《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是 （ C ） （A）0 （B） （C） 12 （D）不存在
2、方程3310xx在区间(0,1)内 （ B ） （A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的 （C ） （A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是 （ C ） （A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422x
x
x
7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ） （A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上 （A )（A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是 （ A ） （A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程dyxydx的通解为 （B ） （A）2xyCe （B）212xyCe （C）Cxye （D）2xyCe
12、下列函数中哪一个是微分方程032xy的解( D ) （A）2xy （B） 3xy （C）23xy （D）3xy
13、 函数1cossinxxy 是 （ C ） (A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0x时， 下列是无穷小量的是 （ B ） （A） 1xe (B) )1ln(x (C) )1sin(x (D) 1x 15、当x时，下列函数中有极限的是 （ A ） （A） 211xx (B) cosx (C) 1xe (D)arctanx
16、方程310(0)xpxp的实根个数是 （ B ） （A）零个 （B）一个 （C）二个 （D）三个 17、21()1dxx（ B ） （A）211x （B）211Cx （C） arctanx （D） arctanxc 18、定积分()bafxdx是 （ C ） （A）一个函数族 （B）()fx的的一个原函数 （C）一个常数 （D）一个非负常数 19、 函数2ln1yxx是（ A ） （A）奇函数 （B）偶函数 （C） 非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数 20、设函数fx在区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且0fx，则( B ) (A)00f (B) 10ff (C) 10f (D)10ff 21、设曲线221xye， 则下列选项成立的是（ C ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cossin)xxdx( D )
（A） sincosxxC （B） sincosxxC （C） sincosxxC （D） sincosxxC
23、数列})1({nnn的极限为（ A ） （A）1 (B) 1 (C) 0 (D) 不存在 24、下列命题中正确的是（ B ） （A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零
25、若()()fxgx，则下列式子一定成立的有（ C ）
(A)()()fxgx (B)()()dfxdgx (C)(())(())dfxdgx (D)()()1fxgx 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C ) (A)sinyxx (B)2sinyxx (C)1sinyxx (D)21sinyxx
二、填空题 1、 201coslimxxx 12
2、 若2)(2xexf，则)0('f 2 3、 131(cos51)xxxdx 2 4、 dxet texC 5、微分方程0yy满足初始条件0|2xy的特解为 2xye 6、224 lim3xxx 0 7、 极限 42lim222xxxx 43
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则6e 21、)21(lim222nnnnn的值是 1/2 22、3(1)(2)lim23xxxxxx 1/2
23、,xyxdy设函数则(ln1)xxxdx
24、 20231lim4xxxx 1/4 25、若2()sin6xfxe，则)0('f 2 26、25(1sin)aaxdx 2 ().a为任意实数 27、设ln(1)xye，则微分dy___1xxedxe_____________. 28、 32
22(cos)d 1xxxx
2
三、解答题 1、求函数 162yxx 的定义域。 解：由题意可得，1020xx
解得12xx 所以函数的定义域为 [1，2] 2、设()(1)(2)(2014)fxxxxxL，求(0)f。 解：)0(f000xfxfx)()(lim
0lim(1)(2)(2014)xxxxL2014!
3、设曲线方程为16213123xxxy,求曲线在点)1,0(处的切线方程。 解：方程两端对x求导，得26yxx 将0x代入上式，得(0,1)6y 从而可得：切线方程为16(0)yx 即61yx 4、求由直线xy及抛物线2xy所围成的平面区域的面积。 解：作平面区域，如图示 11yy =x2 = xx0y 解方程组2xyxy得交点坐标：（0，0），（1，1）
所求阴影部分的面积为：dxxxS)(102=103232xx=6
1
5、讨论函数 2 1()3 1xxfxxx 在 1x 处的连续性。 6、解： 11 lim()lim23(1)xxfxxfQ
11lim()lim33(1)xxfxxf
∴()fx 在1x 处是连续的。 6、求微分方程3321xyxdxdy|的特解。
解：将原方程化为 dxxdy)(32 两边求不定积分，得 dxxdy)(32，于是23yxxC 将31xy|代入上式，有313C，所以1C， 故原方程的特解为132xxy。 7、求函数 24cos5yxx 的定义域。 解：由题意可得，4050xx
解得45xx 所以函数的定义域为 [4，5] 8、设()(1)(2)()(2)fxxxxxnnL，求(0)f。
解：)0(f000xfxfx)()(lim
0lim(1)(2)()xxxxnL!n
9、设平面曲线方程为33222yxyx，求曲线在点（2，1）处的切线方程。 解：方程两端对x求导，得0622yyyxyx)( 将点（2，1）代入上式，得112),(y
从而可得：切线方程为)(21xy 即03yx
10、求由曲线xye及直线1y和1x所围成的平面图形的面积（如下图）． 解：所求阴影部分的面积为10(1)xSedx 10()xex
2e
11、讨论函数 0()1 0xxxfxex 在 0x 处的连续性。
解： 00 lim()lim10(0)xxxfxefQ 00lim()lim0(0)xxfxxf
∴()fx 在0x 处是连续的。 12、求方程0)1()1(22dyxdxy的通解。 解：由方程0)1()1(22dyxdxy，得
2211xdxydy
两边积分：2211xdxydy 得Cxyarctanarctan 所以原方程的通解为：Cxyarctanarctan或)tan(arctanCxy 13、证明方程475xx在区间)2,1(内至少有一个实根。 解：令5()74Fxxx， ()Fx在1,2上连续 (1)100F，
(2)140F 由零点定理可得，在区间)2,1(内至少有一个，使得函数 ()F0475， 即方程0475xx在区间)2,1(内至少有一个实根。 14、设()(1)(2)(2015)fxxxxxL，求(0)f。 解：)0(f000xfxfx)()(lim0lim(1)(2)(2015)xxxxL2015!
15、求曲线exyey在点（0，1）处的法线方程。 解：方程两端对x求导，得0yxyyey 将点（0，1）代入上式，得ey1)1,0( 从而可得： 法线方程为1exy
16、求曲线cosyx与直线2,2yx及y轴所围成平面图形的面积。 解：作平面图形，如图示
20(2cos)Sxdx
(2sin)20xx
(2sin)0122
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+− ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+− ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。
大一第一学期期末高数试卷复习及答案(常见与经典)
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷参考答案及评分标准高等数学（上）一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．（3分）2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 0 4 ．（3分） 3．已知22lim e x x kx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=k 1 ．（3分）4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．（3分）5．函数653)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．（3分）6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1ln(0,0,sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．（3分）7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：（3分）)10()!1(2!2221)(112<<++++++=++θθn xn n nx n e x n x x x f ． 8．函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满足拉格朗日中值公式的ξ=2ba +．（3分）9．定积分()dx x x x 1011sin ⎰-+的值为61．（3分）10．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．（3分）二．计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分） 11．求极限113lim 21-+--→x x x x ．（5分） 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------（3分）42)13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------（5分）12.求极限 n n n 2sin 2lim π∞→．（5分） 解：πππππ=⋅=∞→∞→nn n n n n 22sin lim 2sin 2lim ----------------------------（5分）13．求极限4020sin 1lim 2x tdt t x x ⎰+→（5分）解：21s i n 21lim 42sin 1lim sin 1lim 2240324040202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）14．设x ey arctan =，求dy ．（5分） 解：)(arctan arctan arctan x d e de dy x x ==-----------------------------------（2分）dx x x e x d x ex x )1(211arctan arctan +=+=----------------------------------（5分）15．求由方程y x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy．（5分）解：方程两边求关于x 的导数)()(dx dy x y xy dxd +=； )1(dx dye e x d y x y x +=++-------------（3分） 所以有 )(dx dy x y +=)1(dx dy e y x ++解得 )1()1(y x x y xy x y xy ex y e dx dy y x y x --=--=--=++------------------------（5分） 16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx y d ．（5分）解：t t t t t dxdt dy e e e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------（2分）t t t t t e e e e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------（5分）17．求不定积分⎰++dx x x x 2321)(arctan ．（5分）解：⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 23222321)(arctan 11)(arctan ----------------（1分） =x d x dx x arctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------（3分） =C x x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------（5分）18．求定积分dx e x ⎰+101．（5分）解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----（1分）⎰⎰⎰==+212110122dt te tdt e dx e t t x --------------------------------------（2分）22122121)12(2)|2(2)|(2e e e e dt e te t t t -=--=-=⎰--------（5分）20．求函数x x y 12+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．（10分） 解：函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞ 令01212232'=-=-=x x x x y ，得驻点3121=x -------------------------（1分） 当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321<x 时，0'<y ，函数单调减少，所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和]21,0(3-----（4分）3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------（5分）令0)1(222333''=+=+=x x x y ，得12-=x -------------------------------------（6分） 当0>x 或1-<x 时，0''>y ，曲线x x y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0''<y曲线x x y 12+=为凸的， 所以曲线x x y 12+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------（8分）曲线的拐点为（-1，0）--------------------------------------------------------------（10分）四、证明题（6分）21．证明当0>>b a 时，b b a b a ab a -<<-ln ． 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------（2分） 因为x x f 1)('=，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------（3分） 因为a b <<<ξ0，所以b a 111<<ξ， -------------------------------------------（4分） 又0>-b a ，所以b b a b a ab a )()(1-<-<-ξ 即：b b a b a ab a -<<-ln -------------------------------------------------------（6分） 五．应用题（8分）22．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分，取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dx e e S x x )(10--=⎰--------------------------------------------------------（2分）2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）-------------------------------------------------（4分）所求旋转体体积为))210102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ-----------------------------------------------（6分） 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-------------------------------------（8分）。
《高等数学(一)》期末考试试卷(A卷)
《高等数学（一）》期末考试试卷(A 卷)适用班级：一、填空题（每空2分，共20分）函数211x y x -=-的连续区间是 ,1x =是 间断点.设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()13f =，则()01lim ln 1x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦.函数1xy e =当x → 时为无穷大量，当x → 时为无穷小量. 若()12f '=，则极限()()11limh f h f h→--= .5.函数22ln y x x =-的极小值为 .若()()f x dx F x C =+⎰，则()sin cos f d θθθ=⎰.已知()f x 的一个原函数是ln x ，则()=f x .= .二、单项选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数对中不为同一个函数的是（ ）．A.x x x f ⋅=)(，3)(x x g =B.x e x f ln )(=，x x g =)(C.()0()1f x x =-，22()sin cos g x x x =+ D. x x f ln 3)(=，3ln )(x x g = 2.下列等式正确的是 ( ) A. sin lim1x x x →∞= B. 0sin lim 1x xx→=C. 01lim sin 1x x x →=D. 1lim sin 0x x x→∞=3. 下列叙述正确的是（ ）A. 若函数()y f x =在点x 处可导，则函数()y f x =在点x 处必连续.B. 若函数()y f x =在点x 处连续，则函数()y f x =在点x 处必可导.C. 若函数()y f x =在点x 处不可导，则函数()y f x =在点x 处不连续.D. 若曲线()y f x =在点x 处有切线，则函数()y f x =在点x 处必可导. 4. 当0x →时，无穷小量2sin x x -是x 的（ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶无穷小但不是等价无穷小 D. 等价无穷小 5. 0x =是sgn x 的( ).A. 连续点B. 可去间断点C. 无穷间断点D. 跳跃间断点 6.下列等式成立的是（ ）A. d=B. ()()cos cos d d cos x x e e x =C. ()22d d ln 11xx x ⎡⎤-=⎣⎦- D. ()d +1d x x x = 7.下列结论正确的是（ ）A. 驻点一定是极值点B. 极大值一定大于极小值C. 可导函数的极值点一定是驻点D. 二阶导数等于零的点一定不是极值点8. d x e x -=⎰（ ）A. x e -B. x e C -+C. x e --D. x e C --+9. ln d 2xx =⎰（ ）A. ln 2x x x C -+B. ln 42xx x C -+C. ln 22x x x C -+D. ln 2xx x C ++10. 已知()()F x f x '=，则下列等式正确的是（ ） A.()()d f x dx f x dx dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d F x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx F x C '=+⎰D. ()()f x dx F x C =+⎰三、解答题（每小题7分，共42分） 1.计算011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2. 计算()()2ln 1lim ln 1x x x →+∞++3. 设)4ln(2x x y -+=，求d y .4. 计算34cos d sin x x x⎰.5.计算x . 6. 计算3d x xe x ⎰.四、讨论题（8分）求()213sin cos ,00,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数()f x '.。
高等数学a1期末考试题库及答案
高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-3x+1的导数？A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3x+1D. x^3-3x答案：A2. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/n^2B. 1/nC. 1/n^(1/2)D. 1/n^(-1)答案：A4. 函数y=e^(-x)的不定积分是？A. -e^(-x)B. e^(-x)C. -e^xD. e^x答案：B5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 1; 1 1]答案：B6. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域，结果是多少？A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是______。
答案：-12. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：13. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式det(A)是______。
答案：-24. 函数y=ln(x)的反函数是______。
答案：e^x三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的二阶导数。
答案：f''(x)=12x^2-24x+122. 计算定积分∫(-2到2) (x^2-2x+1) dx。
答案：8/33. 证明函数f(x)=x^3在(-∞, +∞)上是增函数。
答案：略4. 计算二阶偏导数∂²z/∂x∂y，其中z=x^2y+y^2x。
答案：2x+2y四、证明题（每题10分，共10分）1. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。
《高等数学》期末测试题及答案(大一上期)
大学一年级《高等数学》期末测试题一、单项选择题（每小题4分，共16分）1．|sin |()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是（ ）。
（A ）奇函数； （B ）周期函数； （C ）有界函数； （D ）单调函数2．当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与（ ）是同阶无穷小量。
（A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2x 3．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是（ ）。
（A ）直线在平面内； （B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。
4．设有三非零向量,,a b c 。
若0, 0a b a c ⋅=⨯=，则b c ⋅=（ ）。
（A ） 0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3二、填空题（每小题4分，共16分）1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为 。
2．20tan lim (1)x x x x x e →-=- 。
3．方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 。
4． 曲线2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．已知2sin ()lim ()t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。
2．求不定积分1[ln(ln )]ln x dx x +⎰。
3．计算定积分1241sin (1x x dx x -+⎰。
4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++⎰。
5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。
四、（8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且1(0)2f '=-。
求(1)f '。
高数一期末试题及答案
高数一期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解是：A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = x^2 \)答案：B4. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是：B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( 2x - 4 \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( x\ln(x) - x + C \)3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( (0,0) \) 和 \( (2,4) \)4. 函数 \( y = e^{3x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( 9e^{3x} \)三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。
\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值。
山东交通学院成人高等教育期末考试高数数学1复习题
《高等数学1》A 复习题7月无纸化考试复习专用（答案在试卷后）一、单选题1.若0→x 时，21cos x -和12n x 等价无穷小，则n = （ ）A.4B.1C.12 D.2 2.22234lim 4x x x x →--- = （ ）A.0B.1C.∞D.2 3.设()sin f x x =，则()f π'=（ ）A.0B.1C.1-D.π4.定积分1x -=⎰（ ） A.2πB.1C.πD.2 5.不定积分cot d x x =⎰（ ）A.csc x C -+B.ln cos x C +C.ln sin x C +D.ln sin x C -+6.设3523e 2x x y x =-++，则0x y ='=（ ）A.5ln 2-B.13ln 2- C.3ln 2- D.2 二、填空题 1.1lim sin x x x →∞⋅= _。
2.曲线1y x x =-在点(1,0)处的切线方程为___ _。
3.定积分201d x x -=⎰_ _。
4.设arcsin2x y =，则d y = 。
5.定积分131cos d x x x -⎰= 。
三、计算题1.计算01lim x x→-四、证明题1.已知()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01,10f f ==， 证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-.高等数学一复习题答案一．单选题1.A2.C3.C4.A5.C6.C二．填空题1.12.2(1)y x =-3.1x5.0 三．计算题1.00x x →→=012x →==.四．证明题1.()()F x xf x =在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()010F F ==，满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点()0,1ξ∈，使得()0F ξ'=， 即()()f f ξξξ'=-.《高等数学1》（ B ）卷复习题一、单选题 1. 若0→x 1是x 的 无穷小.A . 等价 B. 同阶 C. 高阶D. 低阶答案：B知识点：第一章难度：3解析：011lim 2x x →=1是x 的同阶无穷小. 2. 设()ln 13,0()1,0x x f x bx x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问常数b = ，)(x f 在0=x 处连续. A . 3- B. 3 C. 23-D . 13- 答案：A知识点：第一章难度：4 解析：()0ln 133lim 1,3x x b bx b→-=-==-. 3. 设()()2ln 1f x x =+，则()0f '= .A . 0 B. 1 C. 1- D . π答案：A知识点：第二章难度：2解析：()()22,00.1x f x f x ''==+4.定积分1x -=⎰ ．A ．2π B ．1 C ．π D ．2 答案：A知识点：第五章难度: 3解析：根据几何意义，原式是半径为1的半圆的面积二、填空题1. 1lim(1)xx x →∞+=___ __. 答案：e知识点：第一章难度：2解析：第二个重要极限2.可导函数()y f x =在x a =处取得极值，则必有()f a '=___ ___. 答案：0知识点：第三章难度：3 解析：极值的必要条件3.定积分11d x x -⎰_ __.答案:1知识点：第五章难度：4 解析：11d x x -⎰112002d 1x x x ===⎰4.设2e xy =，则d y =__________.答案:21e d 2x x 知识点：第二章难度：3 解析：2211e e 22x x y '=⋅=，21d e d 2x y x =三、计算题1.计算()2cot 20lim 1tan x x x →+答案: ()2cot 20lim 1tan x x x →+=()212tan 0lim 1tan e x x x →+= 知识点：第一章难度：4 解析：利用第二个重要极限求解2.计算11lim()1ln x x x x→-- 答案: 111ln 1lim()lim 1ln (1)ln x x x x x x x x x x →→-+-=--0011ln 11ln lim lim 11ln ln 1x x x x x x x x x→→+-==-++- 001211lim 112x x x x →==+ 知识点：第一章难度：4解析：利用洛必达法则求极限3．设cos ln ,y x x =，求()y π'.答案: ()11sin ln cos ,y x x x y x ππ''=-+⋅∴=- 知识点：第二章难度：3解析：利用函数的求导法则4．设隐函数()y y x =由1sin 02x y y -+=所确定，求y '。
高等数学一期末复习题(最终稿)
2021秋高等数学一期末复习题一、选择题 1．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 2．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ3．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，又已知()0<a f ，则 ( )A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b fB ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0<b fC ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0<b fD ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定 4.设在区间),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)('>x f ,二阶导数0)(''>x f 则曲线在区间),(b a 内是 ( )A ．单调增加的凸曲线B ．单调增加的凹曲线C ．单调减少的凸曲线D ．单调减少的凹曲线 5.下面结论正确的是( )A ．若0)('0=x f ,则函数)(x f 在0x 点取得极值.B ．可导函数的极值点必是此函数的驻点C ．可导函数的驻点必是此函数的极值点D ．若0x 是)(x f 极值点,则必有0)('0=x f6．设函数()x f y =在0x x =处有()00='x f ，在1x x =处()1x f '不存在，则 ( )A ．0x x =及1x x =一定都是极值点B ．只有0x x =是极值点C ．0x x =与1x x =都可能不是极值点D ．0x x =与1x x =至少有一个点是极值点 7.函数3)1(+=x y 及其图象在区间),1(+∞-内是 ( )A ．单调减少且是凹曲线B ． 单调增加且是凹曲线C ．单调增加且是凸曲线D ． 单调减少且是凸曲线 8.若F(x)是f(x)的一个原函数，则有（ ）成立。