教案_图论1
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图论讲义1图路树
这便证明了 G 是一个二部图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
数学建模图论案例讲解PPT学习教案
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旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）
一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她） 设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好 一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通 常称之为旅行商(推销员）问题。
每个完美匹配都是最大匹配, 反之不一定成立.
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二部图的匹配、独力集 例16： 判断下图的匹配
最大匹配 非完美匹配
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完美匹配
二部图的匹配、独力集
定义5 若图 G的一个顶点子集中的任意两个点都互不相 邻, 则称该顶点子集为为G的一个点独立集。图G的独立 数为G的最大点独力集所含的点数，记为 (G)
x,y E’, w(x,y)=mindG(x,y)
定理２ 加权图 G 的最佳推销员回路的权与 G’的最佳 H 圈的权相同．
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推销员问题近似算法：二边逐次修正法：
（１）任取初始 H 圈: C0=v1,v2,…,vi, ,…,vj,…,vn,v1
（２）对所有的 i ,j，1<i+1<j<n,若 w(vi, vj)+w(vi+1,vj+1)<w(vi,vi+1)+w(vj,vj+1) 则在 C0 中删去边(vi,vi+1)和(vj,vj+1)而加入边(vi, vj)和(vi+1,vj+1)，形成 新的 H 圈 C，即
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1994全国大学生数学建模竞赛题目
B题 锁具装箱
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有5个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4,5,6}6个数(单位略)中任取一数。 由于工艺及其它原因, 制造 锁具时对5个槽的高度还有两个限制: 至少有3个不同的数; 相邻两槽 高度之差不能为5。 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称 为一批。 出来的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中"一把钥匙开一把锁"。 但是在当前工艺条件下 , 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对 应的5个槽的高度中有4个相同, 另一个的高度差为1, 则可能互开; 在 其它情形下, 不可能互开。 原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售。 团体顾客往往购买几箱到几十箱, 他们抱怨购得的 锁具会出现互相开的情形。 现聘聘请你为顾问, 回答并解决以下问题:
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旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）
一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她） 设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好 一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通 常称之为旅行商(推销员）问题。
每个完美匹配都是最大匹配, 反之不一定成立.
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二部图的匹配、独力集 例16： 判断下图的匹配
最大匹配 非完美匹配
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完美匹配
二部图的匹配、独力集
定义5 若图 G的一个顶点子集中的任意两个点都互不相 邻, 则称该顶点子集为为G的一个点独立集。图G的独立 数为G的最大点独力集所含的点数，记为 (G)
x,y E’, w(x,y)=mindG(x,y)
定理２ 加权图 G 的最佳推销员回路的权与 G’的最佳 H 圈的权相同．
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推销员问题近似算法：二边逐次修正法：
（１）任取初始 H 圈: C0=v1,v2,…,vi, ,…,vj,…,vn,v1
（２）对所有的 i ,j，1<i+1<j<n,若 w(vi, vj)+w(vi+1,vj+1)<w(vi,vi+1)+w(vj,vj+1) 则在 C0 中删去边(vi,vi+1)和(vj,vj+1)而加入边(vi, vj)和(vi+1,vj+1)，形成 新的 H 圈 C，即
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1994全国大学生数学建模竞赛题目
B题 锁具装箱
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有5个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4,5,6}6个数(单位略)中任取一数。 由于工艺及其它原因, 制造 锁具时对5个槽的高度还有两个限制: 至少有3个不同的数; 相邻两槽 高度之差不能为5。 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称 为一批。 出来的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中"一把钥匙开一把锁"。 但是在当前工艺条件下 , 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对 应的5个槽的高度中有4个相同, 另一个的高度差为1, 则可能互开; 在 其它情形下, 不可能互开。 原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售。 团体顾客往往购买几箱到几十箱, 他们抱怨购得的 锁具会出现互相开的情形。 现聘聘请你为顾问, 回答并解决以下问题:
教案图论.ppt
∴ 修改临时标号u6= 10 ，6=5 ， u7=9 ，7=5 ， u8= 12 ，8=5 ，
K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9} =min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}， 在vj∈X5中，临时标号不变。
vi Xk
ui
w( vi , v' )
v 'X k
使上式达到最小值的点v’ 可取为vk+1。
计算过程中可采用标号方法。
Xk中的点，ui 值是vs 到vi 的最短路长度，相应的 点记“永久”标号；
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界， 相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i : 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
∴ 点v8得永久标号， 8=5 ，
即从v1到v8的最短路长为u8=12，
∵ 8=5 ， 5=2 ， 2=3 ， 3=1 ，
知从v1到v8 的最短路为：
P1，8=P（v1，v3 ， v2， v5，v8）
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
问题：①本例中，v1到v9的最短路？
6
1
2
10
v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9} =min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}， 在vj∈X5中，临时标号不变。
vi Xk
ui
w( vi , v' )
v 'X k
使上式达到最小值的点v’ 可取为vk+1。
计算过程中可采用标号方法。
Xk中的点，ui 值是vs 到vi 的最短路长度，相应的 点记“永久”标号；
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界， 相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i : 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
∴ 点v8得永久标号， 8=5 ，
即从v1到v8的最短路长为u8=12，
∵ 8=5 ， 5=2 ， 2=3 ， 3=1 ，
知从v1到v8 的最短路为：
P1，8=P（v1，v3 ， v2， v5，v8）
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
问题：①本例中，v1到v9的最短路？
6
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2
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1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
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v6
2
v7
数学建模图论讲
如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆 不重合的图，则称为简单图。
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2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
第18页/共86页
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
5
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
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2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
图论-孟1ppt课件
（2）比较 （当前所有临时标号）
m i n T '( P 2 ) , T '( P 5 ) , T '( P 8 ) = T '( P 2 ) = T '( P 5 ) = 3
即节点 P 2 , P 5 获得固定标号
P8 (T ' (5))2 P9(T'(5)) 2
P 10
3
P 11
3
2
第 P4 (P (2))
权可代表范围、距离、容量、时间等
权
P
、
i
Pj
二节点构成的边的长度用 d(Pi,Pj)dij
容量指标： (Pi、Pj) cij
实际流量： f i j
7、连通图：图中任何节点间皆有链相连
连通片：图中任何连通的一部分
v1 e1
v 6
e6 e7
e8
e 5 v 5 e 4
v 2 e 9 e 2 v 3 v4 e 3
这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已
知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这
个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
v5
图8.2
从以上的例子可以看出，我们用点和点之间的线 所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象 之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象， 用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由 于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间 线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的 并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本 质上是不同的。
2
2
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
图论 课件
第七章图论第八章1图的概念在前面的各章中已经引进过。
在那里，图只是作为表达集合、关系、函数的一种工具。
本章主要对无向图的基本概念、基本性质、各种特殊的图及其判别方法进行较为详细的讨论。
最后将无向图的概念和性质推广到有向图。
也只介绍最基本的内容。
主要内容如下7.1图的基本概念7.5二部图7.2图的矩阵表示7.6平面图7.3欧拉图与哈密尔顿图7.7有向图7.4树7.8有向树习题：2本章教学要求及重点难点理解图及其相关基本概念；理解有向图和无向图的连通性；熟练掌握图的矩阵表示；理解Euler图和Hamilton图的基本概念和它们的区别；理解二部图，平面图，有向图的基本概念；理解树的基本概念，树的性质；熟练掌握求最小生成树的方法；熟练掌握对二叉树的前序、中序、后序遍历方法。
重点：Euler图和Hamilton图的基本概念和它们的区别；判断一个图是二部图，平面图；最小生成树，二叉树的前序、中序、后序遍历。
难点：判断一个图是平面图。
4习题：一，图的定义图：G 是一个有序二元组(V ，E)，记作G ＝(V ，E)，其中：⑴V 是一个有限非空的集合，V 的元素称为G 的结点(或顶点)，V 称为G 的结点集。
⑵E 是由V 中不同元素的对偶({v i ，v j }，v i ≠v j )组成的集合。
这些对偶称为G 的边（或弧），E 称为G 的边集。
§7.1 基本概念§6.1 基本概念一，图的定义5习题：例：图G =(V ，E)中，v 1v 3v 4v 5v 2v 1v 2v 3v 4v 5v 1v 2v 3v 4v 5其图解可以分别画成如下几种样子：V ＝{v1, v2, v3, v4, v5}，E ＝{(v 1 , v 2), (v 1, v 3), (v 2, v 3), (v 2, v 4), (v 3, v 5), (v 4, v 5)}例6有关习题：概念要点：①结点集不能为空，在图解中，结点用点或小圆圈表示；边集可以是空集，在图解中，边用直线或曲线表示；②一个图的图解表示可以是多样的，因为结点的位置和形状可以任意，边的长度和形状也可是任意的。
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
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Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。