福建省厦门双十中学2020-2021学年第一学期高三期中考试数学试题
福建省厦门双十中学2021届高三上学期半期考试试卷满分150分考试时间120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是A ．11,03⎧⎫-⎨⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是A ．11b b a a +>+B ．11a b a b +>+C ．11a b b a +>+D ．11b a b a->-3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是A ．9B ．10C ．12D ．134．已知函数()=f x 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是A ．(]0,2B ．[]2,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π 3.14=，精确到0.1）A ．609.4gB ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为A ．5B ．215C ．516D ．6547．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为A ．127B ．83C ．4D ．68．已知()()sin 0x f x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到()g x 的图象，若()g x 在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90,B F ∠=∠=︒60,45,A D BC DE ∠=︒∠=︒=，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是A ．直线BC ⊥面OFMB ．AC 与面OFM 所成的角为定值C ．设面ABF 面MOF l =，则有l ∥ABD ．三棱锥F COM -体积为定值.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =+-，则关于数列{}n a 说法正确的是A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n=+11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（）A ．623z y x>>B ．121x y z+=C．(3x y z+>+D ．28xy z >12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a 、b 、c 成等比数列B．sin :sin :sin 2:1:A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于▲.公众号：学习界的00714．若π1sin 33α-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 23α+=⎛⎫⎪⎝⎭▲．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，BC =，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为▲.16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为▲.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②1n n a a +-=；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________．（1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132nT ≤<．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且2sin cos sin b A B a B +.（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC的中点，若BD =，求a c +的取值范围.19．如图,矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直,//AB CD ,90ABC ADB ︒∠=∠=,1,2CD BC ==.（1）求证://BE 平面DCF ;（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°?20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.公众号：学习界的007双十中学2021届高三上学期半期考试参考答案1．A 2．C 3．A 4．B 5．C6．A 7．D 8．A 9．ABC10．ABD11．BCD12．BC ；13．3214．79-15．32π16．(]0,1；17．（本小题满分10分）【解析】（1）选①：由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得11411++++=+n n a a n n n，即11141+++-=+n n a a n n，又1141+=a ，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列，所以14+=n a n n，所以241=-n a n ；选②：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ；选③：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ (84)(812)123n n =-+-+++ [(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ；（2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+，因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=，综上1132n T ≤<．18．（本小题满分12分）【解析】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，因为2sin 3cos sin b A a B a B =+，所以sin cos()6b A a B π=-，所以sin cos()6a B a B π=-，即sin cos()6B B π=-，即31sin cos sin 22B B B =+，可得tan 3B =，又因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====，在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos 3a c ac π=+-，即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，由基本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤，即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤（当且仅当2a c ==取等号号）又由AE AB BE +>，即3a c +>，公众号习界的007故a c +的取值范围是.19．（本小题满分12分）【解析】(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ︒∠=,依据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知AD =.在CBD 中,可得BD =.所以各点坐标为(0,0,0),,),(0,0,)D A B C E h F h ⎛⎫⎪⎝⎭.)BE h = ,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z = ,所以00x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,化简得20y xz =⎧⎨=⎩,令1x =得n = ，得0BE n ⋅= ,故BE n ⊥ .又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF .(法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且AB AE A = ,CD DF D ⋂=,AB ､AE 在面ABE 上,CD ､DF 在面CDF 上,故面//ABE 面CDF .又BE 在面ABE 上，且BE 不在面CDF 上,故//BE 面CDF .(2),(2)DA BC BE ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，设面BCE 法向量为(,,)n x y z = ,所以00x y hz ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩,化简得255x y z h =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令y h =,得(2,n h h =- .由题得||cos452||||DA n n DA ︒⋅=== .故5133h =±,因为h 为正,所以5153AD h ==.20．（本小题满分12分）【解析】（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=,当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立,∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000；当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=,∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）．∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=．21．（本小题满分12分）【解析】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12c e a ==，所以2a c =，联立解得2a =，1c =，所以b ==所求椭圆方程为22143x y +=.（2）若存在满足条件的点(),0Q t .当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，联立22143x y +=，消y 得()22223484120kxk x k +-+-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+x ，∵()()()()()()122112121211QM QNk x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=----()()()()222212122222121222818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x tt t k k+--+-+++++==⋅--++-+++公众号：学习界的007()()()()()()222222222282481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=⋅=--++-+-，∴要使对任意实数k ，QM QN k k +为定值，则只有4t =，此时，0QM QN k k +=.当直线l 与x 轴垂直时，若4t =，也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点()4,0Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.22．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞，可得2222121()1a x ax f x x x x -+'=-+=，令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+.①当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时，>0∆，令()0f x '=，得1x a =-2x a =+（i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（ⅱ）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增；若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a -和()a +∞，上()f x单调递增；在(a a -+()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x =--+，由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤，要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-，即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈，则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x--+---'=--+==----，当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增，则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.公众号：学习界的007。
2024学年福建省厦门双十中学高一上学期期中数学试题及答案
福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211()23(m t t t t =+-⋅⋅+211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
2020届福建省厦门市双十中学高三上学期暑假第一次返校考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前福建省厦门市双十中学2020届高三年级上学期暑假第一次返校考试数学（理）试题一、选择题(本小题共12小题,每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合A={5,4,3,2,1}，集合B={2|≥x x }，下图中阴影部分所表示的集合为A. {2,1,0}B.{2,1}C.{1}D.{1,0}2.复数ii i z +-=122，在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.若),0(,231cos sin πααα∈-=+，则=αtan A. 3 B. 3- C. 33 D. 33- 4.己知命题R x p ∈∃:，使得2<1xx + 2,命题0>1,:2++∈∀x x R x q ,下列命题为真的是 A. q p ∧ B. q p ∧⌝)( C. )(q p ⌝∧ D. )()(q p ⌝∧⌝5. 函数)1ln(sin 2)(x x x f +-=的部分图像大致是6.在△ABC 中,045=C ,则=-+B A B A sin sin 2sin sin 22 7.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 满足0)()(=-⋅-,则||的最大值是A.1B. 22C.2D.2 8.已知A, B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正角形,AD 丄平面ABC, AD=2AB=6,则该球的表面积为A. π16B. π24C. π332D. π489.在二项式n xx )3(+的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为A.18B.12C. 9D. 610. 已知函数)0>(cos sin )(ωωωx x x f +=,如果存在实数1x ,使得对任意的实数x ,都有)2012()()(11+≤≤x f x f x f 成立,则ω的最小值为A. 20121B. 2012πC. 40241D. 4024π 11.设21,A A 为椭圆的)0>b 0,>(12222a by a x =+左、右顶点,若在椭圆上存在异于21,A A 的点P,使得02=⋅,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值范围是A. 23-B.-1C.0D.1 12.若不等式b ax x x +≤+-+22)1ln(对-1>x ∀恒成立,则b +a 取最小值时对应的a 的值A. 23-B.-1C.0D.1 二、填空题：本大题共4小题,毎小题4分。
福建省厦门第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
福建省厦门第一中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若集合，且，则集合B可能是A. B. C. D. R2.已知，，其中i是虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.3.函数且的图象可能为A. B.C. D.4.已知为等比数列，，，则A. 7B.C.D.5.已知函数且若函数的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是A. B. C. D.6.若，，，则的最小值是A. B. 3 C. D. 47.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足则下列叙述错误的是A.B. 当时，函数单调递减C. 当时，点P到x轴的距离的最大值为6D. 当时，8.2020年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有A. 20种B. 24种C. 30种D. 36种9.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D. 210.已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为A. B. C. D.11.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，，，则的值为A. B. C. D.12.在三棱锥中，，，，点P在平面ACD内，且，设异面直线BP与CD所成角为，则的最小值为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知关于x，y的二元一次不式组，则的最大值为______ ．14.已知，则展开式中的常数项为______．15.如图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半径为R的球面上，则该几何体的体积为______．16.的垂心H在其内部，，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数．求函数在上的单调递减区间；在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求的两个内角B，C 及分别对应的边长b，c．18.已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中；Ⅰ证明：平面平面ABC；Ⅱ若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值．19.已知椭圆E：的左焦点为F，设M，N是椭圆E的两个短轴端点，A是椭圆E的长轴左端点．Ⅰ当时，设点，直线PN交椭圆E于Q，且直线MP、MQ的斜率分别为，，求的值；Ⅱ当时，若经过F的直线l与椭圆E交于C，D两点，O为坐标原点，求与的面积之差的最大值．20.已知数列的首项为，且满足，数列满足，数列的前n项和．求数列的通项公式；令，求证：．21.已知函数．求函数的单调区间；若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是为参数将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．23.已知函数的最大值为k．求k的值；若a，b，，，求的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，且，可能是．故选：A．根据即可得出，并且，从而可判断哪个选项的集合可以是集合B．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，，的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．【解答】解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当，，故排除C，故选：D．4.【答案】C【解析】解：为等比数列，，，由等比数列的性质，，或，当时，，则，当时，，则，故选：C．由等比数列的性质，，结合已知可求，，然后结合等比数列的性质即可求解，本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】D【解析】解：由题意，时，显然成立；时，关于y轴的对称函数为，则，，综上所述，a的取值范围是，故选：D．由题意，时，显然成立；时，关于y轴的对称函数为，则，即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：考察基本不等式当且仅当时取等号整理得即，又，所以当且仅当时取等号，则的最小值是4，故选：D．首先分析题目由已知，，，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意得，，，解得；把点代入中，可得，，，则A正确；当时，，函数单调递减，所以B错误；由，当时，，点P到x轴的距离的最大值为6，所以C正确；当时，，P的纵坐标为6，，所以D正确．故选：B．求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，也考查了运用三角函数的最值，周期等问题，是中档题．8.【答案】B【解析】解：甲在B、C中任选一个，在这个前提下，剩下三个人可以在三个比赛中各服务一个，就是，也可以在除了甲之外的两个项目中服务，就是，不同的安排方案共有故选B．先安排甲，再安排其余3人，利用分布计算原理可得结论．本题考查分布计算原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：双曲线的右顶点为，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，可得A到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：．故选：A．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】B【解析】解：向量，，满足，，与的夹角为，如图所示，取，设，，，，，故C在为以为圆心以2为半径的圆的上则表示C到距离，由圆心到距离为，故的最小值为，故选：B，设，则可得C在为以为圆心以2为半径的圆的上，进而得到答案．本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数的图象关于对称，直线过，则，所以函数的图象与直线恰有三个公共点如图所示，且在区间内相切，其切点为，由于，，即，．故选：C．函数的图象与直线恰有三个公共点，画出图象，且在区间内相切，其切点为，利用导数的几何意义得出，从而得到结论．本题考查导数的运用，同时也涉及了三角函数有关基础知识，考查数形结合思想及运算求解能力，属于一般题目．12.【答案】A【解析】解：取CD中点K，连接AK，BK，，，，，为正，取AK中点O，连接BO，则，且，易知平面ABK，，平面ACD，，在图中圆O上，当P与G，H重合时，最大，当P与M，N重合时，最小．故选：A．取CD中点K，易得三角形ABK为正三角形，取AK中点O，可证平面ACD，进而确定点P 的位置，求得最小值．本题考查了异面直线所成角的求法，线面垂直等知识，考查了运算求解能力，是中档题．13.【答案】5【解析】解：由二元一次不式组作可行域如图，联立，解得：．令，则，由图可知，当过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最大值为．故答案为：5．由二元一次不式组作出可行域，令，数形结合可得使取得最大值的点，联立方程组求得点的坐标，代入求得最大值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】解：，，其展开式的通项公式为；令，解得；展开式中常数项为．故答案为：．根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．15.【答案】【解析】解：正三棱柱的底面边长为，三棱柱的高为2，设正三棱柱的上下底面中心为O，，则几何体外接球的球心为的中点H，设三棱柱的底面一个顶点为A，底面边长为，，，．即外接球的半径为三棱锥的高为：．所以，几何体的体积为：．故答案为：．几何体外接球的球心在棱柱上下底面中心连线的中点，根据三棱柱的底面边长和高，利用勾股定理即可求出外接球半径．然后求解棱锥的高，求解几何体的体积即可．本题考查了棱柱与外接球的位置关系，几何体的体积的求法，是中档题．16.【答案】【解析】解：设AD，BE是高，H就是AD、BE交点，那么，，，，所以，所以∽，所以，．在中，，，设由正弦定理可得：，故答案为：设AD，BE是高，H就是AD、BE交点，得到∽，利用对应边成比例得到BC，在中，，，设由正弦定理可得：即可．本题考查了垂心、正弦定理、三角恒等变形、三角函数性质，通过三角形相似求得BC 是关键，属于难题．17.【答案】解：由已知得：，由，，可得，又，函数在的单调递减区间为和．由知由，可得．中是锐角三角形，，，，即，又，正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，可得，，由解得，为正三角形，可得．【解析】利用二倍角，诱导公式和辅助角化简，结合三角函数的单调性即可求解．由，求解角A，，，利用正余弦定理化简可得，由余弦定理可得，联立解得，可得．本题主要考查三角函数的图象和性质，正弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】证明：三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，，，，取AC中点O，连结PO，BO，则，，且，，，平面平面ABC．解：Ⅱ由Ⅰ知，，，，平面PAC，是直线BM与平面PAC所成角，且，当OM最短时，即M是PA中点时，最大，由平面ABC，，得，，以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，，，0，，0，，设平面MBC的法向量y，，则，取，得1，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得1，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】取AC中点O，连结PO，BO，则，，，由此能证明平面平面ABC．Ⅱ由，，得平面PAC，从而是直线BM与平面PAC所成角，且，进而当OM最短时，即M 是PA中点时，最大，由平面ABC，，得，，以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ当时，椭圆E：，M，N是椭圆E的两个短轴端点分别为、，设PN直线方程为，由得，，，，，，；Ⅱ设的面积为，的面积为，设直线l的方程为，，，由，整理得：，由韦达定理可知：，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立．的最大值为．【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，三角形面积公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．Ⅰ设PN直线方程为，由得，可得，，即可得；Ⅱ设的面积为，的面积为，设直线l的方程为，，，由，整理得：，，分类，当时，，时，根据基本不等式的关系，即可求得的最大值．20.【答案】解：，且满足，可得，即，当时，，又，两式相减可得，满足，则；证明：，，则，，相减可得，化为，可得，由，即有，可得，则．【解析】由，可得，再将n换为，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；运用对数的运算性质和等差数列的求和公式，求得，，再由数列的错位相减法求和，可得，再由放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的定义和通项公式，考查等差数列和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，化简变形能力和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：，，当时，，， 0'/>，递增，，，递减，当时，，若，，即时，，开口向上，所以，单调递增；若，即，，有两个根，，，当，， 0'/>，单调递增，当时，，递减；若，则，，有两个根，，，由韦达定理，所以，当， 0'/>，单调递增，当时，，递减；由得，，分离常数，，，，，y在递增，，，故存在唯一，，，所以时，，所以，，故．【解析】求导，对分子进行讨论，判断函数的单调性；用分离常数法，构造函数，求的最大值，由，，求出a即可．考查用导数判断函数的单调性，含参不等式恒成立问题，导数的综合应用，中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程是，即为，由，，，可得，即；直线l的参数方程是为参数令，可得，，即，将直线l的参数方程代入曲线C：，可得：，即为，解得，，由参数t的几何意义可得，．【解析】将曲线C变形为，由，，，代入即可得到所求曲线C的直角坐标方程；令，可得，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求得t的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用，，，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义，考查联立方程解方程思想，属于基础题．23.【答案】解：由于，当时，，当时，，当时，，所以，由已知，有，因为当取等号，当取等号，所以，即，故．【解析】根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值，根据基本不等式即可求出答案本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题。
2020-2021高三数学上期中一模试题附答案(11)
2020-2021高三数学上期中一模试题附答案(11)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720208．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8010．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)- 12．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．14．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是____________16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 17．在中，若，则__________．18．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.23．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/minm，山路AC长为1260m，经测量12 cos13A=，3cos5C=．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？24．ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos cosa C c A a+=．（1）求证：A B=；（2）若6Aπ=，ABCV3，求ABCV的周长．25．已知数列{}n a满足：1=1a，()*11,2,nnna na n Na n++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n nb a-=．（1）证明：数列{}2nb+为等比数列；（2）求数列3+2nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S．26．设函数2()1f x mx mx=--．(1)若对于一切实数x，()0f x<恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于[1,3]x∈，()0f x<恒成立，求实数m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】试题分析：当1n=时，113a S==；当2n≥时，()()()22111112n n na S S n n n n n-⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n=代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B 错误，化简可得22222y x x ⎫=++， 2222x x +=+，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
福建省厦门市双十中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析
福建省厦门市双十中学【最新】高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2230,M x x x x Z =--<∈，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 2．已知集合{}{}2|4,|1A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．C ．D ．3．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()x f x g x e +=，则（ ）A ．()2x x e e f x -+=B ．()2x x e e f x --=C ．()2x xe e g x --= D ．()2x xe e g x --= 4．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．3x y =-B ．12y x =C ．23log y x =D ．2y x x 5．已知()f x 的图象恒过点()1,1-，则函数()3f x -的图象恒过点（ ） A ．()2,1-- B ．()41-,C ．()1,4-D ．()1,2- 6．已知2212221log ,,log 333a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．已知幂函数()f x 图象过点(，则()9f =（ ）A ．3B ．9C ．-3D ．1 8．函数()()2log 2f x x =的最小值为（ ）A ．0B ．12-C ．14-D ．129．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<10．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为A ．{}|22x x -<<B ．{|2x x >或 }2x <-C ．{}|04x x <<D ．{|4x x >或}0x <11．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题12．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________． 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =+，则(),0x ∈-∞时，()f x =__________．14．已知函数2()1f x x x a =-+-有四个零点，则a 的取值范围是_________．三、解答题15．已知集合3212x A x x ⎧⎫-=-⎨⎬+⎩⎭， （Ⅰ）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+<<-，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B ⊆，{|621}B x m x m =-<<-，求实数m 的取值范围．16．计算：（1）121 1.533211(0.001)27()()49---++-； （2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 17．已知函数()1ln 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M . （1）求M ； （2）当x M ∈时，求()122421x x g x ++=-+的值域.18．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是0T ,经过一定时间t 后,温度T 将满足a T T -=()012t ha T T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中a T 是环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:20.3010,30.4771lg lg ==）19．定义在()0,∞+的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意(),0,x y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++.（1）求出()1f 的值；（2）解不等式()()14f x f x +->-；（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 20．已知()()()2log 41x f x kx k R =+-∈. （1）设()()g x f x a =-，2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围； （2）若()f x 是偶函数，设()24log 23x h x b b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.参考答案1．B【分析】解不等式得到集合M ，然后根据集合元素的个数得到真子集的个数．【详解】 由题意得{}{}13,0,1,2M x x x Z =-<<∈=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=个．故选B ．【点睛】解答本题时要注意结论：含有n 个元素的集合的子集的个数为2n 个，真子集的个数为(21)n -个，非空子集的个数为(21)n -个，非空真子集的个数为(22)n -个．2．C【解析】试题分析：集合{{}||22A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.3．B【解析】由已知：在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ），x f x g x e +=（）（），①， 所以x f x g x e +=﹣（﹣）（﹣），即x f x g x e +=﹣﹣（）（），②①②得()2x xe ef x --=；故选B ． 4．A【解析】【分析】结合所给函数的解析式考查函数的性质排除错误选项即可求得最终结果.【详解】考查所给函数的性质：3x y =-是偶函数，当0x >时，3x y =-单调递减，满足题意；12y x =是非奇非偶函数，不合题意；当0x >时，23y log x =32log x =，则函数在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 2y x x =-是非奇非偶函数，不合题意；本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B【解析】因为已知()f x 的图象恒过点()1,1-，所以当31x -=时，(3)1f x -=-，即函数()3f x -的图象恒过点(4,)1-，故选B.6．D【解析】试题分析：2log 10a <=，01b <<，121log 12c >=，故c b a >>. 考点：比较大小.7．A【解析】设幂函数f （x ）=x α，把点（33αα=12， 即f （x ）=12xf （9），故选A ．8．C【解析】试题分析： ())()()()22222222111log 2log ?21log log log log 224f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤==+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小值为14-. 考点：1、对数运算；2、二次函数.9．A【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 10．D【分析】 根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数， 则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+， 因为在()0,+∞单调递增，所以0a >.根据二次函数的性质可知，不等式 ()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（）， 的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或，故选D.【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.11．C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11e e x x g x --+=+，则()()21111111e 1e e e e ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 12．-1【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可. 【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.13．22x x -+【分析】当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，结合题意求出()f x -，然后再根据函数为奇函数求出()f x 即可．【详解】当(),0x ∈-∞时，则有()0,x -∈+∞，∴()()2222f x x x x x -=--=-，又函数()f x 为奇函数，∴()22f x x x -=-， ∴()22f x x x =-+． 即(),0x ∈-∞时，()22f x x x =-+． 故答案为22x x -+．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的关键是根据对称性将问题转化到区间()0,+∞上去求解，再根据奇偶性得到所求．14．5(1,)4【解析】由f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1=0，得a ﹣1=﹣x 2+|x|，作出y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象，要使函数f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1有四个零点，则y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a ﹣1＜14，解得：a ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为514⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题．一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高．15．（Ⅰ）3m ≤；（Ⅱ）34m ≤≤．【解析】试题分析：（1）求出集合A ，利用子集关系，通过B 是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A ⊆B ，B={x|m ﹣6＜x ＜2m ﹣1}，列出不等式组求解即可．试题解析： 解不等式3212x x ->+，得25x -<<，即()2,5A =-. （1）B A ⊆①当B =∅时，则211m m -≤+，即2m ≤，符合题意；②当B ≠∅时，则有212215m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩解得：23m <≤.综上：(],3m ∈-∞.（2）要使A B ⊆，则B ≠∅，所以有 21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩解得：34m ≤≤.16．（1）6-；（2）12-． 【解析】试题分析：（1）本问考查分数指数幂运算法则m m n a==（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），1m n m n aa -=（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），原式=121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092=++-276-=-；（2）本问考查对数运算法则log log log a a a MN M N =+（0,1,,0a a M N >≠>），log log log aa a MM N N=-（0,1,,0a a M N >≠>），log log a a M M αα=（0,1,0,a a M R α>≠>∈），原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=-. 试题解析：（1）121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092276=++-=- （2）原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=- 考点：1、指数运算；2、对数运算.17．（1）(]1?2M =-，;（2）[]1? 1?7-，. 【解析】（1）由已知可得20323{{11303x xx xx -≥-<≤+⇒>-->，∴12x -<≤，所以(]12M =-，. （2）()()12222421224212211x x x x x g x ++=-+=⋅-⋅+=--，∵12x -<≤，∴1242x <≤，所以当21x =，即0x =时，()min 1g x =-，当24x =，即2x =时，()max 17g x =，所以()g x 的值域为[]117-，. 18．25.9 【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式()01()2tha a T T T T -=-⋅，求解就可得到半衰期h 的值．再利用公式()01()2t ha a T T T T -=-⋅，中0195T =，105T =，75a T =，20t =代入，求出半衰期h 的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟．试题解析：依题意，可令0195T =，105T =，75a T =，20t =代入式子得：()20110575195752h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得10h =又若95T =代入式子得()1019575195752t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则101126t ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()12321log 10log 610log 316t ===+ lg30.477110110125.9lg20.3010⎛⎫⎛⎫=+=+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：降温到95F 约需要25.9分钟. 19．（1）12f ;（2）1x <<;（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数 【解析】试题分析：（1）令x=y=1，1112f f f =++（）（）（），从而解得； （2）令1y x=，x ＞1，则有12f f x f y =++（）（）（），从而可推出f （y ）＞-2， 则14f x f x +--（）（）＞可化为即12f x x --（（））＞，从而解得； （3）12()log 2f x x =-．试题解析：（1）令1x y ==，有()()()1112f f f =++，∴()12f =- （2）任取()12,0,x x ∈+∞，且21x x >，不妨设()211x x h h -⋅∆∆>∴()()()()2111f x f x f x h f x -=⋅∆- ()()()()121222f x f x f x f x =++-=+， ∵1h ∆>，∴()2f h ∆<- ∴()()21f x f x <∴()f x 在()0,+∞上单调递减.()()14f x f x +->-⇔ ()()122f x f x +-+>-，∴()()()11f x x f ->所以原不等式等价于：()01011x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-<⎩，解得：1x <<（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.20．（1）()0,∞+;（2）见解析； 【解析】试题分析：（1）函数()g x 有零点转化为方程()f x a =有解，只需求函数()f x 的值域，a 的取值范围即为其值域；（2）根据()f x 是偶函数，利用特殊值()()11f f -=-求k ，函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，即方程()()f x g x =有一解，得方程42223x x x b b -+=⋅-有一解，换元转化为一元二次方程只有一正根的问题，分类讨论即可求出. （1）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>，21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >， 所以a 的取值范围是()0,+∞.（2）()()2log 41xf x kx =+-，定义域为R ，()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验：()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+， 则()()()()2log 22xx f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，所以方程()()f x g x =只有一解，即42223x x xb b -+=⋅-只有一解， 令2x t =0t >（），则23(1)430b t bt ---=有一正根， 当1b =时，304t =-<，不符合题意， 当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则2=(4)43(1)(3)0b b ∆--⨯-⨯-=且4023(1)bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为23(1)43y b t bt =---图象恒过点(0,3)-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >， 综上，3b =-或1b >，即b 的取值范围是{3}(1,)-+∞.点睛：本题在处理两个函数图象只有一个交点时，转化为对应方程只有一解，利用换元法转化为含有参数b 的一元二次方程只有一正根，当1b ≠时，结合二次函数图象，分类讨论即可，在分类讨论时注意分类标准的选择，做到不重不漏.。
2020届福建省厦门市双十中学高三上学期暑假第一次返校考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前福建省厦门市双十中学2020届高三年级上学期暑假第一次返校考试数学（文）试题考试时间：120分钟 考试总分：150分班级： 座号: 姓名: 成绩:第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共69分） 1.函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A. (-1，1) B. (0，1] C. (1，+∞) D. (0，2) 2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是A. xy 2= B. ||2x y = C. xxy --=22 D.xxy -+=223.函数xy x ln 2=的图象大致为4.函数xx x f 1)1ln()(-+=的一个零点所在的区间是 A.(0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)5.已知函数⎩⎨⎧≤=0>|,log |0,2)(2x x x x x f ,则2)(=x f 的x 的集合是A.{4,41} B. {4,1} C. {1,41} D. {4,1,41} 6.己知函数)(x f 的定义域为R,当0 <x 时,1)(3-=x x f ,当11≤≤-x 时, )()(x f x f -=；当21>x 时,)21()21(-=+x f x f ,则=)6(fA. -2B. -1C. 0D. 27.设函数)(x f 满足x xxf +=+-1)11(,则)(x f 的表达式为A. x +12B. 212x + C. 2211x x +- D.x x+-11 8.已知函数a b x f xa )(12(log )(-+=>0,且1≠a )的图象如图所示,则b a ,,满足的关系是A. 0<a -1<b<1B. 0<b<a -1< 1 C. 0<b -1<a<1 D. 0<a -1<b -1< 19.已知函数a kx y +=的图象如图所示,则函数kx ay +=的图象可能是10.已知定义在(-1,1)上的奇函数)(x f ,其导函数为x x f cos 1)('+=,如果0<)1()1(2a f a -+-,则实数a 的取值范围为A, )1,0(B. )2,1(C. )2,2(--D. )1,2()2,1(--11.如图,直线l 和圆C,当 从0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过090)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数,这个函数的大致图象是12.若函数xe cx x xf )5()(2+-=在区间]4,21[上单调递增,则实数c 的取值范围是 A. (-∞, 2] B. (-∞, 4] C. (-∞, 8] D. [-2, 4]第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题,每小题5分,共20分）。
福建省厦门双十中学2021届高三数学暑假第一次返校考试试题文
福建省厦门双十中学2021届高三数学暑假第一次返校考试试题文一、选择题：本大题共10个小题,每小题7分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数2()ln(2)1f x x x x =+--的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[]1,22.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．sin 2y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x x y =+D ．2sin y x x =+ 3.设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ． b c a <<4.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销售量减少10件，试运算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则估量单价为多少时，利润最大（ ）A ．8元/件B ．10元/件 C.12元/件 D ．14元/件5.函数1()x x f x x e e +=⋅-的递增区间是（ ）A ．(,)e -∞B ．(1,)e C.(,)e +∞ D ．(1,)e -+∞6.将自然数0，1,2，…按照如下形式进行摆列：依照以上规律判定，从2021到2020的箭头方向是（ ）A ．B ． C. D ．7.函数||xx a y x=（1a >）的图象的大致形状是（ ）A ．B ． C. D ．8.已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 20x y ±=B ．20x ±= C.20x y ±= D ．20x y ±=9.已知函数ln ,0,(),0x x f x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩与()||1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范畴是（ ）A ．RB ．(,]e -∞- C.[,)e +∞ D ．∅10.已知函数3()cos x f x x =的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当||2i x π<（1,2,3i =）时，若120x x +>，230x x +>，130x x +>，则123()()()0f x f x f x ++>的值（ ）A ．恒小于零B ．恒等于零 C.恒大于零 D ．可能大于零，也可能小于零二、填空题（每题7分，满分28分，将答案填在答题纸上）11.运算：121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭． 12.圆C 的圆心在x 轴上，同时过点(1,1)A -和(1,3)B ，则圆C 的方程为 ．13.函数22,0,()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是 ．14.已知函数2()ln(1)f x x x =+，()()2017g x f x =+，下列命题：①()f x 的定义域为(,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数a ，b 满足()(1)0f a f b +-=，则1a b +=；⑤设函数()g x 在上的最大值为M ，最小值为m ，则2017M m +=.其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()1xa f x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值.16.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，其中左焦点为(2,0)F -. （1）求椭圆C 的方；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值.17.已知定义在R 上的函数||1()22x x f x =-. （1）若3()2f x =，求x 的值； （2）若2(2)()0t f t mf t +≥关于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范畴.18.设函数221()(ln )f x x a x x x=---，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.试卷答案一、选择题1-5:BDBBD 6-10:ACACC二、填空题11.-20 12.22(2)10x y -+= 13.2 14.①②③④三、解答题15.解：（1）由()1x a f x x e =-+，得'()1xa f x e =- 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得'(1)0f =，即10a e -=，解得a e =. （2）'()1xa f x e =-， ①当0a ≤时，'()0f x >，()f x 为(,)-∞+∞上的单调增函数，因此函数()f x 无极值. ②当0a >时，令'()0f x =，得xe a =，即ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值.综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值. 16.解：（1）由题意，得22222,,c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y线段AB 的中点为00(,)M x y ，221,84,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2234280x mx m ++-=， 29680m ∆=->，∴m -<< ∵120223x x m x +==-，∴003m y x m =+=， ∵点00(,)M x y 在圆221x y +=上，∴222()()133m m -+=，∴m =. 17.解：（1）当0x <时，()0f x =，无解；当0x ≥时，1()22xx f x =-，由13222x x -=，得2223220x x ⋅-⋅-=， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得22x =或122x =-， ∵20x >，因此1x =.（2）当[1,2]t ∈时，2211222022t t t t t m ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即24(21)(21)t t m -≥--，∵2210t ->，∴2(21)t m ≥-+恒成立， ∵[1,2]t ∈，∴2(21)[17,5]t-+∈--，故实数m 的取值范畴是[5,)-+∞.18.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222323321222(2)()'()1()x x x x a f x a a x x x x x x +++-=+-+=-=， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.（2）由（1）知，min 2211()()(ln )ln f x f a a a a a a a a a a ==---=--， 即1()ln g a a a a a=--. 要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<， 令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 223331122(2)(1)'()a a a a h a a a a a a---+=--==， 当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增； 因此min 111()(2)ln 21ln 20244h a h ==++-=->，因此()0h a >，即()1g a <.。
2020-2021高三数学上期中一模试卷含答案
2020-2021高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 4．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20476．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或57．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．83239．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 15．设0,0,25x y x y >>+=______.16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V24．如图，Rt ABC V 中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）≥，即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=.对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.6．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．8．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．9．A【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.11．D解析：D 【解析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．16．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围.由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.20．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
福建省厦门市双十中学2021-2022学年高三上学期开学考试考数学试题
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 平面直角坐标系中， 、 、 是抛物线 2 = 2
> 0 上的三点，其中 在第一
象限， 、 在第二象限. 1、 1、 1分别是 、 、 在 轴上的投影， 为 在 上
的投影，且 = 4 . 是 1关于坐标原点 的对称点，满足 ⊥ . 若 1 1 = 13 1 1，则直线 的斜率是 ▲ .
（2）设 为正整数，定义集合 为 的值域.
对任意实数 , ∈ , < ，是否一定存在 ∈ ，使得 < < ？证明你的结论.
19. （本题满分 12 分） 正方体盒子的边长为 1. 在其所有内表面上都装上的反射镜，现盒子正中心放一个只能 朝一个方向发射光线的点光源. （1）证明：朝任意一个方向发射光线，则总可以在某次反射后反射光线与最初发射的 光线的方向恰好相反. （2）对任何一个边长不超过 2 的三角形纸片（厚度不计），是否一定能被该盒子装 下？证明你的结论.
，其中
∈ 0,1 ，且对任意正整数 ，存在
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现定义 = =1 ，则
=
1− ≥1
+ 2
−.
C.
当
1 2
≤
<
3 4
时，
=
1 2
+
4 −1 4
.
Hale Waihona Puke D. ∈ 0,1 |=
2 3
=
∈ 0,1 | =
≥1 4 ,
∈ 1,2 .
2
2
12. 双曲线 1: 2 − 2 = 1 , > 0 的两焦点为 1、 2，圆 2 经过 1、 2，与 1 的
9. 下列等式中成立的是
2020-2021高三数学上期中试卷附答案
2020-2021高三数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-6．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．167．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．38．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km B ．3 kmC ．105 kmD ．107 km 9．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3610．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2111．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．512．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 15．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）16．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.17．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．18．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 19．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________ 20．在中，若，则__________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．在ABC V 中，3B π∠=，b =，________________，求BC 边上的高．从①sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．23．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.5．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．6．A解析：A【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．9．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C10．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416tt =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．11．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=++=++++g …， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92，故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===，∴7613a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．15．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题16．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<，所以130S >，140S <，150S <，当<0n S 时n 的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A（53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值．详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时，∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．18．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x ）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2； 要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．19．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属 解析：(0,]3π 【解析】【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围.【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号，由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥， 03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】 考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.20．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64解析：【解析】∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为. 三、解答题21．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合（2）()11111n b n n n n ==-++ 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 【点睛】 本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.22．选择①，2h =；选择②，2h =；选择③，2h = 【解析】【分析】 （1）选择①sin 7A =，可由sin sin a b AB =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin C C =，结合22sin cos 1C C +=得sin 14C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解.【详解】（1）选择①sin 7A =，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，7=2a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，2212222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =， 则BC边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+，由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π+=，整理得5sin C C =┄①，又22sin cos 1C C +=┄②，由①②得sin C =， 则BC边上的高sin h b C ===. （3）选择③2a c -=，解答如下：在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，3B π∠=Q ，b =227a c ac ∴+-=┄①，又2a c -=┄②，由①②解得1c =，则BC 边上的高sin h c B =. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.23．（1）13-（2）3【解析】【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin C =ABC ∆，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，所以()sin 3cos 10+=A C ，因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 24∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中， 由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，所以()29a b +=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题24．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，①2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，②①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 25．（1）12n n a -=；（2）21122n n n -++- 【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．【详解】（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，当1n =时，1121a S =+，∴11a =，当2n ≥时，203m/s B B BF m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠，∴12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴11122n n n a --=⨯=．（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=+=+， 所以()12121111n n nT b b b n n a a a =+++=+++++L L ()()1111211211212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.26．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得． 所以． （2）因为， 所以．。