线性代数中的MATLAB命令
matlab中的 线性代数
A= 10 01
B=eye(2,3)
% B= eye (m，n)创建m×n的
单位矩阵
B= 010 100
A=[1 3 5;2 4 6;9 8 7] size(A ) %给出矩阵A的大小（几行、几列） zeros(size(A)) %产生与矩阵A同样大小的零矩阵 ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 同样可得：ones(size(A)); eye(size(A)) length(d) %给出行数和列数中的较大者 ndims(A) %给出A的维数。
全0阵
B= 000 000
ones函数是形成元素皆为 1 的矩阵 A=ones(2), %A= ones (n) 创建n×n全1 的矩阵 A= 11 11 B=ones(2,3) B= 111 111
% B= ones (m，n)
创建m×n全1的矩阵
eye则是产生一个单位矩阵
A= eye (2),
例3 在例1的基础上，完成下列运算： 1）由A的1、3、5行，2、4列交叉点上的元素生成A的子矩 阵A1； 2）生成一个10阶矩阵A2，其左上角为A，右上角为5阶单 位阵，左下角为5阶零矩阵，右下角为B； 3）完成以下初等变换： 将A的第一、四行互换，再将其第三列乘以6，再将其第一行 的10倍加至第五行； 4）提取例1中矩阵A的主对角线元素、上次对角线及下第2 条对角线元素分别赋予a1、a2、a3。 5）提取例1中矩阵A的下第2条对角线以上元素和上第1条对 角线以下的元素，其余元素为“0”，分别赋予A3、A4。 6)计算a1的转置和a2的转置对应向量的卷积。 7) 求例1中矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组
Matlab命令
A’ A+B A-B k*A A*B det(A)
用matlab解决线性代数的问题
生成向量（1）
• 初值:步长:终值 生成从初值开始、以步长为间隔、小于或等于终值的行向量 如果不设步长，则默认步长为1
x是行向量；x’是其转置，为列向量
节约计算时间的技巧
对于需要对其元素循环赋值的矩阵，可预先对整个矩阵赋值，例如赋值为零矩阵。 以某20X500个循环的 脚本为例：
提示：循环越多，矩阵越大， 节约计算时间就越重要。
利用函数生成矩阵（2）
• eye(n)生成n×n的单位矩阵； eye (m,n)生成m×n的单位矩阵； eye(size(A))生成与A同维数的单位矩阵
– AX=B的解是X=A\B，等价于inv(A)*B – XA=B的解是X=B/A，等价于B*inv(A)
• • • • • • • •
方矩阵A的行列式：det(A) 方矩阵A的逆：inv(A) 矩阵A的共轭转置：A’ 矩阵A的转置：conj(A’) 方矩阵A的乘方：A^n 方矩阵A的迹：trace(A) 矩阵A的秩：rank(A) 方矩阵A的特征向量(矩阵)v和特征值(对角矩阵) d ： [v d]=eig(A) • 对矩阵A作行初等变换化为行最简矩阵：rref(A) • 对矩阵A作奇异值分解：svd(A)
用matlab解决线性代数的问题
张宏浩
Matlab的一些常识
• • • • • • • • pi表示圆周率π=3.14159… i或j表示虚数单位sqrt(-1) conj(x)：取x的复共轭 log(x)：以e为底的对数函数ln(x) log10(x)：以10为底的对数函数 exp(x)：指数函数e^x sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)：三角函数 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x)：反三角函数
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。
本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。
通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。
结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。
MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。
【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。
在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。
通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。
MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。
通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。
MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。
在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。
MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。
【学习】用Matlab学习线性代数行列式
【关键字】学习用Matlab学习线性代数__行列式实验目的理解行列式的概念、行列式的性质与计算Matlab函数det实验内容前面的四个练习使用整数矩阵，并演示一些本章讨论的行列式的性质。
最后两个练习演示我们使用浮点运算计算行列式时出现的不同。
理论上将，行列式的值应告诉我们矩阵是否是奇异的。
然而，如果矩阵是奇异的，且计算其行列式采用有限位精度运算，那么由于舍入误差，计算出的行列式的值也许不是零。
一个计算得到的行列式的值很接近零，并不能说明矩阵是奇异的甚至是接近奇异的。
此外，一个接近奇异的矩阵，它的行列式值也可能不接近零。
1.用如下方法随机生成整数元素的5阶方阵：A=round(10*rand(5)) 和B=round(20*rand(5))-10用Matlab计算下列每对数。
在每种情况下比较第一个是否等于第二个。
（1）det(A) ==det(A T) （2）det(A+B) ；det(A)+det(B)（3）det(AB)==det(A)det(B) （4）det(ATBT) ==det(AT)det(BT)（5）det(A-1)==1/det(A) （6）det(AB-1)==det(A)/det(B)> A=round(10*rand(5));>> B=round(20*rand(5))-10;>> det(A)ans =5972>> det(A')ans5972>> det(A+B)ans =36495>> det(A)+det(B)ans =26384>> det(A*B)ans =4>> det(A)*det(B)ans =4>> det(A'*B')ans =4>> det(A')*det(B')ans =4>> det(inv(A))ans =0.00016745>> 1/det(A)ans =0.00016745>> det(A*inv(B))ans =0.29257>> det(A)/det(B)ans =0.29257>>2.n阶的幻方阵是否奇异？用Matlab计算n=3、4、5、…、10时的det(magic(n))。
matlab中列向量定义
Matlab中列向量定义在Matlab中，列向量是一种重要的数据类型，它在数学计算和矩阵运算中具有广泛的应用。
本文将详细介绍Matlab中列向量的定义、创建方法以及相关操作。
什么是列向量在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量。
而列向量是一种特殊的向量，它由一个垂直排列的数字组成。
在Matlab中，列向量通常被表示为一个n行1列的矩阵，其中n表示向量的长度。
列向量的创建在Matlab中创建列向量有多种方法，下面将介绍几种常用的方式。
手动创建可以通过手动输入数字来创建一个列向量。
例如，要创建一个包含数字1、2、3和4的列向量，可以使用以下代码：v = [1; 2; 3; 4];这样就创建了一个4行1列的列向量v。
使用冒号操作符冒号操作符是Matlab中非常常用且强大的工具之一。
通过使用冒号操作符可以很方便地生成一定范围内的数字序列。
例如，要创建一个从1到10递增1的列向量，可以使用以下代码：v = 1:10;这样就生成了一个包含数字1到10的列向量v。
使用linspace函数linspace函数是Matlab中用于生成等差数列的函数。
它的基本语法是：linspace(start, end, n)其中start表示数列的起始值，end表示数列的结束值，n表示数列中元素的个数。
例如，要创建一个从0到1之间等间距取10个点的列向量，可以使用以下代码：v = linspace(0, 1, 10)';这样就生成了一个包含0到1之间等间距取10个点的列向量v。
使用randn函数randn函数是Matlab中用于生成服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数的函数。
它的基本语法是：randn(n, 1)其中n表示随机数的个数。
例如，要创建一个包含5个服从标准正态分布随机数的列向量，可以使用以下代码：v = randn(5, 1);这样就生成了一个包含5个服从标准正态分布随机数的列向量v。
列向量的操作在Matlab中，可以对列向量进行各种操作和运算。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB是一个具有强大计算和图形处理功能的数学软件，它广泛应用于各个领域，包括线性代数教学。
在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解和应用矩阵和线性方程组等基础概念。
首先，在矩阵的操作方面，MATLAB可以用来进行矩阵的创建、转置、逆矩阵计算、乘法运算、矩阵方程求解等操作。
例如，通过输入命令行“A=[1 2;3 4]”创建一个
$2\times 2$矩阵，通过输入命令行“B=A'”可以得到A的转置矩阵，通过输入命令行
“inv(A)”可以得到A的逆矩阵，通过输入命令行“C=A*B”可以得到A和B的乘积矩阵，在输入命令行“x=A\b”可以求解矩阵方程$Ax=b$。
其次，在解决线性方程组的问题上，MATLAB可以用来求解线性方程组、得到线性方程组解的唯一性和存在性，并且可以比较不同求解方法的效率。
例如，通过输入命令行
“x=A\b”就可以得到线性方程组$Ax=b$的解，通过输入命令行“rank(A)”可以得到矩阵
A的秩，通过输入命令行“cond(A)”可以得到矩阵A的条件数。
此外，在线性代数的复杂问题求解上，MATLAB可以用来进行特征值和特征向量的计算、矩阵的奇异值分解等问题的求解。
例如，通过输入命令行“[V,D]=eig(A)”可以得到矩阵
A的特征值和特征向量，通过输入命令行“[U,S,V]=svd(A)”可以得到矩阵A的奇异值分解。
总之，MATLAB的强大计算和图形处理功能，可以为线性代数教学的理解和应用提供很好的帮助。
通过学生编写MATLAB程序，实现矩阵和线性方程组的数值求解，可以加深对
线性代数基础概念的理解，提高线性代数教学的效果。
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第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的初等行变换
rref(A) 对矩阵A进行初等行变换化简
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第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵分解
参见教材第100-106页（自学）
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第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
特殊矩阵的生成
zeros(m, n) m行n列的零矩阵;
ones(m, n) m行n列元素全为1的矩阵;
eye(n) diag(A) diag(x) n阶单位矩阵; 矩阵A的对角线元素构成的列向量 向量x的元素构成的对角矩阵 rand(m, n) m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
内容提要
矩阵运算 矩阵分解 求解线性方程组
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第一章 Matlab入门
2
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
解 :
(1) A=[1 2 7; 3 -2 5; 6 9 -1], b=[1; -4; 3] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b (2) A=[5 2; -3 7; 1 -1], b=[2; 1; -3] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b (3) A=[1 -1 1 -1; -1 1 1 -1; 2 -2 -1 1], b=[1; 1; -1] rA=rank(A), rAb=rank([A, b]) x0=A\b x=null(A)
x1 x2 x3 x4 1 (3) x1 x2 x3 x4 1 2 x 2 x x x 1 2 3 4 1
2016/2/20 第一章 Matlab入门 14
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
13
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
例 求解下列线性方程组
x 2 y +7 z 1 (1) 3x 2 y 5 z 4 6 x 9 y z 3
5x 2 y 2 (2) 3x 7 y 1 x y 3
记为 Ax = b
其中：
a11 a21 A am1 a12 ... a1n x1 b1 a22 ... a2 n x b2 2 , x , b ... ... ... ... am 2 ... amn xn bm
tril(A)
triu(A)
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矩阵A的下三角部分，其余置0
矩阵A的上三角部分，其余置0
第一章 Matlab入门 5
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
特殊矩阵的生成
flipud(A) 矩阵A的上下翻转
fliplr(A)
矩阵A的左右翻转
reshape(A, m, n) 矩阵A的元素重排成m行n列矩阵
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第一章 Matlab入门
6
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的特征值、特征向量
eig(A) 求方阵A的特征值组成的列向量
[v, d]=eig(A)
其中，v是矩阵A的特征向量(列向量)构成的矩 阵， d 是矩阵 A 的特征值构成的对角阵。（每个特 征向量与其特征值列号一致）
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第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
预备知识
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
矩阵运算
矩阵的基本运算
A+B 与 A-B 矩阵的加减
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k+A 与 k-A
k*A 或 A*k
数与矩阵的加减
数与矩阵的乘积 %等同于 k.*A 或 A.*k
A*B 矩阵相乘 % 必须满足可乘条件 A^k 矩阵乘方 % A必须是方阵 A.' 矩阵的转置 % 或 transpose(A)
(2)若rank(A)=rank([A,b])<n，则Ax=b有无穷多解，
A\b 求得包含最多零元素的一个特解；
(3)若rank(A)≠rank([A,b])，则Ax=b无解，
A\b 求得一个最小二乘解
2016/2/20 第一章 Matlab入门 12
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
2016/2/20 第一章 Matlab入门 15
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
例 对于任意一个线性方程组Ax=b，试编程判断解的
情况，并求得相应的解。
演示（xianxingfangchengzu.m）
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第一章 Matlab入门
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第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
在MATLAB中，矩阵左除法可用于求线性方程组 Ax=b的一个解
设未知数的个数为n ，
(1)若rank(A)=rank([A,b])=n，则Ax=b存在唯一解，
A\b 求得这个唯一解（用列向量表示，下同）；
A'
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矩阵的共轭转置
第一章 Matlab入门
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MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
矩阵运算
矩阵的基本运算
rank(A) 矩阵A的秩
det(A)
inv(A) norm(A) trace(A)
矩阵A的行列式
矩阵A的逆矩阵 % 或 A^(-1) 矩阵A的范数 矩阵A的迹(对角线元素的和)
求解线性方程组
注意
求解线性方程组时，首先应该判断解的情况；
对于第(2)种情况，求得一个特解后，还应该求出齐次 线性方程组 Ax=0的基础解系，以便得到原方程组的
通解。
在 MATLAB 中，求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解 系命令为 null(A) (用列向量表示)
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第一章 Matlab入门
MATLAB 数学实验
第 4 章 线性代数中的MATLAB命令
求解线性方程组
预备知识
对于线性方程组 A x = b 若 秩(A)=秩(A,b)=n，则存在唯一解 若 秩(A)=秩(A,b)<n，则存在无穷多解 通解： Ax=b 的一个特解加齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系的线性组合。 若 秩(A)秩(A,b)，则无解 这时， Ax=b 称为超定方程组，可以寻求最小二 乘解：误差的平方和最小的解。