数形结合法解不等式

数形结合解不等式

宜都市一中 王从志

纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。

类型一：简单不等式的解法

例1：解下列不等式：

2(1).2x x x -> 1(2). -3<

<2x

【解析】：（1）解法一（公式法） 原不等式等价于x2-2x>x 或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或0

∴原不等式的解集为﹛x ︱x<0或03﹜

解法2（数形结合法）

作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x ︱x<0或03﹜

第（1）题图 第（2）题图

【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为1|2x x ??>

????1或x<-3,结果一目了然。 例2：解不等式：1||x x

≥

【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1

x 的图象，

易知解集为01∞?∞（－，）[，＋）

类型二：解含参数不等式问题

例2变式：解关于x 的不等式：||a x x ≥

分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到

（1）a>0

时，解集为∞＋）

（2）a=0时，解集为0(0∞?∞（－，），＋）

（3）a<0

时，解集为,∞（-

练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式　

【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。】

2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳？ 例如：

.|1||1|32x x +--≥

解不等式　。除了分类讨论、几何意义等方法外，以下函数

转化、数形结合方法可供参考：

【解法1】令2(1)()|1||1|2(11)

2(1)x g x x x x x x -<-??=+--=-≤≤??>?

令()32h x =

，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为3[,)4+∞

【解法2】原不等式等价于|1||1|32x x +≥+- 令3()|1|,()|1|2g x x h x x =+=-+

分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g （x ）和h （x ）的图象的交点坐标为37(,)44 所以不等式|1||1|32x x +--≥的解集为3[,)4+∞

【解法3】 由

|1||1|3

2x x +--≥的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x ，y ），若

1232MF MF -=，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.

3、探究深入：如果以上不等式右边不为具体数值，而是一个参变量m,怎样解关于x 的不等式：|1||1|x x m +--≥

解析：结合函数y=|1||1|x x +--的图象，易知

（1）当m>2时，解集为Φ

（2）

m 22[

,+)2m -≤≤∞时，解集为

（3）m<－2时，解集为R

4、等价转化：若关于x 的不等式|1||1|x x m +--≥分别满足(1)解集为空集(2)解集非空集 (3)解集为R ，求m 的取值范围。

这个问题实际上包含了高考不等式常见的三大类型（能成立问题、恰成立问题和恒成立问题）中的两种。

类型三：不等式恰能成立问题、恰成立问题、恒成立问题。

例3：若不等变

2-2x -2ax+62≤≤恰有一解，求实数a 的值 引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。 图解：

由图象易知：a=2或者a=-2

例4、若不等式

21log ,(0,)2a x x x <∈对恒成立，则实数a 的取值范围是 此题直接求解无从着手，结合函数

21y y=log 0,2

a x x =及在（）上的图象 易知，a 只需满足条件：

0＜a ＜1，且11log 24a ≥即可从而解得

1[,1)16a ∈ 专题小结

数形结合解不等式是历年高考重点内容之一。有效借助“以形助数”或“以数解

形”，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化，从而起到优化解题途径的目的。正如著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。”