高二数学上学期期末考试试题文
云南省昆明市黄冈实验学校2017-2018学年高二数学上学期期末考
试试题 文
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人 得分
一、选择题（题型注释）
1、(本题5分)函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2、(本题5分)盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球
使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A． B． C． D．
3、(本题5分)已知向量，若，则实数m的值为（）
A．0 B．2
C． D．2或
4、(本题5分)已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的
渐近线方程为（）
A．
B． C． D．
5、(本题5分)椭圆：的焦距为
A． B．2 C．
D．1
6、(本题5分)椭圆的离心率为（）
A． B．
C． D．
7、(本题5分)已知命题“且”为真命题，则下面是假命题的是（）
A． B． C．或 D．
8、(本题5分)同时掷两颗骰子，所得点数之和为5的概率为（）
A． B． C． D．
9、(本题5分)在区间上随机选取一个数，则的概率为（）
A． B． C． D．
10、(本题5分)执行如下图所示的程序框图，则输出的值是（）．
A． B． C． D．
11、(本题5分)如果三个数2a，3，a﹣6成等差，则a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．4
12、(本题5分)已知：幂函数在上单调递增；，
则是的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第II卷（非选择题）
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评卷人 得分
二、填空题（题型注释）
13、(本题5分)已知，且是第二象限角，则___________．
14、(本题5分)已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.求数列{an}的通项公式：
________
15、(本题5分)抛物线的焦点坐标为___________
16、(本题5分)某厂在生产甲产品的过程中，产量（吨）与生产能耗（吨）的对应数据
如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为．当
产量为80吨时，预计需要生产能耗为__________吨．
评卷人 得分
三、解答题（题型注释）
17、(本题12分)已知命题：方程有实根，命题：－1≤≤5．若
为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
18、(本题12分)已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端
点与两个焦点构成的三角形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程式；（Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于两点.
若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
19、(本题12分)某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50
岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，
第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.
（1）现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，
则年龄第组人数分别是多少？（2）在（1）的条件下，从这6中随机抽取2参加社区
宣传交流活动，求恰有2人在第3组的概率。
20、(本题12分)设直线的倾斜角为，（1）求的值；（2）求
的值。
21、(本题12分)在等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值.
22、(本题10分)已知，满足约束条件求的最小值与最大
值。
安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
高二数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线20x y ++=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.135°D.150°【答案】C 【解析】【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率1k =-，利用tan k α=即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：202x y y x ++=⇔=--，所以该直线的斜率为1-，设该直线的倾斜角为α，且0180α︒≤<︒，可得tan 1135αα=-⇔=︒．故选：C2.在空间直角坐标系中，已知点()0,0,1A ，()1,2,3B ，(),,2C m n ，若向量AB与向量BC 共线，则m 的值为（）A.0B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.【详解】根据题意：()1,2,2AB = ，()1,2,1BC m n =---，AB 与BC共线，所以()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= ，可得12λ=-，12m =．故选：B3.已知等差数列{}n a 满足1356a a a ++=，则24a a +=（）A.10B.8C.6D.4【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由1356a a a ++=，得到336a =，即32a =，所以24324a a a +==，故选：D.4.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b =，1AA c =，点M 为四边形11BCC B 的中心点，则AM = （）A.111222a b c ++B.1122a b c++C.111222a b c +- D.1122a b c-- 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.【详解】根据题意，1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++，又BC AC AB=-，所以1111111222222AM AB BB AC c =++=++ ，故选：A.5.已知双曲线222:14y x C b-=的渐近线方程为250x =，则该双曲线的焦点坐标分别为（）A.()3,0，()3,0- B.()0,3，()0,3-C.()1,0，()1,0- D.()0,1，()0,1-【答案】B 【解析】【分析】由渐近线、,,a b c 的关系以及焦点的概念即可求解.【详解】已知双曲线222:14y x C b -=的渐近线方程为220y x x by b=±⇔±=，对照250x =，可得25b =，所以2549c =+=，所以该双曲线的焦点坐标分别为()0,3，()0,3-．故选：B.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足21n n S a =-，则1224log T T =（）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】【分析】根据1nn n a S S -=-可得12n n a a -=，结合等比数列的定义可知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出n a ，进而求出124T T 即可求解.【详解】根据题意：1121,21n n n n S a S a --=-=-，两式作差可得12n n a a -=，当1n =时，11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()()44115601256128942,22n n T a a a a a a T -==⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1224log 60T T =，故选：D ．7.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线:21l y x =+与该抛物线交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为1M .若17||4MM =，则p =（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】先运用中位线定理，将17||4MM =转化得到,A B 两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到p 的值.【详解】根据题意，过点,A B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为11,A B ，所以1117||||2||2AA BB MM +==，所以72AF BF +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据定义可得121222p pAF BF x x x x p +=+++=++，联立()22122244210221y px p x p x x x y x ⎧=-⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩，1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=．故选：B .8.已知函数()[]f x x =表示不超过x 的最大整数，41n a n =-，[]2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S =（）A.673B.747C.769D.821【答案】A 【解析】【分析】用特殊值法，根据对数得运算对n b 进行分类，从而求出前100项的和.【详解】根据题意分析可得：[][]1212log log 31b a ===，[][]2222log log 72b a ===，[][]3232log log 113b a ===，[][]4242log log 153b a ===，584b b ~=，9165b b ~=，17326b b ~=，33647b b ~=，651008b b ~=，所以10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：A二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()2,2,1a =-，(),,2b x y = ，则下列结论正确的是（）A.向量a关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1B.若a b ⊥，则20x y -+=C.若a b =，则225x y +=D.若a b ⊥ 且a b = ，则2x =-，1y =-【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B;根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立20x y -+=，225x y +=,计算即可判断D.【详解】对于选项A :根据题意可知向量()2,2,1a =-关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1,故A 正确；对于选项B :若a b ⊥，则2220a b x y ⋅=-+=，即10x y -+=，故B 错误；对于选项C :若a b = ，则225x y =⇔+=，故C 正确；对于选项D :若a b ⊥ 且a b = ，2210251x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或12x y =⎧⎨=⎩，故D 错误．故选：AC.10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法正确的是（）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C 的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A ，112BF F A = ，则232a =【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 项，易得等腰直角三角形12BF F ,则1b c ==，即得；对于B 项，由离心率公式和222a b c =+易得；对于C 项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径22b a，易得；对于D 项，利用112BF F A = 表示出点A的坐标，代入椭圆方程计算即得.【详解】对于A 项，若12BF BF ⊥，因12BF BF =,可得1b c ==，则a =，故A 项正确；对于B 项，由222212a e a -==可解得：2a =，故B 项正确；对于C 项，2a =时，椭圆22:14x C y +=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，即22112b a =≠，故C 项错误；对于D 项，如图，因为()0,1B ，()1,0F c -，设点(,)A m n ，由112BF F A =可得(,1)2(,)c m c n --=+，解得：31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆222:1x C y a +=中，可得2291144c a +=，即229(1)344a a -=，解得：232a =，故D 项正确．故选：ABD .11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，238a a +=，现将数列{}n a 与数列{}1n S -的公共项从小到大排列可以得到新数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A.21n a n =-B.21n S n =-C.10399b = D.数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1021【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件求出数列{}n a 的公差，易得通项n a 和前n 项和n S ，易于判断A,B 两项；对于新数列{}n b ，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C 项；对于D 项，因数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，由231238a a a d +=+=解得：2d =，故12(1)21n a n n =+-=-，()21212n n n S n +-==，故A 项正确，B 项错误；将数列{}n a 列举出来为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, 数列{}1n S -列举出来为：0,3,8,15,24,35,,故共同项依次有：3,15,35, ,即13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ ，故2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-，则1041001399b =⨯-=，C 项正确；因()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭，其前10项和为11111111111011232352192122121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．故D 项正确.故选：ACD.12.点A ，B 为圆22():21M x y -+=上的两点，点()1,P t -为直线:1l x =-上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当0=t ，且AB 为圆的直径时，PAB 面积的最大值为3B.从点P 向圆M 引两条切线，切点分别为A ，B ，AB 的最小值为3C.A ，B 为圆M 上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得π3APB ∠=D.当()1,2P -，AB =时，PA PB +的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A ；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B ；由B 项可判定C 项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A ：当0=t ，AB 为直径时，1122PAB A S PM h =⨯⨯ （其中A h 为点A 的纵坐标），所以当点A 为()2,1或()2,1-时，三角形PAB 的面积最大，()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯= ，所以A 正确；对B ：设APM θ∠=，AB 交PM 与点N ，由圆的切线性质Rt Rt BNP MNB ，则ABM APM θ∠=∠=，所以2cos AB θ=，θ越大，AB 越小，当点P 在()1,0-处时，θ最大，此时1sin 3θ=，cos 3θ=，3AB =，即min 3AB =，B 正确；对C ：当点P 在()1,0-处，且PA ，PB 为切线时，APB ∠最大，此时11sin 32APM ∠=<，即π6APM ∠<，π23APB APM ∠=∠<，所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设AB 的中点D ，则MD AB ⊥，221122MD r AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点D 在以M 为圆心，12为半径的圆上，2PA PB PD += ，设小圆半径为1r ，则1max1132PDPM r =+=+，则PA PB +的最大值为2131+，D 正确．【点睛】思路点睛：选项D 中根据圆的弦长公式求出点D 轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线1:1l y kx =+，()2:2l y k x =-，则直线1l ，2l 之间距离的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.【详解】由题意可知：直线1:1l y kx =+的斜率为k ，过定点()0,1A ；直线()2:2l y k x =-的斜率为k ，过定点()2,0B ；可知12l l //，所以两直线之间距离的最大值为5AB =.14.过点()3,1的直线l 被圆：22450x y x +--=所截得的弦长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先分类讨论得圆心()2,0到直线l 的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线l 过定点()3,1，判断可知点()3,1在圆22450x y x +--=内，而圆2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=，若直线l 斜率存在时，设:31l y kx k =-+，圆心()2,0到直线31y kx k =-+的距离为d =，所以()2221210d k k d -++-=，若1d =，则0k =，若0,1d d >≠，则()224410d ∆=--≥，解得01d <<或1d <≤，直线l斜率存在时，max d =，此时1k =-，若直线l 斜率不存在时，即:3l x =，圆心()2,0到直线3x =的距离为1d =，综上所述，圆心()2,0到直线l，所以所截的弦长的最小值为=故答案为：.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线:l y kx =与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线MP 、MQ 的斜率分别为MP k 、MQ k ，且3MP MQ k k ⋅=，若12MF F △的面积为，记直线1MF 、2MF 的斜率分别为1MF k 、2MF k ，则12MF MF k k +=______．【答案】【解析】【分析】首先联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理结合3MP MQ k k ⋅=得223b a =，进一步得双曲线方程，由12MF F △的面积为M 坐标，由斜率公式即可求解.【详解】设(),M M Mx y ，0Mx>，0M y >，根据题意，可得2c =，联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()2222220b a k x a b --=，222b k a <，所以2212122220,a b x x x x a k b+==-，所以()()()()222222222221212222212122222223M M MMP MQ MM M M Ma b b x b a k b a k k kx y kx a y k x x y b k x x a b k b x x x x x a x--+⋅==⎛⎫+-===--⎪⎭+--+ ⎝，又2224a b c +==，可得21a =，23b =，所以双曲线22:13y C x -=，12MF F △的面积为，可得122M M c y y ⨯⨯=⇔=代入双曲线C的方程可得M x =M的坐标为，所以12MF MF k k +==故答案为：16.已知抛物线22(0)y px p =>，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为60︒时，2BF =，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为______．【答案】92【分析】结合题意求出p ,设直线3:2AB x my =+，结合韦达定理表示出OAB 面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过,A B 向准线作垂线，垂足分别为A '、B '，过B 作AA '的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为60︒时，结合题意易得2BF BB ='=，所以()cos601cos60BF p BF BF p ︒=-⇔+︒=，即3232p =⨯=，设()11,A x y ，()22,B x y ，满足2116y x =，2226y x =，设直线3:2AB x my =+，代入抛物线方程26y x =，可得2690y my --=，121269y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以()1219222OAB p S y y =⨯+≥=，当0m =时，三角形OAB 面积取最小值，此时最小值为92．故答案为：92．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()1,2．（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足3b a =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当OAB 的面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）350x y +-=或20x y -=（2）240x y +-=【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】根据题意：直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点()0,0时，设直线l 为13x y a a+=，将()1,2代入可得53n =，所以直线l 的方程为350x y +-=；当直线l 过原点()0,0时，直线l 的斜率为20210-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=-即20x y -=．综上，直线l 的方程为350x y +-=或20x y -=；【小问2详解】设直线l 的方程为()21(0)y k x k -=-<，所以21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，所以()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k-=-时，2442OAB S k k =⇔=⇔=- ，2k =（舍），所以直线l 的方程为()()221y x -=--即240x y +-=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系易得21n a n =-，需要检验首项是否符合；（2）利用错位相减法求和即得.【小问1详解】根据题意：2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，两式相减即得：22(1)21n a n n n =--=-，因1n =时，11a =，满足上式，故21n a n =-；【小问2详解】()2212n n n n b a n ==-⋅，则12n n T b b b =+++ 21232(21)2,n n =⨯+⨯++-⨯ ，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ，两式相减可得：()21122222212nn n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ，()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-故()12326n n T n +=-⨯+．19.如图，三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA PC ==（1）证明：AC BP ⊥；（2）若2PB =，点F 为PB 的中点，求平面ACF 与平面PBC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，证明AC ⊥平面POB 即得；（2）先证明PO ⊥平面ABC ，建系后，求出相关点和空间向量的坐标，计算出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，又因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，所以BO AC ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，可得AC ⊥平面POB ，又BP ⊂平面POB ，所以AC BP ⊥.【小问2详解】因为PA PC ==1AO =，所以1PO =，BO =，因为2PB =，由222PO BO PB +=可得：PO BO ⊥，又PO AC ⊥，,,BO AC O BO AC =⊂ 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，如图，以,,OA OB OP分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，10,,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因()2,0,0AC =-，1(1,)22AF =- ，设平面ACF 的法向量()1,,n x y z = ，则112031022AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1y =，得z =0x =，则1(0,1,n =，又()1,0,1PC =--，()1PB =- ，设平面PBC 的法向量()2,,n x y z =，则220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1y =，得z =，x =2(n =.设平面ACF 与平面PBC 的夹角为θ，则12127cos 7n n n n θ⋅===⋅ ，故平面ACF 与平面PBC的夹角的余弦值为7．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 为椭圆C 上任意一点，点P 到1F距离的最大值为)21．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点1F 的两条不同的直线1l ，2l 关于x 轴对称，直线1l ，2l 与椭圆C 在x 轴上方分别交于M 、N 两点．直线MN 是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）是，()4,0-【解析】【分析】（1）根据题意列出,,a b c 的关系式运算得解；（2）设直线1l 的方程为()2y k x =+与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，利用MT NT k k =坐标化代入根与系数关系化简求得t 的值得解.【小问1详解】根据题意，2c e a ==，2a c +=+，解得a =2c =，又22224a b c b =+⇔=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】根据题意可得：设直线1l 的方程为()2y k x =+，联立()()2222222128880184y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设直线1l 与椭圆C 的交点为()11,M x y ，()22,M x y '，可得：212221228128812k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，所以()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=，可得：()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k --+-+-=⇔+-=++24160412t t k --⇔=⇔=-+，所以直线MN 过定点()4,0-．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ．（1）求1T ，2T 和n T ；（2）证明：1112222n n n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭．【答案】（1）1211113721n n T T T +===-，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，计算可得n T ；（2）由（1）可得12121n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】当1n =时，11111123T a T a =-⇔==，当2n =时，221222*********T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ，∴2n ≥时，121n n n T T T -=-，化为11121n n T T -=⨯+，变形为111121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1n =时，114T+=，数列11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，∴11111142221n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113T =亦满足上式，即1121n n T +=-；【小问2详解】先证明左边：即证明111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，1121n n T +=-，又由12n n T a =-，解得12121n n n a +-=-，又11121211121222n n n n n n a +++--=>=--，所以123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，再证明右边：()121211212221n n n n n a +--=<=--，∴2n n S <．22.已知点()12,0F -，圆222:(2)10F x y -+=，点(),P x y 满足122PF PF -=，点(),P x y 的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆2F 交于M ，N 两点，设直线1F M ，1F N 的倾斜角分别为,αβ．（1）求曲线C 的方程；（2）求αβ-的值．【答案】（1）2213y x -=（2）π2【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可求解.（2）分切线l 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得()22112231m k F M F N k -+⋅=+ ，由l 与双曲线相切得,k m 关系，由此即可得解.【小问1详解】根据题意：()()122,0,2,0F F -，12122224PF PF a c F F -==<==满足双曲线定义，设曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据定义可得221a a =⇔=，242c c =⇔=，222b c a b =-⇔=，所以曲线C 的轨迹方程为2213y x -=；【小问2详解】根据题意：()12,0F -，()22,0F ，当l的斜率不存在时，:1l x =，此时()1,3M ，()1,3N -，110F M F N ⋅=，所以π2αβ-=；当l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y，设直线:l y kx m =+，联立直线l 与圆2F 可得：()()12222222212242112460(2)1061km x x y kx m k k x km x m x y m x x k -⎧+=⎪=+⎧⎪+⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩，()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>，()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++，所以代入韦达定理可知()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ，因为直线l 与曲线C 相切，联立()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()230k -≠，所以22Δ030k m =⇔--=，故得110F M F N ⋅= ，所以π2αβ-=．。
广东省东莞市高二数学上学期期末考试试题 文(B卷,扫描版)
东莞市2014-2015学年度第一学期高二文科数学期末考试试卷（B卷）2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. {}34x x -<< 12. 9 13．3- 141三、解答题15．解：（1） 不等式20x mx n ++≤的解集为[1,4]A = 1,4∴是方程20x mx n ++=的两个根，……………2分由韦达定理得14m +=-，14n ⨯= ……………4分∴实数,m n 的值分别为5,4- ……………………6分（2） q 是p 的充分条件， ∴q p ⇒，即B 是A 的子集， ……………………8分即 {114aa -≥≤， …………………11分解得24a ≤≤．所以实数a 的取值范围为|{a 24a ≤≤}．…………12分16.解：由()1f A =得2cos 12A =， 即1cos 22A = ∵A 是ABC ∆的内角， ∴23A π= ∴23A π=……………3分 由正弦定理：BAC A BC sin sin = ……………………6分 又∵BC=7,sin B = 得7sin 5sin BC B AC A⋅=== ……………8分又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=， 即222175222AB AB =++⋅⨯⨯ ,解得3=AB ……………12分 17．解：（1）由已知{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，则………1分 11234a d a d +=⎧⎨+=⎩. ……………3分 解之得111a d =⎧⎨=⎩∴1(1)1n a n n =+-⨯=……………5分 各项为正数的等比数列{}nb 中，公比设为q （0q >）.由11b =，1237b b b ++=得217q q ++=解之得2q =或3q =-（舍去）……………7分（2）由（1）知n a n =，12n n b -=∴12n n n n a n c b -==……………8分 ∴0121123...2222n n n S -=++++...............① ...............9分 1231123 (22222)n n n S =++++...............② ...............10分 ①－②得：012111111 (222222)n n n n S -=++++- ……………11分 11[1()]21212n n n ⨯-=--222n n +=-……………………………………13分 ∴n S 1242n n -+=-即为所求.18．解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨．依题意可得线性约束条件5346355000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩……………4分 目标函数为 1012z x y =+, ……………5分作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示将1012z x y =+变形为5612z y x =-+当直线5612z y x =-+在纵轴上的截距12z 达到最大值时，……………9分 即直线5612z y x =-+经过点M 时，z 也达到最大值. ……………10分 由53463550x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为(5,7) ……………12分 所以当7,5==y x 时，max 510712134z =⨯+⨯= ……………13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元. ……………14分19．解：（1）依题意知曲线C 是抛物线，设其为22(0)x py p =>，由定义可得12p =，解得2p =，………2分∴抛物线C 的方程为24x y =.……………3分(2)设点00(,)P x y ，点P 到直线2y x =-的距离为d ，则有2004x y =,由点到直线距离公式得d===………………7分 ∴当02x =，01y =即(2,1)P 时，点P 到直线2y x =-的距离最短，最短距离为2.……………………8分 (3)由题意，联立y x m =+和24x y =消去y 并整理得2440x x m --=，………………10分直线l 与曲线C 有交点∴2(4)160m ∆=-+≥…………12分解之得1m ≥-即为所求. …………14分 20．解：（1）由题知221()ln 22e f e e a e =-+=，解得0a =……………2分 （2）由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，……………3分 又22'2221()()()x e x e x e x f x x e e x e x-+-=-== …………5分 由2()()0e x e x e x +->得0x e <<；2()()0e x e x e x+-<得x e >；…………7分 故函数()f x 单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞……………8分（3）因为22()ln 2x f x x e=-，由（1）知函数()f x 的单调减区间为(,)e +∞，故()f x 在2[,]e e 上单调递减，………………9分 ∴2max 211()()ln 1222e f x f e e e ==-=-=； 4222min 2()()ln 222e ef x f e e e ==-=-；………………10分 ∴max min ()()f x f x -=2213(2)222e e ---= max min ()()f x f x ∴-2332e -=<………① …………11分 依题意任取212,[,]x x e e ∈，欲证明12()()3f x f x -<，只需要证明max min ()()f x f x -3<，…………13分由①可知此式成立，所以原命题得证. …………14分。
四川省眉山市高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
眉山市高中2018届第三学期期末教学质量检测 数学（文科）参考答案 2017.01一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDABBBACDACB二、填空题13、116y =- 14. 24 15. ]30[π， 16. 433三、解答题 17、解：⑴.当34απ=时，直线AB 的方程为：2(1)10y x x y -=-+⇒+-= 设圆心到直线AB 的距离为d ，则22d =∴22||230AB r d =-= ………………………… 5分⑵.当弦AB 被点P 0平分时 OP 0⊥AB ∵02OP K =- ∴12AB K =故直线AB 的方程为：12(1)2y x -=+ 即250x y -+=……………10分18、由命题p ：0≥∆得2a ≤-或1a ≥， ……………………………………4分对于命题q ：因 时0222>+-ax ax 恒成立，所以或a =0, ∴04a ≤< ……………………………………………6分 由题意知p 为假命题，q 为真命题。
……………………………………………8分∴ 104012<≤⇒⎩⎨⎧<≤<<-a a a ，∴a 的取值范围为[) 1,0 …………………………12分19、解（1）因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以P 在两条平行直线l 1，l 2外． 过P 作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求d 最小值．由两平行线间距离公式，得d 最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3. ………………6分 （2）当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3;设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0， 所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5. ……………12分 20、解：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立直角坐标系. ….1分| PA |+| PB |=| CA |+| CB |=22+22)22(2+=22， 动点的轨迹是以为,A B 焦点椭圆…………………………………………….4分 a b a 2b 22800a a a ⎧∆=-<⎨>⎩x R ∈∴曲线E 的方程为：22x +y 2=1 .……………………………………………6分（2）直线l 得方程为3(1)y x =--且1122(,),(,)M x y N x y ………….7分由方程组223(1)12y x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩得方程271240x x -+=12127x x += 1247x x = ………………………………………………….9分212||1(3)||MN x x =+--212122()4x x x x =+-728744)712(22=⨯-= 故728=MN …………………………………………………………..12分 21、（1）证明：当直线l 的斜率不存在时，:3l x = (3,6)A ,(3,6)B -3)6(633=-⨯+⨯=⋅OB OA …………………………………………1分设直线l 的方程为(3)y k x =-(0≠k )且11(,)A x y ，22(,)B x y由方程组2(3)2y k x y x=-⎧⎨=⎩代入化简得2222(62)90k x k x k -++=0≠k ∴ 129x x = …………………………………………. 3分由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21212()4y y x x = ∴126y y =- ……………………….4分1212OA OB x x y y ⋅=+963=-= ……………………………………….5分故综上所述：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题….6分（2）逆命题：直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，如果→--OA →--⋅OB ＝3，那么直线l 过点T （3，0）。
贵州省遵义四中高二数学上学期期末考试试题 文(含解析
贵州省遵义四中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；每个小题只有一个选项符合题目要求．．．．．．．．．．．．） 1. 设集合{|14}M x x =<<；2{|230}N x x x =--≤；则()R M C N I 为 ( )A .(1,4)B .(3,4)C .(1,3)D .(1,2)(3,4)U2. 已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α的值为 ( ) A .2425 B .1225C .1225-D .2425-3. 已知向量(1,1)a =-r，(2,)b x =r .若1a b =r r g，则x 的值是 ( ) A .1 B .12 C .12- D .1-解题的关键是向量的坐标形式的数量积的计算，通过运算解出相应的未知数的值.考点：向量的坐标形式的数量积.4. 如图所示的算法流程图中,第2个输出的数是 ( )A .1B .32C .2D .525. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A .4π B .22π- C .6π D .44π-6. 设二次函数2()32(1)2f x x a x =-+-+在区间(1,)-+∞上为减函数，则实数a 的范围为( )A .2a =-B .2a =C .2a ≤-D .2a ≥7. 在等差数列{}n a 中，41a =，91114a a +=，则数列{}n a 的前13项和为 ( )A .104B .52C .39D .248. 设R ϕ∈，则“2πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】9. 设实数,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为 ( )A .3-B .0 C.32D .310. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A .285+B .3065+C .565+D .605+11. 已知,P Q 为抛物线22x y =上的两点，且,P Q 的横坐标分别为4,2-，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则A 的纵坐标为 ( ) A .1 B .3 C .4- D .8-考点：1.曲线上的点.2.曲线的切线.3.直线的交点.12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A .[2,)+∞B .(2,)+∞C .(1,2)D .(1,2]第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分；请将正确答案填写在相应的横线上） 13. 函数4()(0)f x x x x=+>的最小值为 .14. 曲线21xy e x =++在点(0,2)A 处的切线方程 .键是判断点A 与曲线的位置关系. 考点：1.函数的导数.2.函数的切线方程.15. 已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，若||4AF =，则||BF = .16. 设,a b R +∈，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<； ③若||1a b -=，则||1a b -<；④若22||1a b -=，则||1a b -<其中正确命题的序号为 .三.解答题（本题共6小题，共70分；作答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 且；()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若7b =23ABC S ∆=,a c 的值.18. （本题满分12分）A B C三个区中抽取6个工厂进为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从,,A B C区中分别有27, 18，9个工厂.行调查.已知,,A B C区中应分别抽取的工厂个数；（Ⅰ）求从,,（Ⅱ）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.19. （本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为23，D 为棱AC 的中点。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
(完整word版)高二数学期末考试试题及其答案
禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移 ，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行， 若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀 兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：A2. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. m > 2B. m < -2C. m > -2D. m < 2答案：D3. 已知函数f(x) = (x - 2)^2 + 1的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 5答案：B4. 若a，b是方程x^2 - 3x + 1 = 0的两根，则a^2 + b^2的值等于（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C5. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则方程f(x) = 0在区间（0，3）内的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < -3C. x > -1D. x < 1答案：C7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 4，若f(x) > 0，则x 的取值范围是（）A. x > 1B. x < 1C. x > 2D. x < 2答案：A8. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) < 0，则x的取值范围是（）A. x > 3/2B. x < 3/2C. x > 3D. x < 3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
答案：710. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：011. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1的图象上存在点P(m，n)，使得f(m) = n，求实数k的取值范围。
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -3B. 0C. 3D. 4答案：C2. 函数$y = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A3. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则其定义域为（）A. $x \in (-\infty, 1]$B. $x \in [0, 1]$C. $x \in [-1, 1]$D. $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$答案：C4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = x^2$，则$f(g(x))$的解析式为（）A. $\frac{1}{x^3}$B. $\frac{1}{x^2}$C. $x^3$D. $x^4$答案：A5. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求$f(1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 设函数$f(x) = 2x + 3$，$g(x) = 4x - 5$，求$f(g(x))$的值（）A. $8x - 7$B. $8x + 7$C. $6x - 7$D. $6x + 7$答案：A7. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求$f(-1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 设函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f'(x)$的值为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A9. 函数$y = x^2 + 2x + 1$的极值点为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C10. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数为________。
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：直线的斜率为，直线的倾斜角满足，故选：B．由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角和斜率，属基础题．2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件那么此样本的容量A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】C【解析】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是，因样本中A种型号产品有16件，则，解得．故选：C．先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来．3.命题p：，的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题“，”是特称命题命题的否定为，．故选：A．根据命题“，”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“”，““改为“”即可得答案本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．4.已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，抛物线的准线方程为，，解得，故所求抛物线的标准方程为．故选：A．设抛物线方程为，根据题意建立关于p的方程，解之可得，得到抛物线方程．本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．5.设，则“”是“直线：与直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当时，直线：与直线：，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得，，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出与平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．6.圆M：与圆N：的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】解：圆M：的圆心为，半径为；圆N：的圆心为，半径为；则，且，两圆的位置关系是相交．故选：A．计算两圆的圆心距，比较两圆的半径得出两圆的位置关系．本题考查了两圆的位置关系判断问题，是基础题．7.对于平面、、和直线l、m、n、p，下列命题中真命题是A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由平面、、和直线l、m、n、p，知：在A中，若，，，，则只有当m，n相交时，才有，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．故选：D．在A中，只有当m，n相交时，才有；在B中，或；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.甲、乙两位同学连续五次地理考试成绩用茎叶图表示如图所示，甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数分别为甲，乙；方差分别是甲，乙，则有A. 甲乙，甲乙B. 甲乙，甲乙C. 甲乙，甲乙D. 甲乙，甲乙【答案】B【解析】解：甲、乙两位同学连续五次地理考试成绩用茎叶图表示如图所示，甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别是甲，乙，则甲，，乙．甲，乙，甲乙．甲乙故选：B．由茎叶图分别求出甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数和方差，由此能求出结果．本题考查平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】解：输入的，，故，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．10.的周长是8，，，则顶点A的轨迹方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：的两顶点，，周长为8，，，，点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且，，，所以椭圆的标准方程是．故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．11.抛物线与直线交于A、B两点，其中点A的坐标为，设抛物线的焦点为F，则等于A. 7B.C. 6D. 5【答案】A【解析】解：把点，代入抛物线和直线方程，分别求得，抛物线方程为，直线方程为，联立消去y整理得解得x和1或4，的横坐标为1，点横坐标为4，根据抛物线定义可知故选：A．把点，代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去y，可分别求得A和B的横坐标，再根据抛物线的定义求得答案．本题主要考查抛物线的应用属基础题．12.双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为A. 16B.C.D. 18【答案】D【解析】解：双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，可得，，，．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，的周长为，当P点在第二象限时，的最小值为，故的周长的最小值为．故选：D．利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.转化为十进制数是______．【答案】5【解析】解：．故答案为：5．利用“2进制”与“十进制”之间的换算关系即可得出．本题考查了“k进制”与“十进制”之间的换算关系，属于基础题．14.在区间上任取一数，则此数不小于2的概率是______．【答案】【解析】解：由于此数不小于2，则所求事件构成的区域长度为：，在区间上任取一个数x构成的区域长度为3，则此数不小于2的概率是，故答案为：．根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由“此数不小于2“求出构成的区域长度，再求出在区间上任取一个数x构成的区域长度，再求两长度的比值．本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．15.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为______．【答案】【解析】解：由题意，依据抛物线的对称性，及正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，可设另外两个顶点的坐标分别为，，，解得，故这个正三角形的边长为，故答案为：．设另外两个顶点的坐标分别为，，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到m的值．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，设出另外两个顶点的坐标，是解题的突破口．16.已知椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则______．【答案】【解析】解：椭圆的离心率为，可得，可得，设，，，可得，，相减可得，即有．故答案为：．由椭圆的离心率公式可得a，b的关系，设，，，代入椭圆方程作差，结合直线的斜率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：实数m满足，其中：命题q：实数m满足．若，且为真，求实数m的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：命题p：实数m满足，其中，解得；命题q：实数m满足，解得．若，则p：．由为真，，即．实数m的取值范围是；若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．，解得．实数a的取值范围是．【解析】命题p：实数m满足，其中，解得；命题q：实数m满足，解得m范围．若，则p：根据为真，可得实数m的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段：，，，，，后得到如图的频率分布直方图．Ⅰ求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；Ⅱ若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．【答案】解：Ⅰ根据频率分布直方图，得：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于；设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：，解得，即中位数的估计值为；Ⅱ根据频率分布图知，车速在的车辆数为：辆，分别记为A、B；车速在的车辆数为：辆，分别记为c、d、e、f；从这6辆车中任抽取2辆，基本事件数是，AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有15种；则车速在的车辆至少有一辆的基本事件数是，Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有14种；故所求的概率为：．【解析】Ⅰ选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．Ⅱ利用列举法求出从车速在内抽取2辆的基本事数，计算对应的概率即可．本题考查了利用频率分布直方图求众数中位数的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点求证：Ⅰ平面BDE；Ⅱ平面平面BDE．【答案】证明：是AC的中点，E是PC的中点，，又平面BDE，PA平面BDE．平面BDE．底面ABCD，，又，且平面PAC，而平面BDE，平面平面BDE【解析】根据线面平行的判定定理证出即可；根据面面垂直的判定定理证明即可．本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题．20.已知圆C的圆心坐标，直线l：被圆C截得弦长为．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ从圆C外一点向圆引切线，求切线方程．【答案】解：Ⅰ设圆C的标准方程为：，则圆心到直线的距离为：，分则，圆C的标准方程：；分Ⅱ当切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时满足直线与圆相切；分当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即；则圆心到直线的距离为：，分化简得：，解得，切线方程为：；分综上，切线的方程为：和分【解析】Ⅰ根据题意设出圆C的标准方程，由圆心到直线的距离d和半径r、弦长AB的关系，求出r的值，从而写出圆的标准方程；Ⅱ讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，求出对应切线的方程．本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是中档题．21.某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．求y关于x的回归直线方程；附：，．预计以后的销售中，销量与单价服从中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【答案】解：由表格数据得，．则，，则，，则y关于x的回归直线方程为；获得的利润，对应抛物线开口向下，则当时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为元．【解析】根据线性回归方程求出，的值即可；结合二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查线性回归方程的求解和应用，考查学生的计算能力．22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C过点，与x轴垂直．求椭圆C的方程；设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．【答案】解：椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C过点，与x轴垂直．，解得，，椭圆C的方程为．当直线AB的斜率不存在时，设，则，由得，得．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，，，，，，即，，由，，，即，故直线AB过定点．【解析】由椭圆C过点，与x轴垂直，列出方程组能求出，，由此能求出椭圆C的方程．对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用，及其斜率计算公式即可得出当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：B2. 若函数f(x) = x^3 + ax + b在区间（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 0答案：C3. 若函数f(x) = 2x - k(x - 2)^2 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k > 0C. k < 0D. k ≥ 0答案：C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + c，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c ≥ 0B. c ≤ 0C. c > 0D. c < 0答案：A二、填空题5. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1| 的最小值为3，则实数x的取值范围是______。
答案：x ∈ [-1, 2]6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9，求f(x)的单调递增区间为______。
答案：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)7. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是______。
答案：m < -28. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1，求f(x)的单调递减区间为______。
答案：[0, 2/3]三、解答题9. 设函数f(x) = x^3 - 6x + a，其中a是常数。
（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。
答案：（1）f(x)的单调递增区间为：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)（2）由于f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，所以f'(x) ≤ 0，即3x^2 - 6 ≤ 0。