消去法解题

消去法解题
〖数学广角〗
在一些应用问题中，两个或多个平行的未知数将同时出现，并给出几个等价关系。

这类练习适合列出一组方程来求解，但在小学里经常使用消去法来解决这类应用问题。

也就是说，根据问题中数据的特点，通过分析比较，趋同存异，尽量抵消一两个未知数，只留下一个未知数。

首先找到剩余的未知数，然后根据问题中的数量关系找到其他未知数。

这种策略被称为消除。

消去法是一种非常重要的数学思维方法，也是初中一阶方程组求解的主要方法之一。

适当的渗透有利于儿童的后续学习。

应用消去法解答较复杂的的应用题，需要运用到等式的基本性质：
将方程的两边乘以或除以相同的数字（0除外），方程仍然成立。

根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化，设法使题中某一项在前后不同的等量关系中，具有相等的数量，从而可以抵消掉这一项。

问题解决策略：首先整理主题给出的条件，列出相应的等价关系，并在每个等价关系中按相同顺序排列不同的未知项，以便分析、比较、转换条件、抵消未知项和解决问题。

〖智慧密码〗
例1：买三条毛巾和六把牙刷要12.3元。

买同样的三条毛巾和九把牙刷要14.7元。

每条毛巾和牙刷多少钱？
思路点睛：
相比之下，毛巾的数量是相同的。

14.7元和12.3元的差额是三把牙刷的钱，这使得计算每把牙刷0.8元和每条毛巾2.5元变得容易。

这是消去法的简单应用。

解题过程：每把牙刷的单价：（14.7-12.3）÷3=0.8(元)每条毛巾的单价：(14.7-0.8×9)÷3=2.5(元)
A:每条毛巾0.8元，每支牙刷2.5元。

例2：学校买来11根跳绳和9个皮球共用去69元，后来又买了同样的7根跳绳和3个皮球共用去33元，每根跳绳和每个皮球各多少元？
亮点：
先根据题中的条件列出等量关系式：⑴11根跳绳的钱＋9个皮球的钱＝69元⑵7根跳绳的钱＋3个皮球的钱＝33元
公式（1）中的球数正好是公式（2）中球数的三倍。

我们将方程（2）的每一部分展
开三次，并将该条件转化为：
⑶（3×7）21根跳绳的钱＋（3×3）9个皮球的钱＝（3×33）99元
比较类型（1）和类型（3），球的钱会偏移。

左边是（21-11）10条跳绳，右边是
（99-69）30元，也就是说，10条跳绳需要30元。

解题过程：求出跳绳的单价：
（3×33－69）÷（3×7-11）=3元
根据跳绳的单价和⑵式条件，可以求出每个皮球的价格为：（33－7×3）÷3＝4（元）
A:每根跳绳3元，每个球4元。

例3：5件上衣和6条裤子共值1670元，同样的6件上衣和5条裤子共值1740元，
每件上衣和每条裤子各多少元？
亮点：
先根据题中的条件列出等量关系式：⑴5件上衣的钱＋6条裤子的钱＝1670元⑵6件
上衣的钱＋5条裤子的钱＝1740元
然后1670元+1740元，你可以买（5+6）11件外套和（6+5）11条裤子。

解题过程：
一件外套加一条裤子的价格总计为：（1670+1740）÷（5+6）=310（元）
根据⑴式条件，用1670元减去5件上衣和5条裤子的钱，即可求得一条裤子的单价为：1670－310×5＝120（元）
因此，一件外套的单价是310-120=190（元）。

A:一件外套310元，一条裤子190元。

例题4：买3枝钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买同样的5枝钢笔和4瓶墨水要付44.5元，每枝钢笔和每瓶墨水各多少元？
亮点：
这一题的解法与上面【模仿训练，练习1】的解法相似。

先根据题中的条件列出等量
关系式：⑴3枝钢笔的钱＋2瓶墨水的钱＝25.5元⑵5枝钢笔的钱＋4瓶墨水的钱＝44.5
元
公式（2）中墨水瓶的数量正好是公式（1）中墨水瓶数量的两倍。

我们将公式（1）
的每一部分展开两次，并将此条件转换为：
⑶（3×2）6枝钢笔的钱＋（2×2）4瓶墨水的钱＝（25.5×2）51元
将公式（2）与公式（3）进行比较，得出油墨偏移量。

（3）左边的钢笔比右边的多（6-5）元，右边的多（51-44.5）元。

解题过程：每枝钢笔6.5元钱：
（2×25.5－44.5）÷（3×2-5）=6.5元（元）
根据钢笔的单价和⑴式条件，可以求出每瓶墨水的价格为：（25.5－6.5×3）÷2＝3（元）答：每枝钢笔6.5元，每瓶墨水3元。

[用刀测试]
1.8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，3头牛和8只羊每天共吃青草106千克，
每条牛和每只羊每天各吃青草多少千克？
2.3袋大米和5袋面粉共重135公斤；九袋大米和四袋面粉重达240公斤。

每袋大米
和面粉重多少公斤？
3.买3枝钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买同样的5枝钢笔和4瓶墨水要付4
4.5元，每枝钢笔和每瓶墨水各多少元？
4.妈妈去商店买水果，第一次买了2公斤苹果、橘子和梨，共14元；第二次回购4
公斤苹果、3公斤橙子和2公斤梨，共21.5元；第三次回购5公斤苹果、4公斤橙子和2
公斤梨，共26元。

这三种水果的单价是多少？
5.篮球、足球、排球三种球。

篮球3个，足球2个，排球1个共值196元；篮球1个，足球3个，排球2个共值200元；篮球2个，足球1个，排球3个共值168元。

每种球的
单价各是多少元？
6.客户a购买了3公斤苹果和2公斤梨，客户B购买了4公斤苹果和3公斤梨，客户
C购买了3公斤苹果和4公斤梨。

顾客B比顾客a多花7元，顾客a比顾客C少花5元。

每位顾客花了多少钱？
〖俱乐部〗
消除法
早在东汉以前，中国古代著名的数学著作《九章算术》中就有了用消元法解方程组的
方法。

直到今日，消元法仍是解线性代数方程组的一个很重要的方法。

在一些国家的数学
著作中也常用高斯消去法这一名词。

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性
代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

高斯消元法可以用在电
脑中来解决数千条等式及未知数。

不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。

消元法解线性代数方程组时，将某一方程乘以某些常数分别加到其他方程上，以消去这些
方程中的某一未知量。

重复施行这一步骤，就可逐步消去未知量，最后只剩下一个未知量。