05实验五一元函数积分学-29页文档资料
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第二讲 一元函数的积分学一、不定积分的计算 1. 直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法。
例1 计算下列积分（1）1sin 2d cos sin xx x x++⎰； （2）2231d (1)x x x x x +++⎰。
2.第一换元法（凑微分法） 例2 计算下列积分： （1）e ed x xx +⎰；（2）cot d xx ⎰； 例3 计算下列积分： （1）()221ed x xx x --⎰；（2）22d sin 2cos xx x+⎰；（3）sin d 1sin xx x+⎰。
复杂积分式的凑微分法 将被积分式()d g x x 写成()()d f x x x ϕ或()()d x x f x ϕ，其中()f x 较()x ϕ复杂。
对()f x 或构成()f x 的主要部分()*fx 求导，若其导数为()x ϕ的常数倍，则()()d d x x k f x ϕ=或()()*d d x x k f x ϕ=，其中k 为常数。
例4 求下列不定积分： （1）()231e d xxx x ++⎰；（2）d x ⎰；（3）()e cos e cos sin e d x xx xx x -⎰。
（4）sin 2d xx ⎰，（a b ≠）下面这些例子，可以通过分子分母同乘以一个因子，再进行凑微分。
例5 求下列不定积分：（1）()2sin cos sin d cos 1e cos xx xx x x -+⎰； （2）()2ln 2d ln 1ln x x x x x x ++⎰； （3）241d 1x x x ++⎰。
形如cos sin d cos sin c x d xx a x b x++⎰（其中,,,a b c d 为常数，且0ab ≠）的积分，可以先将分母改写成()cos sin cos sin c x d x A a x b x +=+()cos sin B a x b x '++，然后再进行积分。
一元函数积分法及其应用
第五章 .一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主若是谈论导函数的看法，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律可否是可是描述了一个特定函数的变化率呢？依照变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都拥有同样的变化率变化规律，这实质上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着 Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也能够这么说，即相差任意一个常数的函数拥有同样的导函数。
这样我们就获得了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F（x）+c（ c 为任意常数），对应着一个唯一的函数 f （ x），满足d ( F ( x)c)dx f ( x)，或d (F ( x) c) f ( x)dx 。
换一种看法，上面的过程也能够看作是一种对于函数F（ x）的运算，即微分的运算，获得函数 F（ x）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数 f （ x）的逆运算过程，得到函数 F（ x） +c 自己，这种逆运算就是积分，也许说不定积分，写成d ( F ( x) c) f ( x)dx F ( x) c 。
这里，相对地，我们就把被积函数f（ x）称为原函数F（ x）+c 的导函数，而把原函数F（ x） +c 称为被积函数 f （ x）的不定积分。
因此我们能够把不定积分理解为微分的逆运算，只但是是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无量多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很简单地理解下面的表达式：F ' (x)dx F ( x) c ；d ( f (x)dx) f ( x)dx ；( f (x)dx)' f (x) 。
希望同学们多加领悟这些表面看来很绕的表达式，深切领悟不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（ 1）（ 1）由于我们主若是谈论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而可是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，而且相等。
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
一元函数积分学与空间图形的画法word资料16页
项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验1 一元函数积分(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力. 基本命令1.计算不定积分与定积分的命令Integrate: 求不定积分时, 其基本格式为Integrate[f[x],x]如输入 Integrate[x^2+a,x]则输出 3x ax 3+其中a 是常数. 注意积分常数C 被省略.求定积分时, 其基本格式为Integrate[f[x],{x,a,b}]其中a 是积分下限, b 是积分上限.如输入 Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}] 则输出 1注:Mathematica 有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate 可用积分号⎰代替, 命令Sum 可以用连加号∑代替, 命令Product 可用连乘号∏代替. 因此只要调出这些运算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File 菜单,点击Palettes中的BasicCalculations, 再点击Calculus 就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但也可以试用这些数学符号直接计算.2.数值积分命令NIntegrate用于求定积分的近似值. 其基本格式为NIntegrate[f[x],{x,a,b}]如输入 NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}] 则输出 0.3102683.循环语句For循环语句的基本形式是For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象]运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.例如, 输入t=0;For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t则循环变量j 从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t 的最终值1+2+… +10=55.注:For 语句中的 j++ 实际表示j=j+1实验内容用定义计算定积分当)(x f 在],[b a 上连续时,∑∑⎰=∞→-=∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nk n n k n b an a b k a f n a b n a b k a f nab dx x f 11)(lim)(lim)( 因此可将∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1)(n k n a b k a f na b 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-nk n a b k a f n a b 1)(作为⎰ba dx x f )(的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为b a f ,,和n 的函数.例1.1 计算⎰102dx x 的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]]; 再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1","s2"}}] 输出为n s1 s22 0.125 0.625 4 0.21875 0.468758 0.273438 0.39843816 0.302734 0.365234 32 0.317871 0.349121 64 0.325562 0.341187 128 0.329437 0.33725 256 0.331383 0.335289 512 0.332357 0.334311 1024 0.332845 0.333822这是⎰102dx x 的一系列近似值. 且有.21102s dx x s <<⎰不定积分计算例1.2 求.)1(532⎰-dx x x 输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]则输出18x 3x 6x 59x 106x 53x 181512963-+-+-例1.3 求.arctan 2⎰xdx x 输入Integrate[x^2*ArcTan[x],x]则输出]x 1[Log 61]x [ArcTan x 316x 232+++- 定积分计算 例1.4 求.|2|40⎰-dx x 输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]则输出4例1.5 求.4212⎰-dx x输入Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]则输出ππ+--)233(61例1.6 求.102⎰-dx e x输入Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则输出]1[21Erf π 其中Erf 是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则有结果0.746824.变上限积分例1.7 求.)(2cos 0⎰x dx x w dxd输入D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x]则输出-2 Cos[x] Sin[x]w[Cos[x]2]注意这里使用了复合函数求导公式.例1.8 画出变上限函数⎰xdt t t 02sin 及其导函数的图形.输入命令f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]];g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2];则输出所求图形.定积分应用例 1.9 设x x e x f πcos )2(2)(--=和).2cos(4)(-=x x g 计算区间]4,0[上两曲线所围成的平面的面 积.输入命令Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]];g[x_]=4 Cos[x-2];Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}];FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}]NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}]则输出两函数的图形及所求面积.17413.4=s例1.10 ),sin sin()(x x x x f +=计算))0(,0(f 与))2(,2(ππf 两点间曲线的弧长.输入命令Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]];Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}]则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564.注: 曲线)(x f y =在区间]2,0[π上的弧长⎰'+=π202))((1dx x f s .例1.11 求曲线)0(sin )(2π≤≤=x x x x g 与x 轴所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋 转体体积.输入Clear[g];g[x_]=x*Sin[x]^2; Plot[g[x],{x,0,Pi}]则输出图1-1.图1-1观察)(x g 的图形. 再输入Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}]得到输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-864153πππ又输入 Integrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}]得到输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-323πππ若输入 NIntegrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}]则得到体积的近似值为27.5349.注: 图1-1绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.)(20⎰=ππdx x xg V此外,我们还可用ParametricPlot3D 命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的 图形.输入Clear[x,y,z,r,t]; x[r_,t_]=r;y[r_,t_]=g[r]*Cos[t];z[r_,t_]=g[r]*Sin[t];ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]则得到绕x 轴旋转所得旋转体的图形.又输入Clear[x,y,z];x[r_,t_]=r*Cos[t]; y[r_,t_]=r*Sin[t]; z[r_,t_]=g[r];ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]则得到绕y 轴旋转所得旋转体的图形.实验习题1. 求下列不定积分:(1) ⎰+dx xa x 22sin cos ; (2) ⎰-dx x e x 2sin 2;(3) ⎰---dx x x xx 32422; (4) .ln 23⎰xdx x ;(5) ⎰++-25124)72(2x x dx x ; (6) ⎰---dx xx x 22121.2. 求下列定积分:(1) ⎰-202sin )cos 1(πθθθd ; (2) ⎰-10122)2(dx x x ;(3) ⎰++a xa x dx22(a >0); (4) ⎰+3125x x x dx ;(5) .2sin 222⎰-ππxdx e x ; (6) dx x x ⎰-1043294.3. 求⎰-π03)cos(2dx x e x的近似值.4. 设,)()(,sin )(1.0⎰==xdt t g x h x x x g 作出)(),(x h x g 的图形, 并求).(2x h dxd5. 画出变上限函数⎰⋅xtdte t 02及函数2)(2x xe x f =的图形.6.设,51),3(4cos )(2)3(≤≤-=--x x e x f x 求),(x f y =x 轴, 5,1==x x 所围曲边梯形绕x 轴旋转所成旋转体的体积V, 并作出该旋转体的图形.实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D:命令Plot3D主要用于绘制二元函数),(y x fz=的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是yx,的二元函数, x1,x2表示x的作图范围, y1,y2表示y的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y=在区域2xz+≤-yx上的图形.≤2,22≤≤-与Plot命令类似, Plot3D有许多选项. 其中常用的有PlotPoints和ViewPoint. PlotPoints的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角), 其默认值为ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变观点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D:用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1 ,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u的范围, v1,v2是参数v的范围.例如前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面.22y x z +=由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程的表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor [1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(注意选项RGBColor[1,0,0]的位置).用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默 认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面和空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画.例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi ,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]则输出所作平面的图形.如果只要位于第一封限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面.例2.2 作出函数2214yx z ++=的图形. 输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2-1. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}.图2-1例2.3 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形.例2.4 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->Fa lse,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2-2, 这是选项Shading->False 起的作用, 同是注意选项Boxed->False 的作用.图2-2二次曲面例2.5 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ). 输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形. 其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑.例2.6 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v],3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2Pi},PlotPoints->30]则输出单叶双曲面的图形.例2.7 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v ])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];则输出所求圆环的图形.曲面相交例2.8 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity ];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形.例 2.9 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形.输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30];g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r, 0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形.例 2.10 作出螺旋线t,10cossin=10==(Rtzytx2,t∈)在xOz面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为cos,=.10=ttzx2输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形.注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.11作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40, 4},Ticks->False]则输出所求图形. 观察所见到的曲面, 理解它是单侧曲面.空间曲线例2.12作出空间曲线)ztt=tttx的图形.t=y2,0(6sin,≤=≤cosπ输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}] 则输出所求图形.动画例2.13 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅画, 均可观察动画效果.例2.14 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅画, 均可观察动画效果.实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22yx xy z +=在点(0,0)不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x试用ParametricPlot3D 命令作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为 ).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x试用ParametricPlot3D 命令作出它的图形.7.用Plot3D 命令作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用ParametricPlot3D 命令作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用ParametricPlot3D 命令作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用ParametricPlot3D 命令作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形.11.用ParametricPlot3D 命令作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空 间曲线的图形.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。
高数——一元函数积分学教学文案
高数——一元函数积分学一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4、熟练掌握不定积分的分部积分法。
5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，并称⎰微积分号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
因此⎰+=C x F dx x f )()(，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。
基本积分公式（要求熟练记忆） （1）⎰=C dx 0 （2）)1(111-≠++=+⎰a C x a dx x a a . （3）C x dx x+=⎰ln 1.（4）C a a dx a xx +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=⎰ （6）⎰+-=C x xdx cos sin （7）⎰+=C x xdx sin cos（8）C x dx x +=⎰tan cos 12. （9）C x dx x +-=⎰cot sin 12.（10）C x dx x+=-⎰arcsin 112.（11）C x dx x +=+⎰arctan 112. 正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a ++=⎰+111理解为下面的结构式：式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
一元函数积分学与空间图形的画法
项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验1 一元函数积分(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.基本命令1.计算不定积分与定积分的命令Integrate: 求不定积分时, 其基本格式为Integrate[f[x],x]如输入 Integrate[x^2+a,x]则输出 3x ax 3+其中a 是常数. 注意积分常数C 被省略.求定积分时, 其基本格式为Integrate[f[x],{x,a,b}]其中a 是积分下限, b 是积分上限.如输入 Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}] 则输出 1注:Mathematica 有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate 可用积分号 ⎰代替, 命令Sum 可以用连加号∑代替, 命令Product 可用连乘号∏代替. 因此只要调出这些运 算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File 菜单,点击Palettes 中的BasicCalculations, 再点击Calculus 就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数 号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但也可以试用这些数学符号直接计算.2.数值积分命令NIntegrate用于求定积分的近似值. 其基本格式为NIntegrate[f[x],{x,a,b}]如输入 NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}] 则输出 0.3102683.循环语句For循环语句的基本形式是For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象]运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须 用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.例如, 输入t=0;For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t则循环变量j 从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t 的最终值1+2+… +10=55.注:For 语句中的 j++ 实际表示j=j+1实验内容用定义计算定积分当)(x f 在],[b a 上连续时,∑∑⎰=∞→-=∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nk n n k n b an a b k a f n a b n a b k a f nab dx x f 11)(lim)(lim)( 因此可将∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1)(n k n a b k a f na b 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-nk n a b k a f n a b 1)(作为⎰b adx x f )(的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为b a f ,,和n 的函数.例1.1 计算⎰102dx x 的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]]; s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}]; TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1", "s2"}}]输出为n s1 s2 2 0.125 0.625 4 0.21875 0.46875 8 0.273438 0.398438 16 0.302734 0.365234 32 0.317871 0.349121 64 0.325562 0.341187 128 0.329437 0.33725 256 0.331383 0.335289 512 0.332357 0.334311 1024 0.332845 0.333822 这是⎰102dx x 的一系列近似值. 且有.21102s dx x s <<⎰不定积分计算例1.2 求.)1(532⎰-dx x x 输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]则输出18x 3x 6x 59x 106x 53x 181512963-+-+- 例1.3 求.arctan 2⎰xdx x 输入Integrate[x^2*ArcTan[x],x]则输出]x 1[Log 61]x [ArcTan x 316x 232+++-定积分计算 例1.4 求.|2|40⎰-dx x输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]则输出4例1.5 求.4212⎰-dx x输入Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]则输出ππ+--)233(61例1.6 求.102⎰-dx e x输入Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则输出]1[21Erf π 其中Erf 是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则有结果0.746824.变上限积分例1.7 求.)(2cos 0⎰xdx x w dx d 输入D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x]则输出-2 Cos[x] Sin[x]w[Cos[x]2]注意这里使用了复合函数求导公式.例1.8 画出变上限函数⎰x dt t t 02sin 及其导函数的图形.输入命令f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]];g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2];则输出所求图形.定积分应用例1.9 设xx e x f πcos )2(2)(--=和).2cos(4)(-=x x g 计算区间]4,0[上两曲线所围成的平面的面积.输入命令Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]];g[x_]=4 Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}];FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}]NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}]则输出两函数的图形及所求面积.17413.4=s例1.10 ),sin sin()(x x x x f +=计算))0(,0(f 与))2(,2(ππf 两点间曲线的弧长. 输入命令Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]];Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}]则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564.注: 曲线)(x f y =在区间]2,0[π上的弧长⎰'+=π202))((1dx x f s .例1.11 求曲线)0(sin )(2π≤≤=x x x x g 与x 轴所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋 转体体积.输入Clear[g];g[x_]=x*Sin[x]^2; Plot[g[x],{x,0,Pi}]则输出图1-1.观察)(x g 的图形. 再输入Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}] 得到输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-864153πππ又输入 Integrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}]得到输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-323πππ若输入 NIntegrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 则得到体积的近似值为27.5349.注: 图1-1绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.)(20⎰=ππdx x xg V此外,我们还可用ParametricPlot3D 命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的 图形.输入Clear[x,y,z,r,t]; x[r_,t_]=r;y[r_,t_]=g[r]*Cos[t]; z[r_,t_]=g[r]*Sin[t];ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]则得到绕x 轴旋转所得旋转体的图形.又输入Clear[x,y,z];x[r_,t_]=r*Cos[t]; y[r_,t_]=r*Sin[t]; z[r_,t_]=g[r];ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]则得到绕y 轴旋转所得旋转体的图形.实验习题1. 求下列不定积分:(1) ⎰+dxxa x 22sin cos ; (2) ⎰-dx x e x2sin 2; (3) ⎰---dx x xxx 32422; (4) .ln 23⎰xdx x ;(5)⎰++-25124)72(2x xdxx ; (6)⎰---dx xx x 22121.2. 求下列定积分: (1) ⎰-202sin )cos 1(πθθθd ; (2)⎰-10122)2(dx x x ;(3)⎰++a x a x dx22(a >0); (4)⎰+3125xx x dx ;(5) .2sin 222⎰-ππxdx ex; (6)dx x x ⎰-1043294.3. 求⎰-π03)cos(2dx x e x 的近似值. 4. 设,)()(,sin )(1.0⎰==x dt t g x h xxx g 作出)(),(x h x g 的图形, 并求).(2x h dxd5. 画出变上限函数⎰⋅x t dt e t 02及函数2)(2x xe x f =的图形.6.设,51),3(4cos )(2)3(≤≤-=--x x e x f x 求),(x f y =x 轴, 5,1==x x 所围曲边梯形绕x 轴旋转 所成旋转体的体积V , 并作出该旋转体的图形.实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D:命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形.与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的有PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变观点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D: 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的 范围.例如前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面.22y x z +=由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程的表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(注意选项RGBColor[1,0,0]的位置).用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默 认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面和空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]则输出所作平面的图形.如果只要位于第一封限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面.例2.2 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2-1. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是图2-1例2.3 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形.例2.4 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2-2, 这是选项Shading->False 起的作用, 同是注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面 例2.5 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形. 其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑.例2.6 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u ) 输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出单叶双曲面的图形.例2.7 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];则输出所求圆环的图形.曲面相交 例2.8 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形.例2.9 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形.例2.10 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形. 所给螺旋线在xOz 面上的投影曲线的参数方程为t z t x 2,cos 10==.输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形.注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投 影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中 并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.11 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形. 输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2]; x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t] y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t] z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形. 观察所见到的曲面, 理解它是单侧曲面.空间曲线例2.12 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形.输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形.动画例2.13 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅画, 均可观察动画效果.例2.14 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x 输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅画, 均可观察动画效果.实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项 PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22y x xyz +=在点(0,0)不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x 试用ParametricPlot3D 命令作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x 试用ParametricPlot3D 命令作出它的图形.7.用Plot3D 命令作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用ParametricPlot3D 命令作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用ParametricPlot3D 命令作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用ParametricPlot3D 命令作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形.11.用ParametricPlot3D 命令作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空间曲线的图形.57。
一元函数积分学(定积分概念性质).ppt
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 b a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M (b
a)
m
1 b
a
b
a
f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
二、 定积分的概念、定积分的几何意义
1.定义 设函数 f ( x) 在[a,b]上有界，
(1)在[a, b]中任意插入 若干个分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，
(2)在各小区间上任取 一点i （i xi ），
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
专题3 一元函数积分学
)
的原函数为______ 【例】若 ������ ������ ������������ = ������������ + ������，则 ������������(������ − ������������ ) =______. 【例】若 ������′ tan ������ ������������ = tan ������ + ������，则������(������) =______.
= ������
������ ������(������)������������ −������
积分的概念与性质
【定积分的运算性质】设������ < ������，则有：
b
a b
f ( x )dx
b
b
a
f ( t )dt
a
b
a
a
f ( x )dx 0
a
c
f ( x )dx f ( x )dx b f ( x )dx f ( x )dx
������������−������ ������������ ������������ +������������+������
【三角有理式的积分】分子分母都是三角函数多项式的函数 称为有理函数，形如 sin ������������ cos ������������ ������������或
实验指导一一元函数微分学word资料16页
第 8 页实验一 一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica 作平面曲线图性的方法与技巧.基本命令1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot:Plot[f[x],{x,min,max},选项]Plot 有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]则输出2x y =在区间11≤≤-x 上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作 图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.Plot 命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式{f1[x],f2[x],…} 代替f[x].2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:ParametricPlot[{g[t],h[t]},{t,min,max},选项]其中)(),(t h y t g x ==是曲线的参数方程. 例如,输入ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]则输出单位圆t y t x sin ,cos ==的图形.3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入<<Graphics`Graphics`执行以后, 可使用PolarPlot 命令作图. 其基本格式为PolarPlot[r[t],{t,min,max},选项]例如曲线的极坐标方程为,3cos 3t r =要作出它的图形. 输入PolarPlot[3 Cos[3 t], {t,0,2 Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线.4. 隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包, 输入<<Graphics\ImplicitPlot.m命令ImplicitPlot 的基本格式为ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项]例如方程22222)(y x y x -=+确定了y 是x 的隐函数. 为了作出它的图形, 输入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==x^2-y^2,{x,-1,1}]输出图形是一条双纽线.5. 定义分段函数的命令Which命令Which 的基本格式为Which[测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,…]例如输入w[x_]=Which[x<0,-x,x>=0,x^2]虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:第 9 页⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=0,0,)(2x x x x x w 现在可以对分段函数)(x w 求函数值, 也可作出函数)(x w 的图形.实验举例初等函数的图形例1.1 给定函数24325555)(x x x x x x f +++++=(a) 画出)(x f 在区间]4,4[-上的图形;(b) 画出区间]4,4[-上)(x f 与)()sin(x f x 的图形.输入命令f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2);g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];则输出)(x f 在区间]4,4[-上的图形.输入命令g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]];Show[g1,g2];则输出区间]4,4[-上)(x f 与)()sin(x f x 的图形.注: Show[…]命令把称为g1与g2二个图形叠加在一起显示.二维参数方程作图例1.2 画出以下参数方程的图形. (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t y t t t x sin 7511sin 5)(cos 7511cos 5)( (2) ⎩⎨⎧-+=-+=t t t t y t t t t x sin )4cos 2sin 1()(cos )4cos 2sin 1()( 分别输入以下命令:ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t],5Sin[-11/5t]+7Sin[t]},{t,0,10Pi},AspectRatio->Automatic];ParametricPlot[(1+Sin[t]-2 Cos[4*t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio->Automatic,Axes->None];则分别输出所求图形.用极坐标命令作图例1.3 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形.输入命令<<Graphics`Graphics`执行以后再输入PolarPlot[Exp[t/10],{t,0,6 Pi}]则输出为对数螺线的图形.隐函数作图例1.4 作出由方程xy y x 333=+所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).输入命令<<Graphics\ImplicitPlot.m执行以后再输入ImplicitPlot[x^3+y^3==3x*y,{x,-3,3}]第 10 页输出为笛卡儿叶形线的图形.分段函数的作图例1.5 作出分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,,0,cos )(x e x x x h x 的图形. 输入命令h[x_]:=Which[x<=0,Cos[x],x>0,Exp[x]]Plot[h[x],{x,-4,4}]则输出所求图形.注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.例1.6 作出分段函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f 的图形. 输入命令f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;f[x_]:=0/;x=0;Plot[f[x],{x,-1,1}];则输出所求图形.作函数图形的动画例1.7 作出函数cx x x f sin )(2+=的图形动画, 观察参数c 对函数图形的影响.输入命令Do[Plot[x^2+Sin[c x],{x,-3,3},PlotRange->{-1,5}],{c,1,5,1/3}];则输出所求动画图形.实验习题1. 把正切函数x tan 和反正切函数x arctan 的图形及其水平渐近线2/,2/ππ=-=y y 和直线 x y =用不同的线型画在同一个坐标系内.2. 作出双曲正切函数x tanh 的图形.3. 输入以下命令Plot[{Sin[x],Sin[2 x],Sin[3 x]},{x,0,2 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]理解选项的含义.4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.01}]}]Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-5,5}]Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5}]5. 观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}]a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]Show[a1,a2,a3]6. 分别用ParametricPlot 和PolarPlot 两种命令, 作出五叶玫瑰线θ5sin 4=r 的图形.7. 用ImplicitPlot 命令作出椭圆322+=+xy y x 的图形.8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.PolarPlot[Cos[t/2],{t,0,4 Pi}]PolarPlot[1-2 Sin[5 t],{t,0,2 Pi}]第 11 页PolarPlot[Cos[t/4],{t,0,8 Pi}]PolarPlot[t*Cos[t],{t,0,8,Pi}]PolarPlot[t^(-3/2),{t,0,8 Pi}]PolarPlot[2 Cos[3 t],{t,0,Pi}]PolarPlot[1-2 Sin[t],{t,0,2 PI}]PolarPlot[4-3 Cos[t],{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Sin[3 t]+Sin[2 t]^2,{t,0,2 Pi}]PolarPlot[3 Sin[2 t],{t,0,2 Pi}]PolarPlot[4 Sin[4 t],{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[3 t]^2,{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Cos[4 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi},PlotRange->All]实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.基本命令1.画散点图的命令ListPlot:ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]或者ListPlot[{y1,y2,…yn},选项]前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列),(,),,(),,(2211n n y x y x y x Λ的散点图;后一形式的命令, 默认自变量i x 依次取正整数,,,2,1n Λ作出点列为),(,),,2(),,1(21n y n y y Λ的散点图.命令ListPlot 的选项主要有两个:(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来;(2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小.2.产生集合或者数表的命令Table:命令Table 产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入Table[j^2,{j,1,6}]则产生前6个正整数的平方组成的数表{1,4,9,16,25,36}.3.连加求和的命令Sum:命令Sum 大致相当于求和的数学符号∑. 例如, 输入Sum[1/i,{i,100}]//N 执行后得到1001312111++++Λ的近似值. 与Sum 类似的还有连乘求积的命令Product.4. 求函数多次自复合的命令Nest:例如, 输入Nest[Sin,x,3]则输出将正弦函数自己复合3次的函数Sin[Sin[Sin[x]]]5.求极限的命令Limit:其基本格式为Limit[f[x],x->a]其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a 是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用 x->Infinity.第 12 页对于单侧极限, 通过命令Limit 的选项Direction 表示自变量的变化方向.求右极限, 0+→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1];求左极限, 0-→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1];求+∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];求-∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。
D第三章一元函数积分学
Φ (x) -F(x) = C (C为常数)， 为常数) 为常数
移项得
Φ (x) = F(x) + C .
的任一个原函数， 因为 Φ (x) 是 f (x) 的任一个原函数， 所 以 F (x) + C 是 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的一般 表达式. 表达式
定义 2
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原
基本积分表
( 1)
∫ kdx = kx + C
∫
µ
( k 为常数 ) ;
( 2)
( 3)
(4)
∫
∫
1 x dx = x µ +1 + C , µ +1 1 d x = ln | x | + C ; x
ax a xdx = +C ; ln a
( µ ≠ − 1) ;
当 a = e 时,
∫
e x dx = e x + C ;
例如， 内有(x ′ 例如，因为在区间 (− ∞, + ∞) 内有 3)′ = 3x2， 内一个原函数， 所以 x3 是 3x2 在区间 (− ∞, + ∞) 内一个原函数， 又因为(x3+1)′= 3x2， (x3 +
5 )′ = 3 x 2 ,
( x3 + C )′ = 3x2 (C 为任意常数)， 所以 x3 + 1， 为任意常数) ′ ，
二、不定积分的基本性质
(1) ) (2) ) 或
[∫ f ( x )dx ]′= f ( x ) 或 d[∫ f ( x )dx ] = f ( x )dx.
∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C