高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导

数训练题

The latest revision on November 22, 2020

高考文科数学专题复习导数训练题（文）

一、考点回顾和基础知识

1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.

2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.

3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.

在0x 处有增量称为函数0x x =，即

f ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

*复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=

或x u x u y y '''?=

4.几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '

1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x

x 1)(ln '= e x

x a a log 1)(log '= 二、经典例题剖析考点一：求导公式

例1)(/x f 是123

)(3++=x x x f 的导函数，则=-)1(/f .

考点二：导数的几何意义

例2. 已知函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是22

+=x y ，则=+)1()1(/f f . 考点三：导数的几何意义的应用

例3.已知曲线,23:23x x x y C +-=直线,:kx y l =且直线l 与曲线C 相切于点()(),0,000≠x y x 求直线

l 的方程及切点坐标. 考点四：函数的单调性

例4.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值. (1)求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间；

(2)若对于任意的[],3,0∈x 都有)(x f <2c 成立，求c 的取值范围. 考点五：函数的最值

例5.已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=(1)求导数)(/x f ；(2)若,0)1(/=-f 求)(x f 在区间[]2,2-上的最值. 考点六：导数的综合性问题

例6. 设函数)0()(3≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图象在点())1(,1f 处的切线与直线076=--y x 垂直，导函数.12|)(min /-=x f (1)求c b a ,,的值；

(2)求函数)(x f 的单调递增区间，并求函数)(x f 在[]3,1-上的最大值和最小值. 例7．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[]1,0上是增函数,在区间()()+∞∞-,1,0,上是减函数，又

1322

f ??'= ???．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．例8．设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点

(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；

（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9．已知),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=在()0,∞-上是增函数,[]3,0上是减函数,方程0)(=x f 有三

个实根，它们分别是.,2,βα(1)求b 的值，并求实数a 的取值范围；(2)求证：βα+≥.2

三、方法总结（一）方法总结

导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述．（二）高考预测

导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意

义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题．四、强化训练

1．已知曲线42x y =的一条切线的斜率为2

，则切点的横坐标为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a （）（A ）2

（B ）3

（C ）4

（D ）5

3．函数323

2)(x x x f -=在区间[]6,0上的最大值是（）

A ．32

B ．163

C ．12

D ．9

4．三次函数x ax y +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）

A ． 0>a

B ．0

C ．1=a

D ．3

a 5．在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4

的点中,坐标为整数的点的个数是（）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

6．已知函数,)(23c bx ax x x f +++=当1-=x 时，取得极大值7；当1-=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值．

7．设函数).()(23R x cx bx x x f ∈++=已知)()()(/x f x f x g -=是奇函数. （1）求c b ,的值；（2）求)(x g 的单调区间与极值.

8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

9．已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数. (I)对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；

(II)设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 10．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．(I)求()f x 的最小值()h t ；

(II)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围． 11．设函数).,(4)1(3

)(23

R b a b ax x a x x f ∈+++-= (I)若函数)(x f 在3=x 处取得极小值,2

求b a ,的值；(II)求函数)(x f 的单调递增区间；

(III) 若函数)(x f 在)1,1(-上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．

12．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意R x ∈，都有)(x f ≥,x 且当)

3,1(∈x 时，有)(x f ≤2)2(8

+x 成立．(I)试求)2(f 的值；(II)若,0)2(=-f 求)(x f 的表达式；

(III)在(II)的条件下，若[)+∞∈,0x 时，)(x f >4

2+x m 恒成立，求实数m 的取值范围．

13．已知函数).,(4)(,6)23(2

3)(223R m a m x ax x g x x a x a x f ∈-+-=++-=

(I)当[]3,0,1∈=x a 时，求()f x 的最大值和最小值；

(II)当a <2且0≠a 时，无论a 如何变化，关于x 的方程)()(x g x f =总有三个不同实根，求m 的取值范围．

例题参考答案

例1 3；例2 3；例3 ??

??--=83,23,41x y ；例4 (1) ,4,3=-=b a 增区间为()()+∞∞-,2,1,；减区间为

()2,1，

(2) ()()+∞-∞-,91, ；例5 (1),423)(2/--=ax x x f (2).27

)34()(,29)1()(min max -===-=f x f f x f ；

例6 (1).0,12,2=-==c b a (2) ()()

.28)2()(,18)3()(;,2,2,min max -====+∞-∞-f x f f x f ；例7解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，

即0320c a b c =??++=?，，解得032

c b a =???=-??，

．

2()33f x ax ax '∴=-，133324

22a a f ??'∴=-= ???，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．

（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，(21)(1)0x x x ∴--≥，1

x ∴≤≤或1x ≥．

又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，1

m ∴<≤．

例8解：（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且

2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．

所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，

处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．

令()0f x '=，解得3

x =

或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．

（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：

因此，函数()f x 在3

x =

处取得极小值3a f ??

???

，且34327a f a ??

=- ???

；

函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：

因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3

x =

处取得极大值3a f ??

???

，且34327a f a ??

=- ???

．

（Ⅲ）证明：由3a >，得

>，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①

设2

11()cos cos cos 24g x x x x ?

?=-=-- ??

?，则函数()g x 在R 上的最大值为2．

要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．

所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9解：(1))(,23)(2/x f b x ax x f +-= 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，所以当0=x 时，)(x f 取得极小值，

又方程0)(=x f 有三实根，023)(.02/=+-=∴≠∴b x ax x f a 的两根分别为.32

,021a

x x =

= 又)(x f 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，)(/x f ∴>0在()0,∞-上恒成立，)(/x f <0在

[]3,0上恒成立．

由二次函数的性质知，a >0且