Matlab线性代数

西安交通大学

电气410

张亚东

线性代数实验报告

电气410 张亚东

一、利用matlab操作矩阵基本运算，矩阵初等变换和秩的求解`，

有关方阵的特征值和特征向量的求解。

（1）同型矩阵的加减乘除

a=[2,1,1;1,2,1;1,1,2];

f=[1,2,3;0,1,2;9,1,2];

a+f

a-f

a*f

a/f

运行结果；

（2）矩阵的转置

f=[1,2,3;0,1,2;9,1,2];

f’

运行结果：

（3）数乘

f=[1,2,3;0,1,2;9,1,2];

x=2;

x*f 运行结果：

(4)初等变换

a=A(r,c) %将A的第r行第c列的元素赋给变量a

A(r,: )=k*A(r,: ) %把矩阵A的第r行第c列乘以数字k

A(:,c)=s*A(:,c) %把矩阵A的第c列乘以数字s

a([i,j],: )=a([j,i].: ) %交换矩阵a的第i行和第j行 a(j,: )=a(j,: )+k*a(i,: ) %矩阵a的第i行乘以常数k加到第j行

(5)秩的求解

a=[2,1,1;1,2,1;1,1,2];

rank(a);

运行结果：

(6)方阵的特征值和特征向量的求解

a=[2,1,1;1,2,1;1,1,2];

[tx,ty]=eig(a)

(7)求矩阵的逆

a=inv（B）;

二、下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时通过的车辆数）图中有6个路口，已有9条街道记录了当天的平均车流量，另有7处的平均车流量未知。试利用每个路口的进出车流量相等关系来推算这7处的平均车流量。

（1）实验问题

利用每个路口的进出车流量相等关系来推算这

7处的平均车流量；

（2）问题分析

根据每个路口进出车流量相同，列出方程，

解方程，求出增广矩阵，得出通解；

（3）程序设计

b=[0,1,0,0,-1,0,0,200;1,-1,0,1,0,0,0,200;1,0,1,0,0,0,0,800;0,0,1,0,0,1,0,600;0,0 ,0,1,0,1,-1,0;0,0,0,0,-1,0,1,200];

matrix=rref(b)

（4）问题求解结果与结论

得出通解：

(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(200,0,600,0,-200,0,0,0)

+k1(1,0,-1, -1,0,1,0)+k2(0,1,0,1,1,0,1)

注：每个k1,k2值必须满足x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7均大于或等于零。（5）问题的进一步拓展与实验

做出以上结果后，进行了进一步的思考：

“7个自变量的值可以确定吗?是否有遗漏的方程未列出”分析与实验：

（a)猜想：学生根据物理中曾学到的基尔霍夫定律猜想：这

样的交通线路是否也有与电路类似的情况呢?

(b)实验：

在六个原有的方程上增加一个大的回路的方程

即：x1+x2+x5+x6+x7-x3=0;

修改程序变为：

b=[0,1,0,0,-1,0,0,200;1,-1,0,1,0,0,0,200;1,0,1,0,0,0,0,800; 0,0,1,0,0,1,0,600;0,0,0,1,0,1,-1,0;0,0,0,0,-1,0,1,200;1,1,-1,0,1,1,1,0];

matrix=rref(b)

得出结果：

（c）分析结果：

虽然仅6个方程还是无法解出每个未知数的值，但题目隐含条件每个未知数均大于或等于零，于是由倒数第二、三行得出x7=200；从而x1=200，x2=200，x3=600，x4=600，x5=0，x6=0；

（d）思考结果得出结论：

考虑到实际的问题，车流量与电流虽有相似之处，但由于在统计车流量时，车的转向问题导致了一辆车可能被统计过多次，如果再按照电路的情况类比，就会导致写出的表达式不能表达出车辆在一个回

路里守恒的意义，所以这样的添加的这样一个方程是错误的。而真正表达守恒意义的是原本的6个方程；添加的由电路所类比得到的方程“x1+x2+x5+x6+x7-x3=0”由于统计时一辆车被统计多次而无法表达与电路中基尔霍夫定律相同的意义，所以猜想错误，

（6）实验的总结与体会：

用Matlab 操作矩阵的变换和求与矩阵有关的问题时非常方便，通过自己动手动脑用眼观察对已学的知识有了更深刻的印象；同时也感到用Matlab解决实际问题非常方便，能很快对问题进行解决，激发了我对数学建模的兴趣；自己在进行“猜想-实验-分析结果-总结思考”时，利用自己已有的知识对未知的情况进行了大胆的猜测与实验，并辩证的分析问题，找出相似问题之间的差异和出现问题的关键，自己虽然否定了自己，但研究问题的过程很有意义，体会到了研究问题过程中的快乐。

2014年12月8日