统计学 相关与回归分析讲解
相关分析与回归分析
19
相关与回归
◆相关与回归分析的步骤
确定变量之间有无相关关系及呈现的形态,用定性分析、 相关表或相关图。
确定变量之间相关关系的密切程度,用相关系数。 建立变量之间变动关系的方程式,用最小二乘法建立变量
之间的回归方程。 测定因变量估计值的可靠性,计算估计标准误差。
相关与回归
20
直线相关
直线相关的应用
前面我们讨论了身高和体重呈正相关关 系，随着身高的增加，体重也在增大。 那么，身高每增加1厘米，体重增加多少 克呢？
上面的相关关系分析不能提供给我们需
要的答案。这些要用直线回归的方法来
解决。
相关与回归
43
相关与回归
44
直线回归
当我们知道了两个变量之间有直线相关关系，并且 一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这时， 如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的变化 可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它们之 间的关系式叫函数方程。
sr
1 r2
1 r2
n2
=n-2
相关与回归
39
H0 ： =0
H1 ： ≠0
=0.05
r=0.792, n=10, 代入公式 t= r
t=3.67
n2 1 r2
查t值表， t0.05(8)=2.045
=n-2=10-2=8
查t值表， t0.05(8)=2.756, 上述计算t=3.67>2.045，由t 所推断的P值小于0.05，按=0.05拒绝接受,认为身
●您的性别： A、男 B、女 ●您的年龄： ●您的家庭人口数： ●您的家庭年收入：
相关与回归
8
一、变量
相关与回归
变量 类型
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法统计学是一门应用广泛的学科，它帮助我们了解和解释数据背后的规律和关联。
回归分析是统计学中一种重要的方法，它用于研究变量之间的关系，并预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。
回归分析的基本原理是建立一个数学模型来描述变量之间的关系。
这个模型通常采用线性方程的形式，即y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数。
回归系数表示了自变量对因变量的影响程度。
回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
简单线性回归可以帮助我们了解两个变量之间的直线关系，而多元线性回归可以考虑更多的因素对因变量的影响。
在进行回归分析之前，我们需要收集数据并进行数据清洗和变量选择。
数据清洗是指处理缺失值、异常值和离群值等问题，以确保数据的质量。
变量选择是指选择对因变量有显著影响的自变量，以减少模型的复杂性。
回归分析的核心是估计回归系数。
我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，即找到能使观测值与模型预测值之间的误差平方和最小的回归系数。
最小二乘法可以通过矩阵运算来求解回归系数的闭式解，也可以使用迭代算法来逼近最优解。
回归分析的结果可以通过各种统计指标来评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数（adjusted R-squared）、标准误差（standard error）和显著性检验（significance test）等。
这些指标可以帮助我们判断模型是否合理，并进行模型比较和选择。
除了线性回归，回归分析还有其他类型的方法，如逻辑回归、多项式回归和非线性回归等。
逻辑回归适用于因变量是二元变量的情况，多项式回归适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况，非线性回归适用于因变量和自变量之间存在复杂的非线性关系的情况。
相关和回归分析
第八章 相关与回归分析第一节 相关关系及其种类一、相关分析的意义相关与回归分析，是统计学中最有适应价值的一个分支，在科学研究、社会经济管理等若干方面，都能够发挥重要的作用。
世界是普遍联系的有机整体，现象之间存在着相关依存、相互制约的关系，每一个现象的运动、变化和发展，与其周围的现象相互联系和相互影响着。
比如，销售规模扩大了，相应地会降低产品的销售成本，价格的上升，将导致供应量的增加，但与此同时，可能会压制消费水平，适当地增加土地耕作深度、施肥量，有利于农作物产出的提高，投入的学习时间与取得的成绩一般呈现出正向关系，数学课学得好则计算机也会学得好一些，身材高的父母，他们的子女的身高也相对较高，降低储蓄的利率，可能会引起存款量的减少，一个人接受教育的程度，与他的劳动效率有着千丝万缕的联系，工作年限长的工人，由于动作熟练和经验丰富，因此比起新手其生产效率将高出一截等等。
通过对现象间的这些关系的研究，可以帮助人们找到现象变化内在与外在的影响因素及其发生机制，进而达到认识规律的目的。
如果能够准确地把握住这些规律，借以估计、预测和控制，就可以对决策活动和科学研究给予帮助与指导。
相关关系又叫统计关系，它是指现象之间客观存在的相互依存关系。
这种关系，只是大致的、从总体上而言的，并不是说某一现象的每一变化，都一定会引起与它有联系的另一现象的同样的变化，换句话，就是一个现象发生了变化，另一现象可能暂时无反应，或者该现象没变，但另一现象却有些变化，可是如果从更大的截面上观察，似乎又存在着某些必然的联系。
比如，生产规模与经济效益有联系，但有可能的情况是，规模小的企业不见得单位产品成本就一定比规模大的低甚至低多少，父母身材高的小孩他的身高不会肯定就比父母身材矮的小孩的身材高。
那么，说规模和效益、高身材与低身材父母的遗传关系的规律，不过是从普遍的事实中概括出来的。
统计学是研究客观现象数量方面的，从数量角度研究现象间的相互依存关系，需要把它们转化为变量的描述和处理。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析的局限性
直线回归分析假设变量之间存在线性关系，对非线性关系的描述效果较差； 同时需要注意多重共线性和异常值的影响。
结论
直线回归分析是一种强大的工具，能够帮助我们理解变量之间的关系和预测未来趋势，但要注意其局限性和合 理使用。
直线回归模型的建立
建立直线回归模型需要收集变量数据、进行数据预处理、选择适当的回归算 法，并评估模型的拟合效果。
直线回归模型的评估
评估直线回归模型的常用指标包括回归系数、残差分析、决定系数等，用于 判断模型的可靠性和拟线回归分析广泛应用于医学研究、经济预测、市场分析等领域，帮助解析变量之间的关系和预测未来趋势。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析是一种常用的统计学方法，用于研究两个变量的关系以及预测 未来的趋势。
直线回归分析的介绍
直线回归是一种线性统计分析方法，通过建立一个线性模型来描述两个变量之间的关系。
直线回归分析的基本原理
直线回归分析基于最小二乘法，寻找一条直线使得实际观测值与回归预测值之间的误差最小。
统计学中的回归分析方法解析
统计学中的回归分析方法解析统计学中的回归分析是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将对回归分析的基本概念、回归模型、模型评估以及一些常用的扩展方法进行解析。
通过深入探讨回归分析的应用方式和原理，希望读者能够更好地理解和运用这一方法。
一、回归分析概述回归分析是一种基于样本数据分析方法，用于研究因变量与自变量之间的关系。
在回归分析中，我们将自变量的取值代入回归方程中，以得出因变量的预测值。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基础的一种情形。
它假设因变量与自变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来解释数据的变化趋势。
简单线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元线性回归当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，就需要使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
二、回归模型的建立与评估在回归分析中，我们需要建立合适的回归模型，并评估模型的拟合优度和统计显著性。
2.1 模型建立模型建立是回归分析的核心部分。
在建立模型时，我们需要选择合适的自变量，并进行模型的参数估计。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计等。
2.2 模型评估为了评估回归模型的拟合优度，我们可以使用各种统计指标，如决定系数R²、调整决定系数adj R²、F统计量等。
同时，我们还需要检验模型的显著性，即回归系数是否显著不为零。
三、回归分析的扩展方法除了简单线性回归和多元线性回归之外，回归分析还有许多扩展方法，包括非线性回归、逐步回归、岭回归等。
统计学原理 相关与回归分析
粮食产量y 随机的
降雨量
土质
种子 耕作技术
X3
X4 X5
可 控 的
（二）相关的种类
完全相关 函数关系是相关关系的一种特例。 不完全相关 相关分析的基本内容
度相 关 密 切 程
y 完全由x的数值唯一确定，函数关系。
不相关
相 关 的 性 质
x、y值变化各自独立，变量间没有相关
关系
正相关 x 负相关
y
x
x2 26896 28900 31329 24336 25600 27556
y2
62540 73695 420857
70225 83521 463382
55696 65025 382469
合计
2114
从表上可以看出，随着个人收入的增加，消 费支出有明显的增长趋势，二者存在一定的依存 关系。正相关关系。 2、相关图（散点图） 直角坐标系第一象限
1、相关表
单变量分组相关表
分组相关表
双变量分组相关表
先做定性分析——相关资料排序——列在一张表上
个人收入x 164 170 177 182 192 207 225 243 265 289
消费支出y 156 160 166 170 178 188 202 218 236 255 1929
xy 25584 27200 29382
yc = 25.32 + 0.7927 300 = 263.13万元
（三）估计标准误差Syx P197
Syx = Syx =
=
(y - yc) 2 n-2 y2 - a y -b xy n-2
382469 -25.32 1929 -0.7927 420857
10 - 2
统计学原理第八章相关与回归分析
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法统计学是一门应用科学，可以帮助我们理解和解释数据。
在统计学中，回归分析是一种常用的方法，用于研究变量之间的关系以及预测未来的趋势。
回归分析是一种基于概率论和数理统计的方法，用于描述和模拟数据的线性关系。
通过回归分析，我们可以确定一个或多个自变量与因变量之间的数学关系。
这使得我们能够根据已有的数据预测未来的趋势和结果。
回归分析的核心概念是回归方程。
回归方程是用于描述自变量与因变量之间关系的数学公式。
在简单线性回归中，回归方程可以用y = a+ bx来表示，其中y是因变量，x是自变量，a和b是回归方程的参数。
通过回归方程，我们可以计算自变量对因变量的影响程度。
回归的目标是找到最适合数据的回归方程，并通过该方程对未知数据做出预测。
回归分析有不同的类型。
简单线性回归是最基本的形式，用于研究两个变量之间的关系。
多元线性回归则用于研究多个自变量对因变量的影响。
此外，还有逻辑回归用于处理二元分类问题，和多项式回归适用于非线性关系。
回归分析还可以帮助我们评估各个变量对因变量的相对重要性。
通过计算回归方程中各个参数的显著性，我们可以确定哪些自变量对因变量的影响更为显著。
在回归分析中，误差的处理也是非常重要的。
误差代表了回归模型无法解释的数据波动。
最小二乘法是一种常用的方法，用于最小化回归模型的总体误差。
除了简单的回归分析，还有一些衍生的方法可以扩展回归模型的适用范围。
岭回归和Lasso回归是用于应对多重共线性问题的方法。
弹性网络回归则是将岭回归和Lasso回归进行结合，取两种方法的优点。
回归分析在许多领域都有广泛的应用。
在经济学中，回归分析常用于研究经济指标之间的关系。
在市场营销中，回归模型可以用于预测销量和分析市场趋势。
在医学研究中，回归分析可以帮助研究人员研究疾病和治疗方法之间的关系。
总之，统计学中的回归分析是一种强大的工具，用于研究变量之间的关系和预测未来的趋势。
通过回归分析，我们可以理解数据并做出有意义的预测。
MBA统计学--相关和回归分析课件(PPT45张)
高 一成 绩与 初三 成绩 之差
10
0
-10
•可以看出收入高低对高一成绩稍有影响，但 不如收入对成绩的变化（高一和初三成绩之 差）的影响那么明显。
50 40 30
39 25
高 一成 绩
-20
-30
N=
11
27
12
N=
11
27
12
1
2
3
1
2
3
家庭 收入
§7.1 问题的提出
例7.1 有50个从初中升到高中的学 生。为了比较初三的成绩是否和 高中的成绩相关，得到了他们在 初三和高一的各科平均成绩(数据在 highschool.txt) 。这两个成绩的散点 图展示在图7.1中。
50 名同学初三和高一成绩的散点图
100 有个上升趋势；即初三时成绩相对较高 的学生，在高一时的成绩也较高。 90
§7.1 问题的提出 一旦建立了回归模型，除了对变量的
关系有了进一步的定量理解之外，还 可以利用该模型（函数）通过自变量 对因变量做预测（prediction）。 这里所说的预测，是用已知的自变量 的值通过模型对未知的因变量值进行 估计；它并不一定涉及时间先后。 先看几个后面还要讨论的数值例子。
其他可能与Y有关的变量（X也可能是 若干变量组成的向量）。则所需要的 是建立一个函数关系Y=f(X)。 这里Y称 为因变量 或响应变 量 (dependent variable, response variable)， 而 X 称为自变量，也称为解释变量或 协 变 量 (independent variable, explanatory variable, covariate)。建立这 种关系的过程就叫做回归 (regression) 。
医学统计：相关分析和回归分析
（一）绘制散点图
图9-2 剂量X与日数Y散点图
从整体趋势而言， 随着剂量的增加， 日数呈增加的趋势， 且二者之间存在线 性相关关系。
（二）估计简单相关系数r
n
r102
l x xl y y
n
n
x x2 y y2
i 1
i 1
（三）相关系数ρ 的假设检验 由于抽样误差的存在，我们计算出来的样 本相关系数未必等于总体相关系数，所以需 要对相关系数进行假设检验。 若ρ≠0，说明X与Y之间有线性关系。 若ρ=0，说明X与Y之间无线性关系，但也 可能存在其它相关关系。
Pearson积差相关系数 coefficient of product-moment correlation
X和Y的协方差 ❖ 相关系数＝ (X的方差)(Y的方差)
样本相关系数
r
(X X )(Y Y) lXY
(X X )2 (Y Y)2 lXX lYY
•若ρ＝0，称X和Y不相关 •若ρ≠0，则X和Y线性相关 •相关系数没有量纲，取值范围[-1,1]
❖ Spearman等级相关适用资料不满足正态分布 或总体分布类型未知的数据。
❖ 分析方法是将原始数据值由小到大排序，序 号称为秩(rank)，以秩作为新的变量来计算等 级相关系数rs,用以说明两变量XY之间线性相 关关系的密切程度和方向。
❖ Spearman等级相关公式：
6 d 2
rs 1 n(n2 1)
则是研究2个随机变量间是否有线性联系、 联系程度及方向的统计方法。
第一节 线性相关分析
线性相关的基本概念
1. 相关分析 (correlation analysis) 研究两个或多个变量之间关联性或关联
程度的一种统计分析方法。 2. 相关系数 (correlation coefficient)