第5章搜索与回溯算法C++版
算法分析搜索习题
输出：最大效益和方案
输入：
输出：
5
50
13 11 10 4 7
1：5
13 10 10 8 5
2：3
5 9774
3：4
15 12 10 11 5 10 11 8 8 4
4：1 5：2
15
分酒问题
A、B、C、D四个人在一起喝酒，共准备了 两瓶酒，各8两（瓶子刚好满），但他们只 准备了一个可以装3两酒的酒杯，现在请你 找出一个可行的方案，使得所有人刚好平 均喝掉这些酒。
回溯与分支限界习题
1
1、最大效益优先是（ A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法
）的一搜索方式。
2
2. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是 （ ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树
3
3．下面不是分支界限法搜索方式的是
（
）。
A、广度优先
B、最小耗费优先
12
12. 程序块（ ）是回溯法中遍历子集树的算法框 架程序。
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t;i<=n;i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (legal(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
A
张
王
Y
刘
孙
李
B
C
D
E
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
工作安排(task)
信息学奥赛培训教程C++版
目录青少年信息学奥林匹克竞赛情况简介 (5)第一章计算机基础知识 (7)计算机的基本常识 (7)计算机的产生与发展 (7)计算机系统及工作原理 (7)计算机中有关数及编码的知识 (8)>原码、反码与补码 (10)逻辑运算 (10)操作系统 (11)DOS(Disk Operating System)的组成 (11)DOS的文件和目录 (11)DOS命令 (12)Windows简介 (12)计算机网络常识 (13)*网络基础知识 (13)Internet简介 (14)计算机信息安全基础知识 (16)计算机的网络安全 (16)计算机病毒 (17)病毒的分类 (17)第2章C++编程简介 (19)机器语言、汇编语言和高级语言 (19)^C语言与C++的历史 (20)C++标准库 (20)结构化编程 (21)简单程序 (22)简单程序：两个整数相加 (25)算术运算 (27)判断：相等与关系运算符 (29)新型头文件与名字空间 (31)#第3章C++输入/输出流 (33)简介 (33)流 (33)iostream类库的头文件 (34)输入/输出流类和对象 (34)输出流 (35)流插入运算符 (35)连续使用流插入/流读取运算符 (37)《输出char*类型的变量 (37)用成员函数put输出字符和put函数的连续调 (38)3. 4 输入流 (39)流读取运算符 (39)成员函数get和getline (41)成员函数read、gcount和write的无格式输入/输出 (44)流操纵算子 (45)整数流的基数：流操纵算子dec、oct、hex和setbase (45)《设置浮点数精度(precision、setprecision) (46)设置域宽(setw、width) (47)用户自定义的流操纵算子 (48)流格式状态 (49)格式状态标志 (50)尾数零和十进制小数点(ios::showpoint) (50)对齐(ios::left、ios::right、ios::internal) (51)设置填充字符(fill、setfill) (53)^整数流的基数：(ios::dec、ios::oct、ios::hex、ios::showbase) (54)浮点数和科学记数法(ios::scientific、ios::fixed) (55)大/小写控制(ios::upercase) (56)设置及清除格式标志(flags、setiosflags、resetosflags) (57)流错误状态 (58)第4章文件处理 (61)简介 (61)文件和流 (61)~建立并写入文件 (61)读取文件中的数据 (65)更新访问文件 (67)第5章C++的字符串流 (68)流的继承关系 (68)字串流的输入操作 (68)字串流的输出操作 (69)字串流在数据类型转换中的应用 (70)(输入/输出的状态标志 (71)第6章控制结构 (74)简介 (74)算法 (74)控制结构 (74)if选择结构 (75)if/else选择结构 (76)while重复结构 (78)$构造算法：实例研究1(计数器控制重复) (78)构造算法与自上而下逐步完善：实例研究2(标记控制重复) (80)构造算法与自上而下逐步完善：实例研究3(嵌套控制结构) (85)赋值运算符 (88)自增和自减运算符 (88)计数器控制循环的要点 (91)for重复结构 (92)for结构使用举例 (94)~switch多项选择结构 (97)do/while重复结构 (101)break和continue语句 (102)逻辑运算符 (104)混淆相等(==)与赋值(=)运算符 (105)结构化编程小结 (106)第7章函数 (108)简介 (108)—数学函数库 (108)函数 (109)函数定义 (109)头文件 (112)作用域规则 (113)递归 (116)使用递归举例，Fibonacci数列 (118)递归与迭代 (120)—带空参数表的函数 (121)内联函数 (122)函数重载 (123)第8章数组 (125)简介 (125)数组 (125)声明数组 (126)使用数组的举例 (126)/将数组传递给函数 (137)排序数组 (141)查找数组：线性查找与折半查找 (142)多维数组 (147)第9章指针与字符串 (153)简介 (153)指针变量的声明与初始化 (153)指针运算符 (154)>按引用调用函数 (156)指针与常量限定符 (158)按引用调用的冒泡排序 (163)指针表达式与指针算法 (167)指针与数组的关系 (169)指针数组 (172)函数指针 (173)字符与字符串处理简介 (177)/字符与字符串基础 (177)字符串处理库的字符串操作函数 (179)第10章信息学奥赛中的常用算法 (185)算法简介 (185)枚举算法 (187)回溯算法 (191)递归算法 (193)递推算法 (196)；分治算法 (200)贪心算法 (202)搜索算法一（深度优先） (205)搜索算法二（广度优先） (209)动态规划法 (212)高精度计算 (215)附录 (228)ASCII表 (228)。
算法设计技巧与分析：第十讲 回溯法
2. 3. 节点是用深度优先搜索的方法生成的; 不需要存储整棵搜索树，我们只需要存储根到当前活 动节点的路径。事实上，根本没有生成有形的物理节 点，整棵树是隐含的。在上面的例子中，我们只需要 保存颜色指派的踪迹就可以了。
Algorithms Design Techniques and Analysis
怎么样开发出系统化的搜索技术？ 怎样能够将搜索空间减少到尽可能的小？
Algorithms Design Techniques and Analysis
回溯法的基本思想
（1）解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ，xi的取值范围为 有穷集Si 。把xi的所有可能取值组合，称为问题的解 空间。每一个组合是问题的一个可能解。
深度优先策略
• 确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始顶点（ 解空间树的根顶点）出发，以深度优先的方式搜索整 个解空间。这个开始顶点就成为一个活顶点，同时也 成为当前的扩展顶点。在当前的扩展顶点处，搜索向 纵深方向移至一个新顶点。这个新顶点就成为一个新 的活顶点，并且成为当前的扩展顶点。
Algorithms Design Techniques and Analysis
Algorithms Design Techniques and Analysis
搜索树
Algorithms Design Techniques and Analysis
Backtracking: Partial Coloring Scheme
• 如果没有两个邻接的着色顶点有同样的颜色，图的一 个不完全着色称为部分解。 • Idea:回溯法通过每次一个节点地生成基底树来工作。
《算法分析与设计》(李春葆版)课后选择题答案与解析
《算法及其分析》课后选择题答案及详解第1 章——概论1.下列关于算法的说法中正确的有（）。
Ⅰ.求解某一类问题的算法是唯一的Ⅱ.算法必须在有限步操作之后停止Ⅲ.算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或含义模糊Ⅳ.算法执行后一定产生确定的结果A.1个B.2个C.3个D.4个2.T(n)表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是（）。
A.T(n)=T(n-1)+1，T(1)=1B.T(n)=2nC.T(n)= T(n/2)+1，T(1)=1D.T(n)=3nlog2n答案解析：1.答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一类问题的算法不一定是唯一的。
答案为C。
2.答：选项A的时间复杂度为O(n)。
选项B的时间复杂度为O(n)。
选项C 的时间复杂度为O(log2n)。
选项D的时间复杂度为O(nlog2n)。
答案为C。
第3 章─分治法1.分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。
这要求原问题和子问题（）。
A.问题规模相同，问题性质相同B.问题规模相同，问题性质不同C.问题规模不同，问题性质相同D.问题规模不同，问题性质不同2.在寻找n个元素中第k小元素问题中，如快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分，如何选择划分基准？下面（）答案解释最合理。
A.随机选择一个元素作为划分基准B.取子序列的第一个元素作为划分基准C.用中位数的中位数方法寻找划分基准D.以上皆可行。
但不同方法，算法复杂度上界可能不同3.对于下列二分查找算法，以下正确的是（）。
A.intbinarySearch(inta[],intn,int x){intlow=0,high=n-1;while(low<=high){intmid=(low+high)/2;if(x==a[mid])returnmid;if(x>a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}return –1;}B.intbinarySearch(inta[],intn,int x) { intlow=0,high=n-1;while(low+1!=high){intmid=(low+high)/2;if(x>=a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}C.intbinarySearch(inta[],intn,intx) { intlow=0,high=n-1;while(low<high-1){intmid=(low+high)/2;if(x<a[mid])high=mid;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}D.intbinarySearch(inta[],intn,int x) {if(n>0&&x>=a[0]){intlow= 0,high=n-1;while(low<high){intmid=(low+high+1)/2;if(x<a[mid])high=mid-1;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;}return –1;}答案解析：1.答：C。
数据结构 (C语言版) (第二版)(目录)
数据结构（C语言版）（第二版）（目录）第1章导论
1 算法和数据结构
2 什么是数据结构
3 符号，引理，定理与证明
4 说明文篇
5 C语言和程序设计
6 总结
第2章算法分析
1 算法的衡量标准
2 时间和空间复杂度分析
3 运行时复杂度分析
4 递归分析
第3章线性表
1 一维数组
2 线性表
3 顺序表
4 链表
5 循环链表
6 树表
7 双向链表
第4章栈
1 栈的定义
2 栈的抽象数据类型
3 栈的基本操作
4 栈的应用——后缀表达式的求算
第7章树
1 树的定义
2 树的抽象数据类型
3 树的存储
4 树的遍历
5 二叉树
6 二叉排序树（搜索树）
7 平衡二叉树
8 哈夫曼树
9 图的存储
第8章查找
1 静态查找
2 哈希表
3 动态单值查找
第10章数据结构综合应用
1 树的遍历
2 贪心法
3 回溯法
4 分析与评价
附录 A C语言库
1 算法入口及时区函数
2 内存处理函数
3 字符串处理函数
4 文件处理函数
附录 B 内存分配方式。
算法设计与分析-回溯法
6.2.3n-皇后问题
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。 按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上
的棋子。n皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何两个皇后不 放在同一行或同一列或同一斜线上。 编程要求：找出一个n×n格的棋盘上放置n个皇后并使其不能互相攻击的所 有方案。
输入
第一个数据是背包的容量为c（1≤c≤1500），第二个数据是物品的数量为 n（1≤n≤50）。接下来n行是物品i的重量是wi，其价值为vi。所有的数据全 部为整数，且保证输入数据中物品的总重量大于背包的容量。
当c＝0时，表示输入数据结束。 输出
对每组测试数据，输出装入背包中物品的最大价值。
输入样例
使用C++标准模板库的排序函数sort()排序：
sort(Q, Q+n, cmp);
0/1背包问题之回溯算法的实现
//形参i是回溯的深度，从0开始 void backtrack(int i) { //到达叶子结点时，更新最优值 if (i+1>n) {
bestv = cv; return; } //进入左子树搜索 if (cw+Q[i].w<=c){ cw += Q[i].w; cv += Q[i].v; backtrack(i+1); cw -= Q[i].w; cv -= Q[i].v; } //进入右子树搜索 if (Bound(i+1)>bestv) backtrack(i+1); }
6.1.3回溯法的适用条件–多米诺 （Domino）性质
人工智能+搜索算法
4.1 关于搜索算法
Car 情报局
• 搜索及其执行也是人工智能技术的重要基础，是人工智能中经常遇到的最重要 的问题之一。许多算法专门通过列表进行搜索和排序。当然，如果数据按照逻 辑顺序组织，那么搜索就会比较方便一些。想象一下，如果姓名和电话号码随 机排列，那么搜索相对较大城市的电话簿会有多麻烦。因此，搜索和信息组织 在智能系统的设计中发挥了重要作用。例如人们认为，性能更好的国际象棋博 弈程序比同类型的程序更加智能。
在步骤2中，下一个生成的路径直接从V1到V2，它的代价（距离）是 1518km。这条直接的路径比通过V3的路径便宜，代价为 606km+914km=1520km。
4.2.3 贪婪算法
Car 情报局
– （3）V1到Ⅴ3便宜的路径是使用从V1到中间节点（Vi）以及从Vi到V3的最 便宜的路径构成的。此处，I等于V2；V1到V3代价最小的路径经过了V2，其 代价为1518km+1061km=2579km。然而，V1到V4的直接路径代价较低 （1539hn）。我们直接去了V4（杭州）。
Car 情报局
人工智能导论
Introduction to artificial intelligence
Car 情报局
搜索算法
1
关于搜索算法
2
盲目算法
3
知情搜索
4
受到自然启发的搜索
Car 情报局
第1节
1
关于搜索算法
Car 情报局
4.1 关于搜索算法
Car 情报局
• 搜索是大多数人日常生活中的一部分。我们恐怕都有过找不到钥匙、找不到电 视遥控器的经历，然后翻箱倒柜一番折腾。有时候，搜索可能更多的是在大脑 中进行的。你可能会突然不记得自己到访过的地方的名字、不记得熟人的名字， 或者不记得曾经谙熟于心的歌词。
(完整版)算法设计与分析C++语言描述(陈慧南版)课后答案
第一章15P 1-3. 最大公约数为1。
快1414倍。
主要考虑循环次数，程序1-2的while 循环体做了10次，程序1-3的while 循环体做了14141次（14142-2循环）若考虑其他语句，则没有这么多，可能就601倍。
第二章32P 2-8.（1）画线语句的执行次数为。
划线语句的执行次数应该理解为一格整体。
log n ⎡⎤⎢⎥(log )n O （2）画线语句的执行次数为。
111(1)(2)16jn i i j k n n n ===++=∑∑∑3()n O （3）画线语句的执行次数为 。
O （4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为，(1)(3)4n n ++当n 为偶数时画线语句的执行次数为 。
2(2)4n +2()n O 2-10.（1） 当时，，所以，可选，。
对于，1n ≥225825n n n -+≤5c =01n =0n n ≥，所以，。
22()5825f n n n n =-+≤22582()n n n -+=O （2） 当 时，，所以，可选 ，。
对于，8n ≥2222582524n n n n n -+≥-+≥4c =08n =0n n ≥，所以，。
22()5824f n n n n =-+≥22582()n n n -+=Ω（3） 由（1）、（2）可知，取，，，当时，有，所14c =25c =08n =0n n ≥22212582c n n n c n ≤-+≤以。
22582()n n n -+=Θ2-11. (1) 当时，，所以，。
3n ≥3log log n n n <<()20log 21f n n n n =+<3()log 2g n n n n =+>可选 ，。
对于，，即。
注意：是f (n )和g (n )的关系。
212c =03n =0n n ≥()()f n cg n ≤()(())f n g n =O（2） 当 时，，所以 ，。
可选4n ≥2log log n n n <<22()/log f n n n n =<22()log g n n n n =≥，。
第一章人工智能当中的搜索
状态空间、搜索图和解答路径的关系图
S0
问题全部状态空间
搜索空间 解路径
Sg
搜索问题（续）
• 讨论的问题： 有哪些常用的搜索算法。 问题有解时能否找到解。 找到的解是最佳的吗？ 什么情况下可以找到最佳解？ 求解的效率如何。
1.2 回溯策略
回溯策略是一种试探性策略，属于盲目搜索的一种。 它首先将规则给出一个固定的排序，在搜索时，对当 前状态（搜索开始时，当前状态是初始状态）依次检 测每一条规则，在当前状态未使用过的规则中找到第 一条可应用规则，应用于当前状态，得到的新状态重 新设置为当前状态，并重复以上搜索。如果当前状态 无规则可用，或者所有规则已经被试探过仍未找到问 题的解，则将当前状态的前一状态设置为当前状态。 重复以上搜索，直到找到问题的解，或者试探了所有 可能后仍找不到问题的解为止。
• 对任何一个状态，可使用的算符可能不止一个， 这样由一个状态所生成的后继状态就可能有多个。当 对这些后继状态使用算符生成更进一步的状态时，首 先应对哪个状态进行扩展呢？这取决于搜索策略，不 同的搜索策略的扩展顺序是不同的，这正是本章要讨
论的问题。
• 除了少数像“传教士与野人”这样的简单的问题 外，描述状态空间的图一般都很大，无法直观地画出， 只能将其视为隐含图，在搜索解答路径的过程中只画 出搜索时直接涉及到的节点和弧线，构成所谓的搜索 图。状态空间、搜索图和解答路径之间的关系，可以 用下图表示。
A(1,3)
(3,1) B(1,2) (3,2) A(3,2)
(3,3)
(1,3)
(1,2)
(2,2)
二阶梵塔的状态空间图
从初始节点(1, 1)到目标节点(2, 2)及(3, 3)的任何一条路径都是问题的一 个解。其中，最短的路径长度是3，它由3个操作组成。例如，从 (1, 1)开始， 通过使用操作A(1, 3)、B(1, 2)及A(3, 2)，可到达 (2, 2)。
算法与结构课件-第8章回溯法
下图为n=3和m=3时，问题的解空间树。
在回溯算法Backtrack中，当i>n时，表示算法已搜索至一个 叶结点，得到一个新的m着色方案，因此当前已找到的可m着色 方案数sum增1。当i≤n时，当前扩展结点Z是解空间树中的一个 内部结点。该结点有x[i]=1,2,…,m。对当前扩展结点Z的每一个 儿子结点,由函数 Ok检查其可行性，并以深度优先的方式递归地 对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树。
计算机算法设计与分析
Computer Algorithms Design & Analysis
第六章 回溯算法(Backtrack Algorithm)
★ 回溯法的算法框架 ★ 0/1背包问题 ★ 旅行售货员问题 ★ n后问题
问题的解空间
复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解 构成了问题的解空间。解空间也就是进行穷举的 搜索空间，所以，解空间中应该包括所有的可能 解。
E (10,20)
x3=1
x3= 0
J (10,20) K
F (5,15)
x3=1
x3=0 x3=1
(15,25)
L M (5,15)
N
G (0,0)
x3=0
O (0,0)
(15,35)
当前最优解 可行解
(15,35) (20,40)
中间计算结果
(20,40) (20,40)
(20,40)
旅行售货员问题
for (i=1; i<k; i++) if (x[k]= =x[i] | | abs(k-i)= =abs(x[k]-x[i])) return false; return true;
}
§5 图的着色问题