11-对坐标的曲线积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案
练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案）1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴⎰Ldx y x P I 。
2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()⎰=Ldy y x Q I ,。
解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴⎰Ldy y x Q I 。
3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ，所以()()⎰⎰==ba L dx x f dx y x P I 0,,。
4、计算⎰=Lxydx I ，其中L 为圆周()()0222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。
解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=，又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2，2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰-++⋅=+==πθθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=+-=⎰⎰⎰⎰d a d a d a d a 2222212a a ππ-=⨯⨯-=。
5、计算⎰Γ+-=ydz dy dx I ，其中Γ为有向折线ABCA ，这里A ,B ,C 的坐标分别为()0,0,1，()0,1,0，()1,0,0。
解：Γ可以分成光滑有向线段AB ，BC 和CA 。
对坐标的曲线积分格林公式
对坐标的曲线积分格林公式在咱们学习数学的旅程中，有一个非常重要的概念——坐标的曲线积分格林公式。
这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这格林公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑着对他说：“别着急，等你真正理解了，就会发现它可好用啦！”咱们先来说说啥是坐标的曲线积分。
想象一下，你在一条弯弯曲曲的小路上走路，每走一小段，都有一个力量在拉着你或者推着你。
那么，你沿着这条路走一圈，这个力量对你做的总功是多少呢？这就是曲线积分要研究的问题。
而格林公式呢，就像是一个神奇的桥梁，把曲线积分和二重积分联系了起来。
它告诉我们，沿着一个封闭曲线的曲线积分，可以通过计算这个封闭曲线所围成区域上的二重积分来得到。
比如说，有一个平面区域被一条封闭曲线围起来了，就好像是一个小池塘被一圈堤岸围着。
曲线积分就像是你沿着堤岸走一圈所做的功，而二重积分呢，就像是计算这个池塘里水的总量。
格林公式就告诉你，这两者之间有着密切的关系。
为了让大家更好地理解，咱们来看一个具体的例子。
假设咱们有一个力场 F = (x^2, -y)，现在要计算这个力场沿着一个以原点为圆心，半径为 2 的圆的曲线积分。
如果咱们直接用曲线积分的定义来算，那可就麻烦啦！得把这个圆分成很多小段，然后一点点计算。
但是有了格林公式，就简单多啦！咱们先求出 P = x^2 和 Q = -y 的偏导数，然后用格林公式，就可以把曲线积分转化为在这个圆所围成的区域上的二重积分。
算起来是不是轻松多啦？在实际应用中，格林公式也有很多用处呢。
比如在物理学中，计算环流、流量这些问题，它都能大显身手。
再回到咱们的学习中，很多同学一开始觉得格林公式不好理解，不好掌握。
其实啊，只要多做几道题，多思考思考，就会发现其中的奥秘。
就像我之前提到的那个学生，经过一段时间的努力，终于掌握了格林公式，做题的时候可自信啦！他还跟其他同学说：“原来格林公式也没那么难嘛！”总之，坐标的曲线积分格林公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能掌握它，让它成为我们解决数学问题的有力工具！希望大家都能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！。
第二节对坐标曲线积分
t
.
2 t 2 t
2 t 2 t
1
第二节 对坐标的曲线积分
一．对坐标的曲线积分的概念与性质 引例 变力沿曲线所作的功。
设 L为 xOy面内的光滑曲线弧,
y
Qx, yj
Fx, y
•B
• Px, yi
有一质点受到力
Fx, y Px, yi Qx, yj
A•
O
x
的作用, 从A 点沿曲线弧 L 移动到点 B ,
点参数值. 作业: 作业纸 P31-32 课本习题 10-2 学习指导 例10.7-例10.10
18
例6 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当以质量为m
的质点沿圆周 x 2 y 2 R2 按逆时针方向移过位于第一象限的
那一段弧时，场力所做的功。 习题10-2 5
解 FFi
Px, y F ,Qx, y 0.
M •
n1
•
M•n
•
•
M i1•
yi
• xi
M1 •
i ,i
A •M 0
O
x
W
n
wi
n
P
i
,
i
x
i
Q i ,i yi
i 1
i 1
令 为最大弧长，则
n
W
lim 0 i 1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
n
n
lim
0 i 1
P
i
,i
xi
lim
0 i 1
Q
i
3
03
10
例3 计算 y 2dx，其中 L 为： L
（1）半径为 a 圆心为原点的上半圆周（逆时针方向）；
第11章曲线积分与曲面积分
目录1对弧长的曲线积分（扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分3格林公式及其应用4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分1复习之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)，有（2）对于参数方程有（3）对于极坐标方程是，转成直角坐标，则。
代入2曲线积分的概念上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：3计算方法计算步骤1画出图形2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）3由L类型写出对应ds的表达式4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。
即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。
如，L的方程y=k,则（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程，则有：显式方程设曲线为，则有：设曲线为，则有：极坐标方程设曲线为则有：注：常用，半径R的圆弧对应空间曲线方程设曲线为空间曲线，则有：4、对称性：见重积分总结5、特别性质设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则，特别的，有此性质不能用于第二类曲线积分扩展对弧长曲线积分的应用1求柱面面积2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：、转动惯量：I=mr^2,因此有3变力沿曲线做的功设平面力场的力为求该力沿着曲线L从a到b所做的功。
对于直线的路径ab来说功的大小是（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）4、平面流速场面积和流量计算5、平面环流场面积计算6、特别性质第二类曲线积分不具有此性质。
对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)PPT
L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
对坐标的曲线积分的几何意义
对坐标的曲线积分的几何意义
对坐标的曲线积分的几何意义是求曲线与坐标轴轴围成的面积。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出。
黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。
从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。
对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
1、对坐标的曲线积分的几何意义是求曲线和坐标轴围成的面积。
2、它是积分学和数学分析中的一个核心概念。
3、通常分为定积分和不定积分。
4、直观地说，对于给定的正实函数，实数区间内的定积分可以理解为坐标平面上由曲线、直线和轴围成的曲线梯形的面积值(某个实值)。
5、波恩哈德黎曼给出了积分的严格数学定义。
6、黎曼的定义使用了极限的概念，将弯曲的梯形假设为一系列矩形组合的极限。
7、从19世纪开始，随着各种积分领域中各类函数的积分，逐渐出现了更高级的积分定义。
8、比如路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是线段，而是平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的曲面代替。
9、微分形式的积分是微分几何中的一个基本概念。
高等数学第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分
(1)沿圆弧, (2)沿X轴.
解(1)沿圆 L1弧 :
Bo
x acos y asin
:0
L 1y 2 d x 0 a 2 s2 in a s in d
4 3
a
3
.
Ax
(2)沿X轴,
L2 :
x t y 0
t:a a.
L 2y2dxa a0dt0. 积分路径,积 不分 同值.不 24
例 8I L x 2 d x xy ,L 是 dy由 y x 抛 2 从 (0 ,0 物 )
两类曲线积分之间的关系 :
L F d L P d x Q d y R d z
前页公式:
d
t d
LF
t
d
第二类曲线积分
L F
t
d L P co Q c so R c so d s
zm 1 Lz(x,y,z)ds
m 10 2 k t a 2 k 2 t2 a 2 k 2dt
15
如果 L是平面(极 曲坐 线 ):标
r r ( )
则 xy rr(())csions
L
rd
dr d
d r
o
x
d ( r co r ss i ) 2 n ( r si r n c) o 2 ds
W 1 L y d x x d y ( x y z ) d z
终点B 起点A
0 2 y x x y (x y z )z d t
19
W1 0 2 0 2 (a y s x ti) x ( n y a s (x ti) n y (a c z )z to ) ( d a tc sto ) L : s x yz aa 2cc st in o tt
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
总界面 上页 下页 返回 结束
第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
总界面 上页 下页 返回 结束
第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
总界面 上页 下页 返回 结束
第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a , 点也相同，但路
则
y2 dx
a
0 dx 0
L
a
径不同时积分结 果不同.
高等数学A(下）
23 - 12
Friday, December 13, 2019
例3. 计算 2xydxx2dy,其中L为 y L
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x y 2
高等数学A(下）
23 - 10
Friday, December 13, 2019
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A (1 , 1)到 B (1,1 )的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L:AOOB A:O y x ,x:1 0
A ax
解: (1) 取L的参数方程为 x a ct ,o y a s st ,i t :0 n π
则 y2dx πa2 sin2 t (asitn )dt2a3 π2sin3tdt
L
0
0
2a3 2 1 4 a 3
3
3
备注：被积函数 相同，起点和终
k 1
4) “取极限”
n
W lim P ( ξ k ,η k) Δ x k Q ( ξ k ,η k) Δ y k 0 k1
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k,k)
L
M yk k B
Mxkk1
A
O
x
高等数学A(下）
23 - 4
Friday, December 13, 2019
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (x d ,d y ,d z)
F ( x , y , z ) ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ))
F d s P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
根据定义
P(x,
L
y)dxl im 0 i1P(i
,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i , 点(i,i)对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1 )(i)ti
n
LP(x,y)dxl i0m i1P[(i),(i)](i)ti
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P (k, k) x k Q (k ,k ) y k
L
1
1
5
高等数学A(下）
23 - 11
Friday, December 13, 2019
例2. 计算 y2 dx , 其中 L 为 L
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B a O
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
L
n
2. 性质
l i0k m 1 P (k, k) x k Q (k, k) yk
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i 1 , ,k)
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
高等数学A(下）
23 - 7
Friday, December 13, 2019
二、对坐标的曲线积分的计算法
n
P(x,
的曲线积分;
n
LQ(x,y)dyl i0m k 1Q(k,k)称yk为,对 y 的曲线积分.
若记 ds(d x,dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
三、两类曲线积分之间的联系
设有向平面L 曲 ：线 xy 弧 ((tt))为 ,
L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L ( d P cy o Q c so ) ds s
其中
cos (t) , 2(t)2(t)
记作
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
都存在, 则称此极限为函数 F(x,y) 在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, P(x,y), Q(x,y)称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
高等数学A(下）
23 - 5
Friday, December 13, 2019
P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
P [(t) ,(t),(t)](t)
Q [( t),( t), ( t)] (t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
因为L 为光滑弧 , 所以 (t)连续
l i0m i n1P[(i),(i)](i)tiP[(t) , (t)](t)dt
同理可证 Q(x,y)dyQ[(t) , (t)](t)dt
L
高等数学A(下）
23 - 9
Friday, December 13, 2019
(2) 抛物线 L:xy2,y:0 1;
y x2
(3) 有向折线 L:OAAB.
O
A(1,0) x
解: (1) 原式
1
(
0
2x x2 x22x)dx 4
1 x3 dx 1
0
(2) 原式 1 ( 2y2y2y y4 )dy 5 1 y4dy 1
特别是, 如果 L 的方程为 y(x )x ,:a b ,则
LP (x ,y )a b d x P [Q x,( x,(y x))d y ]Q [x,(x)](x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
cos (t) , 2(t)2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
PdxQdyRdz
高等数学A(下）
P co Q s co R s co d ss
23 - 18
Friday, December 13, 2019
内容小结
1. 定义 P (x,y)dxQ (x,y)dy
:xx2 yy2z12, 从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
xco t,ys sit,n z 2 c t o sti s ( t : n 2 π 0 )
2π
I [(2co t) (ssit)n 0
z
( 2 2 cto ss ti)c n tos
LP (x,y)dxQ (x,y)dy P[(t) , (t)](t) Q [(t) ,(t)](t)dt
高等数学A(下）
23 - 8
Friday, December 13, 2019
证明: 下面先证 LP(x,y)dxnP[(t) , (t)](t)dt
F
原点 O 的距离成正比, F 的方向 恒指向原点, 此质点由点 A(a,0)沿椭圆
逆时针移动到 B(0,b),求力F 所作的功.
O
x2 a2
y2 b2
A(a,0) x
1
解: O M x iy,jOM x2y2, F k (x y i)k j, 0
W AB kxd x ky d yAB: x y a bc sino tt t s :0π2
高等数学A(下）
23 - 6
Friday, December 13, 2019
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i1, ,k),
则 P (x,y)dxQ (x,y)dy L k P(x,y)dxQ(x,y)dy i1Li
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线L弧 上有定义且,连 L的续
参数方程xy为 ((tt)),,当参数 t单调地由 变到时,点 M(x, y)从L的起点 A沿L运动到终B,点 (t),(t)在以
及为端点的闭区间一 上阶 具连 有续导 ,且数
2(t)2(t)0,则曲线积L分 P(x, y)dxQ(x, y)dy存在,
y x
O:y B x , x:0 1
O
x y x
x y d xx y d x x y d x
L
AO OB
A(1,1)
0
x(
x)dx
1
x
xdx 2 1x32dx4
1
0
0
5
解法2 取 y 为参数, 则 L:xy2, y:1 1
xydx1y2y(y2)dy2 1y4dy4
小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 Mk1Mk
所做的功为 Wk, 则
y
F(k,k)
n
W Wk
L
M yk k
Mxkk1
B
k 1
A
2) “常代变”
O
x
有向小弧段 Mk1Mk 用有向线段 Mk1Mk ( xk,yk)