高数高等数学微分练习题与答案详细讲解(南风暖心)

1 / 12 第二节 微分 §2.1 微分的概念 一、微分概念的引入 在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。例如x0为准确数，实际测量出是x*＝x0＋Δx为x0的近似数，由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，往往需要估计Δy的值。如果f(x0＋Δx)，f(x0)计算很复杂。因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差｜Δx｜≤δ，又如何估计Δy? 假设f′(x)存在，则

0xlimx)x(f)xx("f00＝0xlimxy＝f′(x０)，有

xy＝f′(x０)＋α，0xlimα＝0，于是

Δy＝f′(x0)Δx＋αΔx，而0xlimxx＝０ (1)即 αΔx＝0(Δx)(Δx→0)因此，当｜Δx｜很小时， Δy≈f′(x0)Δx 在实际中如果不知道x0，只知道x*，由x0，x*相差很小，则 Δy≈f′(x*)Δx，从而可以估计出Δy。 从(1)式我们看到，f′(x0)相对Δx是一个常数，αΔx是Δx的高阶无穷小，如果Δy＝AΔx＋0(Δx)(Δx→0)，则Δy≈AΔx，由此得到微分的概念。 二、微分的概念 2 / 12

定义 设y＝f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)可表示为 Δy＝AΔx＋o(Δx) (Δx→0) 其中A是写Δx无关的常数，AΔx称为Δy的线性部。则称y＝f(x)在点x处可微，称线性部AΔx为y＝f(x)在点x处的微分，记为dy，即dy＝AΔx。 三、可微与可导的关系 从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。因此有 定理 函数y＝f(x)在点x可微的充要条件是函数y＝f(x)在点x处可导。且A＝f′(x)。 证 充分性，由f(x)在点x处可导，有

0xlimxy＝f′(x)，于是

xy＝f′(x)＋α，其中0xlimα＝0，有

Δy＝f′(x)Δx＋αΔx，由0xlimxy＝0，有αΔx＝o(Δx)(Δx→0) 所以 Δy＝f′(x)Δx＋o(Δx) (Δx→0) 因此，y＝f(x)在点x处可微且f′(x)＝A。 必要性 由y＝f(x)在点x处可微，由定义知 Δy＝AΔx＋0(Δx) (Δx→0)，A与Δx无关。 3 / 12

由0xlimxy＝0xlim［A＋x)x(O］＝A＝f′(x) 所以y＝f(x)在点x处可导。 于是，若y＝f(x)在点x处可微，则 dy＝AΔx,由A＝f′(x)，有 dy＝f′(x)Δx 由函数x在x处可微，则dx＝(x)′Δx＝Δx，即自变量的改变量等于自变量的微分，因此

dy＝f′（x）dx等价于dxdy＝f′(x) 由此可见，导数f′(x)等于函数y＝f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商。因此，导数又称为微商，这时dxdy不仅可以看成一个整体记号，也可以看成dy与dx的商。 下面举几个例子，来说明微分的一些实际意义 (1) 圆面积S＝πr2，其中r为圆半径，则 图2-6 ΔS＝π(r＋Δr)2－πr2＝2πrΔr＋π(Δr)2 ds＝2πrΔr＝2πrdr 当半径有增量Δr时，圆面积的增量ΔS，如图中圆环表示，用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似。如图2-7 图2-7 (2)圆柱体体积V＝πr2h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱的4 / 12

高 Δv＝π(r＋Δr)2h－πr2h ＝2πrhΔhΔr＋πh(Δr)2 dv＝2πrhΔr＝2πrhdr 图2-8 当底面半径有增量Δr时，圆柱体的增量Δv，如图中空心圆柱表示，用微分dv近似，即底面长为2πr(圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积。如图2-9

(3)球的体积v＝34πr3(其中r为地球半径)，当半径有增量Δr时，球体积的增量(即薄球壳的体积Δv) ΔV＝34π(r＋Δr)3－34πr3

＝34π［r3＋3r2Δr＋3rΔr3－πr3］ ＝4πr2Δr＋(4rπΔr＋34πΔr2)Δr dv＝4πr2Δr 即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似。 四、微分的几何意义 若y＝f(x)在点x处可微，则 Δy＝f′(x)Δx＋o(Δx)＝dy＋o(Δx) 5 / 12

图2-9 及PT中曲线y＝f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα＝f′(x) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝NQ dy＝f′(x)Δx＝tanαΔx＝NT 图2-10 o(Δx)＝Δy－dy＝NQ－ＮＴ＝TQ 由dy≈Δy，即 NT≈NQ，则

｜PT｜＝22NTx≈22NQx＝｜PQ｜≈｜PQ｜

因此，当｜Δx｜很小时，可用线段NT近似代替NQ，或者说在P

点邻近，可用切线段PT近似代替曲线弧PQ。 §2.2 微分的基本性质 一、微分基本公式 由dy＝f(x)dx，将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx，便得相应的微分公式(公式略，请读者写出来)。 二、微分的四则运算 定理 设u(x)，v(x)在点x处均可微，则

u±v，uv，cu(c为常数)，vu (v≠0)在点x处都可微，且 6 / 12

1。 d(u±v)＝du±dv 2。 d(uv)＝vdu＋udv特别d(cu)＝cdu(c为常数)

3。 d(vu)＝2vudvvdu (v≠0)，特别d(v1)＝－2vdv (v≠0)

注：微分的四则运算与导数的四则运算类似，只须把导数四则运算中的导数改成微分，就可得到微分的四则运算。

证3 d(vu)＝(vu)′dx＝2v'uvv'udx ＝2vdx'uvvdx'u＝2vudvvdu (v≠0) 三、一阶微分不变形 定理 若u＝φ(x)在x处可微，y＝f(u)在点u(u＝φ(x))处可微，则复合函数 y＝f(φ(x))在点x处可微，且 dy＝f′(u)du 证：由复合函数的求导法则知，y＝f(φ(x))在点x处可导，所以在点x处可微，且 dy[WB]＝f′(φ(x))φ′(x)dx ＝f′(φ(x))dφ′(x) ＝f′(u)du dy＝f′(u)du，即这里u是中间变量，它与当x是自变量，y＝f(x)在点x处可微，dy＝f′(x)dx形式一样。我们称之为微分的一阶不变性。 7 / 12

例1. y＝e)xxsin(2 解法一 由y′＝e)xxsin(2cos (x2＋x)·(2x＋x21)

于是 dy＝y′dx＝e)xxsin(2cos (x2＋x)(2x＋x21)dx 解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性 dy＝de)xxsin(2＝e)xxsin(2dsin(x2＋x) ＝e)xxsin(2cos (x2＋x)d(x2＋x) ＝e)xxsin(2cos (x2＋x)［d(x2)＋dx］ ＝e)xxsin(2cos (x2＋x)［2xdx＋x21dx］

＝e)xxsin(2cos(x2＋x)(2x＋x21)dx 从这里也可得到y′＝e)xxsin(2cos (x2＋x)(2x＋x21) 例2. 求由方程2y－x＝(x－y) ln（x－y）所确定的函数y＝y(x)的微分dy 解 对方程两端求微分 d(2y－x)＝ln (x－y)d(x－y)－（x－y）dln(x－y)得 2dy－dx＝ln(x－y)(dx－dy)－(dx－dy)解出dy，有

dy＝yx2xdx

例3. )t(y)t(x 利用微分求dxdy，22dxyd 8 / 12

解：dxdy＝)t(d)t(d＝dt)t('dt)t('＝)t(')t('＝y′ 从这里可以看出，只要求ψ′(t)，φ′(t)存在且φ′(t)≠0，dxdy存在

22dxyd

＝dx'dy＝)t(d)t(')t('d＝dt)t(')]t('[)t(")t(')t')t("2dt

＝3)]t('[)t(")t(')t')t(" §2.3 近似计算与误差估计 一、近似计算 若y＝f(x)在点x0处可微，即 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx＋o（Δx） (Δx→0) 当｜Δx｜很小时，有 Δy≈f′(x0)Δx (1) 即f(x0＋Δx)）－f(x0)≈f′(x0)Δx，则 f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx (2) (1)式为我们提供计算Δy近似值的公式 (2)式为我们提供计算f(x0＋Δx)近似值的公式 特别x0＝0有f(Δx)≈f(0)＋f′(0)Δx 设Δx＝x，若｜x｜很小时，有