运筹学胡运权第三版第四章目标规划
合集下载
运筹学目标规划
第四章 目标规划
•目标规划的数学模型 •目标规划的图解法 •目标规划的单纯形法 •灵敏度分析 •目标规划实例
4.1 目标规划的数学模型
一、引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
这是一个单目标的 规划问题,模型为：
最优方案： x1* 2, x2* 6 最优值： z* 36
优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比 Pj+1对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的．这些目标具有相同的优先因 子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
4、目标函数
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出 现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能 够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差 有关的函数：
3x1 2x2 d2 d2 18
2、绝对约束和目标约束
绝对约束：决策过程中决策变量必须满足的约束， 也称为硬约束。
目标约束：决策过程中决策值和目标值可能出现 偏差的约束，也称软约束。
目标约束是目标规划特有的约束。
如，例中的 x1 4与2 x2 12是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
目标规划是实现目标管理的有效工具，它根 据企业制订的经营目标以及这些经营目标的轻重 缓急，考虑到现有资源情况，确定一个满意方案， 使得工作结果达到规定目标或使差距最小。弥补 了线性规划的不足。
目标规划问题在经济活动、科学研究和工程 设计上经常遇到。
例如设计导弹，既要射程远，又要省燃料， 还要精度高。
确定一个新橡胶配方往往同时考察八、九个 指标，如强度、硬度、变形、伸长等。
•目标规划的数学模型 •目标规划的图解法 •目标规划的单纯形法 •灵敏度分析 •目标规划实例
4.1 目标规划的数学模型
一、引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
这是一个单目标的 规划问题,模型为：
最优方案： x1* 2, x2* 6 最优值： z* 36
优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比 Pj+1对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的．这些目标具有相同的优先因 子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
4、目标函数
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出 现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能 够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差 有关的函数：
3x1 2x2 d2 d2 18
2、绝对约束和目标约束
绝对约束：决策过程中决策变量必须满足的约束， 也称为硬约束。
目标约束：决策过程中决策值和目标值可能出现 偏差的约束，也称软约束。
目标约束是目标规划特有的约束。
如，例中的 x1 4与2 x2 12是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
目标规划是实现目标管理的有效工具，它根 据企业制订的经营目标以及这些经营目标的轻重 缓急，考虑到现有资源情况，确定一个满意方案， 使得工作结果达到规定目标或使差距最小。弥补 了线性规划的不足。
目标规划问题在经济活动、科学研究和工程 设计上经常遇到。
例如设计导弹，既要射程远，又要省燃料， 还要精度高。
确定一个新橡胶配方往往同时考察八、九个 指标，如强度、硬度、变形、伸长等。
第4章运筹学
二、目标规划的数学模型
（1）偏差变量 对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d－，分别表示 决策值超过或不足目标值的部分。按定义应有d+≥0，d－≥0， d+·d－＝0。 （2）绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的约束条件，如线性规划中的 约束条件都是绝对约束。绝对约束是硬约束，对它的满足与 否，决定了解的可行性。 目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约 束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。
5x1 10x2 60
4x1 4x2 40 4
6x1 8x2 48
min
P1d1
,
P2
d
2
,
P3d
3
5x1 10x2
60
目 标 规
x1 2x2 d1 d1
4x1 4x2
d
2
d2
0 36
划 6x1 8x2
d3 d3 48
x1, x2, di, di 0 i 1,2,3
例2 假设在例 l 的基础上，要求考虑如下意见：
(1)由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品I的一半；
(2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
(3)最好能节约4小时设备工时；
(4)计划利润不少于48元。
max6x1 8x2
1
1
线 性
x2 2 x1 x2 2 x2 0
规 划
d
k
,
d
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值， W和lk
为Wl
k
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
运筹学第4章上
min z f (d , d )
（2）要求决策值不超过目标值，即正偏差尽可能的小，其构 造形式为：
min z f (d )
（3）要求决策值可以超过目标值，即负偏差尽可能的小，其 构造形式为：
min z f (d )
China University of Mining and Technology
China University of Mining and Technology
-9-
运 筹 学
目标规划的数学模型
如：在引例中,利润的目标值为32，可能目标值会达不到，所 以加上一个负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
3x1 5 x2 d3 32
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量 d3+≥0，把目标函数变成
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们 的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
-13-
China University of Mining and Technology
运 筹 学
4. 目标函数
目标规划的数学模型
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出现，显然其 构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能够尽可能的 小，因此目标函数应该是一个与偏差有关的函数：
China University of Mining and Technology
运 筹 学
3. 目标的优先级与权系数
不同目标的主次轻重有两种差别：
目标规划的数学模型
一种差别是绝对的，可用优先因子Pj来表示。
只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低 级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不 允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。 优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比Pj+1对应的目 标有绝对的优先性。
第四章 目标规划1-2
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最 大的生产计划，具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
，建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x1 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件， 2 = 2 件，
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元.
解：设A、B、C三种产品的产量分别为 ， 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210，故单位工时的利润比例为20:18:21， 于是得目标规划模型为：
综上分析，可得目标规划的一般模型 （4.2 ） s.t. （4.3） （4.4） （4.5） （4.6） 其中，式（4.2）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个 优先等级，即 ， 是权系数， 是正负偏差变量；式 （4.3)是目标约束， 是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、 负偏差变量 ，但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ；式（4.4） 是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、财力等资源的约束；式（4.5）、 （4.6）是目标规划的非负约束.
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d + ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d − .
运筹学：目标规划
运筹学：⽬标规划
基本概念
概念解释
正偏差变量d+决策值超过⽬标值的部分
负偏差变量d−决策值未达到⽬标值的部分
绝对约束必须严格满⾜的约束
⽬标约束允许产⽣正/负偏差的约束，⽬标函数也可转化为⽬标约束
优先因⼦与权系数达到⽬标时有轻重缓急
⽬标规划的⽬标函数正负偏差变量赋予优先因⼦/权系数⽽构造的
⽬标规划的数学模型需要确定⽬标值、优先等级、权系数等具有主观性和模糊性的参数
图解法
按优先级⼀步步缩⼩范围，如果满⾜不了就只在临近点中取
单纯形法
检验数对每个优先因⼦排成⼀⾏，初态k=1，每次检查该⾏是否存在负数，并且对应列的前k−1 ⾏系数为 0，若有则进⾏换基操作，否则k++，若k=K则结束
确定换⼊变量：选择检验数最⼩的
确定换出变量：b 列⽐ a 列，最⼩⽐值原则，如果有多个相同就选择优先级别⾼的变量
Processing math: 100%。
第4章目标规划-第3-5节
案的10%； • P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4
； • P6——给B1和B3的供应率要相同； • P7——力求总运费最省。 • 试求满意的调运方案。
•
表4-10
•
解 上作业法求得最小运费的调运方案见表4-11。这 时得最小运费为2950元，再根据提出的各项目标的要 求建立目标规划的模型。
•
• 分析(2)，将变化了的优先等级直接反映 到表4-5上。再计算检验数，得表4-6。 然后进行迭代，直到求得新的满意解为 止。从表4-7中得到新的满意解x1*=4， x2*=12。
•
表4-6
•
第5节 应 用 举 例
• 例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方 案时，依次遵守以下规定：
• (1) 不超过年工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%，
返回到(2)。依此类推，直至得到最终表 为止。见表4-3。
表4-3
•
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解。 此解相当于图4-1的G点。
•
检查表4-3的检验数行，发现非基变量d3+的检验数为0 ，这表示存在多重解。在表4-3中以非基变量d3+为换 入变量，d1-为换出变量，经迭代得到表4-4。
第4章目标规划-第3t;>P2>>…>>PK；从每个检验数的
整体来看：检验数的正、负首先决定于 P1的系数α1j的正、负。若α1j=0，这时 此检验数的正、负就决定于P2的系数α2j 的正、负，下面可依此类推。
•
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
：
• (1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先 因子个数分别列成K行，置k=1。
； • P6——给B1和B3的供应率要相同； • P7——力求总运费最省。 • 试求满意的调运方案。
•
表4-10
•
解 上作业法求得最小运费的调运方案见表4-11。这 时得最小运费为2950元，再根据提出的各项目标的要 求建立目标规划的模型。
•
• 分析(2)，将变化了的优先等级直接反映 到表4-5上。再计算检验数，得表4-6。 然后进行迭代，直到求得新的满意解为 止。从表4-7中得到新的满意解x1*=4， x2*=12。
•
表4-6
•
第5节 应 用 举 例
• 例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方 案时，依次遵守以下规定：
• (1) 不超过年工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%，
返回到(2)。依此类推，直至得到最终表 为止。见表4-3。
表4-3
•
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解。 此解相当于图4-1的G点。
•
检查表4-3的检验数行，发现非基变量d3+的检验数为0 ，这表示存在多重解。在表4-3中以非基变量d3+为换 入变量，d1-为换出变量，经迭代得到表4-4。
第4章目标规划-第3t;>P2>>…>>PK；从每个检验数的
整体来看：检验数的正、负首先决定于 P1的系数α1j的正、负。若α1j=0，这时 此检验数的正、负就决定于P2的系数α2j 的正、负，下面可依此类推。
•
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
：
• (1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先 因子个数分别列成K行，置k=1。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
运筹学第四章目标规划-精品文档
• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:7
1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:9
3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:7
1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
浙江理工大学 经济与管理学院
管理运筹学
WXJ
Page:9
3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
管理运筹学第4章-目标规划
多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K
卫生管理运筹学第四章 目 标 规 划(3-4节)
d1 d1 0
（2）若检验数矩阵的Pi 中有负系数，且负系数所在列的 前i-1行优先因子的系数全为0 ( 例如 -P2 +223 P3 <0 ) ，可 判定该检验数为负，则选该系数（若此类负系数有多个， 则可选绝对值最大者）所在列对应的非基变量为入基变量 ，继续进行基变换． 如本题中初始基确定后，从检验数可 确定出x1为入基变量，经变换后，再从检验数行看出，P3
上次课讲授内容复习
第一节 目标规划的基本概念与数学模型
(一) 目标规划的基本概念
1. 决策变量与偏差变量 ２. 目标约束与绝对约束 ３. 目标规划的目标函数(达成函数) ４. 优先因子与权系数
（二）目标规划的数学模型
建立目标规划模型的步骤
第二节 目标规划的图解法
第三节 目标规划的单纯形解法
由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是 最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解．这时， 我们应该把目标优先等级系数Pi（i = 1, 2, …, k）理解 为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的关 系：P1» P2 » …» Pk．检验数就是各优先因子P1, P2 ,…, Pk 的 线 性 组 合 ， 当 所 有 检 验 数 都 满 足 最 优 性 条 件 （ C j c j z j 0 ）时，从最终表上即可得出目标规 划的解．
CB 0 0 0 d 2 P3 d3
cj XB x3 x1
j cj z j
0 0 0 0
d2
x3 x1 x2
j cj z j
表3-3 单纯形表 0 0 0 P1 0 0 b x1 x2 x3 d1 d1 d 2 60 0 20 1 -5 5 0 0 1 -2 0 1 -1 0 36 0 12 0 -4 4 1 48 0 [20] 0 -6 6 0 P1 0 0 0 1 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 P3 0 -20 0 6 -6 0 12 0 全部检验数非 0 1 1 -1 0 24/5 1负，计算结束。 0 0 2/5 -2/5 0 36/5 0 0 0 -2/5 2/5 1 12/5 0 1 0 -3/10 3/10 0 P1 0 0 0 1 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 P 0 0 0 0 0 0