北京市海淀区清华附中2018-2019学年八年级(上)期中数学试题(原卷版)
北京人大附中西山学校2018-2019学年八年级(上)期中数学试卷 (解析版)(1)
2018 北京人大附中西山学校初二（上）期中数学1. 在图中，是轴．对．称．图．形．的是（）2. 下列五个算式：①x3 ×(- x)2 = x5; ②(-a2 )3 = - a6 ; ③(-2x3 )2 = - 4x6 ;④(-a)5 ¸(-a)2 = a3 ; ⑤2a3 i3a2 = 6a5 中,正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个3. 点P（－3，2）关于x轴对称的点是( ) ．A．(3， 2) B．(－3，2) C． (3，－2) D．(－3，－2)4. 将a2＋24a＋144 因式分解，结果为（）A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2 D．（a－12）25. 等腰三角形的一个角等于40o，则它的顶角是 ( ) ．A．40o B．140o C．70o D． 70o 或40o6. 如图，在△ABC中，∠C = 40︒，将△ABC沿着直线l 折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是( )A. 40︒B.80︒C. 90︒D.140︒7. 下列计算正确的是（）A．（5－m）（5＋m）＝m2－25 B．（1－3m）（1＋3m）＝1－3m2C．（－4－3n）（－4＋3n）＝－9n2＋16 D．（2ab－n）（2ab＋n）＝2a2b2－n28. 如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示.若∠A = 60°，∠1 = 95°，则∠2 的度数为（）A．24° B．25°C．30°D．35°二．填空题9.计算:（－ab ）2= ；10. 已知x m =a, x n =b,则x3m+2n 可以表示为；11. 若x2 +mx -12 = (x + 3)(x +n),则m的值；12. 点A（2,3）关于y轴成轴对称的点的坐标是；13. 如果等腰三角形的两个边长分别为4 和8，则它的周长是.14. 多项式x2－8x＋k是一个完全平方式，则k＝．15. 如图，在△A BC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，边AC 的垂直平分线分别交AC、BC 于点F、G、若BC=4，则△AEG 的周长为16. 数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 上一点C．求作：AB 的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB 上取一点D，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D，E 两点；（2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF 就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三．解答题：19.因式分解：（1）4a2－9b2 （2）25a2b - 10ab + b20.乘法计算：（1）(- 3x2 y)2 ×13xy （2）(12x + 2)(4x -12)21. 如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC的角平分线.证明：AB+AD=BC.22. 先化简，再求值：(a2b- 2ab2 -b3 )÷b -(a +b)(a -b)，其中a＝1，b＝－1．23. 若2x＋y＝0，求6x2 + xy - y2 的值24. 求多项式x2 +y2 - 4x +6y+15的最小值为？25．在l上求作一点M，使得AM＋BM最小，并简要说明理由。
北京市海淀区2018-2019学年八年级上学期期末考试数学试题 (解析版)
2018-2019学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．若有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x≠﹣3D．x≠32．若分式的值为0，则x＝（）A．0B．C．2D．73．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣xC．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y4．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（）A．B．C．D．5．在下列运算中，正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y26．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．把化为最简二次根式，得（）A．B．C．D．8．下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（）A．B．C．D．9．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．小明的做法是：原式＝；小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；小芳的做法是：原式＝＝1．对于这三名同学的做法，你的判断是（）A．小明的做法正确B．小亮的做法正确C．小芳的做法正确D．三名同学的做法都不正确10．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78 cm2B．cm2C．cm2D．cm2二．填空题（共8小题）11．已知是二次根式，则x的取值范围是．12．化简：＝．13．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m，数字0.00000156用科学记数法表示为．14．请在“”的位置处填入一个整式，使得多项式x2+能因式分解，你填入的整式为．15．若x2+2x＝1，则2x2+4x+3的值是．16．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝．18．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝；（2）若，则x的取值范围是．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）﹣（）﹣1+（π﹣3）0；（2）（x+2y）2﹣2x（3x+2y）+（x+y）（x﹣y）．20．化简求值：，其中a＝2．21．解方程：﹣1＝．22．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．23．列分式方程解应用题用电脑程序控制小型赛车进行200m比赛，“畅想号”和“逐梦号”两赛车进入了最后的决赛．比赛中，两车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“逐梦号”离终点还差20m．从赛后数据得知两车的平均速度相差1m/s．求“畅想号”的平均速度．24．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：（﹣）÷＝（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．25．已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C．△ABC （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（2）请求出C△ABC（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．若x为整数，当C△ABC26．如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C 不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D 在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：（用含n的代数式表示）．2018-2019学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x≠﹣3D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，解得：x≠3．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．若分式的值为0，则x＝（）A．0B．C．2D．7【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．【解答】解：由题意，得3x﹣6＝0且2x+1≠0，解得x＝2，故选：C．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出3x﹣6＝0且2x+1≠0是解题关键．3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣xC．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；C、x+2无法分解因式，不合题意；D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．4．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（）A．B．C．D．【分析】依据分式的基本性质，将分式的分子与分母同时乘以12，即可得到正确结果．【解答】解：＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．5．在下列运算中，正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2【分析】根据完全平方公式判断A、C；根据多项式乘多项式的法则判断B；根据平方差公式判断D．【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；B、（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6，故本选项错误；C、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项正确；D、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握法则与公式是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则利用等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC ＝50°，然后计算∠DAB﹣∠BAC即可．【解答】解：∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝50°，∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7．把化为最简二次根式，得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握＝|a|是解题的关键．8．下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质，利用边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成可对各选项矩形判断．【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．9．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．小明的做法是：原式＝；小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；小芳的做法是：原式＝＝1．对于这三名同学的做法，你的判断是（）A．小明的做法正确B．小亮的做法正确C．小芳的做法正确D．三名同学的做法都不正确【分析】根据题目中的三个同学的作法可以分别指出做错同学的错误之处，从而可以解答本题．【解答】解：小明的作法是错误的，错误在于第二个等号后面的分子书写错误，忘记加括号了，分子部分正确书写是（x+3）（x﹣2）﹣（x﹣2）；小亮的作法是错误的，错误在于第一个等号后面的部分，此处应该是通分，而小亮直接把分母漏掉了；小芳的作法是正确的；故选：C．【点评】本题考查分式的混合运算、合并同类项，解答本题的关键是明确分式加减的计算方法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的方法计算．10．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78 cm2B．cm2C．cm2D．cm2【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝+4，留下部分（即阴影部分）的面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．二．填空题（共8小题）11．已知是二次根式，则x的取值范围是x≥3．【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣3≥0，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故答案是：x≥3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．化简：＝．【分析】根据平方差公式先把分母进行因式分解，然后约分即可．【解答】解：＝＝；故答案为：．【点评】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和约分，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．13．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m，数字0.00000156用科学记数法表示为 1.56×10﹣6．【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 001 56＝1.56×10﹣6．故答案为：1.56×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．请在“（﹣1）”的位置处填入一个整式，使得多项式x2+（﹣1）能因式分解，你填入的整式为﹣1．【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：填入的整式为﹣1，（答案不唯一）故答案为：（﹣1），（﹣1），﹣1．【点评】此题考查了整式，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．若x2+2x＝1，则2x2+4x+3的值是5．【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x2+2x＝1，∴原式＝2（x2+2x）+3＝2+3＝5．故答案为：5【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是±8．【分析】根据x2+mx+16是一个完全平方式，利用此式首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，进而求出m的值即可．【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝（x±4）2，＝x2±8x+16．∴m＝±8，故答案为：±8．【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝9．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∵AD＝BD，∴AE＝BE，在Rt△AED与Rt△ACD中，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∴AB＝2AC，∴∠B＝30°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝6，∴BC＝9．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．18．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝1；（2）若，则x的取值范围是9≤x＜16．【分析】（1）根据[m]表示不大于m的最大整数即可求解；（2）根据[m]表示不大于m的最大整数，可得6≤3+＜7，解不等式即可求解．【解答】解：（1）∵[m]表示不大于m的最大整数，∴＝1；（2）∵，∴6≤3+＜7，解得9≤x＜16．故x的取值范围是9≤x＜16．故答案为：9≤x＜16．【点评】本题结合新定义考查估算无理数的大小的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）﹣（）﹣1+（π﹣3）0；（2）（x+2y）2﹣2x（3x+2y）+（x+y）（x﹣y）．【分析】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂的意义进行计算；（2）根据完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式计算乘法，再合并同类项即可．【解答】（1）解：原式＝2﹣2+1＝2﹣1；（2）解：原式＝x2+4xy+4y2﹣6x2﹣4xy+x2﹣y2＝﹣4x2+3y2．【点评】此题考查了整式的加减运算，以及有理数的混合运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握则是解本题的关键．20．化简求值：，其中a＝2．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝＝＝＝，当a＝2时，原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．解方程：﹣1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x+1）（x﹣1），得：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）＝2．解得：x＝1，检验：当时x＝1，得（x+1）（x﹣1）＝0，因此x＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可；（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∵E是边AC的中点，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．列分式方程解应用题用电脑程序控制小型赛车进行200m比赛，“畅想号”和“逐梦号”两赛车进入了最后的决赛．比赛中，两车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“逐梦号”离终点还差20m．从赛后数据得知两车的平均速度相差1m/s．求“畅想号”的平均速度．【分析】设“畅想号”的平均速度为xm/s．根据它们的运动时间相等列出方程并解答．【解答】解：设“畅想号”的平均速度为xm/s．由题意，得．解得x＝10．经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：“畅想号”的平均速度为10m/s．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：（﹣）÷＝（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；（2）当原式＝1，求出x的值，进而分析得出答案．【解答】解：（1）设被手遮住部分的代数式为A．则，，则．（2）不能，理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，则，即x＝0，但是，当x＝0时，原代数式中的除数，原代数式无意义．所以原代数式的值不能等于﹣1．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握分式的基本性质是解题关键．25．已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C．△ABC （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是3（请直接写出答案）；（2）请求出C（用含x的代数式表示，结果要求化简）；△ABC（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．若x为整数，当C△ABC【分析】（1）依据△ABC三条边的长度分别是，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；（2）依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长；取得最大值，（3）依据（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC 所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，∴△ABC的最长边的长度是3，故答案为：3；（2）由根式有意义可得即﹣1≤x≤4．可得，．所以C＝＝．△ABC（3）由（2）可得，且﹣1≤x≤4．取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．由于x为整数，且要使C△ABC当x＝4时，三条边的长度分别是，但此时，不满足三角形三边关系．所以x≠4．当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．取得最大值为7，符合题意．故此时C△ABC不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．26．如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C 不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：（﹣1，0）；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D 在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3（用含n的代数式表示）．【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF＝FC＝，OF＝，即可求OD＝1，即可求点D坐标；②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF＝DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．【解答】解：（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，∵EC＝ED，EF⊥OC∴DF＝FC，∵点C的坐标为（2，0），∴AO＝CO＝2，∵点E是AO的中点，∴OE＝1，∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2OF＝1∴OF＝，∵OC＝2，∴CF＝＝DF，∴DO＝1∴点D坐标（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∴OC＝2．∴AO＝OC＝2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与坐标原点O重合，∵EC＝ED，EC＝2，∴ED＝2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∴D点坐标为（﹣2，0）如图，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，∵AC＝AE＝2，∴∠E＝∠ACE．∵△AOC为等边三角形，∴∠OAC＝∠ACO＝60°．∴∠E＝∠ACE＝30°．∴∠OCE＝90°．∵EC＝ED，∴点D与点C重合．这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D（﹣2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∴BC＝1，∴AB＝AC＝1∵2≤AE＜3，∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝，∵AH⊥BC，EF⊥BD∴AH∥EF∴若AE＝2，AB＝1∴BE＝1，∴＝1∴BH＝BF＝∴CF＝＝DF∴D的横坐标为：n﹣﹣＝n﹣2，若AE＝3，AB＝1∴BE＝2，∴＝∴BH＝2BF＝1∴CF＝DF＝2∴D的横坐标为：n﹣1﹣2＝n﹣3，∴点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2，如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．故答案为：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例，阅读理解题意是本题的关键，是中考压轴题．。
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. x2⋅x3=x6B. x2+x2=2x4C. x6÷x2=x3D. (−2x)2=4x23.已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=25°，则∠BDC的度数是()A. 95°B. 90°C. 85°D. 80°4.下列计算正确的是()A. (a−b)2=a2−b2B. (3a−b)(3a+b)=3a2−b2C. (a+1)(a−2)=a2−2D. (a+4b)2=a2+8ab+16b25.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是()A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，MN的长为半径画弧，再分别以M、N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上；④若AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm；⑤S△DAC：S△DAB=1：3．A. 2B. 3C. 4D. 58.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例．这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数等等．有如下四个结论：①当a=−2，b=1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+ 4ab3+b4的值是1；②当a=−3，b=2时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是1；③当代数式a3+9a2+27a+27的值是1时，a的值是−2或−4；④当代数式a4+ 8a3+24a2+32a+16的值是1时，a的值是−1或−3.上述结论中，正确结论的序号为()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.直接写出计算结果：(1)(a4)2=______；(2)(2ab2)3=______．10.点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是______．11.如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是______ ．12.分解因式：x2−6x+9=______．13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD=______．14.已知(a+b)2=32，a−b=2，则ab=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=3，则AC的长为______．16.如图，∠CAB为锐角，AB=a，点M在射线AC上，点B到射线AC的距离为d，BM=x，若△ABM的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共68.0分）17.计算：(1)6x2⋅3xy．(2)(3x+1)(x−2)．(3)(6x4−9x3)÷3x2．(4)(x+2y)2．18.分解因式：(1)12xyz−9x2y2．(2)a2(x+y)−25(x+y)．19.如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AC//DF．20.先化简，再求值：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，其中a=−1，b=2．21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．22.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′______，B′______，C′______．(3)在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．(保留作图痕迹)(4)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个．23.在等边△ABC中点P，Q是直线BC上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，AP=AQ．(1)如图1，若P，Q是BC边上两点，求证：BP=CQ.(2)点Q关于直线AC的对称点为M，若△PQM是等腰三角形，直接写出∠PMQ的度数．24.在学习平方根的过程中，同学们总结出：在a x=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N=a x(a> 0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logaritℎm)，记作：x=log a N，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)∵21=2，∴log22=1；∵22=4，∴log24=2；∵23=8，∴log28=3；∵24=16，∴log216=______；计算：log232=______；(2)计算后小明观察(1)中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28=______；(用对数表示结果)(3)于是他猜想：log a M+log a N=______(a>0且a≠1，M>0，N>0)，请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出log a M−log a N=______．25.已知：如图1，△ABC中，D为AC边上一点，连接BD，∠ABD+∠BDC=180°，点E为AB边上一点，连接CE与BD交于点F，且点F为CE中点．(1)求证：BE=CD．(2)若AB=BD，点E为AB中点，点P是DB延长线上一点，且BP=BE，连接PE并延长交AC于点Q，EQ=3，在图2中补全图形并求PE的长．26.平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴上，∠ABC=90°．(1)如图1，点M是AC与y轴交点，且MA=MB，求证：∠C=∠MBC．(2)如图2，若∠ABO=30°，以AB为一边作等边△ABD，使点C与点D在AB两侧，点C恰好在OB的垂直平分线PQ上，求证AC=OD．(3)如图3，在(2)的条件下，连接CD交AB于点G，求证点G是CD中点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A.x2⋅x3=x5，故本选项不合题意；B.x2+x2=2x2，故本选项不合题意；C.x6÷x2=x4，故本选项不合题意；D.(−2x)2=4x2，故本选项符合题意；故选：D．选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：在△ABE和△ACD中，{AE=AD ∠A=∠A AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠C=∠B，∵∠B=25°，∴∠C=25°，∵∠A=60°，∴∠BDC=∠A+∠C=85°，故选：C．根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C=∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC=∠A+∠C，代入求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC=∠A+∠C．4.【答案】D【解析】解：A.(a−b)2=a2+b2−2ab，故选项错误，不符合题意；B.(3a−b)(3a+b)=(3a)2−b2，故选项错误，不符合题意；C.(a+1)(a−2)=a2−a−2，故选项错误，不符合题意；D.(a+4b)2=a2+8ab+16b2，故选项正确，符合题意．故选：D．根据平方差公式、完全平方公式、乘法运算法则即可求出答案．本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=30°，故选：B．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DBA=∠A=40°，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：对于等式(a+b)2=a2+2ab+b2，可看作边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．根据矩形的性质，利用边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成可对各选项矩形判断．本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．7.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确；∴∠DAC=∠DAB=30°，∵∠C=90°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠DAB=∠B=30°，∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；∵∠DAC=30°，∴DC=1AD=1dm，2根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∴点D到AB的距离是1dm，故④正确；∵∠B=30°，∴AB=2AC，∵点D到AB的距离=DC=1dm，∴S△DAC：S△DAB=1：2，故⑤错误．综上所述：正确的有①②③④，共4个．故选：C．根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°，根据作图过程可得AD是∠BAC 的平分线，可以判断①；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断②；根据DA=DB，可以判断③；根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断⑤，进而可得结论．本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是综合掌握以上知识．8.【答案】D【解析】解：∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，∴当a=−2，b=1时，a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(−2+1)4=1，所以①正确；∵a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，∴当a=−3，b=2时，a3+3a2b+3ab2+b3=(−3+2)3=−1，所以②错误；∵a3+9a2+27a+27=a3+3a2⋅3+3a⋅32+33=(a+3)3，∴当代数式a3+9a2+27a+27的值是1，(a+3)3=1，解得a=−2，所以③错误；∵a4+8a3+24a2+32a+16=a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24=(a+2)4，∴a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，(a+2)4=1，解得a=−1或−3，所以④正确．故选：D．利用“杨辉三角”得到a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，再把a=−2，b=1代入=(a+b)4中计算可对①进行判断；由于a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，则可把a=−2，b=1代入(a+b)3中计算可对②进行判断；把a3+9a2+27a+27变形为a3+3a2⋅3+3a⋅32+33，则a3+9a2+27a+27=(a+ 3)3，然后解方程(a+3)3=1可对③进行判断；把a4+8a3+24a2+32a+16变形为a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24，则a4+8a3+24a2+32a+16=(a+2)4= 1，然后解方程(a+2)4=1可对④进行判断．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了规律型的解决方法．9.【答案】a88a3b6【解析】解：(1)(a4)2=a4×2=a8；(2)(2ab2)3=23⋅a3⋅(b2)3=8a3b6．故答案为：a8；8a3b6．(1)幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，据此计算即可；(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．10.【答案】(−1,3)【解析】解：点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11.【答案】50°或80°【解析】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故答案为：50°或80°．根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．12.【答案】(x−3)2【解析】解：原式=(x−3)2．故答案为：(x−3)2原式利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.【答案】30°【解析】解：由题意得：D在AB的垂直平分线上．∴DB=DA．∴∠B=∠BAD=50°．∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=50°−20°=30°．故答案为：30°．已知∠BAC=20°，欲求∠CAD，需求∠BAD.由D在AB的垂直平分线上，得DB=DA，那么∠B=∠BAD=50°，从而解决此题．本题主要考查线段垂直平分线的性质以及角的和差关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．14.【答案】7【解析】解：∵a−b=2，∴(a−b)2=a2+b2−2ab=4．∵(a+b)2=32，∴a2+b2+2ab=32．∴(a+b)2−(a−b)2=4ab=28．∴ab=7．故答案为：7．由a−b=2，得(a−b)2=a2+b2−2ab=4.由(a+b)2=32，得a2+b2+2ab=32，那么(a+b)2−(a−b)2=4ab=28，从而解决此题．本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键．15.【答案】4.5【解析】解：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴PB=PA=3，PB=1.5，在Rt△PBD中，PD=12∴AD=AP+PD=3+1.5=4.5．故答案为4.5．先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD=30°，∠ABP=∠DBP=30°，则PB=1.5，然后计算PB=PA=3，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD=12AP+PD即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．16.【答案】x=d或x≥a【解析】解：当BM=d时，即x=d，根据“HL”可判断△ABM的形状、大小是唯一确定的；当BM≥a时，即x≥a，以B为圆心，BM为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的，综上所述，x的取值范围为x=d或x≥a．故答案为x=d或x≥a．以B为圆心，BM为半径画弧，当BM=d时，Rt△ABM唯一确定；当BM≥a时，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)6x2⋅3xy=18x3y.(2)(3x+1)(x−2)=3x2−6x+x−2=3x2−5x−2．(3)(6x4−9x3)÷3x2=6x4÷3x2−9x3÷3x2=2x2−3x．(4)(x+2y)2=x2+4y2+4xy．【解析】(1)利用单项式乘以单项式计算法则进行计算；(2)利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可；(3)多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可；(4)利用完全平方公式计算即可．此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．18.【答案】解：(1)原式=3xy(4z−3xy)；(2)原式=(x+y)(a2−25)=(x+y)(a+5)(a−5)．【解析】(1)直接提公因式3xy即可；(2)先提公因式(x+y)，再利用平方差公式即可进行因式分解．本题考查提公因式与公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．19.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵{AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F=∠ACB，∴AC//DF．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型；熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，还要注意已知的边或角是否为所要证明的三角形的边或角，如果不是要加以证明，必要时添加适当辅助线构造三角形．根据BE=CF得：BC=EF，由SSS证明△ABC和△DEF(SSS)，得∠F=∠ACB，可以得出结论AC//DF．20.【答案】解：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，=4a2−b2−4a2+12ab=−b2+12ab，当a=−1，b=2时，原式=−22+12×(−1)×2=−4−24=−28．【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．21.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【解析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22.【答案】(4,1)(2,3)(−1,−2)10【解析】解：(1)如图1：(2)由图可知A(−4,1)，B(−2,3)，C(1,−2)，∴A点关于y轴对称的点为(4,1)，B点关于y轴对称的点为(2,4)，C点关于y轴对称的点为(−1,−2)，故答案为：(4,1)，(2,4)，(−1,−2)；(3)如图2：作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，∴AP+BP=A′′P+BP=A′′B，此时PA+PB值最小；(4)如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，故答案为10．(1)由点的对称性，作出图形即可；(2)关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，P点即为所求；(4)利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AP=AQ，∴∠APC=∠AQB，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，在△APB和△AQC中，{∠APB=∠AQC ∠B=∠CAB=AC∴△APB≌△AQC(AAS)，∴BP=CQ；(2)如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴∠MQC+∠C=90°，∴∠MQC=30°，∵△PQM是等腰三角形，∴PQ=MQ，∴∠PMQ=∠MPQ=15°．【解析】(1)根据等边对等角得到∠APC=∠AQB，∠APB=∠AQC，由等边三角形∠B=∠C，AB=AC，可得△APB≌△AQC，即可得到结论；(2)根据题意画出图形，根据等边三角形的性质可得∠CQM=30°，由等腰三角形的性质即可解答即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质是解题的关键．24.【答案】45log232log a MN MN【解析】解：(1)∵24=16，∴log216=4；∵25=32，∴log232=5；故答案为：4，5；(2)log24+log28=2+3=5=log232，故答案为：log232；(3)log a M+log a N=log a MN，验证：设log a M=x，log a N=y，则a x=M，a y=N，∴a x▪a y=a x+y=MN，∴log a a x+y=log a MN=x+y，∴log a MN=log a M+log a N，故答案为：log a MN；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N．故答案为：MN(1)根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；(2)利用对数的定义求解可得结论；(3)根据所得结论进行推导可得结论；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．25.【答案】解：(1)如图，过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠ADB+∠BDC=180°，∠ADC=∠MDC，∴∠ABD=∠ADB=∠MDC，又∵AB//CM，∴∠ABD=∠M，∴∠M=∠MDC，∴CD=CM，∵点F是CE中点，∴EF=CF，又∵∠EFB=∠CFM，∴△BEF≌△MCF(AAS)，∴BE=CM，∴BE=CD；(2)补图如图，过点B作BN//AC，交PQ于点N，由(1)已证，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，又∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴∠A=∠ABD=60°，∵BN//AC，∴∠ABN=∠A=60°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，又∵∠BEN=∠AEQ，∴△AEQ≌△BEN(ASA)，∴EN=EQ=3，∵PE=BE，∠ABD=60°，∴∠P=∠PEB=30°，∴∠BNP=90°，∴PN=NE=3，∴PE=PN+NE=6．【解析】(1)过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得∠M=∠MDC，利用AAS定理判定△BEF≌△MCF，从而结合全等三角形和等腰三角形的性质使问题得证；(2)过点B作BN//AC，交PQ于点N，结合全等三角形和等边三角形的判定和性质分析求解．本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．26.【答案】证明：(1)如图1中，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，∵∠ABC=90°，∴∠MAB+∠C=90°，∠ABM+∠CBM=90°，∴∠C=∠MBC；(2)如图2中，设PQ交OB于点F．∵△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°，∵∠ABO=30°，∴∠DBO=90°=∠ABC，∴∠CBO=60°，∵PQ垂直平分线段OB，∴BF=OF，∠CFB=90°，∴∠BCF=30°，∴BC=2BF，∴OB=BC，∴△DBO≌△ABC(SAS)，∴OD=AC；(3)如图3中，设PQ交AB于点T．∵CT//OA，∴∠CTB=∠BAO，∵∠AOB=∠CBT=90°，BC=OB，∴△AOB≌△TBC(AAS)，∴AB=CT，∵BD=AB，∴BD=CT，∵∠DBJ=∠CTJ，∠DJB=∠CJT，∴△DBJ≌△CTJ(AAS)，∴DG=CG．【解析】(1)利用等角的余角相等证明即可；(2)如图2中，设PQ交OB于点F.首先证明DB=BA，BO=BC，再证明△DBO≌△ABC(SAS)，可得结论；(3)如图3中，设PQ交AB于点T.证明△AOB≌△TBC(AAS)，推出AB=CT=BD，再证明△DBJ≌△CTJ(AAS)，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A．37．如图，△ABC周长为30，则BEA．5a b+=，则8．若3A．39．如图，ABC≌△A．20°B．的边长为10．如图，等边ABCAC边上一点，若A．22.5︒B二、填空题15．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有方案一：如图1，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分）初始图操作记录图目标图三、解答题17．分解因式：(1)22363a ab b -+(2)()()2222x m y m -+-四、计算题18．计算(1)98102⨯；(2)()23262232m m m m m ⋅-+÷；(3)()()22231a ab a a b --+-；(4)()()()2123x x x -++-；五、证明题19．如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上，点A ，D 在l 异侧，若,AB DE AB DE =∥，A D ∠=∠．求证：BF CE =．六、解答题20．已知2210x x +-=，求代数式()()22123x x +--的值．21．已知22()10,()2a b a b +=-=，求22a b +，ab 的值．七、作图题八、解答题23．阅读下面的材料：九、作图题24．已知等边三角形ABC ，D 为线段BC 上一点，P 为B 关于直线AD 的对称点．过A 作AM 平行于PC 且交ABC ∠的外角平分线于M ．(1)依题意补全图形；(2)设BAD ∠=α，求BAM ∠（用含α的式子表示）；(3)过D 做DQ AB ∥且交CP 延长线于Q ．请用等式表示QD ，BM 和BA 之间的数量关系，并证明．十、单选题25．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．2222()aab b a b ++=+C ．2222()a ab b a b -+=-D ．22()()4a b a b ab+--=十一、填空题十二、证明题28．已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足2222220a b c ab bc ++--=，请判断ABC 的形状，并说明理由．。
北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学检测试题(含答案)
北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学检测试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是( )35A. B. C. D. 1 1.5242.下列图中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D. 3.下列运算正确的是( )A. B. C. D. x 3+x 3=x 6x 2⋅x 3=x 6(x 2)3=x 6x 6÷x 3=x24.如图是四边形的外角，若，，则( )∠1,∠2ABCD ∠1=72∘∠2=108∘∠A +∠C =A. B. 160∘170∘C. D. 180∘190∘5.如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这▵ABC 三条公路的距离都相等，则探照灯位置是( )▵ABCA. 三条中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点6.如图，是的中线，点，分别在和的延长线上，且，连接，AD ▵ABC E F AD AD DE =DF BF，则下列说法错误的是( )CE A. B. 和周长相等▵BDF≌▵CDE▵ABD ▵ACD C. D. 和面积相等BF//CE▵ABD ▵ACD 7.已知，，则的值为( )x m =6x n =3x 2m−n A. B. C. D. 939121088.如图，在中，，将沿直线折叠，使点落在点的位置，则的▵ABC ∠C =30∘▵ABC l C D ∠1−∠2度数是( )A. B. 30∘40∘C. D. 80∘60°120∘125∘A. B.10.如图，在平面直角坐标系中，对(3,1)2024C，则经过第次变换后点的对应点的坐标为(3,1)(−3,1)(−3,−1)(3,−1)A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2023北京海淀区北大附中初二(上)期中数学试卷及答案
2023北京北大附中初二（上）期中数 学班级姓名准考证号一、选择题（本题共30分，每小题 3 分）下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1.在第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取201金111银71铜的骄人战绩。
在下列运动标识中，是轴对称图形的是A. B ． C ． D ．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是 A ．(1,3)B ．(3,1)− C ．(3,1)− D ．(3,1)−−3.一个等腰三角形的两条边分别是2cm 和5cm ，则第三条边的边长是A ．2cm B ．5cm C ．2cm 或5cmD ．不能确定4.下列运算式中，正确的是A ．x 2+x 2＝x 4B ．x 2•x 3＝x 5C ．（xy ）3＝x 3yD ．（x 2）3＝x 55.根据下列条件能画出唯一△ABC 的是A.AB =1，BC =2，CA =3B.AB =7，BC =5，∠A =30°C.∠A =50°，∠B =60°，∠C =70°D.AC =3.5，BC =4.8，∠C =70°6.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为A ．75° B ．85° C ．65° D ．60°7.如图，将一张四边形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点D 恰好落在边AB 的中点处．设1S ，2S 分别为ADC 和ABC 的面积，1S 和2S 数量关系是A. 1213S S=B. 1212S S=C. 122S S =D. 123S S = 8.如图，△ABC 中，AB ＜AC ＜BC ，如果要用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使P A ＋PB ＝BC ，那么符合要求的作图痕迹是αA ．B ．C ．D ．9. 如图，在正方形网格中，A ，B 两点都在小方格的顶点上，如果点C 也是图中小方格的顶点，且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．410.如图，△ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，△BED 周长的变化规律是 A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大二、填空题（本题共18分，每小题 3 分）11.如图，AD ＝AE ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD ，添加的条件是： （添加一个即可）．12.某区环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为_________分米．13．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数为 ．14.如图，在四边形ABDC 中，∠ABD ＝60°，∠D ＝90°，BC 平分∠ABD ，AB ＝3，BC ＝4，△ABC 的面积等于 ．15. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一. 如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的. 这个仪器由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC =CD =DE ，点D ，E 可在槽中滑动．若∠BDE =72°，则 ∠CDE = °．16．如图，等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，2==BC AC，5=AD BC D 中点，为,P 为AB 上一个动点，则PC +PD 的最小值为 .三、解答题（本题共52分，第17(1)题3分，17(2)题4分，第18-20题，每题4分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分） 17.计算：（1）()()2325xyx ⋅− （2）()()x y x y −+2BBA18.已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ＝DE ，AB ∥DE ，BF ＝EC ．求证：△ABC ≌△DEF ．19.()()402312(2).2的值，求已知+−=+−−+x x x x x x20.如图，A ，B 分别为CD ，CE 的中点，AE ⊥CD 于点A ，BD ⊥CE 于点B ．求∠AEC 的度数．21．下面是小东设计的尺规作图过程.已知：如图，在Rt ABC △中，90=∠ABC °. 求作： 点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB 和AC 的距离相等.作法：①如图，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ； ②分别以点M ，N 为圆心，大于MN 21为半径画弧，两弧交于点P ； ③画射线AP ，交BC 于点D .所以点D 即为所求.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明：过点D 作AC DE ⊥于点E ，连接MP NP ，.在AMP △和ANP △中， ∵ANAM =，NP MP =，AP AP =，∴AMP △≌ANP △ (SSS ). ∴∠ =∠ . ∵∠ABC =90°， ∴AB DB ⊥. ∵AC DE ⊥， ∴DEDB=（ ）. 22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC ，A （﹣2，6），B （﹣5，1），C （3，1）．点B 与点C 关于直线l 对称，AC 交y 轴于点E ．（1）请在坐标系中画出直线l ；（2）求△ABE 的面积；（3）若点P 在直线l 上，∠BPC ＝90°，直接写出点P 的坐标．ABCEDCBA23.（1）已知在△ABC 中，∠A=120°， ∠B=40°， ∠C=20°，请你设计两种不同的方法：用一条直线将△ABC 分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明,要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．）（2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答．24.我们学习了实数的正整数次幂的运算，如328=，(49=等. 现已知一个实数的实数次幂也可以运算.若实数a b x 、、满足x a b =，则称x 为b 关于a 的“L 数”，记为()x L a b =，.（1）请直接写出：①()216L =，__________；②11464L ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，___________. （2）若()252L a =，，则a =_________.（3）已知()()()105102010L x L y L b z ===，，，，，，且2x z y +=，求b 的值. 25.已知直线MN ，在直线上取一点A ，以A 为顶点作等腰△ABC ，AB =AC ，作射线CB 交射线AM 于点Q ，记点C 关于直线MN 的对称点为P 点，连结PC 、PB ，记∠BAC =α，∠NAC =β，其中0°<β<180°． (1)请补全图1；(2)证明当α=60°且β=75°时，PC =PB ；(3)若有PC =PB ，求此时β与α之间的数量关系．图1备用图1备用图226.在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）为图形G上一点，当|a|＞|b|时，将点P关于一、三象限角平分线对称，称为变换1；当|a|≤|b|时，将点P关于y=a对称，称为变换2.（1）①已知点A坐标为（2，1），则点A作相应变换后的点的坐标为________________；②若点A作相应变换后的点坐标为（-1，2），求点A的坐标；（2）已知B（m，1），C（m，3），①若线段BC上的点通过变换2所得图形在x轴下方，则m的取值范围是__________；②已知边长为8的正方形中心为点O，且各边与坐标轴平行，若正方形内部（含边）同时存在线段BC 的两种变换点，则m的取值范围是_______________.备用图参考答案一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）二、填空题（本题共 18分，每小题 3 分） 11. 答案不唯一 12.4×104 13.八 14.3 15.84 16.5三、解答题（本题共52分，第17(1)题3分，17(2)题4分，第18-20题，每题4分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分） 17.（1）()()2352x y x −⋅=()2358x y x −⋅-------2分=2440yx -----3分（2）()()x y x y −+2=2222y yxxy x −−+ ------2分 =222y xy x −−---4分18.证明：∵BF ＝EC ，∴BF +FC ＝EC +FC ， ∴BC ＝EF ，---------1分 ∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠E ， ------2分 在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）． -------4分x x x x x .362241922=−+−−−原式----2分22−+=xx ----3分 22442=−=∴原式又xx----4分20.解：连接DE ．-----------------------1分∵A ，B 分别为CD ，CE 的中点， AE ⊥CD 于点A ，BD ⊥CE 于点B ，∴CD =CE =DE ，∴△CDE 为等边三角形．-------------3分∴∠C =60°． ∴∠AEC =90°∠C =30°．--------------4分21.（1）补全图形；……2分（2）证明：过点D 做AC DE ⊥于点E ，连接MP NP ，． 在AMP ANP 与中，∵ANAM =，NP MP =，AP AP =，∴AMP △≌ANP △(SSS )．∴∠PAM =∠PAN ． ……4分∵∠ABC =90°， ∴AB DB ⊥． 又∵AC DE ⊥，∴DEDB=（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．5分 22. （1）图 ……1分 (2)说明为何E 为(0,3) …2分 S △ABE 的面积=8 …3分(3)（﹣1，5）和（﹣1，-3）． …5分23.(1)…2分12−D CBAN PME MP NABCD…4分(2）开放性问题，提出问题给分 …5分 24.（1）4，3；…2分 （3）5 ；…4分 （3）80…6分 25.解：（1）补全图形略…………………………1分（2） 连结AP∵点C 和点P 关于直线MN 对称 ∴MN ⊥PC ，AP ＝AC ∵∠PAN =∠CAN =75° ∴∠PAC =150° ∵∠BAC =60°∴∠PAB =360°−∠PAC −∠CAB =150° 在△P AC 与△P AB 中 {AC =AB∠PAC =∠PAB =150°AP =AP， ∴△P AC ≌△P AB （SAS ） ∴PC =PB…………………………3分注：直接认为β=75°，所以PC =PB 不得分（3）①当B 、C 位于直线MN 同侧时，α+β<180° 若存在满足条件的β时，有PC =PB ∵AC=AB∴直线P A 为BC 的垂直平分线，设P A 与BC 交于点Q ∴在△ABC 中，∠CAQ =∠BAQ =12∠BAC =12α∵点C 和点P 关于直线MN 对称 ∴MN ⊥PC ，AP ＝AC∴在△P AC 中，∠PAC =2∠CAM =2β ∵∠PAC +∠CAQ =180° ∴2β+12α=180°∴β=90°−14α∴α+（90°−14α）<180°∴解得α<120°α(0°<α<120°)∴β=90°−14α(0°<α<120°)时，易证当β=90°−14…………………………4分②当120°<α<180°时，如右图所示有两种情况（每个1分）（1）β=90°−1α；4α…………………………6分（2）β=180°−14说明：写出一个关系没有分类讨论得1分给出分类讨论：求得一个关系得2分给出分类讨论，求得两个关系，并明确说明各关系成立的前提得3分26.（1）①（1，2）； …1分②（2，-1）或（-1，-4）；…3分（2）①-3≤m＜； …4分②≤m＜-1，1＜m≤3. …6分。
2020-2021学年北京市海淀区清华附中八年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（）A．a2+2a+1B．a2﹣2a+1C．a2+1D．a+13．（3分）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．144．（3分）下列运算正确的是（）A．a6•a2＝a12B．a6÷a2＝a3C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．（a6）2＝a125．（3分）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或86．（3分）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD 7．（3分）如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）8．（3分）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．69．（3分）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．10．（3分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：①a*b＝0，则a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二.填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算：（﹣）0＝．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝25°，且BD⊥AC，则∠A＝°．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．14．（3分）若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为．15．（3分）一个长方形的面积为（12ab2﹣9a2b），若一边长为3ab，则它的另一边长为．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为．17．（3分）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长为1），有一格点三角形ABC （三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．18．（3分）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为．三.解答题（共7小题，19题5分，20-21每题9分.22-24每题5分，25题8分，共46分）19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠E＝∠C．20．（9分）计算（1）3x2y•（﹣2xy3）；（2）（3m﹣n）（m+2n）；（3）（ab﹣1）2+a（2b﹣1）．21．（9分）分解因式（1）9m2﹣4；（2）2ax2+12ax+18a；（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．23．（5分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y），其中x＝﹣2，y＝．24．（5分）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为．（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．25．（8分）如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．（1）①依题意补全图形；②求∠BPC的度数；（2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明．（3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数．四、附加题（26、27每题3分,28.29每题4分,30题6分，满分20分）26．（3分）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2＝（a+b）2C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab27．（3分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．1228．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（用含α的代数式表示）．29．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°；③AE＝CE+2BD；④若∠CAE＝30°，则＝1．正确的有（填序号）．30．（6分）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．2020-2021学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（）A．a2+2a+1B．a2﹣2a+1C．a2+1D．a+1【解答】解：新正方形的边长为a+1，∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，故选：A．3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【解答】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a6•a2＝a12B．a6÷a2＝a3C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．（a6）2＝a12【解答】解：A、a6•a2＝a8，故此选项错误；B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；D、（a6）2＝a12，正确．故选：D．5．（3分）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【解答】解：5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，∵5+5＞8，∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；5cm是底边时，腰长为（18﹣5）＝6.5cm，5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；综上所述，它的腰长为6.5或5cm．故选：C．6．（3分）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，正确，故本选项错误；B、∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，∵OP＝OP，PE＝PD，∴由勾股定理得：OE＝OD，正确，故本选项错误；C、∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，正确，故本选项错误；D、根据已知不能推出PD＝OD，错误，故本选项正确；故选：D．7．（3分）如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，∴通过网格上作图或计算可知，C’的坐标是（2，1）．故选：D．8．（3分）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．9．（3分）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，A、铺设的电缆长为a+a＝2a；C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，则铺设的电缆长为a+a＝a；B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，故x2+（）2＝（2x）2，解得：x＝a，则BO＝a，则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，∵a＜a＜2a，∴方案D中光缆最短；故选：D．10．（3分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：①a*b＝0，则a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，因此②符合题意，a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）故④符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B．二.填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算：（﹣）0＝1．【解答】解：（﹣）0＝1．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝25°，且BD⊥AC，则∠A＝50°．【解答】解：∵BD是AC边上的高，∴∠DBC+∠C＝90°，∠DBC＝25°，∴∠C＝65°，∵AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是BD＝CD（写出一个即可）．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：BD＝CD．14．（3分）若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为2．【解答】解：根据题意得：（x+m）（2﹣x）＝2x﹣x2+2m﹣mx，∵x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，∴m＝2；故答案为：2．15．（3分）一个长方形的面积为（12ab2﹣9a2b），若一边长为3ab，则它的另一边长为4b ﹣3a．【解答】解：由题意可知：（12ab2﹣9a2b）÷3ab＝4b﹣3a，故答案为：4b﹣3a．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为10．【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案为：1017．（3分）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长为1），有一格点三角形ABC （三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．18．（3分）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为4．【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，DE＝OD+OE＝3，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝1，∴CF＝CE﹣EF＝5，∴BC＝10，∴BE＝10﹣6＝4，故答案为：4．三.解答题（共7小题，19题5分，20-21每题9分.22-24每题5分，25题8分，共46分）19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠E＝∠C．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△DAE（SAS）．∴∠E＝∠C．20．（9分）计算（1）3x2y•（﹣2xy3）；（2）（3m﹣n）（m+2n）；（3）（ab﹣1）2+a（2b﹣1）．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3y4；（2）原式＝3m2+6mn﹣mn﹣2n2＝3m2+5mn﹣2n2；（3）原式＝a2b2﹣2ab+1+2ab﹣a＝a2b2﹣a+1．21．（9分）分解因式（1）9m2﹣4；（2）2ax2+12ax+18a；（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．【解答】解：（1）9m2﹣4＝（3m+2）（3m﹣2）；（2）2ax2+12ax+18a＝2a（x2+6x+9）＝2a（x+3）2；（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9＝（x+3）（x﹣5）+（x﹣3）（x+3）＝（x+3）（x﹣5+x﹣3）＝（x+3）（2x﹣8）＝2（x+3）（x﹣4）．22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．【解答】解：（1）依照题意，画出图形，如图所示．（2）∵点P到AB、BC的距离相等，∴PC＝PD．在Rt△BCP和Rt△BDP中，，∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），∴BC＝BD．又∵PD垂直平分AB，∴AD＝2BD＝2BC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴∠A＝30°．23．（5分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y），其中x＝﹣2，y＝．【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2+9y2+12xy﹣4x2+9y2＝18y2+12xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝18×（）2+12×（﹣2）×＝18×﹣8＝2﹣8＝﹣6．24．（5分）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20．（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，故答案为：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．25．（8分）如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．（1）①依题意补全图形；②求∠BPC的度数；（2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明．（3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数．【解答】解：（1）①图形如图所示：②连接AP，∵P，B关于AD对称，∴AP＝AB＝AC，∴可以假设∠APC＝∠ACP＝x，则∠P AC＝180°﹣2x，∵∠BAC＝60°，∴∠P AB＝180°﹣2x﹣60°＝120°﹣2x，∵AP＝AB，∴∠APB＝∠ABP＝[180°﹣（120°﹣2x）]＝30°+x．∴∠CPB＝30°+x﹣x＝30°．（2）结论：CF＝AF+2EF．理由：如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得F A＝FT，连接AT．∵B，P关于AD对称，∴AE⊥PB，PF＝BF，∵∠EPF＝30°，∴∠PFE＝∠AFT＝60°，BF＝PF＝2EF，∵F A＝FT，∴△AFT是等边三角形，∴∠AF＝AT，∠F AT＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠F AT＝60°，∴∠F AB＝∠TAC，在△F AB和△TAC中，，∴△F AB≌△TAC（SAS），∴CT＝BF，∴CF＝ET+CT＝AF+BF＝AF+2EF，∴CF＝AF+EF．（3）①如图2﹣1中，当BP＝BC时，α＝∠BAD＝30°．②如图2﹣2中，当PB＝PC时，α＝∠BAD＝75°．综上所述α的值为：30°，75°．四、附加题（26、27每题3分,28.29每题4分,30题6分，满分20分）26．（3分）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2＝（a+b）2C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【解答】解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故选：C．27．（3分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．28．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为90°﹣α（用含α的代数式表示）．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案为90°﹣α．29．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°；③AE＝CE+2BD；④若∠CAE＝30°，则＝1．正确的有①②④（填序号）．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DCB，在△ADF和△CDB中，，∴△ADF≌△CDB（ASA），∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连接OD、OE．∵∠BDF＝∠BEF＝90°，∴OE＝OF＝OB＝OD，∴E、F、D、B四点共圆，∴∠DEB＝∠DFB＝45°，故②正确，如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴MF＝BN，EM＝EN，∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∵∠DFB＝45°，∴∠AFB＝120°，∴∠BFH＝60°，∵FH＝BF，∴△BFH是等边三角形，∴BF＝BH，∵BC⊥FH，∴FE＝EH，∴CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，∴∠ACH＝75°，∴∠ACH＝∠AHC＝75°，∴AC＝AH，∵AF+FB＝AF+FH＝AH，∴AF+BF＝AC，∴＝1，故④正确，故答案为：①②④．30．（6分）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．【解答】解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．。
2018-2019学年八年级(上册)期中数学试卷含答案(北师大版)
2018-2019学年八年级（上册）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．等于（）A．2B．±2C．﹣2D．±42．下列各数中是无理数的是（）A．3.5B．C．D．3．下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝5，c＝6C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝134．下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≠﹣2D．x≤﹣26．若是关于x、y的方程x+ay＝3的解，则a值为（）A．1B．2C．3D．47．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（）A．5B．10C．D．8．已知A（﹣2，a），B（1，b）是一次函数y＝﹣2x+3的图象上的两个点，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定9．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm二、填空题（每小题4分，共16分）11．8的立方根是．12．点A（﹣4，3）关于x轴的对称点的坐标是．13．若x、y为实数，且＝0，则a b的值＝14．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝4，CD＝3，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则BE的长为．三、解答题（共54分）15．（16分）计算（1）化简：（2）化简：（3）解方程2x2﹣1＝7；（4）解方程组：16．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3）（a+1）﹣a（a﹣3），其中a＝﹣1．17．（6分）如图，有一块菜地，已知AB＝4m，BC＝3m，AB⊥BC，AD＝m，CD＝10m，求这块地的面积．18．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1的各顶点的坐标；（3）求△ABC的面积．19．（8分）已知直线y＝2x﹣4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点D，且两直线交于点E．若S＝．△ACE（1）求点E的坐标；．（2）求S△BDE二、解答题（共30分）20．（8分）已知x＝，y＝（1）求x2+xy+y2．（2）若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．21．（10分）在平面直角坐标系上，已知点A（8，4），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，直线y＝x交AB 于D．（1）直接写出B、C、D三点坐标；（2）若E为OD延长线上一动点，记点E横坐标为a，△BCE的面积为S，求S与a的关系式；（3）当S＝20时，过点E作EF⊥AB于F，G、H分别为AC、CB上动点，求FG+GH的最小值．22．（12分）已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．（1）如图①求证：BE+DF＝EF；（2）连接BD分别交AE、AF于M、N，①如图②，若AB＝6，BM＝3，求MN．②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．等于（）A．2B．±2C．﹣2D．±4【分析】根据算术平方根的概念解答．【解答】解：∵22＝4，∴＝2，故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根的计算，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．2．下列各数中是无理数的是（）A．3.5B．C．D．【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解答】解：A、3.5是小数，即分数，属于有理数；B、是分数，属于有理数；C、﹣是无理数；D、＝2，是整数，属于有理数；故选：C．【点评】本题考查了无理数的定义，能理解无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数有：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数．3．下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝5，c＝6C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+32＝52，故是直角三角形，故此选项不合题意；B、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项符合题意；C、62+82＝102，故不是直角三角形，故此选项不合题意；D、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项错不合题意．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝2﹣＝，所以B选项正确；C、1与不能合并，所以C选项错误；D、原式＝6＝6，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≠﹣2D．x≤﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．6．若是关于x、y的方程x+ay＝3的解，则a值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把x、y的值代入方程，得出一个关于a的意义一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵是关于x、y的方程x+ay＝3的解，∴代入得：2+a＝3，解得：a＝1，故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于a的一元一次方程是解此题的关键．7．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（）A．5B．10C．D．【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，斜边长为：＝10，三角形的面积＝×6×8＝24，设斜边上的高为x，则x•10＝24，解得x＝4.8．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．8．已知A（﹣2，a），B（1，b）是一次函数y＝﹣2x+3的图象上的两个点，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定【分析】根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣2＜1，∴a＞b．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．9．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴此函数的图象经过一、三、四象限．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．10．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即×2π×＝6（cm），∵BC＝8cm，AC＝6cm，∴根据勾股定理得：AB＝＝10（cm），∴要爬行的最短路程是10cm．故选：C．【点评】此题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．二、填空题（每小题4分，共16分）11．8的立方根是2．【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：8的立方根为2，故答案为：2．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．12．点A（﹣4，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣4，﹣3）．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（﹣4，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣4，﹣3）．故答案为：（﹣4，﹣3）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．若x、y为实数，且＝0，则a b的值＝3【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入计算即可得解．【解答】解：由题意得：a+＝0，b﹣2＝0，a＝﹣，b＝2，∴＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．14．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝4，CD＝3，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则BE的长为 1.5．【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，设BE＝x，则在直角△EFC中利用勾股定理即可得到一个关于x的方程，求得BE的长即可．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝CD＝AF＝3，AD＝BC＝4，在直角△ABC中，AC＝＝5，设BE＝x，则EF＝BE＝x．在Rt△EFC中，CF＝AC﹣AF＝2，EC＝4﹣x．根据勾股定理可得：EF2+CF2＝CE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5．∴BE＝1.5，故答案为：1.5．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，正确利用线段长度之间的关系转化成方程问题是关键．三、解答题（共54分）15．（16分）计算（1）化简：（2）化简：（3）解方程2x2﹣1＝7；（4）解方程组：【分析】（1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式；（2）先根据负整数指数幂和绝对值的定义进行化简，最后合并同类项即可；（3）利用直接开平方法解方程；（4）利用加减法解方程组即可．【解答】解：（1）化简：，＝﹣6×﹣3，＝﹣2﹣3，＝﹣4；（2）化简：，＝2﹣（﹣1）+2，＝2﹣+1+2，＝3+；（3）解方程2x2﹣1＝7；2x2＝8，x2＝4，x＝±2，x1＝2，x2＝﹣1；（4），①+②得：3x＝3，x＝1，把x＝1代入①得：1﹣y＝3，y＝﹣2，∴方程组的解为：．【点评】本题考查了二次根式的化简、绝对值和负整数指数幂的意义及二元一次方程组的解，灵活运用法则和性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3）（a+1）﹣a（a﹣3），其中a＝﹣1．【分析】根据多项式乘多项式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2a﹣3）（a+1）﹣a（a﹣3）＝2a2﹣a﹣3﹣a2+3a＝a2+2a﹣3，当a＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+2（﹣1）﹣3＝2﹣2+1+2﹣2﹣3＝﹣2．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．17．（6分）如图，有一块菜地，已知AB＝4m，BC＝3m，AB⊥BC，AD＝m，CD＝10m，求这块地的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结AC ，在△ABC 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4m ，BC ＝3m ，∴AC ＝＝5（m ），S △ABC ＝×3×4＝6（m 2），在△ACD 中，∵AD ＝5m ，AC ＝5m ，CD ＝10m ，∴AD 2+AC 2＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴S △ACD ＝×5×5＝（m 2）．∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC +S △ACD ＝（6+）（m 2）．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC 和△CAD 的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．18．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A （﹣4，5），B （﹣2，1），C （﹣1，3）．（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）写出△A 1B 1C 1的各顶点的坐标；（3）求△ABC 的面积．【分析】（1）先根据轴对称的定义作出各顶点的对应点，再顺次连接可得；（2）由图形可得点的坐标；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）由图知，A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）；（3）△ABC的面积为3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4．【点评】此题主要考查了轴对称变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．19．（8分）已知直线y＝2x﹣4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点D，且两直线交于点E．若S＝．△ACE（1）求点E的坐标；．（2）求S△BDE【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可得点E的坐标；．（2）先根据函数解析式求得点B、D的坐标，即可得线段BD的长，再根据三角形面积公式计算可得S△BDE【解答】解：（1）解方程组，得，∴E（，﹣）；（2）将x＝0代入y＝2x﹣4，解得：y＝﹣4，∴B（0，﹣4），将x＝0代入y＝﹣3x+3，解得：y＝3，∴D（0，3），∴BD＝3﹣（﹣4）＝7，＝×7×＝．∴S△BDE【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了三角形的面积．二、解答题（共30分）20．（8分）已知x＝，y＝（1）求x2+xy+y2．（2）若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出x+y和xy的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．【解答】解：（1）x ＝＝＝+2，y ＝＝﹣2，x +y ＝（+2）+（﹣2）＝2，xy ＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，x 2+xy +y 2＝（x +y ）2﹣xy ＝（2）2﹣1＝19；（2）∵2＜＜3，∴4＜+2＜5，0＜﹣2＜1，∴a ＝+2﹣4＝﹣2，y ＝0，∴ax +by ＝（﹣2）（+2）+（﹣2）×0＝5﹣4＝1， ∴ax +by 的平方根是±＝±1． 【点评】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出x +y 和xy 的值是解（1）的关键，能估算出x 、y 的范围是解（2）的关键．21．（10分）在平面直角坐标系上，已知点A （8，4），AB ⊥y 轴于B ，AC ⊥x 轴于C ，直线y ＝x 交AB 于D ．（1）直接写出B 、C 、D 三点坐标；（2）若E 为OD 延长线上一动点，记点E 横坐标为a ，△BCE 的面积为S ，求S 与a 的关系式； （3）当S ＝20时，过点E 作EF ⊥AB 于F ，G 、H 分别为AC 、CB 上动点，求FG +GH 的最小值．【分析】（1）首先证明四边形ABOC 是矩形，再根据直线y ＝x 是第一象限的角平分线，可得OB ＝BD ，延长即可解决问题；（2）根据S ＝S △OBE +S △OEC ﹣S △OBC 计算即可解决问题；（3）首先确定点E 坐标，如图二中，作点F 关于直线AC 的对称点F ′，作F ′H ⊥BC 于H ，交AC 于G ．此时FG +GH 的值最小；【解答】解：（1）∵AB ⊥y 轴于B ，AC ⊥x 轴于C ，∴∠ABO ＝∠ACO ＝∠COB ＝90°，∴四边形ABOC 是矩形，∵A （8，4），∴AB ＝OC ＝8，AC ＝OB ＝4，∴B （0，4），C （8，0），∵直线y ＝x 交AB 于D ，∴∠BOD ＝45°，∴OB ＝DB ＝4，∴D （4，4）．（2）由题意E （a ，a ），∴S ＝S △OBE +S △OEC ﹣S △OBC ＝×4×a +×8×a ﹣×4×8＝6a ﹣16．（3）当S ＝20时，20＝6a ﹣16，解得a ＝6，∴E （6，6），∵EF ⊥AB 于F ，∴F （6，4），如图二中，作点F 关于直线AC 的对称点F ′，作F ′H ⊥BC 于H ，交AC 于G ．此时FG +GH 的值最小．∵∠ABC ＝∠F ′BH ，∠BAC ＝∠F ′HB ，∴△ABC ∽△HBF ′，∴＝，∵AC ＝4，BC ＝＝4，BF ′＝AB +AF ′＝8+2＝10，∴＝，∴F′H＝2，∴FG+GH的最小值＝F′H＝2．【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．22．（12分）已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．（1）如图①求证：BE+DF＝EF；（2）连接BD分别交AE、AF于M、N，①如图②，若AB＝6，BM＝3，求MN．②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE．【分析】（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠3＝∠2，AG＝AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE＝EF，所以DF+BE＝EF．（2）①如图2，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM＝∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN＝M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2＝DN2+BM2；②设正方形ABCD的边长为a，求出MN，EC即可判断；【解答】（1）证明：证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图）∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠3＝∠2，AG＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GB+BE＝EF，∴DF+BE＝EF；（2）①解：如图2，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABM＝∠ADN＝45°．把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．∴△ABM≌△ADM′（旋转不变性），∴DM'＝BM，AM'＝AM，∠ADM'＝∠ABM＝45°，∠DAM'＝∠BAM．∴∠ADB+∠ADM′＝45°+45°＝90°，即∠NDM′＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠DAM′+∠DAF＝45°，即∠M′AN＝45°，∴∠M'AN＝∠MAN．在△AMN和△AM′N中，∴△AMN≌△AM′N（SAS），∴M'N＝MN．∵∠NDM′＝90°，∴M'N2＝DN2+DM'2，∴MN2＝DN2+BM2；设MN＝x，则DN＝12﹣3﹣x＝9﹣x，∴x2＝33+（9﹣x）2，∴x＝5，∴NM＝5．②证明：如图3中，设正方形ABCD的边长为a．∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∴∠AEB＝∠BME＝67.5°，∴BM＝BE，同理可证：DN＝DF，∴BM＝DN＝BE＝DF，设BM＝x，则MN＝x，∴2x+x＝a，∴x＝（﹣1）a，∴MN＝（2﹣）a，EC＝BC﹣BE＝（2﹣）a，∴MN＝EC．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．21。
每日一学：北京市北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
每日一学：北京市北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答答案北京市北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2020北京.八上期中) 在△ABC 中，AB = BC =AC ， ∠A = ∠B =∠C = 60°．点 D 、E 分别是边 AC 、AB 上的点（不与 A 、B 、C 重合），点P 是平面内一动点．设∠PDC =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α ．（1） 若点 P 在边BC 上运动（不与点B 和点C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 = ．（用 α 的代数式表示）（2） 若点 P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．考点： 三角形内角和定理;三角形的外角性质;多边形内角与外角;~~ 第2题 ~~(2020北京.八上期中) 如图△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB上运动（D 不与 A 、B 重合），连接 CD ，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E ，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是________.~~ 第3题 ~~(2020北京.八上期中) 如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A 、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C ，使△ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（ ）A . 8 个B . 9 个C . 10 个D . 11 个北京市北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：解析：~~ 第2题 ~~答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：B 解析：。
2023-2024学年北京市清华附中朝阳学校八年级(上)期中数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市清华附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那奖螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.画的高BE，以下画图正确的是()A. B.C. D.3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是()A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.三角形的稳定性D.垂线段最短4.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是()A.3dm，5dm，8dmB.8cm，8cm，18cmC.3dm，3dm，5dmD.3cm，4cm，8cm5.下列轴对称图形中，对称轴最多的是()A. B. C. D.6.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是()A. B. C. D.7.如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为()A. B. C. D.8.如图，点D，E在的边BC上，≌，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是()A.B.C.D.9.如图，在正方形网格中，记，，，则()A. B. C. D.10.已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为如图丙原三角形纸片ABC中，的大小为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
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2018-2019学年北京市海淀区清华附中平行班八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1.
下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A. B.
C. D.
2.
下列运算正确的是（ ）
A. （2a2）3＝6a6 B. 2a2+4a2＝6a4
C. a3•a2＝a5 D. （a+2b）2＝a2+4b2
3.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D
，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标
轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD
的周长为（ ）
A. 14 B. 18 C. 20 D. 26
5.
下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. 12xy2＝3xy•4y B. （x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3
C. x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D. x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1
）
6.用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm
，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 4cm或6cm D. 4cm或
8cm
7.若a+b＝3，则a2﹣b2+6b
的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
8.已知如图：△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF
＝（ ）
A. 2∠A B. 90°﹣2∠A C. 90°﹣∠A D. 90°﹣∠A
二.填空题侮题3分共24分
9.计算（﹣3a2b
）3的结果是_____．
10.在边长为1的正方形网格中，如图所示，△ABC中，AB＝AC，若点A的坐标为（0，﹣2），点B
的坐标
为（1，1），则点C的坐标为_____．
11.若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为_____
．
12.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB
于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为_____．
13.如果（2x+m）（x﹣5）展开后的结果中不含x的一次项，那么m＝_____
．
14.如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF
等于_____．
15.设x﹣＝1，则x2+＝_____
．
16.如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN
周长的最
小值为_____．
三、解答题（共52分）
17.
计算：
（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷
3x2y
（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+）
2
（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）
18.
因式分解：
（1）x2﹣5x﹣
6
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（3）y2﹣x2+6x﹣
9
（4）（a2+4b2）2﹣
16a2b2
19.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B
＝50°，求∠DEC的度数．
20.已知x+y＝8，xy＝12
，求：
①
x
2y+xy2
；
②
x
2﹣xy+y2
；
③x﹣y的值．
21.已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7
的值．
22.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE
于点
F
．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
23.如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD
，
CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P
．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
24.
阅读以下材料：
利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和
相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和”
设a，b，c，d为有理数，则
（a2+b2）（c2+d2）
＝
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）
2
请你解决以下问题
（1）填空：（a2+b2）（c2+d2）＝（ac﹣bd）2+（ ）
2
（2）根据阅读材料，
130＝13×10＝（22+32）（12+32）＝（2×1+3×3）2+（2×3﹣3×1）2＝112+32
仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和
（3）将20182018表示成两个正整数的平方和（直接写出一种答案即可）．
四、附加题（1-3每小题3分，第4题5分，第5题6分共20分
25.若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2＝
．
26.等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为
．
27.（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1＝
．
28.已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，请你探究a，b，c
之间满足的等
量关系，并说明理由．
29.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP
与
点E．
（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝ ；
（2）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度
角的三角形，并说明理由．