数学模型spss解决食堂排队问题

数学模型s p s s解决食

堂排队问题

SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

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食堂排队问题

摘要

近年来，随着大学不断扩招，大学在校学生人数不断增加，学生食堂用餐排队拥挤现象也日益严重。首先，从网上找到某一高校中午去食堂用餐人数的时刻表，利用SPSS中的中心移动平均法，观察到学生进入食堂的人数近视服从正态分布。在此基础上研究了在权衡学校食堂和学生的利益这两方面时，利用边际分析法得到了合理的窗口数为9个。计算由窗口数变化而产生的平均等待时间，利用SPSS中的曲线估计，得到窗口数与平均等待时间满足S型曲线估计，对其做灵敏度分析发现灵敏度很高，并且窗口数由8个增加到9个时平均等待时间变化很大，而继续增加时，变化趋于平缓。所以认为食堂设置9个窗口是合理的。

在进一步的探讨中，由于每个窗口饭菜好吃与否不同，学生对其具有选择性，在假设上面9个窗口吸引学生的比例后，求其平均等待时间为秒，是没有考虑这个因素的8倍左右，所以这是造成学生平均等待时间增加并且浪费窗口资源的一个重要因素。

关键词：食堂排队，中心移动平均，曲线估计，平均等待时间

目录

1.引言：

在学校或者大型企业里，经常可以看到在午餐时间大量的人涌入食堂。由于午餐时间相对固定，导致在这个时间段内食堂的人数激增。原本没有多少人的食堂顿时充满了人，大家都在排队买饭。买到的人就开开心心的去吃了，买不到的还在那里排队等着买饭，不时的传来几句怨言。这是一个普遍的问题，有很多人对其进行研究，希望找到更好的办法来解决这个问题。食堂排队问题的解决可以减少人们的排队时间，所以对此研究具有一定的意义。

在一些初中和高中，有过一些解决这个问题的一些方法，比如像分年级、班级去吃饭，错开人们的吃饭时间，从而解决这个问题。但由于大学里，学院很多，而且每个学生还有自己的选修课，上课地点又不是固定的，所以实行错开学生吃饭的方法在这里就不在适用了。对此我们提出解决食堂排队问题的其它方法，对其进行研究。

2.模型：

问题的简化及分析

食堂排队问题实际上就是排队论问题，对学生而言食堂增加卖饭的窗口，学生的等待时间就会减少，而食堂的成本就会相应的增加。而减少食堂窗口的数量，食堂的利益会增加，但学生的等待时间就会相应的增加。所以我们要权衡这两个方面，对其进行研究。利用边际分析法，求得其合理的窗口数。

后又考虑到学生对每个窗口的饭菜喜爱程度不同这个因素，对前面得到的窗口数进行研究，求得其平均等待时间，和之前的平均等待时间进行比较，得到增加这个因素对平均等待时间的影响。

模型假设

1.由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在11：30至13：30这一时间段赶去食堂吃饭，故可认为在该时间段中学生源是无限的，且学生单独到来且相互独立。

2.学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。

3.食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。

4.由于每个窗口服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以

由一般统计规律，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务时间是15秒，且服务员之间无差异。

符号说明

s 卖饭窗口数

p 窗口服务强度

λ 每十分钟进入食堂的人数

μ 每个窗口每十分钟服务的人数 1t M 一次移动平均数 2t M 二次移动平均数

q L 平均等待队长 q W 平均等待时间

1c 每个窗口的单位时间成本 2c 每个学生在食堂中逗留损失费用

s λ 到达每个窗口的人数比例

模型建立

对学生在食堂进餐的情形进行研究，根据食堂进餐排队的特点，选择排队模型，进行研究。

学生进餐可以分解成三个部分，第一部分：学生进入食堂；第二部分：学生在窗口买饭；第三部分：吃饭或打包离开。具体流程图如图一所示：

从网上得到查找得到某一高校的食堂进餐人数随时间变化如表一所示：

对上面的数据进行处理，利用EXCEL 画出食堂进餐的人数随时间的变化图，如图二所示：

图二：食堂进餐人数随时间变化图

观察上图可以发现食堂进餐人数在10：40至13：30这个时间段内有呈现正态分布的特点。为了使这个特点更加明显，我们对人数做移动中心平均处理。

设一次移动平均数为1t M ，则二次移动平均数2t M 的计算公式为：

N

M M M N M M M M N t t t N t t t t

112

111112

--+-++=+++= （1）

对表一中进餐人数分别做一次移动平均和二次移动平均，结果如图三所示：

图三：进餐人数一、二次移动平均图

在利用EXCEL 对第二次移动平均数作图，得到食堂人数随时间变化的趋势图。如图四所示：

图四：食堂人数随时间变化趋势图

观察上图，发现食堂人数随时间的变化服从正态分布，其函数为： ()2

2

221)(δδ

πa t e

t F --

=

（2）

利用边际分析法建立模型，求窗口数。 窗口服务强度：

μ

λ

s p =

（3） 由于不希望等待的学生人数越来越多，所以p 小于等于1。经研究认为15秒的平均服务时间对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，故认为平均服务时间不可改变，是个常数，所以μ为40。λ表示的是每十分钟进入食堂的学生数，它的取值与上面的食堂进餐人数随时间变化的关系有关。所以λ的值可以表示为： ()2

2

221)(δδ

πλa t e

t F --

== （4）

所以得到p 等于：

()s

e

s t F p a t 4021

)

(2

2

2δδπμ--

==

（5）

由状态流图可列出K 氏代数方程并求出相应的平稳分布：

()???????≥<≤=s

k p

s p s s

k p k sp k

s k

k 00

!

0!ρ

（6）

由正则性条件∑∞

==0

1k k ρ，当p <1时，有

()()()01001011!!!!

1p p s sp k sp p s p s k sp s k s k s k s k k

s k ???

?

??-+=???? ??+=∑∑∑-=-=∞= （7）

于是空闲概率：

()()1

10011!!--=???

?

??-+=∑p s sp k sp s s k k ρ （8）

于是平均等待队长：

∑∑∞

=∞

=-+-===01

02

10)1(!)(!)(j j s j s j

s q p s sp p jp s sp p j L ρρρ （9）

平均等待时间：

λ

q

q L W =

（10）

为了权衡学生与食堂的利益这两者的关系，建立如下目标：

q L c s c f 21min

+=

（11）

其中1c 为每个窗口的单位时间成本，2c 为每个学生在食堂中逗留损失费用。约束方程为：

???

≥<0

,,1.2,1q L s c c p t s

（12）

根据边际分析法，最佳的满足条件：

???+≤-≤)

1()()

1()(*

***s f s f s f s f （13）

将上面的约束方程代入到最佳满足条件里得：

?????+?++?≤?+?-?+-?≤?+?)1()1()()

1()1()(*

2*1*2*1

*

2*1*2*1s L c s c s L c s c s L c s c s L c s c q q q q （14）

于是有，

?????+-≥--≤)]1()([)]

()1([*

*21

*

*21s L s L c c s L s L c c q q q q （15）

整理得，

)()1()1()(**2

1

**s L s L c c s L s L q q q q --≤≤

+- （16）

取8.12

1

=c c ,9=t 时，此时296=λ，采用边际分析法，求得*s ，如表二所示：

取8.12

1

=c c ,18=t 时，此时9=λ，采用边际分析法，求得*s ，如表三所示：

由于进入食堂的学生数服从正态分布，所以所需的窗口数也应近似的服从正态分布。窗口在学生数最多时为9，在学生数最少时为1个。

根据边际分析法可以求出每个时间点在

8.12

1

=c c 时，需要的窗口数目，利用EXCEL 作出窗口数随时间的变化图，如图五所示：

图五：窗口数随时间变化图

由于μ一定，所以影响平均排队时间的只有窗口数s ，利用SPSS 对平均排队时间及窗口数进行多种模型曲线估计，得到下图：

图六：窗口数与平均等待时间的多模型曲线估计

观察上图发现窗口数与平均等待时间的曲线估计最接近S 模型，对其做S 模型曲线估计得到下图：

图七：窗口数与平均等待时间的S 模型曲线估计

观察上图发现当窗口数从8个增加到9个时，平均等待时间迅速下降，后增加窗口数，平均等待时间趋于平缓。

得到模型汇总和参数估计值表，见表四：

表四：得到模型汇总和参数估计值表

从上表中可以看出Sig 值为，说明S 模型曲线估计效果很好，参数估计值中常数值为，b1值为。所以模型曲线方程为

下面再分析在学生数最多时平均排队时间对窗口数的灵敏度：

s

W s W Q q q //??=

（17）

由于窗口数为整数，所以求得如下数据，见表五： 表五：平均排队时间对窗口数的灵敏度分析 从上表可以看出，平均排队时间对窗口数十分敏感，灵敏度均达到了15以上，其中在窗口数从8变到9时，平均排队时间由秒变为了秒。

3.分析：

通过上面的灵敏度分析得到，当食堂的窗口数超过9个时，即使增加再多的窗口数，其平均排队时间变化的绝对值也只在5秒左右，而这么小的时间间隔对学生造成的影响是很小的。但是每增加一个窗口就会花费很大的成本，他们自然也不可能增加。但小于9个窗口时，从表四中可以看出，平均排队时间会大大增加，这将会引起学生的极大不满，当然也是不合理的。至此可看出，最佳的窗口设置是9个。

对于学生来说，当然是窗口数越多越好。而对于食堂来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为更多学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。

4.结论：

本文在把握学生进餐人数随时间变化规律的情况下，以动态变化的人流量来研究窗口数的随时间的变化情况，改进了原来研究固定人流量的模型，使得研究的结果更加接近实际。

在权衡减少学生平均等待时间和增加食堂利益这两方面时，给出合理的食堂窗口数。

5.进一步的探讨：

由于食堂每个窗口的饭菜口味都不相同，学生去每个窗口买饭的人数也会出现很大的差别。基于这个条件，对其进行研究。

设每个窗口到达的人数比例分别为s λλλ,,,21 ，由于每个窗口的工作人员能力相同。所以每个窗口的服务强度为，

()s

e

s t F s p a t s

s s 4021

)

(2

2

2δδ

πλμλμλλ--

===

（18）

此外，通过网络的投票调查得到同学们在就餐排队时，排队人数在多少时会选择离开队伍，重新寻找队伍排队甚至离开食堂，见下表：

从上表可以看出排队人数在15人及以上的人数最多，说明学生可以等待的时间较长，也就是说学生在选择食堂饭菜的时候很有可能都愿意去同一家吃，导致这一家排队人数很多。而相对的饭菜味道不好的，学生去的少，也就导致了窗口资源的浪费。

在上面求得在人数最多时的窗口数应该为9个，现在假设依据饭菜的可口程度给这9个窗口附上去买饭的学生数比例，分别，，，，，，，，。由此可得在学生人数最多的时候去9个窗口的人数分别118，88，30，21，15，9，6，6，3，因为每个窗口每十分钟服务的人数是40人，所以可以看出前两个窗口将有大量的学生排队，而后面的几个窗口都有空闲时间。这就造成了学生平均等待时间的大量增加。

由于只有前两个窗口有等待的学生，所以研究平均等待时间只需要研究前两个窗口即可。根据上面的比列可以得到在每个时间段前两个窗口在学生用餐的人数，见表七所示：

表七：前两个窗口的学生人数

由于每个窗口每十分钟可以为40人服务，所以当人数超过40时就开始排队，从上表可以看出窗口1从11:30就开始排队，窗口2在11:40开始排队。排队人数会随着时间逐渐积累，具体积累数据如表八所示：

表八：两个窗口排队人数积累表

窗口1242227205173137975717窗口2145124986427000根据上表画出这两个窗口的排队人数随时间变化图，如图八所示：

图八：两个窗口排队人数随时间变化图

所以总等待人数为3683人次，每人等待时间为15秒，所以等待总时间为55245秒，平均等待时间至少为秒。而上面计算得到的平均等待时间为秒，所以学生对窗口饭菜的喜好对平均等待时间有很大的影响，并且这还会造成学校窗口资源的浪费。

所以为了使食堂窗口资源得到合理利用，并且减少学生的平均等待时间，食堂应增加每个窗口的饭菜种类，提高饭菜的口感。这样不仅可以解决因学生对窗口饭菜喜爱程度不同而导致的平均排队时间增加，而且可以提高学生对食堂的满意度。

6.模型的评价

模型的优点

1、在问题的求解中，充分运用了表格和图，使结果明了清晰。

2、本文采用了多种专业软件对模型进行求解，如EXCEL，SPSS等，提高了模型的精确度。

3、本文所有模型建立均完全基于实际的统计数据，拟合成近似曲线进行处理，科学合理。

模型的缺点

1、得到计算结果的方法有待进一步优化和改进。

2、模型建立中采用的数据不太准确，可能对模型产生了较大的误差。

3、建立的模型还不尽完善，忽略了许多因素，稍显简单。

7.结束语：

通过对本次论文的设计，使我进一步掌握了排队论及其相关理论知识，并学会如何将理论运用于实践，从而解决实际生活当中遇到的各种问题。排队论是通过研究由于随机因素而产生的拥挤现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本论文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到了一个较合理的

解决方案。根据模型分析，考虑到食堂成本等各个因素从而得出解决此问题的方法，即通过增加窗口来改善排队等待现象，以减少排队等待时间。排队论作为研究服务系统中排队现象随机规律的学科，如能将其运用于食堂服务系统的规划当中，有重要的实践意义。文章根据排对论的思想建立了食堂的排队服务模型。通过对模型的优化设计，科学地确定了食堂服务的最佳窗口数量，并通过实例说明了该方法的计算过程，证明排队论在食堂服务系统优化中具有实际用途。排队论还可以运用到更为广泛的实际生活中，如火车站排队优化，客服电话排队优化，在考虑到更全面因素的情况下，可以让人们的日常生活更便捷。

参考文献

[1] 张华娟。无锡南洋职业技术学院论丛，第10卷第3、4期，

[2] 李欣，肖芳园，杨牡丹。现代物业.新建设，第11卷第10期，2012

[3] 葛翔。安徽农业大学欣苑食堂排队优化，