线性代数中的MATLAB命令

2016/2/20
第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的初等行变换
rref(A) 对矩阵A进行初等行变换化简
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵分解
参见教材第100-106页（自学）
reshape(A, m, n) 矩阵A的元素重排成m行n列矩阵
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的特征值、特征向量
eig(A) 求方阵A的特征值组成的列向量
[v, d]=eig(A)
其中，v是矩阵A的特征向量(列向量)构成的矩 阵， d 是矩阵 A 的特征值构成的对角阵。（每个特 征向量与其特征值列号一致）
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
在MATLAB中，矩阵左除法可用于求线性方程组 Ax=b的一个解
设未知数的个数为n ，
(1)若rank(A)=rank([A,b])=n，则Ax=b存在唯一解，
A\b 求得这个唯一解（用列向量表示，下同）；
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
例 对于任意一个线性方程组Ax=b，试编程判断解的
情况，并求得相应的解。
演示（xianxingfangchengzu.m）
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
预备知识
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(2)若rank(A)=rank([A,b])<n，则Ax=b有无穷多解，
A\b 求得包含最多零元素的一个特解；
(3)若rank(A)≠rank([A,b])，则Ax=b无解，
A\b 求得一个最小二乘解
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
tril(A)
triu(A)
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矩阵A的下三角部分，其余置0
矩阵A的上三角部分，其余置0
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
特殊矩阵的生成
flipud(A) 矩阵A的上下翻转
fliplr(A)
矩阵A的左右翻转
记为 Ax = b
其中：
a11 a21 A am1 a12 ... a1n x1 b1 a22 ... a2 n x b2 2 , x , b ... ... ... ... am 2 ... amn xn bm
A'
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矩阵的共轭转置
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的基本运算
rank(A) 矩阵A的秩
det(A)
inv(A) norm(A) trace(A)
矩阵A的行列式
矩阵A的逆矩阵 % 或 A^(-1) 矩阵A的范数 矩阵A的迹(对角线元素的和)
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
预备知识
对于线性方程组 A x = b 若 秩(A)=秩(A,b)=n，则存在唯一解 若 秩(A)=秩(A,b)<n，则存在无穷多解 通解： Ax=b 的一个特解加齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系的线性组合。 若 秩(A)秩(A,b)，则无解 这时， Ax=b 称为超定方程组，可以寻求最小二 乘解：误差的平方和最小的解。
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
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内容提要
矩阵运算 矩阵分解 求解线性方程组
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矩阵运算
矩阵的基本运算
A+B 与 A-B 矩阵的加减
k+A 与 k-A
k*A 或 A*k
数与矩阵的加减
数与矩阵的乘积 %等同于 k.*A 或 A.*k
A*B 矩阵相乘 % 必须满足可乘条件 A^k 矩阵乘方 % A必须是方阵 A.' 矩阵的转置 % 或 transpose(A)
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矩阵运算
特殊矩阵的生成
zeros(m, n) m行n列的零矩阵;
ones(m, n) m行n列元素全为1的矩阵;
eye(n) diag(A) diag(x) n阶单位矩阵; 矩阵A的对角线元素构成的列向量 向量x的元素构成的对角矩阵 rand(m, n) m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵
解 :
(1) A=[1 2 7; 3 -2 5; 6 9 -1], b=[1; -4; 3] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b (2) A=[5 2; -3 7; 1 -1], b=[2; 1; -3] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b (3) A=[1 -1 1 -1; -1 1 1 -1; 2 -2 -1 1], b=[1; 1; -1] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b x=null(A)
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求解Baidu Nhomakorabea性方程组
例 求解下列线性方程组
x 2 y +7 z 1 (1) 3x 2 y 5 z 4 6 x 9 y z 3
5x 2 y 2 (2) 3x 7 y 1 x y 3
x1 x2 x3 x4 1 (3) x1 x2 x3 x4 1 2 x 2 x x x 1 2 3 4 1
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第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
求解线性方程组
注意
求解线性方程组时，首先应该判断解的情况；
对于第(2)种情况，求得一个特解后，还应该求出齐次 线性方程组 Ax=0的基础解系，以便得到原方程组的
通解。
在 MATLAB 中，求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解 系命令为 null(A) (用列向量表示)
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