x)
a
bx
2019年12月17日6时31分
空间立体体积的计算方法(1)
数学积分求体积方法概述摘要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。
本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。
关键词：积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。
本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。
其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。
文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。
文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。
以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。
如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。
所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。
空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。
本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。
高数上册之立体的体积
一系列圆柱形薄壳组成的， 以此柱壳的体积作为体积元素，
当dx很小时，此小柱体的高看作f（x），
即为圆柱薄壳
8
y
在区间 [ x , x dx] 上
柱壳体的体积元素为
绵 阳
师 范 学 院
y f (x)
dV 2x dx f ( x )
V dV 2 xf ( x )dx
a a
b
o
a
x
b
4
x
图1
y
绵 同理,如旋转体由图2的曲边梯 阳 师 范 学 d 形绕y轴形成. x=(y) d 2 c 则体积为 V [ ( y )] dy 院
c
例3 求如图直角三角形绕x轴 旋转而成的圆锥体的体积.
解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为
r y x h
o
2 3 2
o
x
例4 求阿基米德螺线r=a(a>0)上 相应于从0到2的一段弧长. 解
s
b
r ( ) r ( )d a
2 2
2
1 2 d
0
a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )] 2
14
1
绵 阳
师 范 学 院
解
如图,过x的截面是直角三角形,
边长分别为y和ytan .因此
1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan ,-R 2 o R 1 x y 2 2 V ( R x ) tandx R R 2 x 1 2 1 3 2 3 R ( R x x ) tan | R R tan 2 3 3
o
b
x
解 圆的方程为 ( x b) 2 y 2 a 2 ,则所求体积可视为
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
不定积分与定积分期末复习
不定积分与定积分期末复习Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：(1)原函数—>加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去(3)去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论) 例：⎰-12x x dx、dx x ⎰-|1|(连续点x=1处，原函数须相等)详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=>去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求 例：⎰+dx xsin 11=>上下同时乘以x sin 1- 4、巧妙运用1cos sin 22=+x x 例：dx xx ⎰cos sin 1=>带入分子后，拆分即可 5、巧妙运用x x 22tan 1sec +=)(tan sec 2x d xdx ==> 例1：⎰⎰⎰++-==)(tan tan 111tan sec tan sec tan 242424x d x x dx x x x dx x还有 dx x ⎰+-tan 1tanx 1和⎰++dx x x x 1tan tan tan 2(上下同时乘以x 2sec )例注1：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2：其他的题目可以尽量往secx 和tanx 方面去化简 例：⎰+xdx 2sin 2=>上下同时乘以x 2sec 五、解题技巧1、换元法 (1)dx x x n n ⎰+-112解：淡定~~~，然后令n x t =,带入即可 (2)dx x xIn xIn ⎰42 解：)(1Inx d dx x =，再让4242In Inx In Inx x In x In ++=即可 (3)dx xx ⎰+341=>令461x t +=(使分子，分母均为有理数) 2、分部积分法解：(1)⎰⎰⎰-==)(sec tan tan sec )(tan sec sec 3x xd x x x xd x (2)⎰⎰⎰⎰-=-=xdx xdx xdx x xd sec sec sec )cos 1()(sec tan 332(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可(2)⎰++21)1(x x In —>分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分3、万能公式 (1)⎰+dx x sin 11和⎰+dx xcos 11 解答：可以用万能公式，也可以将分母变为一项(从而便于列项出来) (3)⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 ⎰-x dx cos 354、欧拉变换(1)出现如xx -+11，21x x ++之类的 例：⎰+x x dx2=>令x x t +=2带入即可(2)依然可以配方后，用三角代换详情请参见P198 5、典型例题 解：)]1()1[(21122x x -++=>，再上下同时处以2x ，分母进行配方，将分子的原函数”看出来”即可 注意：⎰+dx x311=>可以分母直接因式分解，再列项即可 思路1：配凑拆分—>降次思路2：三角换元—>t=tanx解1：分子)]1()1[(21122x x -++=>，再同时上下处以2x 即可解2：带入可得tdt ⎰2cos(1)当n 为奇数时，提出一个-sinx —>令-sinxdx=d(cosx),再根据 x x 22cos 1sin -=即可(2)当n 为偶数时，令)2cos 1(21sin 2x x -=，带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见P188(1)思路：配凑降次—>分开来算已知)22()22(2++=+x x d dx x 和⎰⎰+++=++)1)1(()1()22(dx 222x x d x x6、其他难题(1) 见P201最上面的两道题定积分一、 定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f 的不定积分是一个函数族{F(x)+C}，而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得出结果2、三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方程：dx y dx x f A a b a b ⎰⎰==)((2)参数方程：⎰⎰==ab a b dt t x t y t x d t y A |)(')(||))(()('|(3)极坐标方程：⎰=a b d r A θθ)(212 注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，则立体体积⎰=a b dx x f V 2)]([π 详情见P248(2)旋转体的体积可知：2)]([)(x f x A π=所以体积公式为 ⎰=dx x f V 2)]([π例：由圆)0()(222R r r R y x <<<=-+绕x 轴旋转一周所得环状立体的体积。
-体积、旋转体的侧面积、一些物理量的计算
dV A(x)dx,
b
V a A(x)dx.
例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径
而与底面交成 的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
y tan
R
则底圆的方程为x2 y2 R2 。
x y
x[R, R] ，用过点x 且垂直于x 轴 o
x2
)dx
a
V
a a
b2 a2
(a
2
x2
)dx
ox
b
Байду номын сангаасax
x dx
2
b2 a2
a 0
(a2 x2)dx
2b2 a2
(a
2
x
1 3
x3
)
a 4 ab2. 03
例 3．已知圆台的上底半径为 r1 ，下底半径为r2 ，高为h ，
求它的体积。
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
y
0
r1
h r2
y
o a x xdx b x
设[x,x dx] 是[a,b] 上的代表小区间，相应的一小块立体
的体积记为V ,设 A(x) 在[x,x dx] 上的最小值和最大值分
别为m 和 M ，则 mdxV Mdx,
取近似
V A(x)dx,
其误差为 V A(x)dx (M m)dx ，
∵当dx0 时，(M m) 0 ，
则 dA 2f (x)dL ，
oa
故
A 2
b
f (x)
1 y2 dx.
a
y f (x) x x dx b x
[ 圆台的侧面积= 母线长 (上底半径 下底半径 ) 。在极限 状态，母线长是弧微元dL ；上底半径 下底半径 2f(x) 。]
平行截面面积求体积
例2 求由圆 x2 ( y R)2 r 2 (0 r R) 绕 x 轴
旋转一周所得环状立体的体积.
y
r
解 x2 ( y R)2 r2 的上下半圆分别为
R
y f2(x) R r2 x2,
O
x
y f1( x) R r 2 x2 .
因此
A( x)dx.
a
i 1
i 1
因此
b
V A( x)dx.
a
例1 求由两个圆柱面 围立体的体积.
x2 y2 a2 与 z2 x2 a2 所
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
A( x)
f
2 2
(
x)
f12( x) 4
R
r2 x2 ,
从而
r
V 8 R
r 2 x2dx 2 2r 2R.
0
例3 求由区域 ( x, y) | 0 x 1 , x y 2 x2
绕 y 轴旋转一周所得立体的体积. y
解 旋转体由曲线
2
x
y,
y [0,1]
2 y , y [1, 2]
围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的
体积公式.
作业： P246：1，2（2，4），4，5，6
[ xi1, xi ] 上 A( x) 的最大、最小值分别为 Mi , mi ,
则第 i 个小薄片的体积 Vi 满足
mi xi Vi Mi xi ,
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解
如图所示为该立体在第一卦
z
部分的图像(总体积的八分之一).
对任一 x0 [0, a ], x x0 与这部 分立体截面为一个边长为
a x 的正方形,所以
2 2 0
a
A( x ) a x , x [0, a] .
2
2
x
a
x0
o
a
得 a 16 3 2 2 V 8 (a x )dx a 0 3
T 0 n n i 1 n T 0 i 1
lim A( i )xi ,
T 0 i 1
其中 A( i ) M i (或 mi ),所以
V A( x )dx .
a
b
例 1 求由两个圆柱面 x 2 y 2 a 2 与 z 2 x 2 a 2 所 围体积.
A( x)
如何求它的 体积呢?
o
a
b
这节课我们将给 出它的体积公式
•已知截面面积函数求体积 设 A( x ) 是[a , b] 区间的一个连续函数 .对
[a , b]作分割T : a x0 x1 xn b. 过各个分点作垂直于 x 轴的平面
x xi , i 1,2,
, n, 他们把 切割成 n 个薄
a
y
x2 y2 z2 例 2 求椭球面 2 2 2 1所围立体(椭球) a b c 的体积.
解
以平面 x x0 ( x a )截椭球面 ,得椭圆 (在
yOz 平面上得正投影): y2 z2 1. 2 2 x0 x0 2 2 b (1 2 ) c (1 2 ) a a 所以截面面积函数为 z 2 x A( x ) bc(1 2 ) , x [a, a]. a
i 1 i
n
i
V M i x i
i 1
n
A( x ) 为连续函数 ,从而在[a , b] 上可积 ,当
T 足够小时,能使
x ( M
i 1 i i i 1
n
n
i
m i ) x i .
因此
V lim M i xi (或 lim mi xi )
h
2
r
o
z
h
x
例 5 求由圆 x 2 ( y R)2 r 2 (0 r R) 绕 x 轴 旋转一周所得环状立体的体积.
y 解 如图,圆 x 2 ( y R)2 r 2 的上,下半圆分别为
r
y f2 ( x) R r x ,
2 2
o
y f1 ( x ) R r x , x r .
2 2
R
x
故圆环体的截面面积函数是
A( x ) [ f 2 ( x )]2 [ f1 ( x )]2
4 R r 2 x 2 , x [r , r ]
V 8 R
r
0
r 2 x 2 dx 2 2r 2 R .
作业: page246 2. (1)(3) 3.
§2由平行截面面积求体积
一 二 通过截面面积函数求体积 旋转体体积
•已知截面面积函数求体积
如图求三维空间中的一夹在平面 x a 和 x b 之间的立体 的体积 . 若在任意一点 x [a , b]处作垂直于 x 轴的平面 , 它截得 的截面面积是 x 的函数 , 即为 A( x ) , 称为 的截面面积函数.
b h x B b LP ' . 2 h 2
K
M
P
L P'
O'
O
从而
x 面积 KLMN ab ( A a )( B b) 1 h x [a ( B b ) b( A a )] 1 f ( x ), h 所求截楔形的体积为
2
V
h
0
f ( x Βιβλιοθήκη dxh [(2 A a ) B (2a A)b]. 6
•旋转体体积
设 f 为[a , b]上的连续函数, 时由平面图形
0 y f ( x) ,a x b
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体.
截面面积函数为
A( x ) [ f ( x )]2 , x [a, b].
片.设在每个区间 i [ xi 1 , xi ]上的最大,最 小值分别是 M i 和 mi ,
A( x)
o
a x0
xi 1
xi
xi
b xn
x
则每个薄片的体积 Vi 满足
mi xi Vi M i xi .
这样, 的体积V Vi 满足
i 1 n
m x
x
a
x x0
c
o
b
y
椭球的体积
x2 4 V bc(1 2 )dx abc . a a 3
a
当 a b c r 时 , 这就等于球的体积
4 3 r . 3
例 3 求截楔形的体积，其平行的上下底为边长 分别等于 A, B 和 a, b的矩形，而高等于 h 。 A a 解 如图, OO ' , QQ ' , OQ h. 2 2 设OP x,则 x a h x Aa Q Q' PP ' . 2 h 2 同样可得 N
于是,我们可得旋转体 的体积公式为
V [ f ( x )]2 dx .
a
b
例 4 用旋转体体积公式导出圆锥体的体积公式.
解 设正圆锥的高为 h ,底圆半径为 r ,如图.
r 圆锥可由平面图形 0 y x , x [0, h] h
绕 x 轴一周而得.
所以其体积为
y
r V ( x ) dx 0 h 1 2 r h. 3