上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
()3.若 a 2 > b > a > 1，则 log ,log a,log b 的大小顺序是.b a6.若方程 log (ax 2 - 2 x + 2)= 2 在 ⎢ , 2⎥ 内有解，则实数 a 的取值范围是 ⎣ 2 ⎦ = -1，则 =.f sin ⎪=.,sin α = - ,α ∈ π π ⎪高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知 log 7 ⎡⎣log 3 (log 2 x )⎤⎦ = 0 ，那么 x 等于.2.lg 3 - lg 9 + 1 lg 27 + lg8 - lg 10002lg 0.3lg1.2= .bb a 4.函数 y = log (x 2 - 6 x + 17 )的值域是 . 125．函数 y = x 2 - 2ax - 3 在区间 [1,2 ]上存在反函数的充要条件是.2 ⎡ 1 ⎤.7.已知一个扇形的周长为 6，该扇形的中心角为 1 弧度，则该扇形的面积是.8.已知点 P (sin θ - cos θ ,tan θ ) 在第一象限，则在 [0,2π ]内θ 的取值范围是9.已知 sin (3π + θ ) = 1，求4.cos (π + θ ) cos (θ - 2π )cos θ ⎡⎣cos (π + θ )-1⎤⎦ + cos (θ + 2π )cos (π + θ )+ cos (-θ ) =.10.已知 tan α sin α - 3cos αtan α - 1 sin α + cos α11.求值： sin 4 α + cos 4 α - 1 sin 6 α + cos 6 α - 1= .12.函数 f (x )满足 f (cos x ) = 1 x (0 ≤ x ≤ π ) ，则 2⎛ ⎝4π ⎫ 3 ⎭13.若 cos (α - β ) = 5 4 ⎛ - , ⎫, β ∈ (0,π )，则 cos β =13 5 ⎝ 2 2 ⎭14.若 sin α + sin β + sin γ = 0,cos α + cos β + cos γ = 0 ，则 cos (α - β ) =..16．函数 y = lg- 1⎪ 的图象关于 2D. 32 > 02 < 12 > cos 21.已知 sin α + cos α = ，其值：二、选择题：15．已知 x 2+ y 2= 1, x > 0, y > 0 ，且 log (1 + x ) = m ,loga1a1 - x= n ，则 log y 等于aA. m + nB. m - nC. 1(m + n ) D. 1(m - n )2 2⎛ 2 ⎫ ⎝ 1 + x⎭A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D.直线 y = x 对称17．已知 g (x ) = log x + 1 (a > 0, a ≠ 1)，在 (-1,0 ) 上有 g (x ) > 0 ，则 f (x ) = a x +1 在 aA. (-∞,0 )上递增B. (-∞,0 )上递减C. (-∞, -1)上递增D. (-∞, -1)上递减18．已知sinα1 - cos2 α= cos α1 - sin2 α，则 α 的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3 )，则角 α 的弧度数为A. π - 3B. 3 - πC. 3 -20．如果 θ 是第一象限角，那么恒有π2A. sin θB. tanθC. sinθθ 2 D. sin θ 2 < cos θ2三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13（1） sin α cos α ；（2） sin 3 α + cos 3 α（3） sin 5 α + cos 5 α .(t an α -cot α ) sin α = - ，求 log（2）如果 sin α = sin β ，且 tan α = tan β ，求 csc α 的值.22.已知 f (x ) = a ⋅ 2x - 1(a ∈ R )是 R 上的奇函数.2x + 1（1）求 a 的值；（2）求 f (x )的反函数；（3）对任意 k ∈ (0, +∞)的解不等式 f -1 (x ) > log 21 + x k.23.已知 α 是锐角.（1）如果 log 34 tan α cos β 的值；7 18 422.已知函数 f (x ) = log (x - 3a )(a > 0, a ≠ 1)，当点 P (x, y ) 是函数图象上的点时，点aQ (x - 2a, - y )是函数 y = g (x )的图象上的点.（1）写出函数 y = g (x )的解析式；（2）当 x ∈[a + 2, a + 3]时，恒有 f (x )- g (x ) ≤ 1，试确定 a 的取值范围.4. 求函数 f ( x ) = sin(-2 x +) 的单调递减区间5. 若锐角 α 、 β 满足 cos α = 3， cos(α + β ) = - ，则 cos β =8. 若函数 f ( x ) = 2sin ω x （ 0 < ω < 1）在区间 [0, ] 上的最大值是 2 ，则 ω =上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为 2，圆心角为 300°的圆弧长为2. 函数 y =| tan x | 的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 sin 2θ =π35 5 136. 已知函数 f ( x ) = lg(tan x -1) + 9 - x 2 ，则 f ( x ) 的定义域是7. 若长度为 x 2 + 4 、 4x 、 x 2 + 6 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是π39. 如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°，已知塔高 AB = 20 米，则山高 DC =米10. 函数 y = sin x + cos x的值域为1 + sin x cos x11. 已知 f ( x ) = a sin 3 x + b 3 x ⋅ cos 3 x + 4 （ a, b ∈ R ），且 f (sin10 ︒) = 5 ，则 f (cos100 ︒) =12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x ) = a(b + sin x) ， g ( x ) = b + cos x ，若存在实数 m ，使得 f (m ) = g (m ) ，则 a + b =二. 选择题13. 若 MP 和 O M 分别是角 7π的正弦线和余弦线，则（ ）6A. MP < OM < 0B. OM > 0 > MP14. 已知 α , β ∈ (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（）析式为 y = 2sin(2 x + ) ；② 该函数图像关于点 ( ,0) 对称；③ 该函数在 [0, ] 上是增函数；④ 若函数 y = f ( x ) + a 在 [0, ] 上的最小值为3 ，则 a = 2 3 ；2 2+ C. OM < MP < 0D. MP > 0 > O Mπ2A. sin(α + β ) < sin α + sin βB. sin(α + β ) > sin α + sin βC. cos(α + β ) < sin α + sin βD. cos(α + β ) > cos α + cos β15. 把函数 y = sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 π个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标6不变）后得到函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) 有以下四个判断：① 该函数的解πππ6 3 6π2其中正确的判断有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个16. 定义在区间 [-3π ,3π ] 上的函数 y = sin | 2 x | 与 y = cos x 的图像的交点个数为（）A. 12 个B. 14 个C. 16 个D. 18 个三. 简答题17. 已知 cos(2θ - 3π ) = 7，且θ 是第四象限角；25（1）求 cos θ 和 sin θ 的值；π3πcos( - θ ) sin(θ - )（2）求 的值；tan θ[cos(π + θ ) - 1] tan(π - θ )cos( -θ )19. 设 ∆ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 a cos C + c = b ；18. 已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x) + 12；（1）若 tan α = 1，求 f (α ) 的值；2（2）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间；12（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 1 ，求 ∆ABC 的周长 l 的取值范围；20. 函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 3) = f (1- x) ，且对于 x , x ∈ (2, +∞) ，有 1 2成立，若 f (cos 2 θ + 2m 2 + 2) < f (sin θ + m 2 - 3m - 2) 对 θ ∈ R 恒成立；（1）判断 y = f ( x ) 的单调性和对称性；（2）求 m 的取值范围；f ( x ) - f ( x )1 2 x - x 1 2> 021. 已知函数 f ( x ) 、 g ( x ) 满足关系 g ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x + ) ；π2（1）设 f ( x ) = cos x + sin x ，求 g ( x ) 的解析式；（2）当 f ( x ) =| sin x | + cos x 时，存在 x , x ∈ R ，对任意 x ∈ R ， g ( x ) ≤ g ( x ) ≤ g ( x ) 恒成立，求1 212| x - x | 的最小值；1 2π 2. x = , k ∈ Z 3. 4. [k π - , k π + ], k ∈ Z6. (- , - ) U ( , )7. ( , )8. 1 152 317.（1） cos θ = ， sin θ = - ；（2） ；；（2）最小正周期 T = π ，单调增区间： [k π - , k π + ], k ∈ Z ；参考答案一. 填空题1.5.10 k π 3 π 5π3 2 5 12 1233 3π π π π 3 65 4 2 4 2 49. 30 + 10 310. [-1,1]`11. 312. 4二. 选择题13. C14. A 15. B 16. B三. 简答题3 4 95 5 418.（1） 17 3π π10 8 819.（1） π 3；（2） l ∈ (2,3] ；20.（1）对称轴 x = 2 ，单调减区间 (-∞, 2) ，单调增区间 (2, +∞ ) ；（2） m ∈ ( 3 - 42 , 3 + 42) ；6 621.（1） g ( x ) = cos 2 x ；（2） 2π ；2. cos 23π5. 在 ∆ABC 中， ∠A =2π， a = 3c ，则 = 8. 已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ + ) = - ，则 tan(θ - ) =， sin(α - β ) = - ， α , β ∈ (0, ) ，则 β = （ ）B. C. D.A. y = 2sin(2 x - )B. y = 2sin(2 x - )C. y = 2sin(2 x + )D. y = 2sin(2 x + )上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为 3 的角的终边落在第象限3π - sin 2=883. 若函数 f ( x ) = a sin x + 3cos x 的最大值为 5，则常数 a =4. 已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和，若 a = 8 ， a + a = 0 ，则 S =n n1468a3 b6.函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = 3 sin x + cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到7. 方程 3sin x = 1 + cos2 x 的解集为π 3 π4 5 49. 无穷数列 {a } 由 k 个不同的数组成， S 为 {a } 的前 n 项和，若对任意 n ∈ N * ， S ∈{1,3} ， n nnn则 k 的最大值为10. 在锐角 ∆ABC 中，若 sin A = 3sin B s in C ，则 tan A t an B tan C 的最小值是二. 选择题11. 已知 sin α =10 5 π 10 5 2A. 5π π π π 12 3 4 612. 函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的部分图像如图所示，则（）ππ63ππ6313. “ sin α < 0 ”是“ α 为第三、四象限角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2），x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)的图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则ω的最大值为（）-=，S=63；a a a17.已知函数f(x)=4tan x sin(-x)cos(x-)-3；,]上的单调性与最值；18.已知方程arctan+arctan(2-x)=a；（1）若a=π，求arccos的值；14.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，|ϕ|≤ππππ5π836A.11B.9C.7D.5三.简答题15.在∆ABC中，a2+c2=b2+2ac；（1）求∠B的大小；（2）求cos A+2cos C的最大值；16.已知{a}是等比数列，前n项和为S（n∈N*），且n n（1）求{a}的通项公式；n 1121236（2）若对任意的n∈N*，b是log a和log an2n2n+1的等差中项，求数列{(-1)n b2}的前2n项和；nππ23（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[-ππ44x2x42（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；1. 二2. -23. ±44. 85. 36. 7. {x | x = k π + (-1)k ⋅ }, k ∈ Z8.9. 410. 122 , k ∈ Z } ， T = π ；, ] ，单调递减： [- ； （2） [arctan ,arctan ] ；（3）19 ；（3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 α 、 β ，求 α + β 的最大值；参考答案一. 填空题π22π4 63二. 选择题11. C12. A 13. B 14. B三. 简答题15.（1） π；（2）1 ；416.（1） a = 2n -1 (n ∈ N * ) ；（2） T = 2n 2 ；n2n17.（1）定义域 {x | x ≠ k π + π（2）单调递增： [- π π π π , - 12 4 4 12]，最大值为 1，最小值为 -2 ；18.（1） π 或 π 1 13 -2 10 - 6 2 10 - 611。
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)
注意事项：1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置上贴好条形码.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答无效.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只将答题卡交回.一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题)1. 角25π12终边所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】找到(0,2π)内和25π12终边相同的角，即可判断.【详解】因为25ππ2π1212=+，且角π12是第一象限角，所以角25π12的终边所在的象限是第一象限.故选：A.2. PM PN MN -+u u u u r u u u r u u u u r等于（ ）A. MPB. NPC. 0D. MN【答案】C 【解析】【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.【详解】0PM PN MN NM MN -+=+=,故选：C3. 平面向量,a b 满足1b a b =⋅= ，则a在b 方向上的投影向量为（ ）A. 12b-B. 12b r C. b-D. b【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】依题意，a在b 方向上的投影向量为2||a b b b b ⋅=.故选：D4. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，则“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.【详解】当π2ϕ=时，()()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 为偶函数，即充分性成立；当()()sin f x x ωϕ=+为偶函数时，ππ,Z 2k k ϕ∈=+，此时π2ϕ=不一定成立，即必要性不成立；所以“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知a和b 的夹角为150︒()2a b b +⋅= （ ）A. 9-B. 3-C. 3D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b +⋅=⋅+2cos1502a b b=⋅⋅︒+2223⎛=+⋅= ⎝故选：C 6. 已知π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.512 B.1213C. 513-D. 1213-【答案】B 【解析】【详解】因为π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππ12cos sin sin 626313ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选B ．7. 已知ππ1,,sin cos 225ααα⎡⎤∈-+=-⎢⎥⎣⎦，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.34D.43【答案】A 【解析】【分析】通过求出sin ,cos αα的值，即可得出结论.【详解】由题意，ππ1,,sin cos 225ααα⎡⎤∈-+=-⎢⎥⎣⎦，∴cos 0,sin 0αα><，()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=，解得：242sin cos 25αα=-，∴7sin cos5αα-===-，∴解得：4sin53cos5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴sintans43coααα==-，故选：A.8. 将函数3sin6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕπ<<个单位长度后得到()f x的图象.若()f x在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（）A. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于ϕ的不等式组，求解即得.【详解】()3sin6f x xπϕ⎛⎫=--⎪⎝⎭，当566xππ<<时，263xππϕϕϕ-<--<-，由0ϕπ<<，有(,0)ϕπ-∈-，22,333πππϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，有2232πϕππϕ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，得62ππϕ≤≤.故选：B二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)9. 下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B. 最小正周期是πC. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D. 图象关于直线512x π=-对称【答案】ABD 【解析】【分析】将23x π+看成一个整体，直接代入sin y x =的单调区间和对称轴方程来求解.最小正周期则根据定义求即可.【详解】由sin y x =的递增区间可知，sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递增区间为222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，则522,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在此区间上，所以A 对.222T w πππ===，B 对.由sin y x =关于垂直于x 轴的直线对称可知，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于2,32πππ+=+∈x k k Z 对称，,12x k k Z ππ=+∈，12x π=、512x π=-在此集合里，故C 错、D 对.故选：ABD.10. [多项选择题]函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =(t 为常数)的交点可能有A 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】ABC 【解析】【分析】作出函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图像和直线y t =,观察交点即可..【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像和直线y t =,如图所示.由图可知,当2t >或0t <时,交点个数0;当01t <<或322t <<时,交点个数为2;当0t =或312t ≤≤或2t =时,交点个数为1.综上,交点个数可能为0,1,2.故选：ABC.【点睛】本题考查正弦函数的图像，是基础题.11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A. OA OD ⋅=B. OA OE=C. OA OH OD OE⋅=⋅D. OG OB= 【答案】ACD 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义求解.【详解】由正八边形几何性质知：每个中心角为2ππ84=，1OA OB OC OD OE OF OG OH ========，D正确；为的πcos 34OA OD OA OD ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭ A 正确；OA 与OE是方向相反的向量，B 错误；ππππcos cos ,cos cos ,4444OA OH OA OH OD OE OD OE OA OH OD OE =====，C 正确；故选：ACD.三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上)12. 已知角α的终边上一点P x （，且cos α=，则x =___________.【答案】【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】因为cos α==，所以25x =，解得x =，又因为cos 0α=<，所以0x <，所以x =故答案为: .13. 函数πsin()(0,0,||2y A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则y =________．【答案】πsin(2)3x +【解析】【分析】首先得1A =，πT =，2ω=，进一步结合函数的对称中心即可列方程求得ϕ，由此即可得解.【详解】由图象可得1A =，37ππ9π3π4126124T =+==，πT =，2ω=，则()sin 2y x ϕ=+，当π6x =-时，0y =，所以ππ,Z 3k k ϕ-+=∈，且π||2ϕ<，∴π3ϕ=，πsin(23y x =+．故答案为：πsin(23x +.14. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以C 为圆心，1为半径的圆分别交,CD BC 于点,E F ．当点P在圆C 上运动时，⋅BP DP 的最大值为______．【答案】1+##1+【解析】【分析】以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()cos ,sin Pθθ，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到π14BP DP θ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭ ，结合正弦型函数最值可求得结果.【详解】以点C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则()0,2B -，()2,0D -，设()cos ,sin P θθ，θ∈R ，则()cos 2,sin DP θθ=+ ，()cos ,sin 2BP θθ=+，则()()πcos cos 2sin sin 214BP DP θθθθθ⎛⎫⋅=+++=++ ⎪⎝⎭ ，则当πsin 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即π2π,Z 4k k θ=+∈，⋅ BP DP取得最大值1+.故答案为：1+.四、解答题：(本题共5小题，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. 已知,αβ都是锐角，33cos ,sin()54ααβ=-=，求cos β的值.【答案】35+【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得4sin 5α=，()cos αβ-=再由()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解.【详解】因为α、β都是锐角，3cos ,5α=所以4sin 5α=，3sin()4αβ-=，且ππ22αβ-<-<，所以()cos αβ-=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦34335545=+⨯=+.16. 已知3sin 5α=，且α为第二象限角.（1）求cos α，tan α的值；（2）求()()()sin 2πcos 3ππsin sin π2αααα-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）4cos 5α=-；3tan 4α=-（2）17-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求cos α和tan α的值；（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.【小问1详解】因3sin 5α=，且α为第二象限角，所以4cos 5α==-，sin 3tan cos 4ααα==-.为【小问2详解】()()()34sin 2πcos 3πsin cos 15543πcos sin 7sin sin π552αααααααα⎛⎫--- ⎪-++--⎝⎭===--⎛⎫----- ⎪⎝⎭.17. 设,a b是不共线的两个非零向量．（1）若42,62,26OA a b OB a b OC a b =-=+=-，求证：,,A B C 三点共线；（2）已知||5,||4,,a b a b ==的夹角为3π，问当k 为何值时，向量ka b -与3a b +rr垂直？【答案】（1）证明见解析 （2）5855k =【解析】【分析】（1）根据已知条件结合向量加减法求出AB 、BC，进而得出//AB BC 即可得证.（2）先求出a b，根据向量垂直得()(3)0ka b a b -+= ，再结合向量运算法则计算即可得解.【小问1详解】因为42,62,26OA a b OB a b OC a b =-=+=-，所以62(42)24AB OB OA a b a b a b =-=+--=+，26(62)482(24)2,BC OC OB a b a b a b a b AB =-=--+=--=-+=-所以//AB BC ，又AB 与BC有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线.【小问2详解】由||5,||4,,3a b a b π=== 得1cos ,54102a b a b a b ==⨯⨯=，因为向量ka b - 与3a b +r r 垂直，所以22()(3)330ka b a b ka a b ka b b -+=-+-=，即22510310340k k -+⨯-⨯=，整理得55580k -=⇒5855k =.18. 已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅.（1）求()g x 的单调递增区间；（2）若函数()()f x g x a =-在区间π[0,]2上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）ππ[π,πZ)36k k k -+∈ （2）[1,2)a ∈【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求单调区间；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+πcos 222sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36k x k -+≤≤+，()g x ∴的单调递增区间为ππ[π,πZ)36k k k -+∈；小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点， 令πππ7π2,0,,,6266u x x u ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出π7π2sin ,66y u u ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，π7π2sin ,66y u u ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).19. 如图，已知直线//m n ．ED 垂直于直线m 、n ，4ED =．点A 是ED 的中点，B 是n 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线m 交于C ，设ABD α∠=．【（1）写出ABC V 的周长l 关于角α的函数解析式()l α；（2）求()l α的最小值．【答案】（1）()()2sin cos 2sin cos l ααααα++=，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）)41+.【解析】【分析】（1）将AB 、AC 用α的代数式加以表示，利用勾股定理求得BC ，进而可得出()l α，并求出该函数的定义域；（2）设(sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，化简得出()41l t α=-，结合t 的取值范围可得出函数()l α的最小值.【详解】（1）因为2BAC π∠=，故2CAE BAD πα∠=-∠=，A 为DE 的中点，则2AD AE ==，所以，2cos cos AE AC αα==，2sin sin AD AB αα==，所以，2sin cos BC αα===，所以，()()2sin cos 2222sin cos sin cos sin cos l ααααααααα++=++=，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，则3444πππα<+<，所以，(4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且有()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，则21sin cos 2t αα-=，所以，()())221441112t l t t α+==≥=--，当且仅当4πα=时，()l α取得最小值)41+.。
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷含答案
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。
上海市高二下学期期中数学试卷及答案(共3套)
上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。
2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。
44 二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。
浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷含答案
绍兴2023学年第二学期期中考试高一（素养班）试卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足z=i （2+z ）（i 为虚数单位），则z=（）A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求解好、即可【详解】由题意2i i z z =+，()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z +===-+--+．”故选：C ．2.如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，2A D ''=，1A B B C ''''==，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（）A.B.C.D.5【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，由斜二测法则知22AB A B ''==，1BC B C ''==，所以AC ===故选：C ．3.已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与标准差分别为（）A.54-，B.516-，C.416， D.44，【答案】A 【解析】【分析】根据样本数据同加上一个数和同乘以一个数后的新数据的平均值和方差的性质即可求解.【详解】由题意知，样本数据12100,,,x x x 的标准差为4，所以样本数据12100,,,x x x 的方差为16，因为样本数据12100,,,x x x 的平均数为4和方差为16，所以121001,1,,1x x x ------ 的平均数为415--=-，121001,1,,1x x x ------ 的方差为()211616-⨯=，所以121001,1,,1x x x ------ 的标准差为4，故选：A.4.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（）A.π B.π2C.π3 D.π4【答案】C 【解析】【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为r ，则12π2π1π2r =⨯⨯=，解得：12r =；∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为136=，即圆锥内切球半径6=R ，∴圆锥内切球的表面积21π4π4π123S R ==⨯=.故选：C.5.光源(3,2,1)P 经过平面Oyz 反射后经过(1,6,5)Q ，则反射点R 的坐标为（）A.75(0,,)22B.(0,4,3)C.97(0,,)22D.(0,5,4)【答案】D 【解析】【分析】设点P 关于平面Oyz 的对称点为P '，得到点R 为P Q '与平面Oyz 的交点，令(0,,)R m n ，结合PR PQ λ=，列出方程组，即可求解.【详解】设点(3,2,1)P 关于平面Oyz 的对称点为P '，可得(3,2,1)P '-，则点R 为P Q '与平面Oyz 的交点，令(0,,)R m n ，则P R P Q λ''=，且(1,6,5)Q ，又由(3,2,1),(4,4,4)P R m n P Q ''=--=，所以342414m n λλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得5,4m n ==，所以(0,5,4)R .故选：D.6.若4,2145,,,的第 p 百分位数是4,则 p 的取值范围是（）A.(]4080，B.[)4080，C.[]40,80 D.()40,80【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】1,2,4,4,5的第 p 百分位数是4,则()5%24p ⨯∈，，所以()4080p ∈，.故选：D7.如图是棱长均相等的多面体EABCDF ，其中四边形ABCD 是正方形，点P Q M N ，，，分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】取AE 的中点K ，连接PK ，QK ，求得1122PQ DA EB =+ ，1122MN DF AB =+，则可求得PQ MN ⋅ ，进一步求得32PQ MN ==,按向量夹角公式求解即可【详解】如图，四边形ABCD ，BEDF 均是边长为a 的正方形，多面体的侧面均为等边三角形，取AE 的中点K ，连接PK ，QK ，则1122PQ PK KQ DA EB =+=+.同理可得1122MN DF AB =+.所以1111()()2222PQ MN DA EB DF AB ⋅=+⋅+ 11114444DA DF DA AB EB DF EB AB=⋅+⋅+⋅+⋅21π11π1cos 0cos 434432a a a a a a =⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⋅=取CE 的中点H ，连接PH ，BH ，则//PH CD ，且1.2PH CD =又点Q 为AB 的中点，AB CD =且//AB CD ，所以//PH QB 且PH QB =，则四边形QBHP 为平行四边形，所以πsin32PQ BH BE ==⋅=.同理可得=MN .设PQ ，MN的夹角为θ，则2122cos 322a PQ MN PQ MNθ⋅==⋅，即异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为23.故选：C8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是直线CD AB ，上的动点，点 P 是△11AC D 内的动点（不包括边界），记直线1D P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则1D P 与平面11AC D 所成角的正弦的最大值为（）A.36-B.36+C.6D.6+【答案】B 【解析】【分析】根据正方体的几何性质，作出1QD ⊥平面11AC D ，再由线面角的最小性可知，当α取最大值时，,,D P Q 三点共线，只需求此时1D PQ ∠的正弦值即可.【详解】如图所示，连接1BD ，交平面11AC D 于点Q.设1D P 与平面11AC D 所成角为α，正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得，1BD ⊥平面11AC D ，所以1QD ⊥平面11AC D ，且点Q 为11A C D 的中心，所以1sin sin D PQ α=∠.又因为直线1D P 与MN 所成角为θ，且θ的最小值为π3，所以1D P 与平面1111D C B A 所成角为π3，所以1DD P ∠为π6.由线面角的最小性可知，当α取最大值时，,,D P Q 三点共线，所以此时1111π6D PQ D DP DD P D DP ∠=∠+∠=∠+.又因为在1DD Q中，易得11133D Q BD ==，1DD a =，所以63DQ a ==，所以1111136sin 33D Q DQ D DQ D DQ DD DD ====∠∠，所以1111πsin sin sin()sin()6D PQ D DQ DD P D DQ α==∠+∠=∠+∠11113sin cos 2223236D DQ D DQ +=∠∠=⨯⨯+.故选：B .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A “3件产品都是次品”，事件B “至少有1件是次品”，事件C “至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（）A.A 与C 为对立事件B.B 与C 不是互斥事件C.A B A =D.()()1P B P C +=【答案】ABC 【解析】【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.事件B 的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，事件C 的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.A 与C 为对立事件，故A 正确；B C ⋂={2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则B 与C 不是互斥事件，故B 正确；A B ⊆ ，A B A ∴⋂=，故C 正确；由上知()()1P B P C +>，故D 错误.故选：ABC10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)[)[)[)[]506060707080809090100，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间[)5060，内的人数为16．则（）A.图中0.016x =B.样本容量1000n =C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分【答案】AD 【解析】【分析】根据频率之和等于1，即可判断A ；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意算出25%分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D ．【详解】对于A ，因为()0.0300.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.016x =，故A 正确；对于B ，因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量16(0.01610)100n ⨯=÷=，故B 不正确；对于C ，学生成绩平均分为0.01610550.03010650.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 不正确；对于D ，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为y ，由于[)90,100的频率为0.004100.04⨯=，[)80,90的频率为0.010100.10⨯=，[)70,80的频率为0.040100.40⨯=，则0.040.100.140.25,0.040.100.400.540.25+=<++=>，所以[7080),y ∈，则()()100.0040.010800.0400.25y ⨯++-⨯=，解得77.25y =，所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D 正确．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a .则（）A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为312a⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.勒洛四面体中过A B C ，，三点的截面面积为(212π4a D.勒洛四面体的体积3326π128V a a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于a ，进行判断；对于B ，求出BE a =，4OB a =，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C ，找到最大截面，求出截面面积；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四杨体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球体积之间，求出正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积，从而求出答案．【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值a ，故A 正确；勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，由题意得该球的球心O 为正四面体ABCD 的中心，半径为OE ，连接BE ，易知B ，O ，E 三点共线，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，由题意得：222))r r -+=，解得4r a =，BE a ∴=，4OB a =，由题意得(1)44OE a =-=-，故B 错误；勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图，则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为a ，圆心角为60︒的扇形的面积减去两个边长为a 的正三角形的面积，即222113π2(π642a a ⨯-⨯=-，故C 错误；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积之间，正四面体底面面积为24a ，底面所在圆的半径为2323a ⨯=，∴=，∴正四面体ABCD 的体积231136234312V a a a =⨯⨯=，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，则由题意得：222()()33a r a r -+=，解得4r a =，∴正四面体ABCD 的外接球的体积为328V a =，∴勒洛四面体的体积V 满足33π128a V a <<，故D 正确．故选：AD ．【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下;(1)定球心:如果是内切球，球心到切点的距离相等目为球的半径;如果是外接球，球心到接点的距离相等目为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝______.【答案】{}0,1,2,3,4【解析】【分析】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，由此能求出样本空间.【详解】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，所以样本空间{0,1,2,3,4}Ω=.故答案为：{0,1,2,3,4}.13.如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______．【答案】1327【解析】【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案.【详解】设事件“第(N )i i *∈次划拳甲赢”为i A ，事件“第(N )i i *∈次划拳甲平局”为i B ，事件“第(N )i i *∈次划拳甲输”为i C ，则()()()13i i i P A P B P C ===；故()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++()()()()()()()()()()()()1231231231232222P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++11111111111111111122222333333333333333333=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯11113233327+⨯⨯⨯=，故答案为：1327【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输.14.在三棱锥 A BCD -中，二面角 A BD C --的大小为π3， BAD CBD ∠∠=，2BD BC ==，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________．【答案】4π3【解析】【分析】221R OE =+，故只需求OE 的最小值，则在四边形12OO EO 中计算即可.【详解】取ABD △外心1O ，BCD △外心2O ，BD 中点为E ，则222O A O B O D ==，111O B O C O D ==，2OO ⊥面ABD ，1OO ⊥面BCD 所以12,O E BD O E BD ⊥⊥，12π3O EO ∠=，设BAD CBD θ∠=∠=，由正弦定理得22sin BDO B θ=，余弦定理得2222cos 88cos CD BC BD BC BD θθ=+-⋅=-，所以4sin2CD θ==，所以由正弦定理得12sin CD O B θ=，即11cos 2O B θ=，所以21sin O B θ=，21tan O E θ==，1tan 2O E θ==，在四边形12OO EO 中，22221212122tan12tan 2tan tan O O O E O E O E O E θθθθ=+-⋅=+-222422221tan 1tan 7tan 4tan 1222tan 224tan 4tan 22θθθθθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=+-=，222212227111111tan 32333sin 3tan 32O O R OE θπθ-=+=+=+-≥=，当且仅当14tan 72θ-=时等号成立，所以三棱锥外接球表面积最小值为()2414ππ3R =，故答案为：4π3.【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设BAD CBD θ∠=∠=，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）,（2）()1,2m ∈【解析】【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，PB PD =，M 为PC 的中点.（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若PC ==，求直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）设AC 交BD 于点N ，连接PN ，可证明BD ⊥平面PAC ，从而得到平面PBD ⊥平面PAC .（2）可证PA ⊥平面ABCD ，取CD 的中点E ，则AE AB ⊥，故以A 为坐标原点，直线,,AB AE AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求线面角的正弦值，或利用等积法求出点P 到平面AMD 的距离为d ，故可求线面角的正弦值.【小问1详解】设AC 交BD 于点N ，连接PN ，.PB PD = ，PN BD ∴⊥.底面ABCD 是以2为边长的菱形，AC BD ∴⊥.又PN AC N = ，,PN AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC .又BD ⊂Q 平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .【小问2详解】法一： 底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，ABC ∴ 与ACD 为等边三角形，2AC ∴=.PC ==222PC PA AC ∴=+，即PA AC ⊥.BD ⊥ 平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BD PA ∴⊥.又BD AC N = ，,BD AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .取CD 的中点E ，则AE CD ⊥，AE AB ∴⊥.又PA ⊥平面ABCD ，故以A 为坐标原点，直线,,AB AE AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,A B P C，()1,,,122D M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()()12,,,1,22PD AM AD ⎛⎫∴=--==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面AMD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AD n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10.22x x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩取x =1,y z ==n = .设直线PD 与平面AMD 所成角为α，则sin 14n PD n PDα⋅=== ，∴直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值为4214.法二： 底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，ABC ∴ 与ACD 均为等边三角形，2AC ∴=.PC == 222PC PA AC ∴=+，即PA AC ⊥.由（1）知BD ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BD PA ∴⊥.又BD AC N = ，,BD AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .AD ⊂ 平面ABCD ，PA AD ∴⊥，∴由勾股定理得PD =，M 为PC的中点，12AM PC ∴==.在PCD中，由余弦定理得2222222cos 24PC CD PD PCD PC CD+-+-∠===⋅，在MCD△中，由余弦定理得2222222cos 24MD CM CD MD PCD CM CD+-+-∠===⋅，解得2MD =.在AMD 中，2AD MD ==，AM =，1222AMD S ∴==△.设点P 到平面AMD 的距离为d ，又易知点C 到平面PAD由P AMD M PAD V V --=得，111323AMD PAD S d S ⋅=⨯⨯△△，11112232232d ∴⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得d =.所以直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值为4214d PD ==.17.为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2和17.56．（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；（2）求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．【答案】（1）45；30；（2）平均数14；方差16.【解析】【分析】（1）首先计算抽样比，再计算男生和女生应抽取的人数；（2）代入总体平均数公式和方差公式，即可求解.【小问1详解】总体容量1500，样本容量75，则抽样比为751150020=，所以样本中男生数量119004520n =⨯=，女生数量()2115009003020n =-⨯=.【小问2详解】抽取的样本中男生的平均数13.2x =，方差2113.36s =，抽取的样本中女生的平均数15.2y =，方差2217.56s =，所以总体样本的平均数为()14513.23015.21475ω=⨯+⨯=，总体样本的方差()(){}22214513.3613.2143017.5615.21475s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦()16305701675=+=.所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.18.如图，已知直角三角形ABC 的斜边//BC 平面α，A 在平面α上，AB ，AC 分别与平面α成30 和45 的角，6BC =．（1）求BC 到平面α的距离；（2）求平面ABC 与平面α的夹角．【答案】（1；（2）π3.【解析】【分析】（1）过,B C 作平面α的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解.（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得.【小问1详解】过B 作BE α⊥，垂足为E ，过C 作CF α⊥，垂足为F ，连AE 、AF 、EF ，则30BAE ∠=o ，45CAF ∠= ，设BC 到平面α的距离为d ，由//BC 平面α，得BE CF d ==，在Rt BEA 中，sin30d AB=，则212dAB d==，在Rt CAF △中，AC =，在Rt ABC △中，222BC AB AC =+，则223624d d =+，所以d =.【小问2详解】由（1）知，四边形BCFE 是矩形，过点A 作直线//l EF ，显然//l BC ，在平面α内过点A 作AO EF ⊥于O ，则AO l ⊥，过O 作//OG BE 交BC 于G ，连接AG ，则,OG OG EF α⊥⊥，有OG l ⊥，而,,AO OG O AO OG =⊂ 平面AOG ，于是l⊥平面AOG ，又AG ⊂平面AOG ，则l AG ⊥，即GAO ∠平面ABC 与平面α的夹角，由（1）知，AB AC ==，则12ABC S AB AC =⋅= ，在△AEF中，6AE AF EF ===，，则222cos 23AE AF EF EAF AE AF +-∠==⋅，于是1sin 3EAF ∠=，1sin 2EAF S AE AF EAF =⋅⋅∠= 因此112cos 122EAF ABC EF AOS AO GAO AG S BC AG ⋅∠====⋅ ，又π02GAO <∠≤，则π3GAO ∠=，所以平面ABC 与平面α的夹角为π3.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD SA SC ，，分别交于点,,P Q R ，且AP SQ CRAD SA CS==，点M 在直线SB 上运动，在线段CD 上是否存在一定点N，使得其满足：（i ）直线//MN α；（ii ）对所有满足条件（i ）的平面α，点M 都落在某一条长为m的线段上，且3m SB =．若存在，求出点N 的位置；若不存在，说明理由．【答案】存在， N 在靠近 C 的三等分点处.【解析】【分析】以,,SA SB SC为一组基地，用向量证明即可.【详解】存在，N 在靠近C 的三等分点处.设SA a SB b SC c SD d ====，，，，则d a b c =-+，因为AP SQ CRx AD SA CS ===，所以()1SQ xa SR SC CR c xc x c ==+=-=-，，()()()11SP x a xd x a x a b c a xb xc =-+=-+-+=-+，又因为//MN α，所以存在λμ∈R ，，使得NM QR QP λμ=+，故()SM SN SP SQ SR μλμλ=+-++ ，设()()11SN tSC t SD tc t d =+-=+- ，所以()()()()()11SM tc t a b c a xb xc xa x c μλμλ=+--++-+-++-，整理得()()()11111SM t x x a t x b x x c μλμμλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+----++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又点M 在直线SB 上的充要条件是SM yb =，则()()110110t x x x x μλμλ⎧-+--=⎪⎨++-=⎪⎩，消去λ，得()211221x t x x μ--=-+，所以()()()()222213*********221tx t x t x t x t y t x t x x x x μ+----+-=--=-+=-+-+，故()()223233210y t x t y x y t -++--+-+=，①当322t y -=时，2t x =；②当322t y -≠时，()()()2Δ332423210t y y t y t =----+-+≥，所以()()()224843210*y t y t t --+--≤，12103y y -==，解得23t =.此时，①中0y =代入(*)不等式成立，故2133SN c d =+，所以存在，N 在靠近C 的三等分点处.【点睛】方法点睛：当平面α运动时，对于定点N ，确定动点M 的存在范围，使之满足所有的题设条件，我们以,,SA SB SC为一组基向量，利用向量的方法给出本题的一种证法.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|y =√ x −1}，N =(−∞,2]，则M ∩N =( ) A. [1,+∞)B. [1,2]C. RD. ⌀2.已知函数f(x)={|x|−1,x ≤13x ,x >1，则f[f(−3)]=( )A. 0B. 1C. 3D. 93.若函数f(x +1)=x 2−1，则f(x)=( ) A. x 2+2xB. x 2−1C. x 2−2xD. x 2+14.已知a =0.12，b =log 22，c =20.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a5.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1−x).则当x <0时，f(x)=( ) A. x(1+x)B. x(1−x)C. x(x −1)D. −x(1+x)6.函数f(x)=√ −x 2+4x 的单调增区间为( ) A. [0,2]B. (−∞,2]C. [2,4]D. [2,+∞)7.若函数f(x)={a x ,x ≥1(4−a 2)x +2,x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2，都有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)>0成立，则实数a 的取值范围( ) A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)8.关于x 的方程(34)x =3a+25−a有负根的一个充分不必要条件是( ) A. 34<a <4B. 34<a <5C. 34<a <6D. −23<a <34二、多选题：本题共3小题，共18分。
高一下学期期末数学数学试卷(答案+解析)
高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．（5分）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，则•=（）A．B．﹣C．3 D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cos B=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．D【解析】A. 6，6，6，6，6常数列，公差为0；B. ﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C. 5，8，11，14公差为3；D. 数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选D．2．B【解析】∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选B．3．A【解析】在△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选A．4．C【解析】等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选C．5．A【解析】∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选A．6．B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选B．7．C【解析】由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选C.8．B【解析】∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，∴由余弦定理得：cos B=====，即ac=2，则•=﹣ca cos B=﹣．故选B．9．A【解析】在△P AB，∠P AB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PB sin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A.10．B【解析】∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选B．11．A【解析】△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cos C==，∴角C的大小为30°，故选A．12．B【解析】∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cos A==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得=== =．故选B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．120°【解析】根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为120°．14．2【解析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为2.15．15【解析】正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为15．16．【解析】由cos A=，cos C=，可得sin A===，sin C===，sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cos A+cos C的最大值为1．18．解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．解：（1）∵△ABC中，cos B=，∴sin B=，∵，∴AB==5；（2）cos A=﹣cos（C+B）=sin B sin C﹣cos B cos C=﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A=，∴cos（A﹣）=cos A+sin A=．21．解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。
上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷(含答案)
2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解： ，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷(含解析)
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1.已知集合{}2,A x x x Z =<∈，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}0,1 B.()0,1 C.{}1,0,1- D.()1,2-2.命题“0,e 1xx x ∀>>+”的否定形式是（）（其中e 2.718= 为常数）A .0,e 1x x x ∀><+ B.0,e 1x x x ∃<≤+C.0,e 1xx x ∃><+ D.0e 1x x x ∃>≤,+3.设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A.12、3、1- B.1-、3、12C.12、1-、3 D.1-、12、35.已知0.50.60.3,0.3a b ==，122(5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜b ＜a6.已知1)3f x +=+，则(1)f x +的解析式为（）A.4(0)x x +≥ B.23(0)x x +≥ C.224(1)x x x -+≥ D.23(1)x x +≥7.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（）元A .1200B.1040C.490D.4008.已知函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A.y =2y =B.()=f x x，()t ϕ=C.y =，y =D.y =3y x =-10.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a ab b >>C.若0a b >>，且0c <，则22c c a b > D.若a b >，则11a b<11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，(2)4f =，则（）A.(5)10f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在R 上单调递减D.当1x <-时，()2(2)f x f x ->非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.12.若3,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -=__________．13.已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为______.14.研究表明，函数()()g x f x a b =+-为奇函数时，函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称．若函数()323f x x x =-的图象对称中心为(),P a b ，那么a b -=__________．四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）求值：()3121123320.2521624----⎛⎫⎛⎫--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.16.已知集合{}|30A x x =-≤<，{}2|(1)0B x x a x a =-++≤.（1）若1a =-，求A B ⋂；（2）设:p x A ∈；:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x x=+.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 在()1,0-上的单调性，并用定义证明你的结论.18.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]()0.51k ∈，，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）19.已知函数()2f x x =-，2()24()g x x mx m =-+∈R ．（1）若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意1[1,2]x ∈，存在2[4,5]x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（3）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在0[2,2]x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围．考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1. 已知集合{}2,A x x x Z =<Î，{}12B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}0,1B. ()0,1C. {}1,0,1- D. ()1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}2,1,0,1A x x x Z <Î=-，{}12B x x =-<<，所以{}0,1A B =I .故选：A2. 命题“0,e 1x x x ">>+”的否定形式是（ ）（其中e 2.718=L 为常数）A. 0,e 1x x x "><+ B. 0,e 1x x x $<£+C. 0,e 1x x x $><+ D. 0e 1x x x $>£,+【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案.【详解】命题“0,e 1x x x ">>+”的否定形式是“0e 1x x x $>£,+”.故选：D.3. 设,a b ÎR , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.4. 图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（）A.12、3、1- B. 1-、3、12C.12、1-、3 D. 1-、12、3【答案】D 【解析】【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，.点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D5. 已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. b ＜a ＜cD. c ＜b ＜a【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6<，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+¥上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3(5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C6. 已知1)3f x +=+，则(1)f x +的解析式为（ ）A. 4(0)x x +³B. 23(0)x x +³ C. 224(1)x x x -+³ D. 23(1)x x +³【答案】B 【解析】【分析】由)13fx =+，还原，反解x ，回代，即可求得()f x ，再求()1f x +.()11t t +=³，反解得：()21x t =-回代得：()()213f t t =-+，即：()()()2131f x x x =-+³，故：()()2130f x x x +=+³.故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，但要注意换元的等价性.7. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元A. 1200B. 1040C. 490D. 400【答案】C 【解析】【分析】根据表格中的数据，分别计算12000中的每部分的纳税额，再求八月份应缴纳的个税.【详解】1200050007000-=元，其中有3000元应纳税3%，700030004000-=元应纳税10%，所以一共纳税30003%400010%490´+´=元.故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用，重点考查读懂题意，属于基础题型.8. 已知函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x Î+¥且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b Î+<，则()()f a f b +的值（ ）A 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】B 【解析】【分析】.根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数()321()1m f x m m x -=--是幂函数则2112m m m --=Þ=或1m =-又对任意的12,(0,)x x Î+¥且12x x ¹，满足()()1212f x f x x x ->-所以函数()f x 为(0,+∞)的增函数，故2m =所以7()f x x =，又()()f x f x -=-，所以()f x 为R 单调递增的奇函数由0a b +<，则a b <-，所以()()()f a f b f b <-=-则()()0f a f b +<故选：B【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如()()()()()121212120,0->-×->éùëû-f x f x f x f x x x x x ，属中档题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A. y =，2y =B. ()=f xx ，()t j =C. y =，y =D. y =，3y x =-【答案】BC 【解析】【详解】试题分析：A 中定义域不同；B 、C 中定义域，对应关系都相同；D 项对应关系不同考点：两函数是否为同一函数判定10. 下列命题为真命题的是（ ）的A. 若0a b >>，则22ac bc >B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. 若0a b >>，且0c <，则22c c a b > D. 若a b >，则11a b<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.【详解】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 22,00a b a b a ab ab b a b ì<<ìÞ>Þ>íí<<îî，∴a 2>ab >b 2，所以本命题是真命题；选项C: 222211000a b a b a b>>Þ>>Þ<<，220,c cc a b <\>Q ，所以本命题是真命题；选项D: 若0,0a b ><时，11a b<显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC ．11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，(2)4f =，则（ ）A. (5)10f = B. ()f x 奇函数C. ()f x 在R 上单调递减D. 当1x <-时，()2(2)f x f x ->【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，赋值法得到()12f =，(4)(2)(2)8f f f =+=，(5)10f =；B 选项，先赋值得到()00f =，令y x =-得()()0f x f x +-=，故B 正确；C 选项，令121,x x y x x ==-，且21x x >，当0x >时，()0f x >，故2121()()()0f x f x f x x -=->，从而()f x 在R 上单调递增；D 选项，先变形得到()()()21(1)f x f x f f x -=-=-，又1x <-，故12x x ->，由函数单调性得到D 正确.【详解】A 选项，()()()f x y f x f y +=+中，为令()()()f x y f x f y +=+中，令2x y ==得(4)(2)(2)8f f f =+=，令4,1x y ==得(41)(4)(1)8210f f f +=+=+=，即(5)10f =，A 正确；B 选项，()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，解得()00f =，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，故()f x 为奇函数，B 正确；C 选项，()()()f x y f x f y +=+中，令121,x x y x x ==-，且21x x >，故121121()()()f x x x f x f x x +--=-，即2121()()()f x f x f x x -=-，当0x >时，()0f x >，故2121()()()0f x f x f x x -=->，即21()()f x f x >，故()f x 在R 上单调递增，C 错误；D 选项， 由A 知()12f =，()()()21(1)f x f x f f x -=-=-，又1x <-，故12x x ->，又()f x 在R 上单调递增，所以()2(2)f x f x ->，D 正确.故选：ABD非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.12. 若3,0()1,0x x f x x xì£ï=í>ïî，则((2))f f -=__________．【答案】9【解析】【分析】根据解析式直接计算即可.【详解】因为21(2)309f --==>，所以1((2))(99f f f -==.故答案为：9.13. 已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为______.【答案】16【解析】【详解】根据指数型函数定点问题，求,k b ，再结合基本不等式求最值.因为11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点()k b ，，则k =1，2b =，若1m n b k +=-=且0,0m n >>，则()91919101016n m m n m n m n m n æö+=++=++³+=ç÷èø ，当且仅当9n m m n=且1m n +=，即14n =， 34m =时取等号．所以91m n+的最小值为16.故答案为：1614. 研究表明，函数()()g x f x a b =+-为奇函数时，函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称．若函数()323f x x x =-的图象对称中心为(),P a b ，那么a b -=__________．【答案】3【解析】【分析】构造奇函数()()g x f x a b =+-，根据其为奇函数，即可求得,a b 值.【详解】根据题意函数32()3f x x x =-的图象对称中心为(,)P a b ，设()()32()()3g x f x a b x a x a b =+-=+-+-，则()g x 为奇函数，则()()32()3()g x x a x a b g x -=-+--+-=-，所以()()()()323233x a x a b x a x a b -+--+-=-++++，得()()()()3322332x a x a x a x a b -+++=++-++，即322226662a ax x a b +=++，即()232662620a x a a b -+--=，则有32660126202a a a a b b -==ììÞíí--==-îî，所以3a b -=.故答案为：3四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求值：()3121123320.2521624----æöæö--´´ç÷ç÷èøèø；（2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.【答案】（1）3；（2）6【解析】【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可；（2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可.【详解】（1）原式()1212233214212222424134-=--´´+´=-´+=-=.（2）由11223(0)a a a -+=>，而111222()27a a a a --+=+-=，则2212()247a aa a --+=+-=，故22114716171a a a a --+++==+++.16. 已知集合{}|30A x x =-£<， {}2|(1)0B x x a x a =-++£.（1）若1a =-，求A B Ç；（2）设:p x A Î；:q x B Î， 若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|10A B x x =-£<I ；（2）3a £-.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合B ，再与集合A 进行交集运算即可求解；（2）由题意可得A 是B 的真子集，由2(1)0x a x a -++£可得：()()10x x a --£，讨论1和a 的大小关系，解得集合B ，列不等式解之即可求解.【详解】（1） 当1a =-时{}{}2|10|11B x x x x =-£=-££因为{}|30A x x =-£<，所以{}|10A B x x =-£<I .（2）:p x A Î；:q x B Î， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，由2(1)0x a x a -++£可得：()()10x x a --£方程()()10x x a --=的两根为1和a ，当1a >时，{}1|B x x a =££，此时不符合题意；当1a =时，{}1B =，此时不符合题意；当1a <时，{}|1B x a x =££，若A 是B 的真子集，则31a a £-ìí<î解得：3a £-所以实数a 的取值范围为3a £-.17. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x x=+.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 在()1,0-上的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】（1）()1,00,0x x f x xx ì+¹ï=íï=î （2）()f x 在()1,0-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，得()00f =，再设0x <，则0x ->，代入即可求解；（2）根据条件，利用函数单调性的定义进行判断、证明，即可求解.【小问1详解】因为()f x 是定义在R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()1f x x x=+，所以当0x <时，则0x ->，则()()1f x x f x x -=--=-，则()1,(0)f x x x x=+<，所以()1,00,0x x f x xx ì+¹ï=íï=î【小问2详解】()f x 在()1,0-上单调递减，证明如下：设1210x x -<<<，则()()12121211f x f x x x x x -=+--.()()()2112121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x æö--=-+=--=-×ç÷èø，因为1210x x -<<<，所以1212120,01,10x x x x x x -<<<-<，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，即函数()f x 在()1,0-上单调递减.18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x Î（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =×-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]()0.51k Î，，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x Î（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）3601807204ky k x x =---+；（2）0.58k ³.【解析】【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需36018072004ky k x x =---³+在[]0,10x Î上恒成立，即()()72041802x x k x ++³+在[]0,10x Î上恒成立，根据函数单调性，求出()()72042x x x +++的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x （万元）的专项补贴，所以，A 公司生产防护服的利润121280(6)20850(6)44y x k x k x x éù=+--++-êú++ëû3601807204kk x x =---+；（2）为使A 公司不产生亏损，只需利润36018072004ky k x x =---³+在[]0,10x Î上恒成立；即()()72041802x x k x ++³+在[]0,10x Î上恒成立；因为()()()()()2272047220212748801272202222x x x x x x x x x x x ++++++++===+++++++，令2t x =+，因为[]0,10x Î，所以[]2,12t Î，记()12720g t t t=++，任取12212t t £<£，则()()()()2112121212121212127207207t t g t g t t t t t t t t t -æöæö-=++-++=-+ç÷ç÷èøèø()1212127t t t t æö=--ç÷èø因为120t t -<，124144t t <<，所以12121234t t <=，即121270t t ->，所以()12121270t t t t æö--<ç÷èø，即()()12g t g t <，所以函数()12720g t t t=++在[]2,12t Î上单调递增；因此()()max 12105g t g ==，即()()72042x x x +++的最大值为105；所以只需180105k ³，即0.58k ³.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.19. 已知函数()2f x x =-，2()24()g x x mx m =-+ÎR ．（1）若对任意x ÎR ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意1[1,2]x Î，存在2[4,5]x Î，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（3）若1m =-，对任意n ÎR ，总存在0[2,2]x Î-，使得不等式()200g x x n k -+³成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1122m æöÎ-ç÷èø（2）54m éÎêë（3）4k £【解析】【分析】（1）将不等式()()g x f x >恒成立转化为2(21)60x m x -++>恒成立，再根据Δ0<即可求m 的取值范围；（2）将题中条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值(1),(2)g g 可得到()y g x =的对称轴x m =在区间[1,2]之间，从而可得到min ()()g x g m =，进而可求得m的取值范围；（3）将不等式()200g x x n k -+³成立化简得到不等式024x n k ++³成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ³，再构造函数(){}0max ()max ,8n h x n n j ==+，根据min ()n j 即可求解．【小问1详解】由题意得2242x mx x -+>-恒成立，得2(21)60x m x -++>恒成立，即2Δ(21)240m =+-<解得1122m æöÎ-ç÷èø．【小问2详解】当()11[1,2],x g x D ÎÎ，当()22[4,5],[2,3]x f x ÎÎ，由题意得[2,3]D Í∴2(1)12432(2)4443g m g m £=-+£ìí£=-+£î得5342m ££，此时()y g x =对称轴为[1,2]x m =Î，故min ()()[2,3]g x g m =Î，即222()243g m m m £=-+£得1m ££或1m ££-，综上可得54m éÎêë．【小问3详解】由题意得对任意n ÎR ，总存在0[2,2]x Î-，使得不等式024x n k ++³成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ³，而(){}{}0max max (2),(2)max ,8h x h h n n =-=+，设{}()max ,8n n n j =+，则min ()n k j ³，而{},4()max ,88,4n n n n n n n j ì<-ï=+=í+³-ïî，易得min ()(4)4n k j j =-=³，故4k £．【点睛】关键点点睛：小问（2）的关键是将题中条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据闭区间的端点和函数的对称轴来求解参数的取值范围；小问（3）的关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题．。
北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷(含简单答案)
北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学 简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），； （2）10； （3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足 （3）【21题答案】【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明略； （3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。
河北省保定市部分高中2024-2025学年高一(1+3)上学期11月期中考试数学试题含答案
高一1+3期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（）A.2B.12C.2- D.12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2.若cos 4t =，则tan 4=（）A.1t t- B.1t tC. D.【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4t==-.故选：A3.已知角θ的终边经过点3,−4，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（）A.17-B.7C.17D.7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点3,−4，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4.水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（）A.8π3+B.4π3+C.8π3D.4π3+【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应的圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+故选：C5.已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.B.-C.36-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可知15sin cos cos 222ααα-=，即sin 3cos 2αα=，则tan α=.故选：D.6.若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为,22⎡-⎢⎣⎦C.函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122b =-+，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos ,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7.已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO += ，则sin BOG ∠=（）A.72 B.378C.4D.78【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++= ，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故4s 7in BOG ∠==故选：C8.已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（）A.1014πB.3040π3C.2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C.若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a- D.20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b a aaθ⋅⋅=⋅；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C,向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a a aaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10.已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（）A.3sin cos 5αβ= B.1sin cos 10βα=C.4sin 2sin 225αβ=D.π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11.已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B.若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C.若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D.若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅= ，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -=，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心；C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA +=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上.D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-uu u r uu r uu u r uu r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++= ，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，故:1:3BOC ABC S S = ，A正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE =，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ：,AB CA AB CA分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C 错误.D 选项，设BG 中点为O，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12.已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513.在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA =，若6AM BN ⋅=- ，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 2222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sin cos 2cos 12sin cos 222222222αααααα⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭31ππππ4cos sin cos cos cos sin 2263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sinθcosθ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sinθcosθ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tanθ-1)(tanθ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16.如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+ ，进而得到1136MN AN AM b a =-=+；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+- ）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17.已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos3022︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+-=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 2222αααααα⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πxmπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(2)6f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(4)3g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3,32g x x ⎡=-∈-⎢⎣⎦，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19.已知平面直角坐标系中，点s 0，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（22220292a b +1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+，∴16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.。