计算机图形学_ 光栅图形学算法(一)_22 直线扫描转换算法中点画线算法_
基本图形生成算法-直线圆弧
1 / max( x , y )
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——数值微分法
绘制直线时，要确定一个方向的增量为单位增量，即确定 画线的基本步进方向，另一个方向的增量由直线的斜率决
定。确定基本步进方向的依据是理想直线的斜率k。
DDA算法是一种增量算法，优点是直观、易于实现；
缺点是要做浮点运算和舍入取整，不利于硬件实现。
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斜率<=1时，以x为基本 步进方向，x方向每次步 进增量为1。
斜率>1时，以y为基 本步进方向，y方向 每次步进增量为1。
第二象限 第四象限
走笔 +Y 走笔 -Y Fk+1=Fk-|xA |
走笔 -X 走笔 +X Fk+1=Fk+|yA |
逐点比较法绘制直线.doc
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换
【注】递推公式的作用： 意义：简化计算过程，提高效率。 原则：尽可能以加减法代替乘除法。 方法：用当前点的偏差推算出走笔方向，并计算出下一
Fi 1 xA yi 1 y A xi 1
即第i+1点的偏差判别式为：
xA ( yi 1) y A xi Fi x A
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——逐点比较法
各象限的判别式
第三章 基本图形的扫描转换讲解
本章学习目标
扫描转换的基本概念 Jack Elton Bresenham简介 直线的扫描转换算法 圆的扫描转换算法
本章内容
直线的扫描转换 圆的扫描转换 本章小结
直线、圆、椭圆是二维场景中的最基本图形。尽管 MFC的CDC类已经提供了相关的绘制函数，但直接使用 这些函数仍然无法满足真实感图形绘制的要求。光栅扫 描显示器是画点设备，基本图形的光栅化就是在像素点 阵中确定最佳逼近于理想图形的像素点集，并用指定颜 色显示这些像素点集的过程。当光栅化与按扫描线顺序 绘制图形的过程结合在一起时，也称为扫描转换。本章 从基本图形的生成原理出发，使用绘制像素点函数实现 基本图形的扫描转换。绘制像素点函数的原型为
1,
(di 0) (di 0)
（3-3）3.1.3 递推公式来自1.中点误差项的递推公式
M(x i+2,y i+1.5）
M(x i+2,y i+0.5)
Pu
Pu
Pi(xi,yi）
Pd
Pd
（a）di<0
Pi(xi,yi） （b）di≥0 中点的递推
(1)当d<0时
di1 F(xi 2, yi 1.5)
k y y1 y0 x x1 x0
直线水平方向位移 ：
x x1 x0
直线垂直方向位移 ：
y y1 y0
理想直线将平面划分成三个区域：对于直线上的 点，F(x，y)＝0；对于直线上方的点，F（x，y）＞0； 对于直线下方的点，F（x，y）＜0。
假 设 直 线 的 斜 率 为 0≤k≤1 ， 则 |△x|≥|△y| ，
y
O
x
圆的扫描转换
计算机图形学——多边形的扫描转换（基本光栅图形算法）
计算机图形学——多边形的扫描转换（基本光栅图形算法）⼀、多边形扫描转换在光栅图形中，区域是由【相连的】像素组成的集合，这些像素具有【相同的】属性值或者它们位于某边界线的内部1、光栅图形的⼀个基本问题是把多边形的顶点表⽰转换为点阵表⽰。
这种转换成为多边形的扫描转换。
2、多边形的扫描转换与区域填充问题是怎样在离散的像素集上表⽰⼀个连续的⼆维图形。
3、多边形有两种重要的表⽰⽅法：（1）顶点表⽰：⽤多边形的定点序列来表⽰多边形优点：直观、⼏何意义强、占内存少、易于进⾏⼏何变换缺点：没有明确指出那些象素在多边形内，故不能直接⽤于上⾊（2）点阵表⽰：是⽤位于多边形内的象素集合来刻画多边形缺点：丢失了许多⼏何信息（eg:边界、顶点等）但是【点阵表⽰是光栅显⽰系统显⽰时所需的表现形式。
】多边形的扫描转换就是把多边形的顶点表⽰转换为点阵表⽰，即从多边形的给定边界出发，求出位于其内部的各个像素，并将帧缓冲器内的各个对应元素设置相应的灰度或颜⾊。
实际上就是多边形内的区域的着⾊过程。
4、多边形分类⼆、X扫描线算法X扫描线算法填充多边形的基本思想是按扫描线顺序，计算扫描线与多边形的相交区间，再⽤要求的颜⾊显⽰这些区间的象素，即完成填充⼯作。
区间的端点可以通过计算扫描线与多边形边界线的交点获得。
如扫描线y=3与多边形的边界相交于4点（2,3）、（4,3）、（7,3）、（9,3）这四个点定义了扫描线从x=2到x=4，从x=7到x=9两个落在多边形内的区间，该区间内像素应取填充⾊。
算法的核⼼是按x递增顺序排列交点的x坐标序列。
由此可得到扫描线算法步骤如下：算法步骤：1.确定多边形所占有的最⼤扫描线数，得到多边形定点的最⼩最⼤值（y min和y max）；2.从y min到ymax每次⽤⼀条扫描线进⾏填充；3.对⼀条扫描线填充的过程分为四个步骤：a)求交点；b)把所有交点按递增顺序排序；c)交点配对（第⼀个和第⼆个，第三个和第四个）；d)区间填⾊。
计算机图形学2
当 △x＞△y 时，让 x 从 x1 到 x2 变化，每
步递增 1，
那么，x 的变化可以表示为 xi+1＝xi＋1
y 的变化可以表示为 yi+1＝yi＋k
2.1.1 直线DDA算法 (Digital Differential Analyser)
用上式可求得图中直线 P1P2 和 y 向网格线的交点， 但显示时要用舍入, 找到 最靠近交点处的象素点耒 表示。 当 △x<△y 时，让 y 递 增 1，x作相应变化。
2.1.1 直线的扫描转换——中点画线算法
在d≥0时，取正右方像素点P1，则下一个中点M 坐标：M1(xp+2,yp+0.5)，则下一个像素点的判 别式 d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=d+a 故d的增量为a。
而若d<0，则取右上方像素点P2,则下一个中点M 坐标：M2(xp+2,yp+1.5)，则下一个像素点的判 别式
2.1.2 直线Bresenham算法( 续）
求误差的初值P1，可将x1、y1和b代入式(2.4)中的xi、 yi而得到 P1 = 2dydx 综述上面的推导，第1a象限内的直线Bresenham算法 思想如下： ⒈ 画点(x1, y1)，dx=x2x1，dy=y2y1，计算误差初值 P1=2dy dx，i=1； ⒉ 求直线的下一点位置 xi+1 = xi + 1 如果Pi>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi； ⒊ 画点(xi+1, yi+1)； ⒋ 求下一个误差Pi+1，如果Pi>0，则Pi+1=Pi+2dy2dx， 否则 Pi+1=Pi+2dy； ⒌ i=i+1；如果i<dx+1则转步骤2；否则结束操作。
计算机图形学_ 光栅图形学算法(一)_24 多边形扫描转换X扫描线算法_
x
d、区间填色：把这些相交区间内的 像素置成不同于背景色的填充色
当扫描线与多边形顶点相交时，交点的取舍问题（交点的个数 应保证为偶数个）
y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 x
解决方案：
y
（1）若共享顶点的两条边分别落
12 11
x
算法的核心是按X递增顺序
排列交点的X坐标序列。由 y P7
此，可得到X-扫描线算法步
12 11
骤如下：
10 9
P6
P5
8
（3）对一条扫描线填充的过
7 6
P1
P3
5
程可分为四个步骤：
4 3
2
a、求交：计算扫描线与多边
1
1 2P23 4 5 6 7 8P4 9 101112 x
形各边的交点
b、排序：把所有交点按递增 顺序进行排序
任意两顶点间的连线均在多边形内
（2）凹多边形 任意两顶点间的连线有不在在多边形内
（3）含内环的多边形 多边形内包含多边形
现在的问题是，知道多边形的边界，如何找到多边形内部 的点，即把多边形内部填上颜色
P2
P3
P4
P1 P6
P5
顶点表示
点阵表示
1、X-扫描线算法
X-扫描线算法填充多边形的基本思想是按扫描线顺序，计算 扫描线与多边形的相交区间，再用要求的颜色显示这些区间 的像素，即完成填充工作
区间的端点可以通过计算扫 描线与多边形边界线的交点 获得
扫描线
交点 交点
交点
交点
如扫描线y=3与多边形的边界相 y
交于4点：
11
直线光栅化 算法
直线光栅化算法1. 概述直线光栅化算法是计算机图形学中常用的一种算法，用于将抽象的直线表示转化为具体的像素点绘制。
通过对直线的各个点进行逐一计算，可以将直线在屏幕上精确地表示出来。
本文将介绍直线光栅化算法的基本原理、具体实现过程以及一些常见优化方法。
2. 直线光栅化算法的原理直线光栅化算法的基本原理是利用数学公式计算直线上各个像素点的坐标，并将其绘制在屏幕上。
直线的坐标由两个点确定，即起点和终点。
下面是直线光栅化算法的基本步骤：2.1 计算斜率与步长首先，根据给定的起点和终点，需要计算直线的斜率和步长。
直线的斜率可以通过以下公式计算：斜率 = (终点的纵坐标 - 起点的纵坐标) / (终点的横坐标 - 起点的横坐标)步长指的是在横坐标上每前进一个单位，纵坐标需要前进多少单位。
步长的计算可以根据直线斜率的正负进行分类讨论。
2.2 根据步长逐点绘制直线在计算了直线的斜率和步长之后，可以按照以下步骤绘制直线：1.初始化当前点的坐标为起点的坐标；2.根据步长的正负，依次对当前点的横坐标和纵坐标进行加减操作，以逐点向终点绘制；3.在每个点的位置上绘制像素。
3. 直线光栅化算法的实现3.1 Bresenham算法Bresenham算法是直线光栅化算法的一种经典实现方式。
它的基本思想是通过递推方式，根据当前点的坐标和斜率来选择下一个像素点的位置。
下面是Bresenham算法的具体实现步骤：1.初始化起点的坐标和终点的坐标；2.计算直线的斜率和步长；3.计算像素点的位置，并绘制像素；4.根据当前点位置和斜率的大小关系，更新下一个像素点的坐标。
Bresenham算法的优点是计算简单，适用于直线斜率大致在0到1之间的情况。
3.2 DDA算法DDA算法是另一种常用的直线光栅化算法，它的基本思想是通过逐点增量的方式来计算直线上的像素点坐标。
下面是DDA算法的具体实现步骤：1.初始化起点的坐标和终点的坐标；2.计算直线的斜率和步长；3.根据步长逐点增量，计算下一个像素点的坐标；4.绘制像素点。
(计算机图形学)基本图形的扫描转换
2.中点误差项的初始值
直线的起点坐标为P0(x0,y0)，x为主位移方向。因此， 第一个中点是M (x0+1,y0+0.5)，相应的di的初始值为：
d 0 F ( x0 1, y0 0.5) y0 0.5 k ( x0 1) b
y 0 kx0 b k 0.5
(1)当di<0时，下一步的中点坐标为M（xi+2， yi+1.5），下一步中点误差项为
di 1 F ( xi 2, yi 1.5) yi 1.5 k ( xi 2) b
yi 0.5 k ( xi 1) b 1 k
di 1 k
BOOL SetPixelV(int x, int y, COLORREF crColor);
直线、圆、椭圆的扫描转换主要使用Bresenham算法实现。
Bresenham算法最初是为数字绘图仪提出，但同样适用于光栅显示 器。
Jack Elton Bresenham
Plotter movement
颜色渐变直线
void CTestView::CLine(CDC *pDC) { CPoint p0(-100,-50),p1(200,50),p; int dx=p1.x-p0.x,dy=p1.y-p0.y; double k,d; k=(double)dy/dx; d=0.5-k; double dc=1/(double)dx; for(p=p0;p.x<p1.x;p.x++)//不包括终点p1 { double r,g,b; r=(1-(p.x-p0.x)*dc),g=0,b=(p.x-p0.x)*dc; pDC->SetPixelV(p,RGB(r*255,g*255,b*255)); if(d<0) { p.y++; d+=1-k; } else d-=k; } }
光栅图形学算法
光栅图形学算法光栅图形学算法基础其二（裁剪算法）光栅图形学算法的研究内容直线段的扫描转换算法多边形的扫描转换与区域填充算法直线裁剪算法反走样算法消隐算法一、裁剪简述使用计算机处理图形信息时，计算机内部存储的图形往往比较大,而屏幕显示的只是图形的一部分。
因此需要确定图形哪些部分落在显示区之内，哪些落在显示区之外。
这个选择的过程就称为裁剪。
常见的裁剪方式有点的裁剪、以及直线段的裁剪。
1、点的裁剪最简单的裁剪方法是把各种图形扫描转换为点之后，再判断点是否在窗口内。
对于任意一点P（x，y），若满足下列两对不等式：则点P在矩形窗口内；否则，点P在矩形窗口之外。
判断图形中每个点是否在窗口内，太费时，一般不可取。
2、直线段的裁剪直线段裁剪算法复杂图形裁剪的基础。
?直线段和剪裁窗口的可能关系：完全落在窗口内完全落在窗口外与窗口边界相交 ?要裁剪一条直线段，首先要判断：（1）它是否完全落在裁剪窗口内？?（2）它是否完全在窗口外？（3）如果不满足以上两个条件，则计算它与一个或多个裁剪边界的交点。
常用的裁剪算法有三种，即Cohen-Sutherland、中点分割法和 Liang-Barsky 裁剪算法。
1） Cohen - Sutherland算法此算法又称编码裁剪算法，算法的基本思想是对每条直线段分三种情况处理：若点p1和p2完全在裁剪窗口内。
“简取”之?若点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)均在窗口外，且满足下列四个条件之一：如果直线段既不满足“简取”的条件，也不满足“简弃”的条件？需要对直线段按交点进行分段，分段后判断直线是“简取”还是“简弃”。
每条线段的端点都赋以四位二进制码D3D2D1D0，编码规则如下：若XXleft，则D0=1，否则D0=0若XXright，则D1=1，否则D1=0若yybottom，则 D2=1，否则 D2=0若yytop，则 D3=1，否则 D3=0 窗口及其延长线所构成了9个区域。
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yi1 yi k
这个算法是否最优呢？若非最优，如何改进？
（1）改进效率。这个算法每步只做一个加法，能 否再提高效率？
yi1 yi k
一般情况下k与y都是小数，而且每一步运算都要对y 进行四舍五入后取整。 唯一改进的途径是把浮点运算变成整数加法!
假定：0≤|k|≤1。因此，每次在x方向上加1，y方向 上加1或不变需要判断。
Pu ( x i 1, y i 1)
ideal line
Pi ( x i , y i )
Pd ( x i 1, y i )
ideal line
Pu ( x i 1, y i 1) Q
M midpoint
( x i 1, y i 0.5)
（2）第二个思路是从直线方程类型做文章
y kx b
而直线的方程有许多类型，如两点式、一般式等。 如用其它的直线方程来表示这条直线会不会有出人 意料的效果？
直线绘制的三个著名的常用算法 1、数值微分法（DDA） 2、中点画线法 3、Bresenham算法
中点画线法
直线的一般式方程： F (x, y) 0 Ax By C 0
如何判断Q在M的上方还是下方？
ideal line
Pu ( x i 1, y i 1) Q
M midpoint
( x i 1, y i 0.5)
P ( xi, y i )
Pd ( x i 1, y i )
把M代入理想直线方程：
F ( x m , y m ) Ax m By m C
d i F ( x m , y m ) F ( x i 1, y i 0.5) A ( x i 1) B ( y i 0 .5) C
其中： A (y); B (x); C B(x)
Байду номын сангаас y
F ( x, y) 0
F (x, y) 0
x
F(x, y) 0
• 对于直线上的点： • 对于直线上方的点： • 对于直线下方的点：
F (x, y ) 0 F (x, y) 0 F (x, y) 0
每次在最大位移方向上走一步，而另一个方向是走 步还是不走步要取决于中点误差项的判断。
d是x,y的线性函数，采用增量计算是可行的
如何推导出d值的递推公式？
pu(xi+1, yi+1)
y 1 y
y
M1 (xi+2, yi+1.5)
(d 0 ) (d 0 )
p(xi, yi)
M0 (xi+1, yi+0.5) pd(xi+1, yi)
d 0 F ( xm 0 , y m 0 ) F ( x i 1, y i 0.5) A( xi 1) B( y i 0.5) C
至此，中点算法至少可以和DDA算法一样好！
可以用2d代替d来摆脱浮点运算，写出仅包含整数运 算的算法。
这样，中点生成直线的算法提高到整数加法，优于 DDA算法。
小结
（1） Ax By C 0 (2) 通过判中点的符号，最终可以只进行整数加法
这个算法是否还有改进的余地？
为了求出d值，需要两个乘法，四个加法
能否也采用增量计算，提高运算效率呢？
增量
d i1 d i ?
分析一下中点画线算法的计算量
y 1 y
y
(d 0 ) (d 0 )
d i A ( x i 1) B ( y i 0 .5) C
能否也采用增量计算，提高运算效率呢？
增量
d i1 d i ?
当d <
MPQ在uQy下方1。
( d 应
0时：y yM M在Q下方0
0 )
应) 取，取PuP。u
这就是中点画线法的基本原理
当d > 0 时：
M
Q
M在Q上方，应取Pd
Pd
当d = 0时： M在直线上，选pd或pu均可。
下面来分析一下中点画线算法的计算量？
y 1 y
y
(d 0) (d 0)
d i A ( x i 1) B ( y i 0 .5) C
M(x0+1, y0+ 0.5) P0(x0,y0)
d 0 F ( x 0 1, y 0 0 .5 )
A ( x 0 1) B ( y 0 0 .5) C Ax 0 By 0 C A 0 .5 B
A 0 .5 B
d new
d
old
d old
A B A
d0 d0
d 0 A 0 .5 B
M0 (xi+1, yi+0.5) pd(xi+1, yi)
A( xi 2) B ( y i 1.5) C
A( xi 1) B ( y i 0.5) C A B
d0 A B
y 1 y
y
(d 0 ) (d 0 )
pu(xi+1, yi+1)
(xi+2, yi+0.5)
M0 (xi+1, yi+0.5)
M1
p(xi, yi) d 1 F ( xi 2, y i 0.5)
A( xi 2) B( y i 0.5) C
pd(xi+1, yi)
A( xi 1) B( y i 0.5) C A d0 A
下面计算d的初始值d0，直线的第一个像素P0(x0,y0) 在直线上，因此相应的d的初始值计算如下：
d 0 F ( xm 0 , y m 0 ) F ( x i 1, y i 0 .5) A(xi 1) B( yi 0.5) C
d1 F (xm1, ym1) F ( x i 2, y i 1.5)
p(xi, yi)
M1 pu(xi+1, yi+1) (xi+2, yi+1.5
P ( xi, y i )
Pd ( x i 1, y i )
当M在Q的下方，则Pu离直线近，应为下一个象素点
当M在Q的上方，应取Pd 为下一点。
ideal line
Pu ( x i 1, y i 1) Q
M midpoint
( x i 1, y i 0.5)
P ( xi, y i )
Pd ( x i 1, y i )