2018届高三数学文科二轮复习：专题检测(十四) 直线与圆

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2018高考新课标数学文二轮专题复习课件：专题五第1讲直线与圆精品

＝1，
a2＋1
解得 a＝－43.
答案：A
2．(2015·广东卷)平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2
＋y2＝5 相切的直线的方程是( ) A．2x－y＋ 5＝0 或 2x－y－ 5＝0 B．2x＋y＋ 5＝0 或 2x＋y－ 5＝0 C．2x－y＋5＝0 或 2x－y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0
Δ<0⇔相离．
[例 1] (1)(2016·西安质量预测)p：“a＝－2”是 q：
“直线 ax＋3y－1＝0 与直线 6x＋4y－3＝0 垂直”成立的
()
(导学号 53130031)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知 l1，l2 是分别经过 A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大时，则直线 l1 的方程是________．
2
答案：4
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长2l，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
[变式训练 3] (1)(2016·重庆质检)已知直线 l：x＋ay
[变式训练 2] (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知三点 A(1，0)，
B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的
距离为( )
A.53
B.
21 3
C.2 3 5
D.43
(2)(2016·天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，
点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离

2018大二轮高考总复习文数文档：自检12 直线与圆 Word版含解析

自检12：直线与圆A 组高考真题集中训练直线方程1．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫1－22，12 C ．⎝⎛⎦⎤1－22，13 D ．⎣⎡⎭⎫13，12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B ．答案：B2．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选C 项．法二：由|AF |＝3|BF |可知AF →＝3FB →，易知F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 0，y 0)，则(1－x 1，－y 1)＝3(x 0－1，y 0)从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 20＝4x 0解得x 0＝13，y 0＝±233，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3.答案：C直线与圆的方程1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43解析：在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B ．答案：B2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ．3D ．2解析：因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案：A3．(2016·全国甲卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π4．(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解析：作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.答案：3325．(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠F AC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝16．(2016·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2. 取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：4B 组高考对接限时训练(十二)(时间：35分钟满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·郑州质量预测)“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ax ＋y ＋1＝0与(a ＋2)x －3y －2＝0垂直， ∴a (a ＋2)－3＝0，∴a ＝1或a ＝－3.∴“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．答案：B2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：B3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴P 点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：D4．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A ．62B ．32C ．94D ．2 3解析：由两圆外切，得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1，即(a ＋b )2＝9，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94.答案：C5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( )A ．22B ． 2C ．－2或2D ．－22或2 2解析：因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点恰有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝±2.答案：C6．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题意知，圆M 的圆心为(0，a )，半径为a .∵圆M 被直线x ＋y ＝0所截弦长为22，∴⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2.∴a ＝2.∴|MN |＝12＋12＝2<1＋2.∴圆M 与圆N 相交．答案：B7．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：D8．(2017·武汉模拟)已知直线l ：mx ＋y －1＝0(m ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－2，m )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |为( )A ．4B ．2 5C ．42D ．3解析：∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0，即(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝4，表示以C (2，－1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：mx ＋y －1＝0经过圆C 的圆心(2，－1)，故有2m －1－1＝0，∴m ＝1，点A (－2,1)．∵AC ＝20，CB ＝R ＝2，∴切线的长|AB |＝20－4＝4.故选A ．答案：A9．(2017·兰州二模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫32，322B ．⎝⎛⎭⎫322，32C ．⎝⎛⎭⎫32，332D ．⎝⎛⎭⎫332，32解析：圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1，其圆心C (3，1)，半径为1，∵圆心C 到O (0,0)的距离为2，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为3.再由∠APB ＝90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO ＝12AB ＝t ，故有t ≤3，∴A (－3,0)，B (3,0)．∵圆心C (3，1)，直线OP 的斜率k ＝33，∴直线OP 的方程为y ＝33x ，联立：解得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x (x －3)2＋(y －1)2＝1解得：⎩⎨⎧x ＝332y ＝32.故选D ．答案：D10．(2017·揭阳二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)解析：由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2.① 如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ，由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2.② 综合①②得，2≤k ＜2 2.选B ．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．(2017·清远一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝5上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值是________．解析：如图，由题意可知，原点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为5－1.由点到直线的距离公式可得：|c |122＋(－5)2＝5－1，∴c ＝±13(5－1)．答案：±13(5－1)13.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.答案：514．(2017·柳州二模)已知圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，圆M 的方程为(x －3－3cos θ)2＋(y －3sin θ)2＝1(θ∈R )，过M 上任意一点P 作圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A 、B ，则∠APB 的最大值为________．解析：圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，圆心坐标为：C (3,0)，半径r ＝1.圆M 的方程(x －3－3cos θ)2＋(y －sin θ)2＝1，圆心坐标为：M (3＋3cos θ，3sin θ)，半径R ＝1.由于cos 2θ＋sin 2θ＝1，|C 1C 2|＞R ＋r ，所以两圆相离．过M 上任意一点P 作圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A 、B ，则要求∠APB 的最大值，只需满足：在圆M 找到距离圆C 最近点即可．所以|PC |＝3－1＝2，|AC |＝1.解得：∠APC ＝π6，所以∠APB ＝π3，即∠APB 的最大值为π3.答案： π3。

高三数学-2018届高三数学专项训练(2018)《直线与圆》精品

B 向北
20．（本小题满分
12 分）．已
25 的圆心为 M 1 ，圆 ( x
2
4)
2
y
1的圆心为 M 2 ，一
动圆与这两个圆都外切 .
（ 1）求动圆圆心 P 的轨迹方程；
（ 2）若过点 M 2 的直线与（ 1）中所求轨迹有两个交点 A 、 B ，求 | AM 1 | | BM 1 |的取值范围 .
12 分
故所求轨迹方程为 x2 － y2 =1（x≥2）。 4 12
………… 4 分
（ 2）当过 M2 的直线倾斜角不等于
时，设其斜率为 k，
2
直线方程为 y=k(x-4)
与双曲线 3x 2-y 2-12=0 联立，消去 y 化简得
(3-k 2)x 2+8k 2x-16k 2-12=0
………… 6 分
21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，在上求一点 C ，使 ACB 取得最大值．
y 轴的正半轴上给定 A 、 B 两点，在 x 轴正半轴
22．（本小题满分 14 分）如图，已知：射线 OA 为 y kx (k 0, x 0) ，射线 OB 为 y kx (x 0) ，动点 P( x, y) 在 AOX 的内部， PM OA 于 M ， PN OB 于 N ，四边形 ONPM 的面积恰为 k .
x， 22
500
这是斜率为
3 ，随 a 变化的一族直线。
2
当直线与可行域相交且截距
a 最大时，
2
200
（200 ，100 ）
x 2 y 400 x 200
目标函数 f 取得最大值。由
得
，
O
250
400
x

专题14 直线与圆(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2. (2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r 2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符(4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1. 【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。

2018年高考数学小题精练系列第02期专题14直线与圆理

专题14 直线与圆1．点()1,2A -关于原点的对称点为A '，那么AA '为（） A ．25 B ． 5 C ． 52 D ． 23 【答案】A【解析】()1,2A -， ()1,2A '-，()()22112241625AA =--++=+='．2．已知点(),P x y 在直线10x y --=上运动，那么()()2222x y -+-的最小值为（） A ．12 B ． 22 C ． 32D ． 322【答案】A3．假设直线:3l y kx =与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ． ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】联立两直线方程得： 3{2360y kx x y =+-=，可得两直线的交点坐标为336623k +-，两直线的交点在第一象限， ∴取得3360623k +>->，不等式的解集为3k >，设直线l 的倾斜角为θ，那么3tan θ>， ,62ππθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，应选B ． 4．圆心为()1,2-，且通过点()2,2-的圆的方程是（） A ． ()()22125x y -++= B ． ()()221225x y -++= C ． ()()22125x y ++-= D ． ()()221225x y ++-= 【答案】B【解析】圆心为()1,2-，排除CD ，且通过()2,2-，排除A ，应选B ．5．由直线2y x =+上的点向圆()()22421x y -++=引切线，那么切线长的最小值为（） A ．42 B ． 31 C ． 33 D ．421- 【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M ，过点M 做圆的切线，切线长最短，先求圆心()4,2- 到直线20x y -+=的距离422422++=，圆的半径为1，那么切线长的最小值为()2242131-=，选B ．6．过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为（） A ．3π或23π B ． 6π或56π C ． 4π或34π D ． 3π或56π 【答案】B7．假设圆222610x y x y +--+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，那么k 的值为（） A ．12或2 B ． 34或43 C ． 2 D ． 43【答案】D【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，取得圆心坐标为（1， 3），半径r=3，假设圆222610x y x y +--+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，那么圆心到直线的距离为1，即2311k d k -==+，解得k=43，应选D8．已知两点()1,0M -， ()1,0N ，假设直线()2y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP 是直角三角形，那么实数k 的取值范围是（）A ． 11,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B ． 33,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝ C ． 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ． []5,5- 【答案】B点睛：求与圆有关的轨迹问题时，依照题设条件的不同常采纳以下方式： ①直接法：直接依照题目提供的条件列出方程． ②概念法：依照圆、直线等概念列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等． 9．假设圆()(22324x y -+=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=,那么直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ． ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． 5,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ． ][110,,1212πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D ． ][5110,,1212πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由已知圆的半径r =，∵圆上至少有3个不同的点到直线l， ∴直线与圆相交，且圆心到直线l的距离d ≤又圆的圆心为3（整理得：222010aa b b +-≤∴+-≤，（），解得：22ab-≤≤又直线的斜率22ak k b=--≤≤，，又521246tan tan πππ=+==（）112121246tan tan tan ππππ=-=--==（）， ∴直线l 的倾斜角的范围是][511[01212πππ⋃，，）．应选D ．10．设(),P x y 是曲线22:430C x y x +++=上任意一点，那么yx的取值范围是（） A ．⎡⎣ B ．(),-∞⋃+∞ C ．⎡⎢⎣ D ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C∵22AO =-=， 1AB =， AOB 是直角三角形， ∴22213BO =-=，故13tan 33y AB x BO α====， ∴π6α=， ∵曲线C 是一个圆，关于x 轴对称，∴π6α=-时，直线tan yxα=与直线OB 关于x 轴对称，现在切点在第二象限，∴π3tan tan 63y x α⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，故yx 的取值范围是33,33⎡⎤-⎢⎥⎣．应选C ．11．假设曲线221:20C x y x +-=与曲线()2:0C y y mx m --=有四个不同的点，那么实数m 的取值范围是（） A ． 33,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝ B ． 33,00,33⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ C ． 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣ D ． 33,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B在平面直角坐标系中画出图像如图：∵直线0y =与1C 相交于()0,0和()2,0两个点， ∴0y mx m --=与圆相交即可．当0y mx m --=与圆相切时，圆心到直线的距离2211m d r m ===+，∴213m =， 3m =而0m =时，直线为0y =，不合题；∴33m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝， ∴选择B ．点睛：判定直线与圆的位置关系的常见方式 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程以后利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 12．假设直线1x ya b+= ()0,0a b >>始终平分圆224280x y y +---=的周长，那么ab 的取值范围是（） A ． 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦C ． (]0,8D ． [)8,+∞【答案】D点睛：在利用大体不等式求最值时，要专门注意“拆、拼、凑”等技术，使其知足大体不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，不然会显现错误．。

2018年高考数学二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十一) 直线与圆含解析

14个填空题专项强化练(十一) 直线与圆A 组——题型分类练题型一直线的方程1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________．解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.答案：－2或12．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.答案：x ＋3y －1＝03．若直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a ＝________.解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，解得a ＝23.答案：234．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值为________．解析：由点到直线的距离公式，得 d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，又θ∈R ，所以d max ＝2＋ 2. 答案：2＋ 2 题型二圆的方程1．已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)2．圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝25.答案：x2＋(y－5)2＝253．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，故b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.答案：(－∞，1)4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________．解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C(a,0)．因为圆C平分圆C1的圆周，所以r2＝CC21＋1.同理可得r2＝CC22＋9，所以CC21＝CC22＋8，即(a－4)2＋82＝(a－6)2＋62＋8，解得a＝0，从而得r2＝CC21＋1＝42＋82＋1＝81，故圆C的方程为x2＋y2＝81.法二：设圆C的方程为：(x－a)2＋y2＝r2.则圆C与C1的公共弦方程为(2a－8)x－16y＋79＋r2－a2＝0.(*)因为圆C平分圆C1的圆周，所以直线(*)经过圆C1的圆心，即a2－8a－r2＋81＝0.①同理，由圆C平分圆C2的圆周，得a2－12a－r2＋81＝0，②联立①②得a＝0，r2＝81.故圆C的方程为x2＋y2＝81.答案：x2＋y2＝81题型三直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.解析：不妨设a>b，由题意可知，每段圆弧的圆心角为90°，故弦心距为2，从而由|1－2＋a |2＝2及|1－2＋b |2＝2，得a ＝22＋1，b ＝－22＋1，故a 2＋b 2＝18. 答案：182．在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则由PA ＝12PB 可得(x －1)2＋y 2＝14[(x －4)2＋y 2]，化简得x 2＋y 2＝4.又点P 在直线x －y ＋m ＝0上，则直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案：[－22，2 2 ]3．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：根据题意，由于(－4－1)2>5，所以点P 在圆C 外，过圆心C 作CM ⊥AB 于M ，连结AC .易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则CM ＝|k ＋4k |k 2＋1＝|5k |k 2＋1，AM ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫|5k |k 2＋12＝5－20k 2k 2＋1.又点A 恰好是线段PB 的中点，所以PM ＝3AM ，在Rt △PMC 中，CM 2＋PM 2＝PC 2，即25k 2k 2＋1＋45－180k 2k 2＋1＝25，得180k 2＝20，即k ＝±13，故直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.答案：x ±3y ＋4＝04．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PBPA的最大值是________．解析：法一：设点P (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝(x －1)2＋(y ＋1)2x 2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3，令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，则x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋(2λ－1)2≤2，解得0<λ≤4，所以PBPA的最大值为2.法二：当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP ＝∠ADB ，所以△ABP ∽△ADB ，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤222＝2，所以PBPA 的最大值为2.答案：2B 组——高考提速练1．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________________．解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪4k －5＝5，得k ＝85或k ＝25，故所求直线方程为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝02．直线l 经过P (－4,6)，与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，当P 为AB 中点时，则直线l 的方程为________．解析：因为P (－4,6)是A ，B 的中点，则由题意可知A (－8,0)，B (0,12)，由直线的截距式得x －8＋y12＝1，即3x －2y ＋24＝0. 答案：3x －2y ＋24＝03．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是________．解析：因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，0，从而－m 2＋3＝0，即m ＝6. 答案：64．已知直线x ＋y －a ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝________.解析：由题意得圆的圆心为C (2，－2)，半径为2，由△ABC 为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为2，所以|2－2－a |2＝2，所以a ＝±2.答案：±25．已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为____________．解析：圆心到直线l ：x ＋3y －2＝0的距离是d ＝|0＋0－2|12＋(3)2＝1，所以弦AB 的长度为222－12＝2 3.答案：2 36．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________．解析：圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2，所以k 2＝1，所以k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为__________．解析：因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，所以圆心C (2,1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离为d ＝|4×2－3×1＋15|42＋(－3)2＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝225－16＝6，因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×6×9＝27.答案：278．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是________．解析：点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为2x －y ＋5＝0.答案：2x －y ＋5＝09．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，则直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C 的位置关系是________．解析：由点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，得5|t |<1.因为直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，所以|m |5|t |＝1，所以|m |<1.圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以直线l 与圆C 的位置关系为相交．答案：相交10．已知过点P (m,1)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0相交于点A ，B ，且AB ＝2的直线只有一条，则该直线的方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝5，又由题意，直线AB 与直线CP 垂直，CP 2＋1＝5，解得CP ＝2，则(m －2)2＋4＝4，解得m ＝2，即P (2,1)，直线CP ：x ＝2，所以直线AB 的方程为y ＝1.答案：y ＝111．在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中A 点在第一象限，且BM ―→＝2MA ―→，则直线l 的方程为_________．解析：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与圆x 2＋y 2＝5联立，可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则－y 2＝2y 1，y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－4m 2＋1，联立解得m ＝1，∴直线l 的方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝012．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，若直线l 与圆C 相切，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值是________．解析：法一：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)．因为直线l 与圆C 相切，所以⎪⎪⎪⎪1a ＋1b －11a 2＋1b 2＝2，即2ab ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2≥4ab ＋2ab ，所以ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以(ab )min ＝16.又AB ＝a 2＋b 2≥2ab ≥42，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以AB 的最小值为4 2. 法二：由题意结合图形可知，当直线l 的斜率为－1时，AB 取得最小值．设直线l 的方程为x ＋y －b ＝0(b >0)，由直线l 与圆C 相切得，|2－b |2＝2，即b ＝4.所以AB 的最小值为4 2.答案：4 213．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．解析：过Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°. 所以，若圆O 上存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则∠OQR ≥30°. 因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM ≤3. 因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2≤9，解得－65≤a ≤0.答案：⎣⎡⎦⎤－65，0 14．已知P 是直线x ＋y ＋3＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 的面积的最小值是________．解析：法一：设点P (a ，b )，则a ＋b ＋3＝0.由题意，圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的圆心是C (2,1)，半径为1.因为PA ＝PB ，所以四边形PACB 的面积S ＝12(PA ＋PB )＝PA ，所以PA最小时，四边形PACB 的面积最小．又PA ＝PC 2－1，所以PC 最小时，PA 最小．又PC ＝(a －2)2＋(b －1)2＝(a －2)2＋(－4－a )2＝2a 2＋4a ＋20＝2(a ＋1)2＋18，所以当a ＝－1，b ＝－2时，PC 有最小值32，所以PA 的最小值为17.所以四边形PACB 的面积的最小值是17.法二：由题意，圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的圆心是C (2,1)，半径为1.因为PA ＝PB ，所以四边形PACB 的面积S ＝12(PA ＋PB )＝PA ，所以PA 最小时，四边形PACB 的面积最小．又PA ＝PC 2－1，所以PC 最小时，PA 最小．又(PC )min ＝2＋1＋32＝32，所以(PA )min ＝17，所以四边形PACB 的面积的最小值是17.答案：17。

2018届高考数学二轮复习专题五直线与圆课件(10张)(全国通用)

由于的垂直平分线上， | OP | OM | ，故则 CM (| x, y 4), MPO 在线段 (2 x,PM 2 y )，

ON PM N 上，从而又 P 在圆
由题设知 CM MP 0 ，故 x(2 x) ( y 4)(2 y) 0 ，即 ( x 1)2 ( y 3)2 2 1 1 8 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为，所以 l 的方程为 y x 2 3 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是 ( x 1)2 ( y 3)3 23
2 2 2.已知圆 M ： x 1 y 1 ，圆 N ： x 1 y 9 ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 2 2
内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2) l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
CM
16 y4 y2 y4 , k ，则 k AB CM 5x x2 x
所以 k AB kCM
2
y2 y4 1 化简得， x2 y 2 2x 6 y 8 0 x2 x
2 2 2
即 ( x 1) ( y 3) 2 所以 M 的轨迹方程是 ( x 1) ( y 3) 2
【近4年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015 12
2016
2017 12
新课标Ⅰ卷
新课标Ⅱ卷新课标Ⅲ卷 12
12
典例解析
【例】在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段

2018年高考数学二轮复习专题(江苏版)14个填空题专项强化练十一直线与圆(含答案)

2018届二轮复习第3部分专题1 6.直线、圆、圆锥曲线课件(全国通用)

[答案] A
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2018版高三二轮复习与策略
7．(1) 圆锥曲线的定义和性质名称定义标准方程椭圆 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|) x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0) 双曲线 ||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|) x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0) 抛物线 |PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M y2＝2px(p>0)
6.直线、圆、圆锥曲线
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要点重温
查缺补漏
2018版高三二轮复习与策略
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的倾斜角为 α(α≠90° )，则斜率为 k y1－y2 ＝tan α＝ (x1≠x2)； x1－x2
[答案]
1 －∞，－ ∪[5，＋∞) 2
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2018版高三二轮复习与策略
2．直线方程的几种形式：点斜式：y－y0＝k(x－x0)；斜截式：y＝kx＋b；两点式： y－y1 x－x1 x y ＝；截距式：a＋b＝1(a≠0，b≠0)；一般式：Ax＋By＋C＝0(A2 y2－y1 x2－x1 ＋B2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解． [应用 2] 若直线在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍，且过点(1,2)，则此
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2018版高三二轮复习与策略
6．直线与圆的位置关系 (1)若直线与圆相交，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则 l＝2 r2－d2. (2)圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用 Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系，即 d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相切、相离的位置关系．

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专题检测（十四）直线与圆
一、选择题
1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a＝－b2，可得ab＝4，又当a＝1，
b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.
2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，
则a＝( )

A．－43 B．－34
C.3 D．2
解析：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋

y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.
3．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是
22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d

＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为
1，故两圆相交．
4．在等腰三角形MON中，|MO|＝|MN|，点O(0,0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半
轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C 因为|MO|＝|MN|，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，
所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0.
5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a
的取值范围为( )
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A．(－32，32)
B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)
C．(－22，22)
D．[－32，32 ]
解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1

的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d∈(－32，32)．
6．(2018届高三·湖南十校联考)已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x
2

－4x＋1)≤0，则当y≥1时，yx＋1的取值范围是( )
A.14，34 B.14，1
C．[1,32－3] D.13，＋∞
解析：选A 因为函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)为奇函数，
又f′(x)＝1＋cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
则f(x2－4x＋1)≤f(－y2＋2y－3)，
即(x－2)2＋(y－1)2≤1，
当y≥1时表示的区域为半圆及其内部．
令k＝yx＋1＝yx－－1，

其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交或相切的直线kx－y＋k＝0的斜率，
斜率最小时直线过点(3,1)，此时kmin＝13－－1＝14，斜率最大时直线刚好与半圆相切，

圆心到直线的距离d＝|2k－1＋k|k2＋1＝1(k>0)，
解得kmax＝34，故选A.
二、填空题
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7．已知点A(－1,0)，过点A可作圆x2＋y2－mx＋1＝0的两条切线，则m的取值范围
是________．

解析：由题意得点A(－1,0)在圆外，所以1＋m＋1>0，所以m>－2，又x－m22＋y2＝
m
2
4

－1表示圆，所以m24－1>0，解得m>2或m<－2，所以m>2.
答案：(2，＋∞)
8．已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P

点，若2PA―→＝PB―→，则直线l的斜率k＝________.
解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝35.过圆心C(3,5)作y轴

的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝352－32＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|
＝|PC1||CC1|＝2，即k＝±2.
答案：±2
9．在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB
过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是
________．
解析：由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r＝210，

所以S△ABC＝12r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，
所以当∠ACB＝π2时，S△ABC取得最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝2r＝45，
则点C到直线AB的距离为25，
所以25≤|PC|<210，
即25≤m－32＋22<210，
解得－3答案：(－3，－1]∪[7,9)
三、解答题
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直
线l与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
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(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为R.
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

所以R＝|－1＋4＋7|5＝25.
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.

由于|MN|＝219，于是|－k－2＋2k|k2＋12＋(19)2＝20⇒k＝34，
此时，直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
所以所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
11．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，
点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为x22，12，
可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
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所以AB的中垂线方程为x＝－m2.

联立 x＝－m2，y－12＝x2x－x22，x22＋mx2－2＝0，可得 x＝－m2，y＝－12.
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－m2，－12，半径r＝m2＋92.
故圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的
弦长为定值．
12．已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的
3倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m
＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，

由题意得 x＋12＋y2＝3·x－12＋y2，
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．
(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．
设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线
EP：y＝x－2.
设直线CD：y＝－x＋t，

由 y＝x－2，y＝－x＋t，解得点Pt＋22，t－22，
由圆的几何性质，知|NP|＝12|CD|＝ |ED|2－|EP|2，
而|NP|2＝t＋22－12＋t－222，|ED|2＝3，
|EP|2＝|2－t|22，
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解得t＝0或t＝3，
所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.